Angewandte Mathematik und Programmierung

Transkript

1 Agewdte Mthemtik ud Progrmmierug Eiführug i ds Kozept der objektorietierte Aweduge zu mthemtische Reches WS 2012/13

2 Ihlt Wiederholug (Eigeschfte vo Folge zusmmegefsst) Zhlereihe Kovergez vo Reihe Beweis durch vollstädige Iduktio Agewdte Mthemtik ud Progrmmierug 2

3 Wiederholug (Eigeschfte vo Folge zusmmegefsst) Eie Folge: Eie Folge ist eie Abbildug der türliche Zhle i die reelle Zhle. N R :, k mit (1, 2,3,...)idetifiziert werde ud wird mit ( ) bezeichet N Allgemeie Drstellug 1, 2, 3, 4,..., Agewdte Mthemtik ud Progrmmierug 3

4 Wiederholug (Eigeschfte vo Folge zusmmegefsst) Eigeschfte: Eie Folge ( ) heißt mooto flled, we für lle gilt: +1 Eie Folge ( ) heißt streg mooto flled, we für lle gilt: +1 Eie Folge ( ) heißt mooto steiged, we für lle gilt: +1 Eie Folge ( ) heißt streg mooto steiged, we für lle gilt: +1 Eie Folge ( ) heißt ch ute beschräkt, flls gilt: x R mit x für lle N Eie Folge ( ) heißt ch obe beschräkt, flls gilt: x R mit x für lle N Eie Folge heißt beschräkt we sie ch ute ud obe beschräkt ist Eie Folge ( ) heißt periodisch we gilt: Ds k heißt Periode vo ( ) k N mit für lle N Eie Folge ( ) heißt koverget gege die reelle Zhl, we gilt: 0 N mit mt - für lle Bezeichug: lim Eie Folge heißt diverget, we sie icht kovergiert k Agewdte Mthemtik ud Progrmmierug 4

5 Wiederholug (Eigeschfte vo Folge zusmmegefsst) Eie Folge ( ) heißt um lteriered, we es Teilfolge (b ) ud (c ) gibt mit: N gilt : b c Eie Folge ( ) besitzt eie Häufugspukt, we es eie Teilfolge vo ( ) gibt die gege kovergiert. Stz 1: Jede kovergete Folge ist beschräkt Stz 2: Eie mootoe Folge ist etweder ubeschräkt oder koverget Eie Folge die gege 0 kovergiert heißt Nullfolge. Stz 3: Eie Folge ( ) kovergiert gege ( -) ist Nullfolge Eie beliebige Lierkombitio edlich vieler Nullfolge ist eie Nullfolge Agewdte Mthemtik ud Progrmmierug 5

6 Folge Stz 4: (Recheregel für kovergete Folge) ) lim lim b) c) d) lim lim lim ud lim b ud lim b ud lim b b lim ( b lim ( e) lim ud lim b b ud b b b b 0 lim ( ) b ) lim (b /b ) /b ) b für lle b Stz 5: (Cuchy-Kovergezkriterium) ( ) kovergiert 0 N mit - m für lle,m Agewdte Mthemtik ud Progrmmierug 6

7 Kovergez vo Folge Wir utersuche ds Verhlte vo Zhlefolge für wchsede Idices. Es komme im Wesetliche drei Verhltesmuster vor: 1) Die Glieder der Folge äher sich mit wchsedem geu eier Zhl. 1 Mit dem wchsede äher sich die Glieder der Folge dem Wert Null. 1 2 Mit dem wchsede äher sich die Glieder der Folge dem Wert 1. 1 Mit dem wchsede äher sich die Glieder scheller der Folge dem Wert Null. 2) Mit wchsedem Idex äher sich die Glieder der Folge bwechseld zwei verschiedee Zhle (1 ) 3) Die Glieder der Folge wchse mit über jede och so große Zhl. 2 Agewdte Mthemtik ud Progrmmierug 7

8 Kovergez vo Folge Also M k Kovergez direkt erkee z.b Folge(1/) M k durch sukzessive Ableitug ud Vereifchug oder ur durch Vereifchug bestimme. M k durch l hospitlsche Regel feststelle. M k uch durch bestimmte Eigeschfte oder Kovergezkriterie bestimme: Siehe Ahg: Agewdte Mthemtik ud Progrmmierug 8

9 L HOSPITALSCHE Regel We m de Grezwert vo Fuktioe utersucht, gestltet ds sich oft schwierig ud k mchml sehr lge duer. Dbei hilft ei Soderfll der Grezwertbetrchtug: Die Regel vo L Hospitl (lopitl). Dbei gilt: f(x) Sid f ud g i de jeweilige Bereiche differezierbre Fuktioe ud ist x g(x) ud lim f(x) x R x lim g(x) 0 (bzw. ) ( liegt lso die Situtio 0 0 bzw. vor), so ist S f(x) f '(x) lim lim, x g(x) x g'(x) Sofer der letztere Grezwert existiert. Agewdte Mthemtik ud Progrmmierug 9

10 Arithmetische Folge () rithmetische Folge Eie Folge, bei der die Differez je zweier ufeider folgeder Folgeglieder kostt ist, hißt heißt rithmetische ti h Folge. Rekursiv Rk lute die Glieder Glid eier rithmetische ti h Fl Folge N b 1 wobei vo eie gegebee Strtwert usgegge wird: 0 c wobei c R( cost.) Eie rithmetische Folge beschreibt ei (diskretes) lieres, streg mootoes Wchstum (c > 0) oder Abflle (c < 0). Für c = 0 hdelt es sich um kostte Folge mit Glieder = 0 D die Glieder rithmetischer Folge stets kostte Abstd voeider hbe, divergiere diese Folge immer (ußer im Fll c = 0, wo es sich um kostte ud dmit kovergete Folge hdelt). Setzt m die Rekursiosbedigug sukzessive uch i die Glieder usw. ei ud -1 bildet -1 c -2 2c -3 3c..., erket m leicht, dss die Glieder eier rithmetische Folge durch 0 c für N gegebe sid. Dies etspricht eier 2 Gerdegleichug im R bzw. eier (ffi) liere Fuktio uf R, welche die y-achse (Ordite) i 0 scheidet ud die Steigug c besitzt (erweitere de diskrete Idex N zur kotiuierliche Vrible x R )., Agewdte Mthemtik ud Progrmmierug 10

11 . Arithmetische Folge q ( ) geometrische Folge Eie Folge, dere Quotiet vo umittelbr ufeider folgede Glieder kostt ist, wird ls geometrische Folge bezeichet. Die die geometrische Folge für 11 defiierede i d N Rekursiosbedigug ist zusmme mit eiem gegebee Afgsglied 0 : q c wobei q R( cost.) Begied mit 0 > 0, stelle geometrische Folge ei (diskretes) expoetielles, streg mootoes Wchstum (q > 1) oder ei ebesolches Abflle (0 < q < 1) dr. Für q = 1 ergibt sich die kostte Folge = 0 ud bei q = 0 ist = 0 ( 1). Für q < 0 ist die geometrische Folge lteriered. (1/) hrmoische Folge Die hrmoische Folge ist die mthemtische Zhlefolge der Kehrwerte der positive gze Zhle, lso die Folge 1 für 1 Die hrmoische Folge kovergiert gege Null: lim 0 1 Agewdte Mthemtik ud Progrmmierug 11

12 Reihe Grob gesgt sid (uedliche) reelle Reihe uedliche Summe reeller Zhle. Für eie reelle Folge gibt die Folge der Prtilsumme (bzw. Teilsumme) mit de Glieder N S k k k Alss zur Reihe ( S k) k N. Eie Reihe ist demch eie spezielle Folge der Form (,,,,.. ) welche wie folgt otiert wird: S N oder S 0 Agewdte Mthemtik ud Progrmmierug 12

13 Kovergez vo Reihe Eie Reihe heißt koverget, flls die zugehörige Folge der Prtilsumme ( S ) k k N koverget ist. Ihr Limes S wird ls Summe der Reihe bezeichet ud m schreibt S ls Abkürzug für N oder S 0 S k lim Sk lim k k 0 M bekommt meiste folgede Reihe -Aussge. Sid die gültig, oder sid die überhupt richtig oder flsch? K m überhupt beweise, dss die flsch oder richtig sid? S 2i ( 1) i0 S 2 (2i 1) 2 ( 1)(2 S i i0 i0 6 1) Agewdte Mthemtik ud Progrmmierug 13

14 Vollstädige Iduktio I der Mthemtik gibt es im Prizip drei grudlegede Beweismethode, mit dee m versucht, die Gültigkeit vo mthemtische Aussge zu beweise bzw. herzuleite. Es gibt de direkte Beweis. Es gibt de idirekte Beweis, uch "Beweis durch Widerspruch. Es gibt de Beweis durch vollstädige Iduktio. Mit der vollstädige Iduktio köe Aussge über die türliche Zhle bewiese werde Bemerkug: Uter Iduktio versteht m (im Gegestz zur Deduktio eigetlich ds logisch uzulässige Schließe vo Eizelfälle uf lle Fälle. Die mthemtische Iduktio ist ei Werkzeug, mit dem m ds suber mche k. M beweist mit vollstädige Iduktio die Aussge erst für de Iduktiosfg (I.A.), meistes = 0 oder = 1. D beweist m, dss die Aussge für +1 gilt, we die Aussge für gilt (Iduktiosschluss). Agewdte Mthemtik ud Progrmmierug 14

15 Vollstädige Iduktio Prizip der vollstädige Iduktio. Sei A eie Aussge oder eie Eigeschft, die vo eier türliche Zhl bhägt. Wir schreibe uch A(). We wir wisse, dss folgedes gilt: (1) Iduktiosbsis (Iduktiosverkerug): Die Aussge A gilt im Fll = 1 (ds heißt, es gilt A(1)), (2) Iduktiosschritt: itt Für jede türliche Zhl 1 folgt flt us A() die Aussge A(+1), d gilt die Aussge A für lle türliche Zhle 1. Erläuterug Bedeutug der vollstädige Iduktio: Um eie Aussge über uedlich viele Objekte chzuweise, muss m ur zwei Aussge beweise: Iduktiosbsis: A(1) Iduktiosschritt: A() A(+1) M et A() uch die Iduktiosvorussetzug Agewdte Mthemtik ud Progrmmierug 15

16 Vollstädige Iduktio Die hiter diesem Prizip stehede Philosophie ist die, dss m i objektiv kotrollierbrer Weise über eie Uedlichkeit ( lle türliche Zhle) spreche k. Die Bedeutug dieses Prizips, wurde zwische 1860 ud 1920 u.. vo Moritz Psch (Professor i Gieße) ud Giuseppe Peo (Professor i Turi) etdeckt. Problem (CF (C.F. Guß): =??? ( 1) S i 2 i0 Dh D.h für jede türliche Zhl 1 gilt: = (+1)/2. I Worte: Die Summe der erste positive gze Zhle ist gleich (+1)/2. Kosequez: M k die Summe gz eifch usreche, ud es pssiere kum Rechefehler Agewdte Mthemtik ud Progrmmierug 16

17 Vollstädige Iduktio Der Trick vo Guß: Guß ht die Summe icht so bestimmt, soder mit folgedem geile Trick: = = (+1). Also gilt = (+1)/2. Agewdte Mthemtik ud Progrmmierug 17

18 Beweis durch Vollstädige Iduktio: Beweis durch Vollstädige Iduktio: Beweis durch Iduktio ch. Die Aussge A() sei die Aussge des Stzes, lso: A(): = (+1)/2. Sowohl bei der Iduktiosbsis ls uch beim Iduktiosschritt zeige wir, dss i der etsprechede Gleichug liks ud rechts ds Gleiche steht. Iduktiosbsis: Sei = 1. D steht uf der like Seite ur der Summd 1, ud uf der rechte Seite steht 2 1/2, lso ebeflls 1. Also gilt A(1) Agewdte Mthemtik ud Progrmmierug 18

19 Beweis durch Vollstädige Iduktio: Iduktiosschritt: Iduktiosschritt: Sei eie türliche Zhl 1, ud sei die Aussge richtig für. Wir müsse A(+1) beweise, ds heißt, die Summe ( 1) + + (+1) bereche. Wir splte wir diese Summe uf: ( 1) + + (+1) = [ ( 1) + ] + (+1) = (+1)/2 + (+1) (ch Iduktio) = [(+1) + 2(+1)]/2 = (+2)(+1)/2. Isgesmt hbe wir die Aussge A(+1) bewiese. Somit gilt der Stz. Agewdte Mthemtik ud Progrmmierug 19

20 Weitere Beispiele: Vollstädige Iduktio Agewdte Mthemtik ud Progrmmierug 20