Wirtschafts- und Finanzmathematik

Transkript

1 Prof. Dr. Stefan Etschberger HSA Wirtschafts- und Finanzmathematik für Betriebswirtschaft und International Management Wintersemester 2016/17

2 Grundlagentest Mengen!

3 Testfrage: Mengen 1 Teilmengen Gegeben sind die Mengen X = { 1, 0, 1, 2}, Y 1 = {}, Y 2 = {0, 1}, Y 3 = {1, 0, 2} Welche Mengen sind Teilmengen von X? A Y 2 { 2} B Y 2 und Y 3 C {2} und Y 1 D Jedes Y i mit i = 1, 2, 3 E Ich habe kein oder ein anderes Ergebnis. Richtig: C

4 Testfrage: Mengen 2 Gegeben sind folgende Mengen: A = {2, 3, 4}, B = {4, 5, 6}, C = {4, 2} und D = {}. Welche Aussagen sind jeweils alle wahr? A 4 A, D C, A B = {4} B {4} A, D C, A B = 4 C 4 A, C D, A B = {4} D {4} A, D C, A B = {4} E Ich kann das nicht oder in jeder Variante stimmt was nicht. Richtig: A

5 Testfrage: Mengen 3 Wie viele Teilmengen der Buchstabenmenge M = {x, p, q, y} mit höchstens zwei Elementen gibt es? A 4 B 8 C 11 D 16 E was anderes Richtig: C

6 Testauswertung: Ihr Ergebnis: 3 Antworten richtig: Mengenmäßig ist alles in Ordnung! 2 Antworten richtig: Rechnen Sie die Aufgaben aus dem Buch! 1 Antwort richtig: Rechnen Sie die Aufgaben aus dem Buch! Keine Antwort richtig: Rechnen Sie die Aufgaben aus dem Buch! Übungsmaterial S. 64ff., Aufgaben aus

7 Gliederung 1 Grundlegende Bausteine 2 Aussagenlogik 3 Mengen 4 Folgen und Reihen 5 Reelle Funktionen 6 Differentialrechnung 7 Integration 8 Finanzmathematik 4 Folgen und Reihen Eigenschaften und Beispiele Konvergenz und Grenzwert Reihen 9 Lineare Algebra 10 Lineare Programme

8 Folgen und Reihen Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2016 Warum beschäftigen wir uns mit Folgen und Reihen? Analyse von Datensequenzen, insbesondere Modellierung diskreter, zeitlicher Entwicklungen (z.b. von Aktienkursen, Absatzmengen) Grundlage der Finanzmathematik (z.b. Zinseszinsrechnung, Tilgungsrechnung) wesentlich zum Verständnis der Konzepte der Stetigkeit und Differenzierbarkeit Wesentliche Lernziele: Verständnis der Begriffe Folgen und Reihen Fähigkeit Folgen und Reihen nach ihrer Art zu klassifizieren Kennenlernen typischer, insbesondere der Grenzwerteigenschaften von Folgen und Reihen Fähigkeit, diese Eigenschaften zu erkennen und nachzuweisen 1. Grundlagen 2. Aussagenlogik 3. Mengen 4. Folgen und Reihen 4.1. Eigenschaften und Beispiele 4.2. Konvergenz und Grenzwert 4.3. Reihen 5. Reelle Funktionen 6. Differenzieren 7. Integration 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra 10. Lineare Programme 78

9 Definition und Eigenschaften Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2016 Definition Eine Folge ist eine Abbildung a : N 0 R Schreibweise für Folgenglieder: a(0), a(1),... a 0, a 1,... Schreibweise für Folge: (a n ) n N0 oder (a n ) Eigenschaften von Folgen: Eine Folge heißt oder endlich (unendlich), falls Anzahl der Folgenglieder endlich (unendlich) ist gesetzmäßig gebildet, falls Folgenglieder einem Bildungsgesetz folgen, zum Beispiel: a n = 1 n+1 Leonardo von Pisa (ca ) rekursiv definiert, falls zur Berechnung eines Folgengliedes frühere Werte nötig sind Beispiel: a 0 = 0; a 1 = 1 und a n = a n 1 + a n 2 für n > 1 (Fibonacci-Folge) Spezielle Folgen Arithmetische Folge: (a n ) : a n+1 a n = d Geometrische Folge: (a n ) : n N 0 mit d R a n+1 a n = q n N 0 mit q R 1. Grundlagen 2. Aussagenlogik 3. Mengen 4. Folgen und Reihen 4.1. Eigenschaften und Beispiele 4.2. Konvergenz und Grenzwert 4.3. Reihen 5. Reelle Funktionen 6. Differenzieren 7. Integration 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra 10. Lineare Programme 79

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11 Geometrische Folge: Beispiel Schachspiel Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2016 Sissa ibn Dahir, der Erfinder des Schachspieles, darf sich vom indischen König Shihram eine Belohnung wünschen. Sein Wunsch: So viele Weizenkörner, wie man auf ein Schachbrett legen kann, wenn 1. Feld : a 0 = 1 Korn 2. Feld : a 1 = 2 Körner 3. Feld : a 2 = 4 Körner 4. Feld : a 3 = 8 Körner. n. Feld : a n 1 = 2 a n 2 Körner 1. Grundlagen 2. Aussagenlogik 3. Mengen 4. Folgen und Reihen 4.1. Eigenschaften und Beispiele 4.2. Konvergenz und Grenzwert 4.3. Reihen 5. Reelle Funktionen 6. Differenzieren 7. Integration 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra 10. Lineare Programme 80

12 Konvergenz und Grenzwert Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2016 Fragen: Bleiben Folgenglieder ab einem gewissen n in einen kleinen Bereich um einen festen Wert? Und: Kann man diesen Bereich beliebig verkleinern? Definition: a R heißt Grenzwert oder Limes von (a n ) ϵ > 0 n(ϵ) mit a n a < ϵ n > n(ϵ) 1. Grundlagen 2. Aussagenlogik 3. Mengen 4. Folgen und Reihen 4.1. Eigenschaften und Beispiele 4.2. Konvergenz und Grenzwert 4.3. Reihen 5. Reelle Funktionen Schreibweise für Grenzwert: lim n a n = a Existiert dieser Grenzwert, heißt die Folge konvergent Ist der Grenzwert a = 0, heißt die Folge Nullfolge Existiert kein Grenzwert, heißt die Folge divergent 6. Differenzieren 7. Integration 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra 10. Lineare Programme 81

13 Beispiel zur Definition des Grenzwerts Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2016 Gegeben: a n = n n+1 Vermutung: lim n a n = a = 1 Beweis: Wenn a = 1, dann folgt a n a = n n+1 1 < ϵ n n 1 n+1 = 1 n+1 < ϵ 1 ϵ < n ϵ 1 < n a n n(ϵ) Folge (a n ) mit n(ϵ) = 9 für ϵ = 0.1. Also: Für jedes ϵ findet man ein n(ϵ), so dass die Grenzwertbedingung stimmt Zum Beispiel: Wähle ϵ = 0.1 n > 1 ϵ 1 = = 10 1 = 9 ϵ ϵ n 1. Grundlagen 2. Aussagenlogik 3. Mengen 4. Folgen und Reihen 4.1. Eigenschaften und Beispiele 4.2. Konvergenz und Grenzwert 4.3. Reihen 5. Reelle Funktionen 6. Differenzieren 7. Integration 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra 10. Lineare Programme 82

14 Rechenregeln für Grenzwerte Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2016 Gegeben: lim n (a n) = a und lim n (b n ) = b kurz: (a n ) a und (b n ) b Dann gilt: 1. Grundlagen 2. Aussagenlogik 3. Mengen 4. Folgen und Reihen 4.1. Eigenschaften und Beispiele 4.2. Konvergenz und Grenzwert 4.3. Reihen (a n + b n ) a + b (a n b n ) a b (a n b n ) a b ( an b n ) a b (b 0) (a c n ) ac (a n > 0, a > 0, c R) (c a n ) c a (c > 0) 5. Reelle Funktionen 6. Differenzieren 7. Integration 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra 10. Lineare Programme 83

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16 Definition der Reihe Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2016 Gegeben: (a n ) unendliche Folge in R Dann heißt (s n ) mit s n = a 0 + a a n = eine unendliche Reihe. s n heißt n-te Partialsumme Klar ist: Reihen sind spezielle Folgen n a i n N 0 i=0 1. Grundlagen 2. Aussagenlogik 3. Mengen 4. Folgen und Reihen 4.1. Eigenschaften und Beispiele 4.2. Konvergenz und Grenzwert 4.3. Reihen Beispiel: (a n ) geometrische Folge (s n ) geometrische Reihe n a s n = a i ; mit n+1 = q a n i=0 Offensichtlich gilt: a n = a n 1 q = a n 2 q 2 =... = a 0 q n 5. Reelle Funktionen 6. Differenzieren 7. Integration 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra 10. Lineare Programme s n = n a 0 q i = a 0 (1 + q + q q n 1 q n+1 ) = a 0 i=0 1 q 84

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19 Geometrische Reihe: Beispiel Schachspiel Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2016 Summe aller Körner auf Schachbrett: s n = 63 i=0 Das bedeutet: 1 q 64 a i = a 0 1 q = , Körner = 1 g Weizen 1, g 1, kg 1, t = 180 Mrd. t 1 Güterwagon = 50 t Weizen 3,6 Mrd. Güterwagons 36 Mrd. m langer Eisenbahnzug 36 Mill. km 1. Grundlagen 2. Aussagenlogik 3. Mengen 4. Folgen und Reihen 4.1. Eigenschaften und Beispiele 4.2. Konvergenz und Grenzwert 4.3. Reihen 5. Reelle Funktionen 6. Differenzieren 7. Integration 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra 10. Lineare Programme 100-fache Entfernung zwischen Erde und Mond 85

20 Konvergenzkriterien für Reihen Gegeben: a i Folge, s n = Divergenzkriterium n i=1 a i Ist s n konvergent a i ist Nullfolge Also äquivalent dazu: Quotientenkriterium Bemerkung: Für a i ist keine Nullfolge s n divergent lim lim k lim k a k+1 k a k a k+1 a k a k+1 a k Spezialfall geometrische Reihe: a k+1 a k = q lim k < 1 s n konvergent > 1 s n divergent = 1 ist im Allgemeinen keine Aussage möglich a k+1 a k { q < 1 = q sn konvergent q 1 s n divergent Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS Grundlagen 2. Aussagenlogik 3. Mengen 4. Folgen und Reihen 4.1. Eigenschaften und Beispiele 4.2. Konvergenz und Grenzwert 4.3. Reihen 5. Reelle Funktionen 6. Differenzieren 7. Integration 8. Finanzmathematik 9. Lineare Algebra 10. Lineare Programme 86