E 3a Messungen mit dem Oszilloskop

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1 Fakultät für Physik und Geowissenschaften Physikalisches Grundpraktikum E 3a Messungen mit dem Oszilloskop Aufgaben 1. Charakterisieren Sie die an den Ausgängen einer Generatorbox anliegenden Spannungen bezüglich Signalform, Frequenz (Periodendauer) und Spitzenwert U ss mithilfe des Oszilloskops. Berechnen Sie die Effektivwerte U eff und vergleichen Sie diese Werte mit den Messwerten eines Digitalmultimeters. Überprüfen Sie mithilfe der Frequenz eines Funktionsgenerators (gemessen mit dem Digitalzähler) die Zeitbasis, welche zur Bestimmung der Frequenz der sinusförmigen Spannung verwendet wird. Ermitteln Sie ggf. einen korrigierten Wert der Zeitbasis. 2. Bestimmen Sie die Frequenz einer sinusförmigen Spannung durch die Erzeugung von Lissajous- Figuren aus dem Vergleich dieser mit der Sinusspannung bekannter Frequenz eines Funktionsgenerators. Wählen Sie dazu mindestens fünf verschiedene Frequenzverhältnisse aus. Geben Sie den Mittelwert der zu bestimmenden Frequenz an. 3. Messen Sie mit dem Oszilloskop das Ausschaltverhalten einer Widerstand-Kondensator-Schaltung unter Verwendung von Rechteckimpulsen. Bestimmen Sie die Zeitkonstante für drei Widerstandswerte. Vergleichen Sie experimentelle mit theoretisch berechneten Werten. 4. Für eine Reihenschaltung bestehend aus einem Kondensator mit der Kapazität C und einem Widerstand R ist mit einem Zweikanal-Oszilloskop bei zwei verschiedenen Frequenzen der Scheinwiderstand (Impedanz) experimentell zu ermitteln und mit dem berechneten Wert zu vergleichen. Literatur Physikalisches Praktikum, 13. Auflage, Hrsg. W. Schenk, F. Kremer, Elektrizitätslehre, 3.0, 3.1 Gerthsen Physik, D. Meschede, 22. Auflage, 8.2.1, H. Carter, Kleine Oszilloskoplehre Java-Applet Geräte und Zubehör Oszilloskop, Funktionsgenerator, Digitalmultimeter, Generatorbox, Labornetzgerät, Digitalzähler, Widerstand, Kondensator 1

2 Schwerpunkte zur Vorbereitung - Aufbau und Funktionsprinzip einer Elektronenstrahlröhre, Funktionseinheiten eines Oszilloskops - Zeitablenkung, Triggereinheit - Bewegung geladener Teilchen unter dem Einfluss eines elektrischen bzw. magnetischen Feldes - Spannungs-, Strom- und Periodendauermessung mit einem Oszilloskop - Effektivwerte von Strom und Spannung (Sinus-, Rechteck- und Dreieckspannung) - Frequenzmessungen unter Verwendung von Phasenbeziehungen (Lissajous-Figuren) - Widerstand-Kondensator-Schaltung (RC-Schaltung), Ladungsvorgänge am Kondensator (Zeitkonstante, Differentialgleichung) - Kirchhoffsche Regeln - Wechselstromwiderstand (Kapazität C, Reihenschaltung aus R und C) - Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom bei einer RC-Schaltung Bemerkungen Oszilloskop Machen Sie sich zu Beginn des Versuches mit einigen Grundeigenschaften des Zweikanal-Oszilloskops vertraut: Horizontal- und Vertikal-Ablenkung, AC- und DC-Betrieb, Triggerung (Level, Flankenrichtung +/-), Dual- und Chopper-Mode für Zweikanalbetrieb, XY-Betrieb. Periodische Spannungen Zur Charakterisierung von periodischen Spannungen (Abb. 1) ohne Gleichspannungsanteil wie Sinus-, Dreieck- und Rechteckspannungen dienen die Kennwerte Periodendauer T, Frequenz f = 1/T, Scheitelwert Uˆ, Spitze-Spitze-Wert U ss = 2Uˆ und Effektivwert U eff. Der Effektivwert entspricht der Größe einer Gleichspannung, die an einem gegebenen Widerstand die gleiche elektrische Leistung hervorruft wie diese Wechselspannung und kann wie folgt berechnet werden: 1 Ueff U² U( t)² dt T T 0 Dadurch ergeben sich für die in Abb. 1 dargestellten Spannungsverläufe verschiedene Effektivwerte. Abb. 1 Sinus-Wechselspannung Dreieck-Wechselspannung Rechteck-Wechselspannung U Uˆ / 2 U / 2 2 U Uˆ / 3 U / 2 3 U ˆ eff U Uss /2 eff ss eff ss 2

3 Lissajous-Figuren Bei der Arbeit mit dem Oszilloskop erhält man Lissajous-Figuren, indem man jeweils an den x- und y- Eingang eine Wechselspannung anlegt. Stehen die Frequenzen dieser Spannungen in einem rationalen Verhältnis zueinander, so entstehen klare stehende Figuren; unterscheidet sich das Frequenzverhältnis jedoch minimal von einer rationalen Zahl, so bewegen sich diese Figuren. Auf diese Weise ist es möglich, minimale Frequenzunterschiede sicht- und messbar zu machen. Unbekannte Frequenzen können bestimmt werden, indem man diese an den einen Kanal des Oszilloskops anlegt und mit einer an dem anderen Kanal angelegten regelbaren Frequenz (Funktionsgenerator) überlagert. Stellt man diese nun so ein, dass Lissajous-Figuren entstehen, so kann man aus diesen, wie in Abb. 2 dargestellt, das Verhältnis aus bekannter und unbekannter Spannung ablesen Abb. 2 Frequenzvergleich anhand von Lissajous-Figuren (Frequenz-verhältnis f y /f x ) a) f y /f x = 1:1 b) f y /f x = 2:1 c) f y /f x = 3:1 d) f y /f x = 1:3 e) f y /f x = 3:2 f) f y /f x = 5:2 Lade- und Entladevorgänge eines Kondensators An eine Reihenschaltung bestehend aus einem Kondensator der Kapazität C und einem Widerstand R wird zum Zeitpunkt t 0 eine Rechteckspannung angelegt, es fließt ein Strom It () der den Kondensator auflädt. Die Spannung UC () t, die am Kondensator gemessen wird, ist anfangs Null und steigt dann bis zum Maximalwert U 0. Nach dem zweiten Kirchhoffschen Satz ist die Summe aus den Spannungen, die am Kondensator ( Uc Q / C ) und am Widerstand ( UR RI ) anliegen, gleich der Quellenspannung U 0. Für den Strom gilt I dq / dt, außerdem ist Q CUC. Es folgt eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung: du dt C 1 ( UC U RC 0 ) Diese soll durch Trennung der Variablen gelöst werden, wodurch man folgendes Gesetz für die Spannung am Kondensator erhält. C ( ) 0 1 exp t U t U RC 3

4 Beim Entladevorgang verfährt man analog und erhält unter Beachtung der veränderten Anfangsbedingungen (Integrationsgrenzen) folgendes Gesetz U t C ( ) U0 exp t RC Die Relaxationszeit ist die Zeit, nach der bei exponentiell verlaufenden Abklingvorgängen die betrachtete Größe auf den e-ten Teil (ca. 37%) der Differenz zwischen Anfangs- und Endwert abgesunken ist. Sie charakterisiert, wie schnell sich ein System erholt. Beim Kondensator ist diese beim Auf- sowie beim Entladen wie folgt definiert RC RC Aus praktischen Gründen ist es einfacher, die Halbwertszeit 1/2 zu ermitteln und daraus über die Relation RC 1/2 /ln(2) die Relaxationszeit zu bestimmen. Theoretisch benötigt der Kondensator zum Auf- bzw. Entladen unendlich viel Zeit. Eine gute Genauigkeit erhält man trotzdem unter Beachtung, dass die Periodendauer der Rechtecksspannung groß ist gegenüber der Zeitkonstante. Ist diese Bedingung nicht erfüllt, dann startet die Aufladung mit der Spannung U min 0 und erreicht nur die Spannung U max U 0, das Oszilloskopbild ist also nur ein Ausschnitt aus den Zeitfunktions-Kurven UC () t. Dieser Sachverhalt ist in Abb. 3 dargestellt. Abb. 3 Spannungsverlauf eines Kondensators beim unvollständigen Auf- und Endladevorgang Bestimmung der Zeitkonstanten mithilfe des Oszilloskops Zur oszilloskopischen Bestimmung der Zeitkonstanten RC einer RC-Schaltung ist die erforderliche Schaltung, wie in Abb. 4 dargestellt, aufzubauen. Am Funktionsgenerator wird eine Rechteckspannung mit ca. 100 Hz eingestellt. Mit dem Amplitudenregler ist bei einer geeigneten Y- Verstärkung das Signal maximal auf dem Bildschirm darzustellen. Um auf dem Schirm die Lade- und Entladungskurve zu beobachten, arbeitet man im Zweikanalbetrieb (Dual und Add gedrückt). Anschließend ermittelt man das Zeitintervall für 1/2. Zur Kontrolle ist der Wert für RC zu berechnen. 4

5 Abb. 4 Messschaltung Bestimmung der Zeitkonstanten einer RC-Schaltung (RC-Reihenschaltung; Kondensator C = 0.47 µf; Dekadenwiderstand z. B. R = 3 k) Da die Entladung des Kondensators nur bis Umin 0 betrachtet wird, ist auf die Bezugslinien ( U U max und U 0 ) zu achten. Dafür wird das Zweikanal-Oszilloskop ohne Eingangssignal angeschlossen und kontrolliert, ob die beiden Nulllinien exakt übereinander geschrieben werden. Außerdem ist darauf zu achten, dass beide Y-Verstärker mit Gleichspannungskopplung (DC) an die Messschaltung angeschlossen sind. Bestimmung von Scheinwiderständen In einem Wechselstromkreis führen die Lade- und Entladevorgänge am Kondensator zu einem Wechselstrom-Blindwiderstand (auch Reaktanz genannt) ZC 1/ 2π f C 1/ C wobei = 2 f die Kreisfrequenz ist. Da für eine Spannung an einem Kondensator zunächst ein Strom fließen muss, tritt das Spannungsmaximum der Kondensatorspannung später als das Strommaximum auf, es kommt zu einer sogenannten Phasenverschiebung = -90 o. Abb. 5 Messschaltung Bestimmung von Scheinwiderständen Betrachtet man die Reihenschaltung eines Kondensators der Kapazität C mit einem Widerstand R (Abb. 5), ergibt sich für diese Schaltung ein (Wechselstrom-) Scheinwiderstand (oder Impedanz) 5

6 Z R Z R C RC C 1/( ). Eine an die RC-Schaltung angelegte Wechselspannung U 1 (t) = U ˆ 1 sin( t) erzeugt einen Strom I(t), der mit einer Spannungsmessung U 2 (t) an dem Widerstand R bestimmt werden kann (Abb. 5), weil an einem Widerstand der Zeitpunkt des Spannungsmaximums identisch mit dem des Strommaximums ist, also keine Phasenverschiebung existiert. Aus dem Ohmschen Gesetz folgt: 2 2 I( t) U 2( t)/ R ( Uˆ ˆ 1 / ZRC)sin( t ) U1 / R 1/( C) sin( t ) mit tan-1/( RC ). Bei dem hier aus der Reihenschaltung eines Kondensators mit einem Widerstand gebildeten Scheinwiderstand tritt demzufolge beim Anlegen einer Wechselspannung eine Phasenverschiebung mit 0-90 o zwischen Spannung und Strom auf. Die Eigenschaften dieser Reihenschaltung werden mit der in Abb. 5 dargestellten Schaltung ermittelt, wobei als Wechselspannungsquelle ein Funktionsgenerator (FG) und als Spannungsmessgerät ein Zweikanal-Oszilloskop verwendet werden. Letzteres misst die Quellenspannung des Funktionsgenerators und die Spannung an dem Widerstand R. Aus dem Bild der gemessenen Spannungsverläufe können die Größe der Spitze-Spitze-Werte U 1ss und U 2ss sowie die Zeitverschiebung t abgelesen werden. Hieraus ergibt sich der Scheinwiderstand Z U / I R( U / U ). RC eff eff 1ss 2ss Es ist für die Frequenzen 100 Hz und 300 Hz die Impedanz der RC-Reihenschaltung (R = 3 k, C = 0.47 F) experimentell zu bestimmen und mit dem berechneten Wert der Impedanz bei bekannten Werten für die Kapazität und für den Widerstand zu vergleichen. Abb. 6 Verlauf zweier Sinusspannungen 6

7 Grundprinzipien eines Oszilloskops Abbildung 7 zeigt das Blockdiagramm eines Oszilloskops. Die Elektronenröhre ist der zentrale Baustein. Der von der Elektronenkanone ausgehende fokussierte Elektronenstrahl passiert zwei Anordnungen von Ablenkplatten auf seinem Weg zum phosphoreszierenden Bildschirm. Der Schirm sendet an den Punkten, an denen der Strahl aufschlägt, Licht aus. Die horizontalen und vertikalen Spannungsverstärker legen Spannungen an die Ablenkplatten an, deren resultierendes elektrisches Feld den Elektronenstrahl zu jedem Punkt des Bildschirms ablenken kann. Auf diese Weise führt eine Sägezahnspannung (u x ) zu einer horizontalen Ablenkung des Leuchtpunkts, die sich mit konstanter Geschwindigkeit von links nach rechts über den Schirm bewegt, so dass die horizontale Position proportional zum Zeitverlauf ist. Falls simultan ein senkrechtes Spannungssignal, z.b. ein Sinussignal der Form u y =U 0 sin(2t/t) angelegt wird, so wird eine Sinusfunktion auf dem Bildschirm abgebildet. Wenn jedoch die Sägezahn- und die Sinusspannung nicht synchron verlaufen, dann liegen aufeinanderfolgende Bilder auf dem Schirm nicht übereinander. Um dieses Problem zu beheben, wird die Sägezahnspannung durch einen Trigger ausgelöst. Wenn der Schalter zur Wahl der Triggereinstellungen auf internal steht, startet der Trigger, wie in Abbildung 8 gezeigt, bei einem bestimmten Spannungswert und der entsprechenden Flanke. Das führt dazu, dass beide Spannungssignale synchronisiert sind und das Bild auf dem Schirm stationär ist. Abb. 7 a b c d e f g Kathode Wehnelt-Zylinder Elektronenlinse Anode vertikale Ablenkplatten horizontale Ablenkplatten Leuchtschirm Abb. 8 (a) Verlauf der Sägezahnspannung (b) Verlauf Der Sinusspannung Rot hervorgehoben ist der auf dem Schirm geschriebene Teil der Sinusfunktion. 7

8 Die Ablenkempfindlichkeit s ist definiert als Verhältnis der Ablenkung des Elektronenstrahls b zur angelegten Spannung U p : b Llp s U 2dU. p In dieser Gleichung bezeichnet L den Abstand zwischen der Mitte der Kondensatorplatten und dem Bildschirm, l P die Länge der Kondensatorplatten, d den Abstand zwischen den Ablenkplatten und U a die Beschleunigungsspannung (Anodenspannung). Das Inverse der Ablenkempfindlichkeit s heißt Ablenkkoeffizient a. Unter der Annahme, dass das elektrische Feld zwischen den Kondensatorplatten homogen ist, d.h. E p = U p / d, lässt sich obige Gleichung folgendermaßen herleiten: a Abb. 9 Ablenkung eines Elektrons im homogenen elektrischen Feld z-richtung : konstante Geschwindigkeit, z = v oz t oz 2e U m e a y-richtung : konstante Beschleunigung, y = a y t 2 /2 e ay E m Ortsgleichung: Ablenkwinkel (t) : eep Up y z z 2 2m 4U d tan e p 2 2 e oz a ee y p oz m e oz lu p p Ablenkwinkel am Ende der Kondensatorplatten (t = l p /v oz ): tan 2dU t a Ablenkung auf dem Bildschirm: b y l L tan e U l L l L U p p p p p A 2 2 me d oz 2d Ua, mit y A = y(z = l p ). 8

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