T4p: Thermodynamik und Statistische Physik Prof. Dr. H. Ruhl Übungsblatt 8 Lösungsvorschlag

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1 T4p: Thermodynamik und Statistische Physik Pro Dr H Ruhl Übungsblatt 8 Lösungsvorschlag 1 Adiabatengleichung Als adiabatische Zustandssänderung bezeichnet man einen thermodynamischen organg, bei dem ein System von einem Zustand in einen anderen überührt wird, ohne Wärme mit seiner Umgebung auszutauschen (δq = 0) Aus dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik olgt damit ür einen adiabatischen Prozess de = δa (1) Für ein ideales Gas aus N Molekülen ist die innere Energie gegeben durch: E(T ) = 2 Nk BT Hierbei ist die Anzahl der Freiheitsgrade pro Molekül (zb Translation, Rotation und Schwingung), T die absolute Temperatur und k B die Boltzmann-Konstante Die Relation E = E(T ) bezeichnet man als kalorische Zustandsgleichung, wohingegen die Relation p = Nk B T als thermische Zustandsgleichung (eines idealen Gases) bezeichnet wird a) Zeigen Sie, dass ür einen adiabatischen Prozess eines idealen Gases T /2 = const gilt Setzen Sie dazu die kalorische und thermische Zustandsgleichung in (1) ein und integrieren sie die resultierende Gleichung Aus dem 1 Hauptsatz wissen wir, dass de = δa = pd ür einen adiabatischen Prozess gilt Aus der kalorischen Zustandsgleichung wissen wir: de = 2 Nk BdT Weiterhin olgt aus der thermischen Zustandsgleichung sodass δa = pd = Nk BT dt 2 T = d gilt Integriert man nun beide Seiten, so erhält man 2 ln T = ln 0 T 0 d,

2 oder äquivalent dazu woraus ( T T 0 ) /2 = 0, T /2 = T /2 0 0 = const (2) olgt b) Zeigen Sie mit dem Ergebnis aus a), dass auch +2 p = const ür einen adiabatischen Prozess gilt Wir verwenden die thermische Zustandsgleichung, um T in (2) zu eliminieren: ( p ) /2 = C 1, Nk B wobei C 1 eine Konstante ist Daraus olgt: p /2 /2+1 = (Nk B ) /2 C 1 =: C 2, wobei C 2 eine neue Konstante ist Nun nehmen wir noch beide Seiten hoch 2/: p ( 2 +1) 2 = p κ = C 2 2 =: C 3, wobei wir den Adiabatenexponent κ := +2 ist deiniert haben und C 3 eine neue Konstante 2 Der Carnot-Prozess Der Carnot-Prozess ist ein idealisierter Kreisprozess, bei dem ein ideales Gas in einem ansonsten vollkommen wärmeisolierten Zylinder eingeschlossen ist, wobei sich an der Oberseite ein verschiebbarer Stempel beindet Weiterhin sei die Unterseite des Zylinders, je nach Arbeitsschritt, ein heißes Wärmereservoir mit Temperatur T H, komplett isoliert, sodass kein Wärmeaustausch zwischen dem Gas und der Umgebung stattinden kann oder ein kaltes Wärmereservoir mit Temperatur T K Die einzelnen Arbeitsschritte seien dabei reversibel, das heißt quasistatisch (so langsam, dass das System eine Folge von Gleichgewichtszuständen durchläut) und ohne Reibung: A : Eine isotherme Expansion bei Kontakt mit dem heißen Wärmereservoir mit Temperatur T H vom olumen 1 nach B : Eine adiabatische Expansion von T H au T K und von nach C : Eine isotherme Kompression bei Kontakt mit dem kalten Wärmereservoir mit Temperatur T H vom olumen nach 4 D : Eine adiabatische Kompression von T K au T H und von 4 au 1

3 a) Zeichnen Sie das P Diagramm ür den Carnot-Prozess b) Berechnen Sie die in den jeweiligen Schritten am Gas verrichtete Arbeit Hinweis: erwenden Sie ür die adiabatischen Schritte die kalorische Zustandsgleichung A: A: Für die Isotherme haben wir dt = 0 de = 0 und somit gilt ür die Arbeit A 1 2 = 2 1 pd = Nk B T H ln 1 B: Für die Adiabate haben wir δq = 0 δa = de = 2 Nk BdT und somit gilt ür die Arbeit A 2 3 = 2 Nk B(T H T K )

4 C: D: Analog erhalten wir: 4 A 3 4 = Nk B T K d = Nk B T K ln 4 A 4 1 = 2 Nk B(T H T K ) c) Berechnen Sie die abgegebene und augenommene Wärme Da ür die Adiabaten δq = 0 gilt, haben wir Q 2 3 = Q 4 1 = 0 Für die beiden anderen Schritte gilt: Q 1 2 = A 1 2 = Nk B T H ln 1 > 0 Q 3 4 = A 3 4 = Nk B T K ln 4 < 0 Also wird nur im Schritt 1 2 Wärme augenommen d) Bestimmen Sie den Zusammenhang der Größen p, und T am Anang und Ende jedes Teilschrittes Zeigen Sie damit, dass gilt 4 = 1 Für eine Isotherme gilt p = const und ür eine Adiabate gilt p κ = const Damit haben wir olgende Relationen: p 2 = p 1 1 (3) p 2 2 κ = p 3 3 κ (4) p 3 = p 4 4 (5) p 1 κ 1 = p 4 κ 4 (6) Wenn man nun (4) durch (3) und (6) durch (5) teilt, erhält man 2 = p 33 κ p = p 11 κ p 3 κ 1 κ 1 Multipliziert man nun diese beiden Gleichungen miteinander, olgt ( 4 ) κ 1 = ( 1 ) κ 1 4 = 1 (7)

5 e) Der Wirkungsgrad ür eine Wärmekratmaschine ist deiniert als η = abgegebene Arbeit zugeührte Wärmemenge = Berechnen Sie η Carnot ür den Carnot-Prozess A Q zugeührt Die gesamte am Gas geleistete Arbeit ist: ( A = A A A A 4 1 = Nk B T H ln 1 + T K ln ) 3 4 Dies lässt sich mit Hilte von (7) umormen: Damit berechnet sich der Wirkungsgrad zu A = Nk B (T H T K ) ln 1 η Carnot = A = Nk B (T H T K ) ln 1 Q 1 2 Nk B T H ln 1 = 1 T K T H