B. Schaltalgebra, Kombinatorische Logik

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "B. Schaltalgebra, Kombinatorische Logik"

Transkript

1 B. Schaltalgebra, Kombinatorische Logik B.1. Einordnung Elektrische Grundgesetze & Signale. Zustandslose logische Funktionen. Entwurf & Optimierung. Signalausbreitung. Höhere Informatik Systemprogrammierung: - Betriebssystemkonzepte, Ein- & Ausgabe E Architektur: - Recherarch., Instruktionssatz, Mikroarchitektur F G K H J I Digitaltechnik Rechnerarithmetik: - Zahlendarstellung, Operatoren, Konvertierung... Digitale Schaltungen: - Zustandsmasch., Zähler, ALU, PLA, Optimierung Digitale Logik: - Gatter, digitale Signale, Signalausbreitung... C D B Elektronik B-1 Technische Informatik 2, Winter 2009/10, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

2 B.2. Digitale elektrische Schaltungen B.2.1 Einfache Lampenschaltung Strom kann nur bei geschlossenem Stromkreis fließen. Schalter mit zwei Zuständen: Schalter aus : Lampe bleibt dunkel Strom fließt nicht. Schalter ein : Lampe leuchtet Strom fließt B-2 Technische Informatik 2, Winter 2009/10, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

3 B.2.2 Einfache Serieschaltung Zwei Schalter in Reihe, vier Zustände. Lampe leuchtet nur dann, wenn der erste und der zweite Schalter geschlossen sind. Nur dann B-3 Technische Informatik 2, Winter 2009/10, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

4 B.2.3 Einfache Parallelschaltung Zwei parallele Schalter, vier Zustände. Lampe leuchtet, wenn der erste oder der zweite Schalter geschlossen sind. B-4 Technische Informatik 2, Winter 2009/10, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

5 B.2.4 Komplexere Schaltung N Schalter, 2N Zustände. Wann leuchtet die Lampe? => (((A or B) und D) or (C und E) ) und ((( F or G or H) und K ) or (I or J )) B-5 Technische Informatik 2, Winter 2009/10, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

6 B.2.5 Logische Interpretation physikalischer Grössen Bisher: Stromkreis, Schalter und Lampe Modellvorstellung: Zustand der Schalter Schaltung bzw. Anordnung der Schalter Ausgabe- Signale Zwei Zustände aus dem Blickwinkel der binären Logik: wahr oder falsch, true oder false, 0 oder 1. Schaltfunktion Argumentvariablen Funktionswerte B-6 Technische Informatik 2, Winter 2009/10, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

7 B.2.6 Elektronisch/physikalische Realisierung der Zustände: Unterschiedlichste Technologien möglich: mechanisch, optoelektronisch, elektromechanisch => heute überwiegend elektronisch, Fluidics. Abbildung der binären Zustände: Kontakt hergestellt oder Kontakt offen, 0 Volt oder -5 Volt Spannung, Transistoren als Schalter => Elektrische Ladung, Magnetisierung => Perforation, Licht, Bio... B-7 Technische Informatik 2, Winter 2009/10, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

8 B.3. Digitale logische Systeme B.3.1 Elementare logische Funktionen Logische Funktion tritt in den Vordergrund: Elektronik wird weniger wichtig, Konjunktion, Disjunktion, Negation, UND, ODER, NOT... Wahrheitstabellen ( Truth Tables ): UND ODER NOT A B Y A B Y A Y Komplexere Funktionen durch zusammengeschaltete Funktionen/Gatter B-8 Technische Informatik 2, Winter 2009/10, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

9 B.3.2 Und-Gatter ( AND-Gate ) Das Resultat Y ist true, falls Eingabe A true ist und Eingabe B true ist. Implementieren die Konjunktion von zwei oder mehr Eingabevariablen: zwei Parameter: mehrere Parameter: A B Y A A 1 A 2 A 3... A N... B Y A B & Y Alternative Schreibweisen: Y = A & B Y = A B Y = A B Y = A B Y = A 1 & A 2 & A 3 &... & A N Y = A 1 A 2 A 3... A N Y = A 1 A 2 A 3... A N Y = A 1 A 2 A 3... A N Y B-9 Technische Informatik 2, Winter 2009/10, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

10 B.3.3 Oder-Gatter ( OR-Gate ) Das Resultat Y ist true, falls Eingabe A true ist oder Eingabe B true ist. Implementieren die Disjunktion von zwei oder mehr Eingabevariablen: zwei Parameter: mehrere Parameter: A B Y A A 1 A 2 A 3... A N... B Y A B Y Y Alternative Schreibweisen: Y = A B Y = A B Y = A + B Y = A B Y = A 1 A 2 A 3... A N Y = A 1 A 2 A 3... A N B-10 Technische Informatik 2, Winter 2009/10, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

11 B.3.4 Nicht-Gatter ( NOT-Gate ) Das Resultat Y ist true, genau wenn Eingabe A false ist. Implementieren die Negation/Komplement: Nur ein Parameter ist sinnvoll, NOT als unärer Operator. A Y A Y A Y A Y Alternative Schreibweisen: Y = A Y = A Y =! A Y = A B-11 Technische Informatik 2, Winter 2009/10, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

12 B.3.5 Realisierung einer Gatterfunktion Aufbau eines Und-Gatters z.b. elektrische Implementierung mit Relais kein Stromfluss möglich => 0 Stromfluss möglich => 1 Y A B B-12 Technische Informatik 2, Winter 2009/10, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

13 B.3.6 Logische Schaltungen Zusammenschalten mehrere elementarer Gatter zu einer Schaltung: Im allgemeinen mehrere Eingänge und mehrere Ausgänge, Y = (!B & C) (A & B) (!A & B & C) (A &!B &!C) X = (!B & C) (!A & B) B-13 Technische Informatik 2, Winter 2009/10, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

14 B.3.7 Logische Schaltungen: Beispiel 2: A X B C Y Problemkreise: NOT ( A & B ) oft billiger als ( A & B ), Nachweis der Äquivalenz von Schaltungen, Synthese von Schaltungen aus Wahrheitstabelle, minimaler Aufbau von Schaltungen (Kostenersparnis), => Boole sche Algebra. B-14 Technische Informatik 2, Winter 2009/10, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

15 B.4. Boolesche Algebra Von George Boole 1854 entwickelte Algebra drei Operationen: + und und (bzw. und & und! ) zwei Werte: 0 und 1 Vier Axiome (nach Huntington, 1904): 1. Neutrale Elemente 0 und 1: A + 0 = A A 1 = A 2. Komplementäres Element: A + A = 1 A A = 0 3. Kommutativität: A + B = B + A A B = B A 4. Distributivität: A ( B + C) = A B + A C A + ( B C) = ( A + B) ( A + C) B-15 Technische Informatik 2, Winter 2009/10, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

16 B.4.1 Wichtige Sätze Aus den Axiomen beweisbar, evtl. mittels einer Wahrheitstafel... Doppeltes Komplement: ( A ) = Komplementäre Werte: 0 = 1 ; 1 = 0 Idempotenz: Absorption: Satz von De Morgan: A A A = A; A + A = A ( A + B) = A ; A + ( A B) = ( A B) = A + B ; ( A + B) = Assoziativität: A ( B C) = ( A B) C; A + ( B + C) = ( A + B) + Abgeschlossenheit: Boolesche Operationen liefern nur boolesche Werte als Ergebnis Dualität Für jede aus den Axiomen ableitbare Aussage gibt es eine duale Aussage, die durch Tausch der Operationen + und sowie durch Tausch der Werte 0 und 1 entsteht. C A A B A B-16 Technische Informatik 2, Winter 2009/10, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

17 B.4.2 Schaltalgebra Boolesche Algebra für logische Schaltungen Zustand 0 bzw. false, Zustand 1 bzw. true, Operation NICHT bzw.,,! : = Operation ODER bzw. +,, : = Operation UND bzw.,, & : = Gesetze der Booleschen Algebra helfen bei Synthese von Schaltungen aus Wahrheitstabellen Nachweis der Äquivalenz von Schaltungen Minimisierung von Schaltungen B-17 Technische Informatik 2, Winter 2009/10, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

18 B.5. Schaltfunktionen Zweiwertige Funktion über zweiwertige Variablen: a Schaltfunktion f( a ) ( 0, 1 ) Allgemein: eindeutige Zuordnungsvorschrift zwischen den Wertekombinationen der Eingabevariablen und dem jeweiligen Ergebniswert bei n Eingabevariablen 2 n Kombinationsmöglichkeiten für mögliche Eingabewerte Darstellung der Funktion durch boolesche Ausdrücke: Variablen und Operationen aus der booleschen Algebra, z.b. : f ( a, b, c) = a b + c B-18 Technische Informatik 2, Winter 2009/10, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

19 B.5.1 Wahrheitstafeln Tabellarische Darstellung der Zuordnung: f ( a, b, c) = a b + c a b c f(a,b,c) Anzahl der verschiedenen n-stelligen Schaltfunktionen: 256 dreistellige Schaltfunktionen, 16 zweistellige Schaltfunktionen, 4 einstellige.. B-19 Technische Informatik 2, Winter 2009/10, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

20 B.5.2 Vier einstellige Schaltfunktionen Name: Argument Null Negation Identität Eins Wahr- a f(a) f(a) f(a) f(a) heits tafel: Ausdruck: B.5.3 Sechzehn zweistellige Schaltfunktionen f i (a, b) Name: a b f 0 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f 8 f 9 f 10 f 11 f 12 f 13 f 14 f 15 Wahr heits tafel: Ausdruck: 0 > a < b = b a 1 B-20 Technische Informatik 2, Winter 2009/10, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

21 Funktionsnamen & -semantik: f0: Nullfunktion, f(a,b) = 0 f1: UND-Funktion, Konjunktion, logisches Produkt, f(a,b) = a & b = a b f2: Nur-Funktion, f(a,b) = a &!b f3: Links-Identität, f(a,b) = a f4: Nur-Funktion, f(a,b) =!a & b f5: Rechts-Identität, f(a,b) = b f6: XOR-Funktion, Exklusives Oder, Antivalenz,, f(a,b) =!(a=b) f7: ODER-Funktion, Disjunktion, logische Summe, f(a,b) = a b f8: NOR-Funktion, Peirce-Funktion, Negiertes ODER, f(a,b) =!(a b) f9: Äquivalenz-Funktion, f(a,b) = (a=b) f10: Rechts-Negation, f(a,b) =!b f11: Links Implikation, f(a,b) = a+!b = a b f12: Links-Negation, f(a,b) =!a f13: Rechts-Implikation, f(a,b) =!a+b = a b f14: NAND- bzw. Sheffer-Funktion, Negiertes UND, f(a,b) =!(a & b) f15: Einsfunktion, f(a,b) = 1 B-21 Technische Informatik 2, Winter 2009/10, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

22 B.5.4 Sheffer-Funktion (NAND) Ist in der Lage alle anderen Schaltfunktionen zu realisieren NAND (und NOR) leicht in Hardware realisierbar. Die drei grundlegenden Funktionen und alle anderen sind komponierbar : NICHT: ODER: UND: Neben der Sheffer-Funktion bildet auch die Peirce-Funktion (NOR) alle anderen Funktionen nach. B-22 Technische Informatik 2, Winter 2009/10, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

23 B.6. Darstellungsformen von Schaltfunktionen Wahrheitstabelle (NAND): A B Y Boolescher Ausdruck:!(A & B) bzw.!a!b Schaltung mit elementaren Gattern (UND, ODER, NICHT) oder mit anderen Gattern (XOR, NAND, NOR...): Problem der Mehrdeutigkeit: boolescher Ausdruck und Schaltung sind nicht eindeutig mehrere Ausdrücke (Schaltungen) repräsentieren die gleiche Schaltfunktion => Normalformen B-23 Technische Informatik 2, Winter 2009/10, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

24 B.6.1 Normalformen: Normierte Ausdrücke zur Darstellung von Schaltfunktionen. Produktterm: einfache Variable (evtl. negiert) Konjunktion einfacher Variablen (jeweils evtl. negiert) z.b.: a, c, abc, b d z, a b c Summenterm: analog zu Produktterm, jedoch Disjunktion z.b.: a, c, b d z, a + b + c, a b c Minterm: Produktterm, in dem jede Variable einer Schaltfunktion genau einmal vorkommt (einfach oder negiert): Hat fast immer den Wert 0 ( meistenfalls ), z.b.: ab cd, a b c d falls f ( a, b, c, d) Maxterm: Summenterm, in dem jede Variable einer Schaltfunktion genau einmal vorkommt (einfach oder negiert): Hat fast immer den Wert 1, z.b.: u + v + w, u + v + w falls f ( u, v, w) B-24 Technische Informatik 2, Winter 2009/10, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

25 disjunktive Normalform (DNF): Disjunktion von Produkttermen z.b.: ab abc cd kanonische disjunktive Normalform (KDNF): Disjunktion von Mintermen alle Variablen der Schaltfunktion kommen vor, z.b.: ab cd abcd abcd abcd falls f ( a, b, c, d) konjunktive Normalform (KNF): Konjunktion von Summentermen, z.b.: ( a + b) ( b + c + d) ( a + d) kanonische konjunktive Normalform (KKNF): Konjunktion von Maxtermen, alle Variablen der Schaltfunktion kommen vor, z.b.: ( a + b + c + d) ( a + b + c + d) ( a + b + c + d ) falls f ( a, b, c, d) B-25 Technische Informatik 2, Winter 2009/10, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

26 B.6.2 Hauptsätze der Schaltalgebra KDNF & KKNF sind bis auf Vertauschungen eindeutig (Kommutativität) Jede Schaltfunktion lässt sich als genau eine KDNF darstellen Für jedes f(a )=1 aus der Wahrheitstafel bilde man einen Minterm für die KDNF. Eine Variable ai wird invertiert, wenn die Variable für diesen Eintrag in der Wahrheitstabelle 0 ist, ansonsten Variable nicht invertiert einsetzen. a 0 a 1 a 2 resultat index index => a 0 a 1 a 2 B-26 Technische Informatik 2, Winter 2009/10, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

27 Jede Schaltfunktion lässt sich als genau eine KKNF darstellen Für jedes f(a)=0 aus der Wahrheitstafel benötigt man einen Maxterm für die KKNF. Eine Variable a i wird invertiert eingesetzt, wenn sie für diesen Eintrag in der Wahrheitstabelle 1 ist, ansonsten Variable nicht invertiert einsetzen. a 0 a 1 a 2 resultat index index => ( a 0 + a 1 + a 2 ) B-27 Technische Informatik 2, Winter 2009/10, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

28 Indizierung der KDNF- bzw. KKNF-Terme: KDNF( [ 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ] )= a 0 a 1 a 2 KKNF( [ 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ] ) = (a 0 + a 1 + a 2 ) Notation mit Argumentvektor a und Indexmaske m : KDNF( schfkt( a ) ) = KDNF( m ) = KDNF( [ m 0, m 1, m n-1 ] ) für n=2 m z.b. KDNF( [ 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0 ] ) es erscheinen Terme für die Zeilen 0,3,5,6 negiert: KDNF( [ 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1 ] ) es erscheinen Terme für die Zeilen 1,2,4,7 entsprechend auch für KKNF... z.b. KKNF( [ 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0 ] ) es erscheinen Terme für die Zeilen 0,3,5,6 negiert: KKNF( [ 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1 ] ) es erscheinen Terme für die Zeilen 1,2,4,7 Gegeben eine KDNF, erstelle eine äquivalente KKNF: für jeden nicht vorhandenen Term in der KDNF erscheint ein Term in der KKNF, die konstituierenden Terme in der KDNF erscheinen nicht in der KKNF, z.b. KDNF( [ 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0 ] ) = KKNF( [ 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1 ] ), bzw. KDNF( indexmaske ) = KKNF( indexmaske ) n.b. Indexmaske vom Resultatvektor unterscheiden. B-28 Technische Informatik 2, Winter 2009/10, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

29 B.7. Synthese von Schaltungen B.7.1 Vorgehen (ODER als Beispiel): 1. Aufstellen der Wahrheitstafel, 2. Bilden der KDNF (oder KKNF), 3. Aufbau der dazugehörigen Schaltung, Beispiel: zweistellige ODER-Funktion (siehe oben): KKNF( ODER(x) ) = a + b KDNF( ODER(x) ) = a b + a b + a b a b bzw. a b Vorsicht: Schaltung wird in aller Regel nicht minimal sein. B-29 Technische Informatik 2, Winter 2009/10, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

30 B.7.2 Beispiel 2: Eingabemelder Meldet, welche der 3 Eingabevariablen gesetzt ist. Zwei dreistellige Schaltfunktionen: Genau eine der Eingabevariablen kann 1 sein, Ergebnis ist Nummer der Eingabevariablen, (als Ergebnis zweier Schaltfunktionen). Wahrheitstafel (d für do not care ): a b c f2(a, b, c) f1(a, b, c) # d d d d d d d d KDNF(f2) = abc + abc KDNF(f1) = abc + abc B-30 Technische Informatik 2, Winter 2009/10, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

31 B.7.3 Beispiel: Siebensegmentanzeige Typische Anzeige für Ziffern. Eingabe-Parameter: binär codierte Zahl bzw. Ziffer. Gesucht: Schaltfunktionen zur Ansteuerung der Segmente. z.b. Schaltfunktion für die Ansteuerung des Segmentes d. B-31 Technische Informatik 2, Winter 2009/10, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

32 B.7.4 Aufstellung der Wahrheitstafel für Segment d: x3 x2 x1 x0 f(x3, x2, x1, x0) # Minterm x3 x2 x1 x x3 x2 x1 x x3 x2 x1 x x3 x2 x1 x x3 x2 x1 x x3 x2 x1 x x3 x2 x1 x Don't care a Don't care b Don't care f B-32 Technische Informatik 2, Winter 2009/10, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

33 B.7.5 Äquivalenz und Kanonische Normalformen Schaltfunktionen sind dann äquivalent, wenn sie sich auf dieselbe KDNF oder KKNF zurückführen lassen, wenn sie dieselbe Wahrheitstafel haben. KDNF bzw. KKNF eindeutig bis auf Vertauschungen (Kommutativität). KDNF für Anzeige-Segment d: (x3 x2 x1 x0) + (x3 x2 x1 x0) + (x3 x2 x1 x0) + (x3 x2 x1 x0) + (x3 x2 x1 x0) + (x3 x2 x1 x0) + (x3 x2 x1 x0) nur 1-Werte betrachten, Nullen und don t care -Werte ignorieren, Die vorliegende KDNF ist sicherlich nicht minimal, ungeeignet zur Übertragung in eine kostengünstige Schaltung. KKNF dazu: (x3 + x2 + x1 + x0) (x3 + x2 + x1 + x0) (x3 + x2 + x1 + x0) Weniger Terme, evtl. billiger als KDNF, Aber noch nicht günstig. B-33 Technische Informatik 2, Winter 2009/10, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

34 B.8. Umformungen nach Gesetzen der Boole schen Algebra Das Verhalten der Schaltfunktion bleibt unverändert. Nutzen: Nach Umformung eventuell günstigere/minimalere SF. Regeln aus B.4.1. (wiederholt): Doppeltes Komplement, Komplementäre Werte, Satz von De Morgan, Abgeschlossenheit, Assoziativität, Idempotenz, Absorption, Dualität. Ergänzende Regel: a b + a b = a (b + b) = a 1 = a B-34 Technische Informatik 2, Winter 2009/10, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

35 B.8.1 Minimisieren von Schaltfunktionen Suche nach einer minimalen Darstellung einer Schaltfunktion Was heisst minimal? - Größenbegriff notwendig: Verzögerung der logischen Signale durch die Schaltung? Anzahl der notwendigen Kontakte, Menge der notwendigen Gatter, Anzahl der notwendigen ICs, Anzahl der Variablen, Anzahl Euros, Kosten... Verzögerung? Minimisierung in der Technischen Informatik: (Darstellung der Verfahren üblich, weil diese sich so schön formalisieren lassen), Anzahl der erforderlichen booleschen Operationen als Kriterium, Flexiblere Kriterien in Optimierungsprogrammen. B-35 Technische Informatik 2, Winter 2009/10, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

36 B.8.2 Verfahren der Minimisierung Manuelles Minimisieren Umformen (z.b. der KDNF) nach den Regeln der Booleschen Algebra. Graphische Verfahren Händlersche Kreisgraphen Karnaugh-Veitch Diagramme geeignet für Schaltfunktionen mit wenigen Variablen. Algorithmisches Verfahren Verfahren nach Quine/McCluskey kann durch ein Programm angewandt werden geeignet für Schaltfunktionen mit vielen Variablen. Optimierende Programme: Kombinieren die simultane Erzeugung mehrerer Schaltfunktionen, Berücksichtigen die beabsichtigte Implementierungstechnologie, Evtl. Ermittlung zeitkritischer Pfade in der Schaltung, Komplexere, aber realistische Kostenfunktion, PLA Programmierung. B-36 Technische Informatik 2, Winter 2009/10, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

37 B.8.3 Manuelle Minimisierung einer ODER-Funktion Vergleiche C.7.1. KDNF( ODER(x) ) : = a b + a b + a b = a b + a ( b + b) = a b + a 1 = a b + a = a b + a + a b = ( a + a) b + a = b + a (Distributivität, Komplementarität, Absorption) a b bzw. a b B-37 Technische Informatik 2, Winter 2009/10, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

38 B.9. Karnaugh-Veitch-Diagramme Ausgangspunkt KDNF (oder KKNF) Rechteckschema je ein Feld für jeden möglichen Minterm (Maxterm) Anordnung der Felder erleichtert zusammenfassen benachbarter Felder bzw. Minterme Diagramm für zweistellige Schaltfunktion Funktion: f(a, b ) Diagramm: Vier Minterme für vier Felder. a a b a b a b b a b a b B-38 Technische Informatik 2, Winter 2009/10, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

39 B.9.1 Diagrammaufbau jede Variable halbiert das Diagramm in zwei zusammenhängende Teile, linker Teil für a rechter Teil für a: a a b a b a b b a b a b Variable a a a b a b a b b a b a b Variable b benachbarte Felder unterscheiden sich nur um das Vorzeichen einer Variablen in den beiden Mintermen. B-39 Technische Informatik 2, Winter 2009/10, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

40 B.9.2 Beispiel: Oder-Funktion Aufstellen der KDNF. Eintragung in das Diagramm: Eintragung einer 1, wenn Minterm benötigt wird, Eintragung einer 0, wenn Minterm nicht benötigt wird, Eintragung auch direkt aus Wahrheitstafel möglich. a a b 0 1 b 1 1 Markierung: möglichst weniger und möglichst großer zusammenhängender Bereiche mit 1en nur zusammenhängende rechteckige Bereiche mit 2n Elementen erlaubt alle 1 Felder müssen schließlich markiert sein Markierte Bereiche ergeben Produktterme, die summiert werden: F( a, b ) = a + b a a b 0 1 b 1 1 B-40 Technische Informatik 2, Winter 2009/10, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

41 B.9.3 Dreistellige Schaltfunktion mit Karnaugh-Veitch Karnaugh-Veitch-Diagramm für die dreistellige Schaltfunktion: Die einzelnen Variablen definieren eine eigene Halbierung des Diagramms Vorstellung: Diagramm ist an den Rändern zusammengeklebt, die Bereiche für!b gehören zusammen!a a!c c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c!b b!b B-41 Technische Informatik 2, Winter 2009/10, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

42 B.9.4 Beispiel: Eingabemelder Belegen des Diagramms aus der Wahrheitstafel für f2 aus C.7.2 Wahrheitstafel für Eingabemelder, Eintragung der don t care -Werte:!a a!c c 0 1 d 1 0 d d d!b b!b Markieren: Ziel: möglichst große Bereiche markieren don t care -Werte können mitmarkiert werden oder nicht, markierte don t care -Werte werden später zu 1, andere zu 0. markierte Bereiche ergeben Produktterme, die summiert werden: => f2( a, b, c ) = a + b B-42 Technische Informatik 2, Winter 2009/10, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

43 B.9.5 Karnaugh-Veitch-Diagramm für vierstellige Schaltfunktion Vier verschiedene Halbierungen durch die vier Variablen. 16 verschiedene Minterme.!a a!c c abcd abcd abcd abcd abcd abcd abcd abcd abcd abcd abcd abcd abcd abcd abcd abcd!d d!d!b b!b B-43 Technische Informatik 2, Winter 2009/10, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

44 B.9.6 Beispiel: 2x2-Multiplizierer Binärer Multiplizierer für 2 mal 2 Eingänge Linker Operand: zwei Eingänge a und b, Rechter Operand: zwei Eingänge c und d Binärdarstellung von Zahlen von 0 bis 3 bzw. 0 bis 15 vier Ausgänge y3, y2, y1 und y0, bzw. f3, f2, f1, f0. Mult a b c d y3 y2 y1 y0 0 x 0 = x 1 = x 2 = x 3 = x 0 = x 1 = x 2 = x 3 = x 0 = x 1 = x 2 = x 3 = x 0 = x 1 = x 2 = x 3 = B-44 Technische Informatik 2, Winter 2009/10, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

45 Markierungsregeln: rechteckige Bereiche mit 2n Elementen markieren Diagramm gilt als oben und unten zusammengenäht alle 1-Werte müssen markiert werden möglichst große Bereiche markieren möglichst wenig Bereiche markieren Karnaugh-Veitch-Diagramm für y0: a y0 = bd c d b Karnaugh-Veitch-Diagramm für y1: a y1 = bcd+abc+acd+abd c d b B-45 Technische Informatik 2, Winter 2009/10, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

46 Karnaugh-Veitch-Diagramm für y2: a y2 = abc+acd c d Karnaugh-Veitch-Diagramm für y3: b a y3 = abcd c d b B-46 Technische Informatik 2, Winter 2009/10, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

47 B.10. Schaltnetze B.10.1 Allgemein Erzeugen mehrere Schaltfunktionen simultan: Vgl. die Beispiele Eingabemelder, 2*2 Multiplizierer... Englisch: Combinational Networks, Eingangs- & Ausgangsvektor: f ( x ) = f 1 =( x 1, x 2,... x n ) f 2 =( x 1, x 2,... x n )... f m =( x 1, x 2,... x n ) Entspricht einer Schaltung mit mehreren Eingängen & Ausgängen: x 1 x 2 x 3... f 1 ( x ) f 2 ( x )... x n f m ( x ) B-47 Technische Informatik 2, Winter 2009/10, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

48 B.10.2 Systematik digitaler Schaltungen Ungetaktet Getaktet nur eine Fkt. Mehrere Fkt. <= Anzahl der Schaltfunktionen kombinatorische Logikschaltung sequentielle Logikschaltung kombinatorisches Schaltnetz sequentielles Schaltwerk Taktfolge Sequentielle Logik erst im nächsten Kapitel D: Zustandswechsel jeweils zum Taktzeitpunkt, Relevante innere Zustände... B-48 Technische Informatik 2, Winter 2009/10, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

49 B.10.3 Realisierung von Schaltnetzen über die Normalform Schaltnetz als gerichteter, azyklischer Graph: Gatter, bzw. deren Ein- und Ausgänge sind Knoten Verbindungsleitungen zw. Gattern sind Kanten, Richtung der Kanten von Ausgang zu Eingang. Gatterebenen: Einstufige mit nur einer Gatterebene: zweistufige mit zwei Gatterebenen: mehrstufige mit n Gatterebenen: Jedes Schaltnetz ist zweistufig realisierbar, und wenn Gatter mit genügend vielen Eingängen vorliegen, wenn alle Signale einfach & negiert vorliegen. B-49 Technische Informatik 2, Winter 2009/10, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

50 Anzahl der notwendigen Gatter bei n Eingängen max. 2n Und-Gatter pro Schaltfunktion mit bis zu n Eingängen (KDNF) ein Oder-Gatter mit bis zu 2n Eingängen Begründung mit KDNF: auch bei einer nicht kanonischen Normalform, DNF / KNF implizieren 2-stufige Realisierung, Variablen werden einfach oder negiert benutzt, Und-Gatter pro Minterm (erste Stufe), Oder-Gatter für alle Minterme, Hier Eingabemelder. Minimisierung: reduziert die Gatteranzahl, reduziert Anzahl Eingänge pro Gatter, für mehrere Schaltfunktionen des Schaltnetzes, Simultane Verwendung von Teilen der Gatterschaltung. z.b. Karnaugh-Veitch-Diagr. für mehrere Schaltfunktionen des Netzes. B-50 Technische Informatik 2, Winter 2009/10, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

51 B.11. Typische Schaltnetze B aus-k-Multiplexer, Selektierer Steuerleitungen weisen Eingabeleitungen wahlweise einem Ausgang zu: Die Steuerleitungen werden binär interpretiert, i = Summe( 2 n s n s 1 + s 0 ) Als Ausgabe y wird x i selektiert. Eingänge x0... xk Ausgang y Steuerleitungen s n... s 0 B-51 Technische Informatik 2, Winter 2009/10, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

52 Realisierung als DNF für 2 Binärstellen, ( n = ): Einsatzmöglichkeiten: insbesondere zur Selektierung von Eingangsoperanden für die ALU in MIPS-CPU, allgemein zur Anzeige und Auswahl verschiedener Datenquellen. B-52 Technische Informatik 2, Winter 2009/10, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

53 B zu-k-Demultiplexer Steuerleitungen weisen ein Eingabesignal dem gewählten Ausgang zu: Die Steuerleitungen werden binär interpretiert, i = Summe( 2 n s n s 1 + s 0 ) Die Funktion bzw. Ausgabevariable y i erhält den Wert x, Alle anderen y j entweder 0 oder do not care. Eingang x Ausgänge y0... yk Steuerleitungen s n... s 0 B-53 Technische Informatik 2, Winter 2009/10, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

54 Realisierung als DNF für zwei Binärstellen (n = 0..1): y 0 = s 1 s 0 x; y 1 = s 1 s 0 x; y 2 = s 1 s 0 x; y 3 = s 1 s 0 x; x y 0 y 1 y 2 s 0 s 1 y 3 B-54 Technische Informatik 2, Winter 2009/10, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

55 Einsatzmöglichkeiten für Mux & Demux: Zuordnung und Auswahl verschiedener Datensenken (CPU Register, E/A-Geräte), Verteilung von Telephongesprächen (unrealistisch): z.b. 2 Mbit/sec Demux z.b. 256*64 kbit/sec (max. 32 aktive ISDN Telephone) 8 Steuerleitungen z.b. 2 Mbit/sec Mux z.b. 256*64 kbit/sec (max. 32 aktive ISDN Telephone) 8 Steuerleitungen Multiplexer heisst so ungefähr Vielfachschaltung : Multiplexen = Vielfachbetrieb einrichten, zusammenfächern, Demultiplexen = Vielfachbetrieb auflösen. auseinanderfächern. B-55 Technische Informatik 2, Winter 2009/10, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

56 B.11.3 k-zu-n-kodierer, Encoder, Codierer Index i eines Eingangs x i wird ausgegeben: n ist die Anzahl der Binärstellen des Resultates (z.b. n=3), k ist der Indexbereich für die Eingänge, Eingänge (x 0, x 1,... x k-1 ) = x, k = 2 n genau eine Eingangsleitung auf 1 (x i ), Ausgänge (y 0,... y n-1 ) = y Ausgabe des Index i als Binärzahl: Index i = Summe( 2 n-1 y n y 1 + y 0 ) x 0 x 1 x 2 x 3... x k-1 Encoder y 0 y 1.. y n-1 z.b. 8 Interrupt-Requests werden als 3-Bit Wert codiert & weitergegeben. B-56 Technische Informatik 2, Winter 2009/10, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

57 Einfache Einsatzmöglichkeit: Anzeige der Fensterkontakte einer Einbrechermeldeanlage, Zwei Lämpchen für 3 Kontakte/Stromkreise, Kontakt 0 unbenutzt... Realisierung als DNF für n = 2, k = 4 : B-57 Technische Informatik 2, Winter 2009/10, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

58 B.11.4 n-zu-k-dekodierer, Decoder, Dekodierer n Eingänge selektieren genau einen von k Ausgängen: immer genau eine Ausgangsleitung auf 1, wenige Eingänge (x 0,... x n-1 ) = x viele Ausgänge (y 0, y 1,... x k-1 ) = y, k = 2 n Zahlendarstellung im Binärsystem: Index i = Summe( 2 n-1 x n x 1 + x 0 ) y o y 1 x o... x n-1 Decoder y 2 y 3... y k- 1 B-58 Technische Informatik 2, Winter 2009/10, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

59 Realisierung für n = 2, k = 4 als DNF: Einsatzmöglichkeit: Instruktionsdecodierung: 6 Bit Opcode kann 64 verschiedene Instruktionen codieren. B-59 Technische Informatik 2, Winter 2009/10, P. Schulthess, VS Informatik, Ulm

Teil 1: Digitale Logik

Teil 1: Digitale Logik Teil 1: Digitale Logik Inhalt: Boolesche Algebra kombinatorische Logik sequentielle Logik kurzer Exkurs technologische Grundlagen programmierbare logische Bausteine 1 Analoge und digitale Hardware bei

Mehr

Kombinatorische Logik. Einführung in die Technische Informatik Falko Dressler, Stefan Podlipnig Universität Innsbruck

Kombinatorische Logik. Einführung in die Technische Informatik Falko Dressler, Stefan Podlipnig Universität Innsbruck Kombinatorische Logik Einführung in die Technische Informatik Falko Dressler, Stefan Podlipnig Universität Innsbruck Überblick Analog- und Digitaltechnik Boolesche Algebra Schaltfunktionen Gatter Normalformen

Mehr

Grundlagen der Informationverarbeitung

Grundlagen der Informationverarbeitung Grundlagen der Informationverarbeitung Information wird im Computer binär repräsentiert. Die binär dargestellten Daten sollen im Computer verarbeitet werden, d.h. es müssen Rechnerschaltungen existieren,

Mehr

A.1 Schaltfunktionen und Schaltnetze

A.1 Schaltfunktionen und Schaltnetze Schaltfunktionen und Schaltnetze A. Schaltfunktionen und Schaltnetze 22 Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik II Bedeutung des Binärsystems für den Rechneraufbau Seit Beginn der Entwicklung von Computerhardware

Mehr

N Bit binäre Zahlen (signed)

N Bit binäre Zahlen (signed) N Bit binäre Zahlen (signed) n Bit Darstellung ist ein Fenster auf die ersten n Stellen der Binär Zahl 0000000000000000000000000000000000000000000000000110 = 6 1111111111111111111111111111111111111111111111111101

Mehr

5. Vorlesung: Normalformen

5. Vorlesung: Normalformen 5. Vorlesung: Normalformen Wiederholung Vollständige Systeme Minterme Maxterme Disjunktive Normalform (DNF) Konjunktive Normalform (KNF) 1 XOR (Antivalenz) X X X X X X ( X X ) ( X X ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1

Mehr

Physikalisches Praktikum für Vorgerückte. an der ETH Zürich. vorgelegt von. Mattia Rigotti Digitale Elektronik

Physikalisches Praktikum für Vorgerückte. an der ETH Zürich. vorgelegt von. Mattia Rigotti Digitale Elektronik Physikalisches Praktikum für Vorgerückte an der ETH Zürich vorgelegt von Mattia Rigotti mrigotti@student.ethz.ch 14.02.2003 Digitale Elektronik Versuchsprotokoll 1 Inhaltverzeichnis 1. Zusammenfassung...

Mehr

5. Aussagenlogik und Schaltalgebra

5. Aussagenlogik und Schaltalgebra 5. Aussagenlogik und Schaltalgebra Aussageformen und Aussagenlogik Boolesche Terme und Boolesche Funktionen Boolesche Algebra Schaltalgebra Schaltnetze und Schaltwerke R. Der 1 Aussagen Information oft

Mehr

Lösung 3.1 Schaltalgebra - Schaltnetze (AND, OR, Inverter)

Lösung 3.1 Schaltalgebra - Schaltnetze (AND, OR, Inverter) Lösung 3.1 Schaltalgebra - Schaltnetze (AND, OR, Inverter) Folgende Darstellung der Funktionen als Zusammenschaltung von AND-, OR- und Invertergattern ist möglich: a) F = X ( Y Z) b) F = EN ( X Y) ( Y

Mehr

Technische Informatik

Technische Informatik Vorlesung WS 25/6 Klaus Merle, ZDV, Universität Mainz [25ws-TI-A-Org.fm, 25-11-2 13.12] A Organisatorisches Klaus Merle, ZDV, Universität Mainz [25ws-TI-A-Org.fm, 25-11-2 13.12] A 1 1 Dozent Prof. Dr.

Mehr

Verwendet man zur Darstellung nur binäre Elemente ( bis lat.: zweimal) so spricht man von binärer Digitaltechnik.

Verwendet man zur Darstellung nur binäre Elemente ( bis lat.: zweimal) so spricht man von binärer Digitaltechnik. Kursleiter : W. Zimmer 1/24 Digitale Darstellung von Größen Eine Meßgröße ist digital, wenn sie in ihrem Wertebereich nur eine endliche Anzahl von Werten annehmen kann, also "abzählbar" ist. Digital kommt

Mehr

Konjunktive und disjunktive Normalformen

Konjunktive und disjunktive Normalformen Konjunktive und disjunktive Normalformen Nachdem gesprochen wurde, wie man Boolesche Terme unter einer Belegung der Variablen interpretiert und dass somit jeder Boolesche Term eine Boolesche Funktion repräsentiert,

Mehr

Teil II. Schaltfunktionen

Teil II. Schaltfunktionen Teil II Schaltfunktionen 1 Teil II.1 Zahlendarstellung 2 b-adische Systeme Sei b IN mit b > 1 und E b = {0, 1,..., b 1} (Alphabet). Dann ist jede Fixpunktzahl z (mit n Vorkomma und k Nachkommastellen)

Mehr

Kapitel 3: Boolesche Algebra

Kapitel 3: Boolesche Algebra Inhalt: 3.1 Grundlegende Operationen und Gesetze 3.2 Boolesche Funktionen u. u. ihre Normalformen 3.3 Vereinfachen von booleschen Ausdrücken 3.4 Logische Schaltungen 3.1 Grundlegende Operationen und Gesetze

Mehr

Signalverarbeitung 1

Signalverarbeitung 1 TiEl-F000 Sommersemester 2008 Signalverarbeitung 1 (Vorlesungsnummer 260215) 2003-10-10-0000 TiEl-F035 Digitaltechnik 2.1 Logikpegel in der Digitaltechnik In binären Schaltungen repräsentieren zwei definierte

Mehr

Informatik A (Autor: Max Willert)

Informatik A (Autor: Max Willert) 2. Aufgabenblatt Wintersemester 2012/2013 - Musterlösung Informatik A (Autor: Max Willert) 1. Logik im Alltag (a) Restaurant A wirbt mit dem Slogan Gutes Essen ist nicht billig!, das danebenliegende Restaurant

Mehr

9 Multiplexer und Code-Umsetzer

9 Multiplexer und Code-Umsetzer 9 9 Multiplexer und Code-Umsetzer In diesem Kapitel werden zwei Standard-Bauelemente, nämlich Multiplexer und Code- Umsetzer, vorgestellt. Diese Bausteine sind für eine Reihe von Anwendungen, wie zum Beispiel

Mehr

183.580, WS2012 Übungsgruppen: Mo., 22.10.

183.580, WS2012 Übungsgruppen: Mo., 22.10. VU Grundlagen digitaler Systeme Übung 2: Numerik, Boolesche Algebra 183.580, WS2012 Übungsgruppen: Mo., 22.10. Aufgabe 1: Binäre Gleitpunkt-Arithmetik Addition & Subtraktion Gegeben sind die Zahlen: A

Mehr

Einführung in. Logische Schaltungen

Einführung in. Logische Schaltungen Einführung in Logische Schaltungen 1/7 Inhaltsverzeichnis 1. Einführung 1. Was sind logische Schaltungen 2. Grundlegende Elemente 3. Weitere Elemente 4. Beispiel einer logischen Schaltung 2. Notation von

Mehr

Aufgabe 1 Minimieren Sie mit den Gesetzen der Booleschen Algebra 1.1 f a ab ab 1 = + + Aufgabe 2. Aufgabe 3

Aufgabe 1 Minimieren Sie mit den Gesetzen der Booleschen Algebra 1.1 f a ab ab 1 = + + Aufgabe 2. Aufgabe 3 Logischer Entwurf Digitaler Systeme Seite: 1 Übungsblatt zur Wiederholung und Auffrischung Aufgabe 1 Minimieren Sie mit den Gesetzen der Booleschen Algebra 1.1 f a ab ab 1 = + + 1.2 f ( ) ( ) ( ) 2 = c

Mehr

Grundlagen der Digitaltechnik

Grundlagen der Digitaltechnik Grundlagen der Digitaltechnik Eine systematische Einführung von Prof. Dipl.-Ing. Erich Leonhardt 3., bearbeitete Auflage Mit 326 Bildern, 128 Tabellen, zahlreichen Beispielen und Übungsaufgaben mit Lösungen

Mehr

Grundlagen der Informatik

Grundlagen der Informatik Grundlagen der Informatik Teil III Boolesche Algebra, Signalarten, Elektronische Bauteile Seite 1 Boolesche Algebra George Boole => englischer Mathematiker Mitte 19. Jahrhundert Formale Sicht digitaler

Mehr

I. Aussagenlogik. Aussagenlogik untersucht Verknüpfungen wie "und", "oder", "nicht", "wenn... dann" zwischen atomaren und komplexen Sätzen.

I. Aussagenlogik. Aussagenlogik untersucht Verknüpfungen wie und, oder, nicht, wenn... dann zwischen atomaren und komplexen Sätzen. I. Aussagenlogik 2.1 Syntax Aussagenlogik untersucht Verknüpfungen wie "und", "oder", "nicht", "wenn... dann" zwischen atomaren und komplexen Sätzen. Sätze selbst sind entweder wahr oder falsch. Ansonsten

Mehr

Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald Fachbereich Physik Elektronikpraktikum

Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald Fachbereich Physik Elektronikpraktikum Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald Fachbereich Physik Elektronikpraktikum Protokoll-Nr.: 11 Digitalschaltungen Protokollant: Jens Bernheiden Gruppe: 2 Aufgabe durchgeführt: 25.06.1997 Protokoll

Mehr

Einführung in die technische Informatik

Einführung in die technische Informatik Einführung in die technische Informatik hristopher Kruegel chris@auto.tuwien.ac.at http://www.auto.tuwien.ac.at/~chris Logische Schaltungen System mit Eingängen usgängen interne Logik die Eingänge auf

Mehr

6. Vorlesung: Minimalformen

6. Vorlesung: Minimalformen 6. Vorlesung: Minimalformen Wiederholung Minterme Maxterme Disjunktive Normalform (DN) Konjunktive Normalform (KN) Minimalformen KV-Diagramme 24..26 fällt aus wegen Dozentenfachexkursion 2 Normalformen

Mehr

Kombinatorische Schaltwerke

Kombinatorische Schaltwerke Informationstechnisches Gymnasium Leutkirch Kombinatorische Schaltwerke Informationstechnik (IT) Gemäß Bildungsplan für das berufliche Gymnasium der dreijährigen Aufbauform an der Geschwister-Scholl-Schule

Mehr

der einzelnen Aussagen den Wahrheitswert der zusammengesetzten Aussage falsch falsch falsch falsch wahr falsch wahr falsch falsch wahr wahr wahr

der einzelnen Aussagen den Wahrheitswert der zusammengesetzten Aussage falsch falsch falsch falsch wahr falsch wahr falsch falsch wahr wahr wahr Kapitel 2 Grundbegriffe der Logik 2.1 Aussagen und deren Verknüpfungen Eine Aussage wie 4711 ist durch 3 teilbar oder 2 ist eine Primzahl, die nur wahr oder falsch sein kann, heißt logische Aussage. Ein

Mehr

Rechnerstrukturen Winter 2015 4. WICHTIGE SCHALTNETZE. (c) Peter Sturm, University of Trier 1

Rechnerstrukturen Winter 2015 4. WICHTIGE SCHALTNETZE. (c) Peter Sturm, University of Trier 1 4. WICHTIGE SCHALTNETZE (c) Peter Sturm, University of Trier 1 Wichtige Schaltnetze Häufig verwendete Grundfunktionen Umwandeln (Decoder) Verteilen (Multiplexer) und Zusammenfassen (Demultiplexer) Arithmetisch-

Mehr

Normalformen boolescher Funktionen

Normalformen boolescher Funktionen Normalformen boolescher Funktionen Jeder boolesche Ausdruck kann durch (äquivalente) Umformungen in gewisse Normalformen gebracht werden! Disjunktive Normalform (DNF) und Vollkonjunktion: Eine Vollkonjunktion

Mehr

Schaltalgebra - logische Schaltungen

Schaltalgebra - logische Schaltungen Schaltalgebra - logische Schaltungen Bakkalaureatsarbeit im Rahmen des Mathematischen Seminars unter Leitung von Wolfgang Schmid eingereicht von Verena Horak Salzburg, Sommersemester 2003 Inhaltsverzeichnis

Mehr

Normalformen von Schaltfunktionen

Normalformen von Schaltfunktionen Disjunktive Normalform (DNF) Vorgehen: 2. Aussuchen der Zeilen, in denen die Ausgangsvariable den Zustand 1 hat 3. Die Eingangsvariablen einer Zeile werden UND-verknüpft a. Variablen mit Zustand 1 werden

Mehr

Rechnerorganisation I Zusammenfassung

Rechnerorganisation I Zusammenfassung Universität der Bundeswehr München Fakultät für Informatik Institut für Technische Informatik Rechnerorganisation I Zusammenfassung Tobias Kiesling kiesling@informatik.unibw-muenchen.de 09.12.2003 2. Boole

Mehr

Formelsammlung. Wahrscheinlichkeit und Information

Formelsammlung. Wahrscheinlichkeit und Information Formelsammlung Wahrscheinlichkeit und Information Ein Ereignis x trete mit der Wahrscheinlichkeit p(x) auf, dann ist das Auftreten dieses Ereignisses verbunden mit der Information I( x): mit log 2 (z)

Mehr

Kapitel 1.3. Normalformen aussagenlogischer Formeln und die Darstellbarkeit Boolescher Funktionen durch aussagenlogische Formeln

Kapitel 1.3. Normalformen aussagenlogischer Formeln und die Darstellbarkeit Boolescher Funktionen durch aussagenlogische Formeln Kapitel 1.3 Normalformen aussagenlogischer Formeln und die Darstellbarkeit Boolescher Funktionen durch aussagenlogische Formeln Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.3: Normalformen 1/ 29 Übersicht

Mehr

Grundlagen der Computertechnik

Grundlagen der Computertechnik Grundlagen der Computertechnik Aufbau von Computersystemen und Grundlagen des Rechnens Walter Haas PROLOG WS23 Automation Systems Group E83- Institute of Computer Aided Automation Vienna University of

Mehr

Zusammenfassung. Satz. 1 Seien F, G Boolesche Ausdrücke (in den Variablen x 1,..., x n ) 2 Seien f : B n B, g : B n B ihre Booleschen Funktionen

Zusammenfassung. Satz. 1 Seien F, G Boolesche Ausdrücke (in den Variablen x 1,..., x n ) 2 Seien f : B n B, g : B n B ihre Booleschen Funktionen Zusammenfassung Zusammenfassung der letzten LV Einführung in die Theoretische Informatik Woche 6 Harald Zankl Institut für Informatik @ UIBK Wintersemester 2014/2015 Satz 1 Seien F, G Boolesche Ausdrücke

Mehr

Kapitel 1.0. Aussagenlogik: Einführung. Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.0: Aussagenlogik: Einführung 1/ 1

Kapitel 1.0. Aussagenlogik: Einführung. Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.0: Aussagenlogik: Einführung 1/ 1 Kapitel 1.0 Aussagenlogik: Einführung Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.0: Aussagenlogik: Einführung 1/ 1 Ziele der Aussagenlogik In der Aussagenlogik analysiert man die Wahrheitswerte zusammengesetzter

Mehr

VU Grundlagen digitaler Systeme

VU Grundlagen digitaler Systeme VU Grundlagen digitaler Systeme Übung 4. Übung 183.580, 2014W Übungsgruppen: Fr., 05.12.2014 Hinweis: Verwenden Sie für Ihre Lösungen keinen Taschenrechner und geben Sie die einzelnen Lösungsschritte an,

Mehr

Einführung in Informatik 1

Einführung in Informatik 1 Einführung in Informatik Prof. Dr.-Ing. Andreas Penningsfeld Zahlensysteme Allgemein: Zahl b := zn * bn +... + z * b + z ( ) * b (-) +... + z (-m) * b (-m) ; zi: Koeffizienten b: Basis Dezimalsystem Dualsystem

Mehr

Protokoll zum Praktikum des Moduls Technische Informatik an der JLU Gießen

Protokoll zum Praktikum des Moduls Technische Informatik an der JLU Gießen Protokoll zum Praktikum des Moduls Technische Informatik an der JLU Gießen Technische Informatik Versuch 2 Julian Bergmann, Dennis Getzkow 8. Juni 203 Versuch 2 Einführung Im Versuch 2 sollte sich mit

Mehr

Grundlagen der Technischen Informatik. 8. Übung

Grundlagen der Technischen Informatik. 8. Übung Grundlagen der Technischen Informatik 8. Übung Christian Knell Keine Garantie für Korrekt-/Vollständigkeit 8. Übungsblatt Themen Aufgabe : Aufgabe : Aufgabe : Aufgabe : KMF, Nelson/Petrick-Verfahren Quine/McCluskey-Verfahren

Mehr

Grundlagen der Technischen Informatik. 7. Übung

Grundlagen der Technischen Informatik. 7. Übung Grundlagen der Technischen Informatik 7. Übung Christian Knell Keine Garantie für Korrekt-/Vollständigkeit 7. Übungsblatt Themen Aufgabe : Aufgabe : Aufgabe : Aufgabe : KMF, Nelson/Petrick-Verfahren Quine/McCluskey-Verfahren

Mehr

Informatik A ( Frank Hoffmann)

Informatik A ( Frank Hoffmann) Teillösungen zum 1. Aufgabenblatt zur Vorlesung Informatik A ( Frank Hoffmann) 1. Improvisieren Stellen Sie die Zahl 6 dar durch einen Ausdruck, der genau dreimal die Ziffer i enthält und ansonsten neben

Mehr

Kapitel 2. Boolesche Algebra. Prof. Dr. Dirk W. Hoffmann. Hochschule Karlsruhe w University of Applied Sciences w Fakultät für Informatik

Kapitel 2. Boolesche Algebra. Prof. Dr. Dirk W. Hoffmann. Hochschule Karlsruhe w University of Applied Sciences w Fakultät für Informatik Kapitel 2 oolesche lgebra Prof. Dr. Dirk W. Hoffmann Hochschule Karlsruhe w University of pplied Sciences w Fakultät für Informatik Schaltalgebra, und sind Operatoren über der Menge {0,1} a b a b 0 0 0

Mehr

Digitaltechnik. 1 Kombinatorische. Schaltungen. Revision 1.01

Digitaltechnik. 1 Kombinatorische. Schaltungen. Revision 1.01 Digitaltechnik Kombinatorische Schaltungen A Revision. Boole sche Algebra Gatter Rechenregeln Minimierung kombinatorischer Schaltungen Kombinatorische Schaltungen in Verilog Kombinatorische Schaltungen

Mehr

DV1_Kapitel_4.doc Seite 4-1 von 28 Rüdiger Siol 12.09.2009 16:29

DV1_Kapitel_4.doc Seite 4-1 von 28 Rüdiger Siol 12.09.2009 16:29 Inhaltsverzeichnis 4 Boolesche lgebra... 4-2 4. lgebra der Logik, algebraische Logik... 4-2 4.. Schaltalgebra und logische Schaltungen... 4-3 4... Zustand eines digitalen Systems... 4-5 4...2 Schaltfunktion...

Mehr

5 Verarbeitungsschaltungen

5 Verarbeitungsschaltungen 5 Verarbeitungsschaltungen Folie 1 5 Verarbeitungsschaltungen Häufig genutzte Funktionen gibt es als fertige Bausteine zu kaufen. 5.1 Addierer logische Schaltungen zur Addition zweier Dualzahlen Alle Grundrechenarten

Mehr

A.3. A.3 Spezielle Schaltnetze. 2002 Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik II 1

A.3. A.3 Spezielle Schaltnetze. 2002 Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik II 1 Spezielle Schaltnetze Spezielle Schaltnetze 22 Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik II Übersicht in diesem Abschnitt: : Vorstellung einiger wichtiger Bausteine vieler elektronischer Schaltungen, die sich

Mehr

Boole'sche Algebra. Inhaltsübersicht. Binäre Funktionen, Boole'sche Algebren, Schaltalgebra. Verknüpfungen der mathematischen Logik

Boole'sche Algebra. Inhaltsübersicht. Binäre Funktionen, Boole'sche Algebren, Schaltalgebra. Verknüpfungen der mathematischen Logik Boole'sche Algebr Binäre Funktionen, Boole'sche Algebren, Schltlgebr Inhltsübersicht Verknüpfungen der mthemtischen Logik Boole sche Algebren Grundelemente der Schltlgebr Regeln der Schltlgebr Normlformen

Mehr

3.2 Verknüpfung von Variablen... 50 3.3 Sheffer- und Pierce-Funktion... 52 3.4 Übungen... 54

3.2 Verknüpfung von Variablen... 50 3.3 Sheffer- und Pierce-Funktion... 52 3.4 Übungen... 54 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 1 1.1 Analog - Digital Unterscheidung... 1 1.1.1 Analoge Darstellung...2 1.1.2 Digitale Darstellung...3 1.1.3 Prinzip der Analog-Digital-Wandlung...4 1.2 Begriffsdefinitionen...5

Mehr

a. Welche der folgenden Terme können als Minterm, Maxterm, beides oder keines von beidem dargestellt werden:

a. Welche der folgenden Terme können als Minterm, Maxterm, beides oder keines von beidem dargestellt werden: Übungen zur Vorlesung Technische Informatik I, SS 2002 Hauck / Guenkova-Luy / Prager / hen Übungsblatt 1 oolesche lgebra /Kombinatorische Logik ufgabe 1: a. Welche der folgenden Terme können als Minterm,

Mehr

Informatik I WS 07/08 Tutorium 24

Informatik I WS 07/08 Tutorium 24 Info I Tutorium 24 Informatik I WS 07/08 Tutorium 24 3.2.07 astian Molkenthin E-Mail: infotut@sunshine2k.de Web: http://infotut.sunshine2k.de Organisatorisches / Review is zum 2.2 müssen alle Praxisaufgaben

Mehr

Logik mit Gedächtnis : Sequentielle Logik

Logik mit Gedächtnis : Sequentielle Logik Logik mit Gedächtnis : Sequentielle Logik Schaltwerke Grundkomponenten zur Informationspeicherung: Flip-Flops Typische Schaltwerke Entwurf eines Schaltwerks Wintersemester 12/13 1 asynchrone und synchrone

Mehr

Technischen Informatik I, WS 2004/05

Technischen Informatik I, WS 2004/05 PHILIPPS-UNIVERSITÄT MARBURG Fachbereich Mathematik und Informatik Prof Dr R Loogen, Dipl-Inform J Beringer D-3532 Marburg Hans-Meerwein-Straße Lahnberge Klausur zur Technischen Informatik I, WS 24/5 3

Mehr

3. Steuerungstechnik Teil I

3. Steuerungstechnik Teil I 3. Steuerungstechnik Teil I 3.. Boolsche Algebra und Schaltalgebra Die Berechnung logischer Verknüpfungen in binären Steuerungssystemen hat als Grundlage die Boolsche Algebra bzw. die auf Schaltsystemen

Mehr

Vorbereitung zum Versuch

Vorbereitung zum Versuch Vorbereitung zum Versuch Schaltlogik Armin Burgmeier (1347488) Gruppe 15 6. Januar 2008 1 Gatter aus diskreten Bauelementen Es sollen logische Bausteine (Gatter) aus bekannten, elektrischen Bauteilen aufgebaut

Mehr

Wir benutzen im nachfolgenden Versuch ein PLA zur Implementierung zweier boolscher Funktionen. Dazu einige Vorüberlegungen.

Wir benutzen im nachfolgenden Versuch ein PLA zur Implementierung zweier boolscher Funktionen. Dazu einige Vorüberlegungen. Kapitel 3 Programmable Logic Array (PLA) Die Idee eines PLA ist, dass bei der Chipherstellung ein homogenes Feld von Transistoren erzeugt wird. Die eigentliche Funktionalität wird dann durch Konfiguration

Mehr

3.2 Verknüpfung von Variablen... 48 3.3 Sheffer- und Pierce-Funktion... 50 3.4 Übungen... 52

3.2 Verknüpfung von Variablen... 48 3.3 Sheffer- und Pierce-Funktion... 50 3.4 Übungen... 52 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 1 1.1 Analog - Digital Unterscheidung...1 1.1.1 Analoge Darstellung...2 1.1.2 Digitale Darstellung...3 1.1.3 Prinzip der Analog-Digital-Wandlung...4 1.2 Begriffsdefinitionen...5

Mehr

Technische Grundlagen der Informatik

Technische Grundlagen der Informatik Technische Grundlagen der Informatik WS 2008/2009 5. Vorlesung Klaus Kasper WS 2008/2009 Technische Grundlagen der Informatik Inhalt Wiederholung Feldeffekttransistoren (FET) Logikschaltungen in CMOS-Technologie

Mehr

Ergänzen Sie die Werte für y in dem unten angegebenen Ausschnitt der Schaltbelegungstabelle. Falsche Antworten führen zu Punktabzug.

Ergänzen Sie die Werte für y in dem unten angegebenen Ausschnitt der Schaltbelegungstabelle. Falsche Antworten führen zu Punktabzug. Aufgabe 1 Gegeben sei folgende Schaltfunktion: y = a / b / c / d. Ergänzen Sie die Werte für y in dem unten angegebenen Ausschnitt der Schaltbelegungstabelle. Falsche Antworten führen zu Punktabzug. d

Mehr

Inhaltsverzeichnis. Inhalt. 1 Einleitung

Inhaltsverzeichnis. Inhalt. 1 Einleitung Inhalt 3 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1.1 Digitale und analoge Signale... 9 1.2 Digitale Darstellung... 12 1.3 Datenübertragung... 14 1.4 Aufgaben digitaler Schaltungen... 17 1.5 Geschichte der Digitalrechner...

Mehr

Übungsaufgaben für "Grundlagen der Informationsverarbeitung" (mit Lösungen)

Übungsaufgaben für Grundlagen der Informationsverarbeitung (mit Lösungen) Übungsaufgaben für "Grundlagen der Informationsverarbeitung" (mit Lösungen). Erläutern Sie die Begriffe Bit, Byte und Wort bezogen auf einen 6 Bit Digitalrechner. Bit: Ein Bit ist die kleinste, atomare,

Mehr

b. Erstellen Sie Wahrheitstabellen für die folgenden Terme:

b. Erstellen Sie Wahrheitstabellen für die folgenden Terme: Übungen zur Vorlesung Technische Informatik I, SS 200 Strey / Guenkova-Luy / Prager Übungsblatt oolesche lgebra /Kombinatorische Logik ufgabe : a. Welche der folgenden Terme können als Minterm, Maxterm,

Mehr

Protokoll zu Grundelemente der Digitaltechnik

Protokoll zu Grundelemente der Digitaltechnik Protokoll zu Grundelemente der Digitaltechnik Ronn Harbich 22. uli 2005 Ronn Harbich Protokoll zu Grundelemente der Digitaltechnik 2 Vorwort Das hier vorliegende Protokoll wurde natürlich mit größter Sorgfalt

Mehr

12 Digitale Logikschaltungen

12 Digitale Logikschaltungen 2 Digitale Logikschaltungen Die Digitaltechnik ist in allen elektronischen Geräte vorhanden (z.b. Computer, Mobiltelefone, Spielkonsolen, Taschenrechner und vieles mehr), denn diese Geräte arbeiten hauptsächlich

Mehr

Binäre Suchbäume (binary search trees, kurz: bst)

Binäre Suchbäume (binary search trees, kurz: bst) Binäre Suchbäume (binary search trees, kurz: bst) Datenstruktur zum Speichern einer endlichen Menge M von Zahlen. Genauer: Binärbaum T mit n := M Knoten Jeder Knoten v von T ist mit einer Zahl m v M markiert.

Mehr

Kapitel 2. Elementare Schaltwerke. 2.1 RS-Flipflop

Kapitel 2. Elementare Schaltwerke. 2.1 RS-Flipflop Kapitel 2 Elementare Schaltwerke 2.1 RS-Flipflop Unter dem Gesichtspunkt der Stabilität betrachtet, wird der zweistufige analoge Transistorverstärker des Bildes 2.1 dann instabil, wenn die gestrichelt

Mehr

Rechnerstrukturen, Teil 1. Vorlesung 4 SWS WS 14/15

Rechnerstrukturen, Teil 1. Vorlesung 4 SWS WS 14/15 Rechnerstrukturen, Teil 1 Vorlesung 4 SWS WS 14/15 Prof. Dr Jian-Jia Chen Dr. Lars Hildebrand Fakultät für Informatik Technische Universität Dortmund lars.hildebrand@tu-.de http://ls1-www.cs.tu-.de Übersicht

Mehr

Sequentielle Logik. Einführung in die Technische Informatik Falko Dressler, Stefan Podlipnig Universität Innsbruck

Sequentielle Logik. Einführung in die Technische Informatik Falko Dressler, Stefan Podlipnig Universität Innsbruck Sequentielle Logik Einführung in die Technische Informatik Falko Dressler, Stefan Podlipnig Universität Innsbruck Übersicht Schaltwerke Flip-Flops Entwurf eines Schaltwerks Zähler Realisierung Sequentielle

Mehr

Einführung (0) Erster funktionsfähiger programmgesteuerter Rechenautomat Z3, fertiggestellt 1941 Bild: Nachbau im Deutschen Museum München

Einführung (0) Erster funktionsfähiger programmgesteuerter Rechenautomat Z3, fertiggestellt 1941 Bild: Nachbau im Deutschen Museum München Einführung (0) Erster funktionsfähiger programmgesteuerter Rechenautomat Z3, fertiggestellt 1941 Bild: Nachbau im Deutschen Museum München Einführung (1) Was ist ein Rechner? Maschine, die Probleme für

Mehr

Versuch: D1 Gatter und Flipflops

Versuch: D1 Gatter und Flipflops Versuch: D1 Gatter und Flipflops Vorbemerkung Es ist nicht beabsichtigt, daß Sie einfach eine vorgegebene Versuchsanordnung abarbeiten. Sie sollen die hier angewendeten Zusammenhänge erkennen und verstehen.

Mehr

Electronic Design Automation (EDA) Register-Transfer-Synthese

Electronic Design Automation (EDA) Register-Transfer-Synthese Electronic Design Automation (EDA) Register-Transfer-Synthese Überblick digitale Synthese Register-Transfer-Synthese Makrozellgenerator Beispiel Addierer (1)... (2)... (3)... (4) Beispiel Speicher Synthese

Mehr

Daten, Informationen, Kodierung. Binärkodierung

Daten, Informationen, Kodierung. Binärkodierung Binärkodierung Besondere Bedeutung der Binärkodierung in der Informatik Abbildung auf Alphabet mit zwei Zeichen, in der Regel B = {0, 1} Entspricht den zwei möglichen Schaltzuständen in der Elektronik:

Mehr

FH D Digitaltechnik 1. Prof. Dr. J.Wietzke. Email Tel Fax Post

FH D Digitaltechnik 1. Prof. Dr. J.Wietzke. Email Tel Fax Post FH D Digitaltechnik 1 Prof. Dr. J.Wietzke Email Tel Fax Post Sprechstunde j.wietzke@fbi.fh-darmstadt.de +49 (6151) 16-8472 +49 (6151) 16-8935 Haardtring 100, 64295 Darmstadt Mi. 16.00-17.30 Uhr, 14/208

Mehr

Teil 1: Digitale Logik

Teil 1: Digitale Logik Teil 1: Digitale Logik Inhalt: Boolesche Algebra kombinatorische Logik sequentielle Logik kurzer Exkurs technologische Grundlagen programmierbare logische Bausteine 1 Tri-State Ausgangslogik Ausgang eines

Mehr

Kombinatorische Logik, Schaltalgebra

Kombinatorische Logik, Schaltalgebra Lothar Müller euth Hochschule erlin 1 Logische Zustände In der Digitaltechnik werden Informationen oder Signale verwendet, die nur 2 Zustände annehmen können. Mathematisch kennzeichnen wir sie unter Verwendung

Mehr

Computergrundlagen Boolesche Logik, Zahlensysteme und Arithmetik

Computergrundlagen Boolesche Logik, Zahlensysteme und Arithmetik Computergrundlagen Boolesche Logik, Zahlensysteme und Arithmetik Institut für Computerphysik Universität Stuttgart Wintersemester 2012/13 Wie rechnet ein Computer? Ein Mikroprozessor ist ein Netz von Transistoren,

Mehr

zugehöriger Text bei Oberschelp/Vossen: 2.1-2.3

zugehöriger Text bei Oberschelp/Vossen: 2.1-2.3 Spezielle Schaltnetze Übersicht in diesem Abschnitt: Vorstellung einiger wichtiger Bausteine vieler elektronischer Schaltungen, die sich aus mehreren Gattern zusammensetzen ("spezielle Schaltnetze") und

Mehr

Table of Contents. Table of Contents UniTrain UniTrain-Kurse UniTrain-Kurse Digitaltechnik. Lucas Nülle GmbH Seite 1/8 https://www.lucas-nuelle.

Table of Contents. Table of Contents UniTrain UniTrain-Kurse UniTrain-Kurse Digitaltechnik. Lucas Nülle GmbH Seite 1/8 https://www.lucas-nuelle. Table of Contents Table of Contents UniTrain UniTrain-Kurse UniTrain-Kurse Digitaltechnik 1 2 2 3 Lucas Nülle GmbH Seite 1/8 https://www.lucas-nuelle.de UniTrain UniTrain - das multimediale E-learning

Mehr

Basisinformationstechnologie I

Basisinformationstechnologie I Basisinformationstechnologie I Wintersemester 2014/15 19. November 2014 Rechnertechnologie II: Schaltalgebra Universität zu Köln. Historisch-Kulturwissenschaftliche Informationsverarbeitung Jan G. Wieners

Mehr

Technische Informatik 1 Übungsaufgaben und Lösungen WS 2002/2003

Technische Informatik 1 Übungsaufgaben und Lösungen WS 2002/2003 Technische Informatik 1 Übungsaufgaben und Lösungen WS 2002/2003 22. Oktober 2003 Bemerkungen zur Lösung Folgende Konventionen wurden für die Lösung getroffen: In Schaltfunktionen wird folgende Notation

Mehr

Digitaltechnik. Basierend auf den CDT1-Unterlagen des CDT Teams. Zusammengefasst durch Simon Flüeli

Digitaltechnik. Basierend auf den CDT1-Unterlagen des CDT Teams. Zusammengefasst durch Simon Flüeli Digitaltechnik Basierend auf den CDT1-Unterlagen des CDT Teams Zusammengefasst durch Autor E-Mail fluelsim@students.zhaw.ch Datum 05.04.2011 Fach C und Digitaltechnik (CDT1) Originalunterlagen https://olat.zhaw.ch/olat/auth/1%3a-

Mehr

Was bisher geschah. Lernen: überwachtes Lernen. biologisches Vorbild neuronaler Netze: unüberwachtes Lernen

Was bisher geschah. Lernen: überwachtes Lernen. biologisches Vorbild neuronaler Netze: unüberwachtes Lernen Was bisher geschah Lernen: überwachtes Lernen korrigierendes Lernen bestärkendes Lernen unüberwachtes Lernen biologisches Vorbild neuronaler Netze: Neuron (Zellkörper, Synapsen, Axon) und Funktionsweise

Mehr

PC & Elektronik. Herbert Bernstein. PC Digital. Labor. Pnaxisnahes Lernen mit TTL- und CMOS- Bausteinen. Mit 317 Abbildungen FRANZIS

PC & Elektronik. Herbert Bernstein. PC Digital. Labor. Pnaxisnahes Lernen mit TTL- und CMOS- Bausteinen. Mit 317 Abbildungen FRANZIS PC & Elektronik Herbert Bernstein PC Digital Pnaxisnahes Lernen mit TTL- und CMOS- Bausteinen Labor Mit 317 Abbildungen FRANZIS Inhalt 1 Boolesche Algebra 13 1.1 Mengenalgebra 14 1.1.1 Festlegung und Darstellung

Mehr

V09: Logische Gatter

V09: Logische Gatter Elektronikpraktikum im WS 2010/11 Universität Stuttgart Protokoll zum Versuch Stephan Ludwig, Nicolai Lang 2. Januar 2011 Zusammenfassung Der folgende Versuch befasst sich mit der Funktionsweise von NAND-Gattern

Mehr

Praktikum Grundlagen der Elektronik

Praktikum Grundlagen der Elektronik Praktikum Grundlagen der Elektronik Versuch EP 7 Digitale Grundschaltungen Institut für Festkörperelektronik Kirchhoff - Bau K1084 Die Versuchsanleitung umfasst 7 Seiten Stand 2006 Versuchsziele: Festigung

Mehr

Zusammenfassung. 1 Wir betrachten die folgende Signatur F = {+,,, 0, 1} sodass. 3 Wir betrachten die Gleichungen E. 4 Dann gilt E 1 + x 1

Zusammenfassung. 1 Wir betrachten die folgende Signatur F = {+,,, 0, 1} sodass. 3 Wir betrachten die Gleichungen E. 4 Dann gilt E 1 + x 1 Zusammenfassung Zusammenfassung der letzten LV Einführung in die Theoretische Informatik Woche 7 Harald Zankl Institut für Informatik @ UIBK Wintersemester 2014/2015 1 Wir betrachten die folgende Signatur

Mehr

5 Zusammengesetzte und reguläre Schaltungsstrukturen

5 Zusammengesetzte und reguläre Schaltungsstrukturen 5 Zusammengesetzte und reguläre Schaltungsstrukturen regelmäßig aufgebaute (reguläre) Schaltungsstrukturen implementieren jeweils eine größere Zahl an Gatterfunktionen wichtigste Vertreter: Speicher, programmierbare

Mehr

Logik, Mengen und Abbildungen

Logik, Mengen und Abbildungen Kapitel 1 Logik, Mengen und bbildungen Josef Leydold Mathematik für VW WS 2016/17 1 Logik, Mengen und bbildungen 1 / 26 ussage Um Mathematik betreiben zu können, sind ein paar Grundkenntnisse der mathematischen

Mehr

HANSER. von Prof. Dipl.-Ing. Johannes Borgmeyer. 2., verbesserte Auflage

HANSER. von Prof. Dipl.-Ing. Johannes Borgmeyer. 2., verbesserte Auflage 2008 AGI-Information Management Consultants May be used for personal purporses only or by libraries associated to dandelon.com network. von Prof. Dipl.-Ing. Johannes Borgmeyer 2., verbesserte Auflage Mit

Mehr

Logic in a Nutshell. Christian Liguda

Logic in a Nutshell. Christian Liguda Logic in a Nutshell Christian Liguda Quelle: Kastens, Uwe und Büning, Hans K., Modellierung: Grundlagen und formale Methoden, 2009, Carl Hanser Verlag Übersicht Logik - Allgemein Aussagenlogik Modellierung

Mehr

1 Digital vs. Analog. 2 Zahlendarstellungen und Codes. 1.1 Analog. 1.2 Digital. 1.3 Unterschied Analog zu Digital. 1.4 Von Analog zu Digital

1 Digital vs. Analog. 2 Zahlendarstellungen und Codes. 1.1 Analog. 1.2 Digital. 1.3 Unterschied Analog zu Digital. 1.4 Von Analog zu Digital Digitaltechnik DT1 - Zusammenfassung (v2.0 / Januar 2013) Seite 1 von 8 1 Digital vs. Analog 1.1 Analog Die reale Welt ist analog (z.b. Sinnesorgane) Die Analoge Verarbeitung stellt das Ergebnis einer

Mehr

Grundlagen der Technischen Informatik

Grundlagen der Technischen Informatik Grundlagen der Technischen Informatik von Dirk W. Hoffmann 1. Auflage Hanser München 2007 Verlag C.H. Beck im Internet: www.beck.de ISBN 978 3 446 40691 9 Zu Leseprobe schnell und portofrei erhältlich

Mehr

Was bisher geschah. Aufgaben: Diagnose, Entscheidungsunterstützung Aufbau Komponenten und Funktion

Was bisher geschah. Aufgaben: Diagnose, Entscheidungsunterstützung Aufbau Komponenten und Funktion Was bisher geschah Daten, Information, Wissen explizites und implizites Wissen Wissensrepräsentation und -verarbeitung: Wissensbasis Kontextwissen Problemdarstellung fallspezifisches Wissen repräsentiert

Mehr

Fragen für die Klausuren

Fragen für die Klausuren Fragen für die Klausuren Vom Quellcode zum ausführbaren Programm Was ist ein Quellcode? Ist der Quellcode von einem Programm auf unterschiedlichen Rechner gleich? Nennen Sie drei Programmiersprachen. Was

Mehr

Informationslogik. Theorie und Übungen. Robert-Bosch-Schule Ulm. Version 1.0

Informationslogik. Theorie und Übungen. Robert-Bosch-Schule Ulm. Version 1.0 Informationslogik Theorie und Übungen Robert-Bosch-Schule Ulm Version.0 7. September 205 Inhaltsverzeichnis: Dieses Skript soll als Nachschlagewerk und als Übungsbuch dienen. Dieses Skript ist aus eigenen

Mehr

Erfüllbarkeit und Allgemeingültigkeit

Erfüllbarkeit und Allgemeingültigkeit Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.3 Aussagenlogik Erfüllbarkeit 44 Erfüllbarkeit und Allgemeingültigkeit Def.: eine Formel ϕ heißt erfüllbar, wennesein I gibt, so dass I = ϕ

Mehr

Rechnenund. Systemtechnik

Rechnenund. Systemtechnik Rechnen- und Systemtechnik 1 / 29 Rechnenund Systemtechnik Skript und Unterrichtsmitschrift April 22 Rechnen- und Systemtechnik 2 / 29 nhaltsverzeichnis 1. Grundbausteine der Digitaltechnik... 4 1.1. UND-Verknüpfungen

Mehr

Binary Decision Diagrams (BDDs) 1

Binary Decision Diagrams (BDDs) 1 Handout 22.11.2011 Binary Decision Diagrams (BDDs) 1 Übersicht Es gibt viele verschiedene Möglichkeiten um Boole sche Funktionen zu repräsentieren (Boole sche Formeln, Minterme, Wahrheitstabellen, ). Manche

Mehr