FERNUNIVERSITÄT IN HAGEN WIRTSCHAFTSWISSENSCHAFT

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1 FERNUNIVERSITÄT IN HAGEN FAKULTÄT WIRTSCHAFTSWISSENSCHAFT Lehrstuhl für Betriebswirtschaftslehre, insb. Quantitative Methoden und Wirtschaftsmathematik Univ.-Prof. Dr. A. Kleine Lehrstuhl für Angewandte Statistik und Methoden der empirischen Sozialforschung Univ.-Prof. Dr. H. Singer Klausur: Modul Vertiefung der Wirtschaftsmathematik und Statistik Termin: Prüfer: 23. September 2016, Uhr Univ.-Prof. Dr. A. Kleine/Univ.-Prof. Dr. H. Singer

2 Hinweise zur Bearbeitung der Modulklausur Die Klausur besteht aus zwei Teilen, dem Aufgabenteil und dem Lösungsteil. Weiterhin sind Aufgaben- und Lösungsteil jeweils nach den zwei Kursen (42220 Vertiefung der Linearen Algebra und Analysis und Vertiefung der Statistik) des Moduls separat unterteilt. Nutzen Sie bei der Lösung der Aufgaben für jeden Klausurteil nur die entsprechenden Lösungsblätter zu dem jeweiligen Klausurteil! Zur leichteren Bearbeitung können Sie den Aufgaben- vom Lösungsteil trennen. Trennen Sie jedoch nicht die Lösungsblätter! WICHTIG: Nur der ungetrennte Lösungsteil wird am Ende der Klausur eingesammelt! Sollten Sie doch einzelne oder mehrere Lösungsblätter vom Lösungsteil getrennt haben, liegt es in Ihrer Verantwortung, diese zusammenzuführen und bspw. geheftet als ein Ganzes abzugeben! Trennen Sie jedoch in jedem Fall vor der Abgabe den Aufgaben- vom Lösungsteil. 2. Tragen Sie für beide Klausurteile (Mathematik und Statistik) auf das Deckblatt der Lösungsbögen Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer ein! 3. Es können insgesamt 100 Punkte erreicht werden. Bei Erreichen von 50 Punkten ist die Klausur bestanden. Bitte kontrollieren Sie sofort, ob Sie ein vollständiges Klausurexemplar erhalten haben. 4. Bitte benutzen Sie für Ihre Rechnungen nur die beigefügten Lösungsbögen zu dem jeweiligen Klausurteil und tragen Sie dort Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer ein. Für den Klausurteil Mathematik müssen die Lösungen in den dafür vorgesehenen Raum auf den Lösungsbögen eingetragen werden. Falls der Platz nicht ausreicht, benutzen Sie bitte die Rückseiten oder die freien Blätter am Ende und geben Sie einen deutlichen Hinweis auf die Aufgabenzugehörigkeit. Bedenken Sie bitte bei der Anfertigung Ihrer Lösungen, dass vor allem der Lösungsweg einschließlich Ansatz und Zwischenschritten bewertet wird. Bei einem mehrfach bearbeiteten Aufgabenteil wird lediglich die erste Lösung bewertet. Nicht zu korrigierende Lösungsteile sind zu entwerten. Für den Klausurteil Statistik müssen die Lösungen in die entsprechenden Kästchen auf dem Lösungsbogen eingetragen werden. Für jede Antwort, jedes Ergebnis und jede Begründung bzw. Interpretation ist auf dem Lösungsbogen ein entsprechendes Kästchen zum Eintrag vorgesehen. Achten Sie auf eindeutige Eintragungen. Nicht eindeutige Eintragungen können nicht bewertet werden.

3 5. Für beide Klausurteile ist die Verwendung eines Taschenrechners dann und nur dann erlaubt, wenn dieser einer der folgenden Modellreihen angehört: Casio fx86 oder Casio fx87 Texas Instruments TI 30 X II Sharp EL 531 Eventuelle Vorgänger- oder Nachfolgemodelle, die nicht in der oben aufgeführten Liste enthalten sind, sind ebenfalls nicht erlaubt. Die Verwendung anderer Taschenrechnermodelle wird als Täuschungsversuch gewertet und mit der Note nicht ausreichend (5, 0) sanktioniert. Ob ein Taschenrechner einer der Modellreihen angehört, können Sie selbst überprüfen, indem Sie die vom Hersteller auf dem Rechner angebrachte Modellbezeichnung mit den oben angegebenen Bezeichnungen vergleichen: Bei vollständiger Übereinstimmung ist das Modell erlaubt. Ist die auf dem Rechner angebrachte Modellbezeichnung umfangreicher, enthält aber eine der oben angegebenen Bezeichnungen vollständig, ist das Modell ebenfalls erlaubt. In allen anderen Fällen ist das Modell nicht erlaubt. 6. Für den Klausurteil Mathematik sind weder die Kursunterlagen noch weitere Materialien der Wirtschaftsmathematik als Hilfsmittel zugelassen. Für den Klausurteil Statistik ist das Kursmaterial ggf. mit Unterstreichungen, farblichen Markierungen und/oder Aufklebern, aber ohne zusätzliche Eintragungen, als Hilfsmaterial zugelassen. Als Kursmaterial gelten lediglich Lehrtexte, nicht jedoch alte Klausuren, Einsendearbeiten oder Musterlösungen. Nicht zugelassen sind selbst ausgedruckte und kopierte Kursmaterialien. 7. Wenn Sie einzelne Blätter der Teilklausuren voneinander trennen, legen Sie bitte am Ende der Klausur die Blätter wieder zusammen. 8. Vergessen Sie nicht, beide Teilklausuren auf der letzten bearbeiteten Seite zu unterschreiben. Viel Erfolg!

4 Name, Vorname Matrikelnummer Teilklausur des Moduls Kurs 42221: Vertiefung der Statistik AUFGABENTEIL Termin: Prüfer: 23. September 2016, Uhr Univ.-Prof. Dr. H. Singer Den Aufgabenteil der Klausur können Sie mit nach Hause nehmen. Es muss nur der Lösungsteil abgegeben werden.

5 Vertiefung der Statistik Hinweis: Bitte tragen Sie die Lösungen aller Aufgaben in die Lösungsbogen ein. Bewertet werden nur die Lösungsbogen. Aufgabe 1 (10 Punkte) Bewerten Sie folgende Aussagen mit richtig oder f alsch. X, Y und Z seien drei unterschiedliche Ereignisse und weiter gelte X Y = Z. Dann gilt immer: 1. P (X Y ) = P (X) P (X Z) 2. P (Z) P (Y ) 3. P (Z) = P (X Y ) P (Y ) 4. P (Z) = P (X) + P (Y ) P (X Y ) 5. P (X Y ) = P (Y ) P (Y Z). Hinweis: Für jede korrekte Kennzeichnung werden 2 Punkte vergeben. Jede falsche Kennzeichnung sowie nicht oder unlesbar gekennzeichnete Felder werden mit 0 Punkten bewertet. Die minimale Punktzahl der Aufgabe beträgt 0 Punkte.

6 Vertiefung der Statistik Aufgabe 2 (15 Punkte) In dieser Aufgabe interessieren wir uns dafür, ob es einen Zusammenhang zwischen dem Gehalt und der Bildung gibt. Für die Analyse stehen zur Verfügung Daten über den Stundenlohn in Dollar (Lohn) und die Bildung in Jahren (Bildung). Es wird eine lineare Regression für 500 Beobachtungen durchgeführt. 2.1 (3 Punkte) Schätzen Sie die Parameter α, β, σ 2 des linearen Regressionsmodells Lohn n = α + βbildung n + ɛ n, n = 1,..., N, aus den in Abb. 1 angegebenen Statistiken (verwenden Sie 3 Nachkommastellen). 2.2 (6 Punkte) Prüfen Sie bitte, ob sich die Regressionsparameter α, β signifikant von 0 unterscheiden (Signifikanzniveau 0.05). Hinweis: (N 1)s 2 x = n x2 n N x Wie lautet das Bestimmtheitsmaß für die Prognose vom Gehalt durch die Bildung? 2.4 (5 Punkte) Wie hoch wird das Gehalt unter ansonsten gleichen Bedingungen bei der Ausbildung von 8 Jahren. Berechnen Sie auch ein 95%-Prognoseintervall für den prognostizierten Wert.

7 Vertiefung der Statistik Abbildung 1: Zusammenhang zwischen dem Gehalt und der Bildung

8 Vertiefung der Statistik Aufgabe (15 Punkte) (8 Punkte) Betrachten Sie die Zufallsgröße X mit der Dichtefunktion: { 2x 4 für 2 x 3 f X (x) = 0 sonst. 1. Bestimmen Sie E(X), verwenden Sie dabei E(X) = xf X (x)dx 2. Bestimmen Sie V AR(X). Hinweis: E(X 2 ) = x 2 f X (x)dx 3.2 (7 Punkte) Ein Unternehmen möchte die Umsatzsteigerung beim Einsatz von zwei verschiedenen Werbemaßnahmen vergleichen. Es wurden die in der folgenden Tabelle eingetragenen Umsatzsteigerungen erzielt. (H 0 : Beide Werbemaßnahmen führen zu gleichen Umsatzsteigerungen, α = 0.1, Vorsicht: in der Tabelle sind die kritischen Werte für einseitige Tests angegeben). Werbung X Werbung Y Verwenden Sie einen nichtparametrischen Test, um festzustellen, ob Werbung X zu größeren Umsatzsteigerungen führt als Werbung Y. - Welchen nichtparametrischen Test verwenden Sie? - Geben Sie die Prüfgröße an. - Geben Sie den unteren kritischen Wert an. - Geben Sie den oberen kritischen Wert an. - Lehnen Sie die Nullhypothese, es besteht kein Unterschied, ab? - Bestimmen Sie den Erwartungswert der Prüfgröße. - Bestimmen Sie die Varianz der Prüfgröße.

9 Vertiefung der Statistik Aufgabe 4 (10 Punkte) Ein Unternehmen untersucht die produzierte Stückzahl eines bestimmten Produktes in Abhängigkeit verschiedener Materialien und Produktionsmethoden. Dabei werden beide Faktoren getrennt voneinander betrachtet. 4.1 (2 Punkte) Betrachtet werden zunächst die Produktionsmethoden. Vervollständigen Sie folgenden Output (s. Lösungsbogen). 4.2 (2 Punkte) Wieviele Produktionsmethoden werden untersucht und wieviele Beobachtungen liegen der Untersuchung zugrunde? 4.3 (2 Punkte) Bestimmen Sie anhand des Outputs in 4.1 das Bestimmtheitsmaß und interpretieren Sie kurz den Wert.

10 Vertiefung der Statistik (1 Punkte) Mittels eines zweiten Datensatzes wird nun das Material betrachtet. Geben Sie mittels der Residualstreuung den Schätzer für σ 2 an. 4.5 (1 Punkte) Geben Sie das für den zweiten Datensatz (s.4.4) zum Signifikanzniveau 0.05 verwendete f-quantil der F -Verteilung an. 4.6 (2 Punkte) Wie lautet für den Datensatz in 4.4 der prognostizierte Wert der produzierten Stückzahl, wenn bekannt ist, dass mit dem ersten Material produziert wird?

11 Name, Vorname Matrikelnummer LÖSUNGSTEIL der Modulklausur Vertiefung der Wirtschaftsmathematik und Statistik Datum Punkte Termin: Prüfer: 23. September 2016, Uhr Univ.-Prof. Dr. A. Kleine, Univ.-Prof. Dr. H. Singer

12 Name, Vorname Matrikelnummer Teilklausur des Moduls Kurs 42221: Vertiefung der Statistik LÖSUNGSTEIL Datum Punkte Termin: Prüfer: 23. September 2016, Uhr Univ.-Prof. Dr. H. Singer

13 LÖSUNGSBOGEN Klausur: Kurs Vertiefung der Statistik Termin: 23. September 2016 Prüfer: Univ.-Prof. Dr. H. Singer Name, Vorname: Matrikelnummer: Aufgabe Summe maximale Punktzahl erreichte Punktzahl Datum: Unterschrift des Prüfers: 1

14 LÖSUNGSBOGEN Aufgabe 1 (10 Punkte) Bewerten Sie folgende Aussagen mit richtig oder f alsch. X, Y und Z seien drei unterschiedliche Ereignisse und weiter gelte X Y = Z. Dann gilt immer: richtig falsch 1. P (X Y ) = P (X) P (X Z) 2. P (Z) P (Y ) 3. P (Z) = P (X Y ) P (Y ) 4. P (Z) = P (X) + P (Y ) P (X Y ) 5. P (X Y ) = P (Y ) P (Y Z) Hinweis: Für jede korrekte Kennzeichnung werden 2 Punkte vergeben. Jede falsche Kennzeichnung sowie nicht oder unlesbar gekennzeichnete Felder werden mit 0 Punkten bewertet. Die minimale Punktzahl der Aufgabe beträgt 0 Punkte. Punkte 2

15 LÖSUNGSBOGEN Aufgabe 2 (15 Punkte) 2.1 (3 Punkte) ˆα ˆβ ˆσ (6 Punkte) t α (2 Punkte) t β (2 Punkte) t-quantil Ablehnung von H 0 : α=0? (0.5 Punkte) Ablehnung von H 0 : β=0? (0.5 Punkte) Punkte 3

16 LÖSUNGSBOGEN Bestimmtheitsmaß 2.4 (5 Punkte) Die Prognose Ê[Y X = 8] V AR(Ê) (2 Punkte) Quantil 95%-Prognoseintervall Punkte 4

17 LÖSUNGSBOGEN Aufgabe 3 (15 Punkte) 3.1 (8 Punkte) E(X) Var(X) Punkte 5

18 LÖSUNGSBOGEN (7 Punkte) Test Prüfgröße unterer kritischer Wert oberer kritischer Wert Ablehnung H 0 Erwartungswert Varianz Punkte 6

19 LÖSUNGSBOGEN Aufgabe 4 (10 Punkte) 4.1 (2 Punkte) [1] [2] [3] [4] 4.2 Anzahl Produktionsmethoden N Punkte 7

20 LÖSUNGSBOGEN Bestimmtheitsmaß Interpretation Punkte 8

21 LÖSUNGSBOGEN σ f-quantil 4.6 prognostizierte Stückzahl (2 Punkte) Punkte 9