Wiederholung. Organisatorisches. VL-11: LOOP und WHILE Programme I. (Berechenbarkeit und Komplexität, WS 2017) Gerhard Woeginger

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1 Organisatorisches VL-11: LOOP und WHILE Programme I (Berechenbarkeit und Komplexität, WS 2017) Gerhard Woeginger Nächste Vorlesung: Mittwoch, November 29, 14:15 15:45 Uhr, Roter Hörsaal Webseite: WS 2017, RWTH BuK/WS 2017 VL-11: LOOP und WHILE Programme I 1/46 BuK/WS 2017 VL-11: LOOP und WHILE Programme I 2/46 Wdh.: Berechenbarkeitslandschaft Wiederholung PCP rekursiv aufzählbare Probleme H Hɛ D MPCP Dioph Entscheidbare Probleme Probleme mit rekursiv aufzählbarem Komplement D H ɛ H Unentscheidbare Probleme mit unentscheidbarem Komplement H tot BuK/WS 2017 VL-11: LOOP und WHILE Programme I 3/46 BuK/WS 2017 VL-11: LOOP und WHILE Programme I 4/46

2 Wdh.: Turing-mächtige Rechnermodelle Wdh.: Turing-Mächtigkeit Definition Ein Rechnermodell wird als Turing-mächtig bezeichnet, wenn jede Funktion, die durch eine TM berechnet werden kann, auch durch dieses Rechnermodell berechnet werden kann. Da die Registermaschine (RAM) die Turingmaschine simulieren kann, ist sie Turing-mächtig Auch die Mini-RAM (eine viel schwächere Variante der RAM mit stark eingeschränktem Befehlssatz) ist Turing-mächtig Reines HTML (ohne JavaScript; ohne Browser) ist nicht Turing-mächtig Tabellenkalkulationen (ohne Schleifen) sind nicht Turing-mächtig Der Lambda Calculus von Alonzo Church ist äquivalent zur TM, und daher Turing-mächtig Die µ-rekursiven Funktionen von Kurt Gödel sind äquivalent zur TM, und daher Turing-mächtig Alle gängigen höheren Programmiersprachen sind Turing-mächtig: Algol, Pascal, C, FORTRAN, COBOL, Java, Smalltalk, Ada, C++, Python, LISP, Haskell, PROLOG, etc. PostScript, Tex, Latex sind Turing-mächtig Sogar PowerPoint ist Turing-mächtig (wegen seiner Animated Features) BuK/WS 2017 VL-11: LOOP und WHILE Programme I 5/46 BuK/WS 2017 VL-11: LOOP und WHILE Programme I 6/46 Vorlesung VL-11 LOOP und WHILE Programme I Die Programmiersprache LOOP Die Programmiersprache LOOP Die Programmiersprache WHILE WHILE versus LOOP WHILE ist Turing-mächtig BuK/WS 2017 VL-11: LOOP und WHILE Programme I 7/46 BuK/WS 2017 VL-11: LOOP und WHILE Programme I 8/46

3 Programmiersprache LOOP LOOP / Syntax (1) Wir betrachten eine einfache Programmiersprache namens LOOP, deren Programme aus den folgenden syntaktischen Komponenten aufgebaut sind: Variablen: x 1 x 2 x 3... Konstanten: Symbole: Schlüsselwörter: ; := + LOOP DO ENDLOOP Die Syntax von LOOP ist induktiv definiert. Induktive Definition / Induktionsanfang: Zuweisungen Für jede Konstante c N sind die Zuweisungen x i := x j + c und x i := x j c LOOP-Programme. BuK/WS 2017 VL-11: LOOP und WHILE Programme I 9/46 BuK/WS 2017 VL-11: LOOP und WHILE Programme I 10/46 LOOP / Syntax (2) LOOP / Semantik (1): Zuweisungen Induktive Definition / Induktionsschritte: Hintereinanderausführung Falls P 1 und P 2 LOOP-Programme sind, so ist auch Die Eingabe ist in den Variablen x 1,..., x n enthalten. Alle anderen Variablen werden mit 0 initialisiert. Das Resultat eines LOOP-Programms ist die Zahl, die sich am Ende der Abbarbeitung in der Variablen x 1 ergibt. P 1 ; P 2 ein LOOP-Programm. LOOP-Konstrukt Falls P ein LOOP-Programm ist, so ist auch LOOP x i DO P ENDLOOP ein LOOP-Programm. LOOP-Programme der Form x i := x j + c sind Zuweisungen des Wertes x j + c an die Variable x i. LOOP-Programme der Form x i := x j c sind Zuweisungen des Wertes x j c an die Variable x i. Anmerkung: Die Variablen dürfen nur natürliche Werte annehmen. Daher verwenden wir die modifizierte Subtraktion: Falls x j < c gilt, so wird das Resultat x i auf 0 gesetzt. BuK/WS 2017 VL-11: LOOP und WHILE Programme I 11/46 BuK/WS 2017 VL-11: LOOP und WHILE Programme I 12/46

4 LOOP / Semantik (2): Hintereinanderausführung LOOP / Semantik (3): LOOP-Konstrukte Die Eingabe ist in den Variablen x 1,..., x n enthalten. Alle anderen Variablen werden mit 0 initialisiert. Das Resultat eines LOOP-Programms ist die Zahl, die sich am Ende der Abbarbeitung in der Variablen x 1 ergibt. Die Eingabe ist in den Variablen x 1,..., x n enthalten. Alle anderen Variablen werden mit 0 initialisiert. Das Resultat eines LOOP-Programms ist die Zahl, die sich am Ende der Abbarbeitung in der Variablen x 1 ergibt. In einem LOOP-Programm P 1 ; P 2 wird zunächst P 1 und danach P 2 ausgeführt. Das Programm LOOP x i DO P ENDLOOP hat folgende Bedeutung: P wird x i mal hintereinander ausgeführt. Anmerkung: Nur der Wert von x i zu Beginn der Schleife ist relevant. Ändert sich der Variablenwert von x i im Inneren von P, so hat dies keinen Einfluss auf die Anzahl der Wiederholungen. BuK/WS 2017 VL-11: LOOP und WHILE Programme I 13/46 BuK/WS 2017 VL-11: LOOP und WHILE Programme I 14/46 LOOP / Semantik (4) Ein LOOP-Programm P mit k Variablen berechnet eine k-stellige Funktion der Form [P]: N k N k. Ist P die Zuweisung x i := x j + c, so ist [P](r 1,..., r k ) = (r 1,..., r i 1, r j + c, r i+1,..., r k ). Ist P die Zuweisung x i := x j c, ist [P](r 1,..., r k ) = (r 1,..., r i 1, r j c, r i+1,..., r k ) falls r j c, und andernfalls [P](r 1,..., r k ) = (r 1,..., r i 1, 0, r i+1,..., r k ). LOOP: Beispiele und Macros Ist P = P 1 ; P 2 eine Hintereinanderausführung, so ist [P](r 1,..., r k ) = [P 2 ]([P 1 ](r 1,..., r k )). Ist P = LOOP x i DO Q ENDLOOP ein LOOP-Konstrukt, so gilt [P](r 1,..., r k ) = [Q] r i (r 1,..., r k ). BuK/WS 2017 VL-11: LOOP und WHILE Programme I 15/46 BuK/WS 2017 VL-11: LOOP und WHILE Programme I 16/46

5 LOOP-Programme / Beispiele (1) LOOP-Programme / Beispiele (2) Das folgende Programm simuliert die Zuweisung x j := x i. Beispiel A x j := x i + 0 Beispiel C x 1 := x 2 ; LOOP x 3 DO x 1 := x ENDLOOP Dieses Programm berechnet die Addition x 1 := x 2 + x 3 Es sei x zero eine Dummy-Variable, die mit 0 initialisiert wird und deren Wert nie verändert wird. Das folgende Programm simuliert dann die Zuweisung x j := c eines konstanten Wertes an eine Variable. Beispiel B Beispiel D x 1 := 0; LOOP x 3 DO x 1 := x 1 + x 2 ENDLOOP x j := x zero + c Dieses Programm berechnet die Multiplikation x 1 := x 2 x 3 BuK/WS 2017 VL-11: LOOP und WHILE Programme I 17/46 BuK/WS 2017 VL-11: LOOP und WHILE Programme I 18/46 LOOP-Programme / Beispiele (3) Übung Skizzieren Sie LOOP-Programme, die die folgenden Operationen berechnen: Die modifizierte Subtraktion x 1 := x 2 x 3 (die für x 2 < x 3 den Wert 0 ergibt) Die Division ohne Rest x 1 := x 2 DIV x 3 Die Modulooperation x 1 := x 2 MOD x 3 LOOP-Programme / Beispiele (4) Es seien P 1 und P 2 LOOP-Programme, in denen die drei Variablen x 1, x 2 und x 3 nicht vorkommen. Beispiel E x 2 := 1; x 3 := 0; LOOP x 1 DO x 2 := 0; x 3 := 1 ENDLOOP; LOOP x 2 DO P 1 ENDLOOP; LOOP x 3 DO P 2 ENDLOOP Dieses Programm entspricht dem Konstrukt: IF x 1 = 0 THEN P 1 ELSE P 2 ENDIF Übung Skizzieren Sie ein LOOP-Programm, das IF x 1 = c THEN P 1 ELSE P 2 ENDIF simuliert. BuK/WS 2017 VL-11: LOOP und WHILE Programme I 19/46 BuK/WS 2017 VL-11: LOOP und WHILE Programme I 20/46

6 Programmiersprache WHILE Die Programme der Programmiersprache WHILE sind aus den folgenden syntaktischen Komponenten aufgebaut: Die Programmiersprache WHILE Variablen: x 1 x 2 x 3... Konstanten: Symbole: ; := + Schlüsselwörter: WHILE DO ENDWHILE BuK/WS 2017 VL-11: LOOP und WHILE Programme I 21/46 BuK/WS 2017 VL-11: LOOP und WHILE Programme I 22/46 WHILE / Syntax WHILE / Semantik Die Eingabe ist in den Variablen x 1,..., x n enthalten. Die Syntax von WHILE ist induktiv definiert, und stimmt weitgehend mit der Syntax von LOOP überein. Zuweisungen x i := x j + c und x i := x j c und Hintereinanderausführung P 1 ; P 2 sind genau wie in LOOP definiert. Der Hauptunterschied zu LOOP besteht im Schleifen-Konstrukt. WHILE-Konstrukt Falls P ein WHILE-Programm ist und x i eine Variable, so ist auch WHILE x i 0 DO P ENDWHILE ein WHILE-Programm. Alle anderen Variablen werden mit 0 initialisiert. Das Resultat eines WHILE-Programms ist die Zahl, die sich am Ende der Abbarbeitung in der Variablen x 1 ergibt. Das Programm WHILE x i 0 DO P ENDWHILE hat folgende Bedeutung: P wird solange ausgeführt, bis x i den Wert 0 erreicht. Ein WHILE-Programm P mit k Variablen berechnet eine k-stellige Funktion der Form [P]: N k N k. Ist P = WHILE x i 0 DO Q ENDWHILE ein WHILE-Konstrukt, so ist [P](r 1,..., r k ) = [Q] l (r 1,..., r k ) für die kleinste Zahl l, für die die i-te Komponente von [Q] l (r 1,..., r k ) gleich 0 ist. Falls solch ein l nicht existiert, so ist [P](r 1,..., r k ) undefiniert. BuK/WS 2017 VL-11: LOOP und WHILE Programme I 23/46 BuK/WS 2017 VL-11: LOOP und WHILE Programme I 24/46

7 WHILE versus LOOP (1) Beobachtung Die LOOP-Schleife WHILE versus LOOP LOOP x i DO P ENDLOOP kann durch die folgende WHILE-Schleife simuliert werden: y := x i WHILE y 0 DO y := y 1; P ENDWHILE Ergo: Jede LOOP-berechenbare Funktion f : N k N ist auch WHILE-berechenbar. BuK/WS 2017 VL-11: LOOP und WHILE Programme I 25/46 BuK/WS 2017 VL-11: LOOP und WHILE Programme I 26/46 WHILE versus LOOP (2) WHILE versus LOOP (3) Es gibt WHILE-Programme, die nicht terminieren: Beispiel x 1 := 1; WHILE x 1 0 DO x 1 := x ENDWHILE LOOP-Programme terminieren immer: Satz Jedes LOOP-Programm hält auf jeder möglichen Eingabe nach endlich vielen Schritten an. Beweis: Durch Induktion über den Syntax-Baum. Hintereinanderausführung P = P 1; P 2 LOOP-Konstrukt P = LOOP x i DO Q ENDLOOP Wir werden zeigen: Satz (wird heute bewiesen) Die Programmiersprache WHILE ist Turing-mächtig. (In anderen Worten: Jede berechenbare Funktion kann von einem WHILE-Programm berechnet werden.) Satz (wird in der nächsten Vorlesung bewiesen) Die Programmiersprache LOOP ist nicht Turing-mächtig. (In anderen Worten: Es existiert eine berechenbare Funktion, die von keinem LOOP-Programm berechnet werden kann.) BuK/WS 2017 VL-11: LOOP und WHILE Programme I 27/46 BuK/WS 2017 VL-11: LOOP und WHILE Programme I 28/46

8 Mächtigkeit von WHILE Mächtigkeit von WHILE Satz Die Programmiersprache WHILE ist Turing-mächtig. Beweis: Wir zeigen, dass jede Funktion, die durch eine TM berechnet werden kann, auch durch ein WHILE-Programm berechnet werden kann. BuK/WS 2017 VL-11: LOOP und WHILE Programme I 29/46 BuK/WS 2017 VL-11: LOOP und WHILE Programme I 30/46 Simulation von TM durch WHILE (1) Wir betrachten eine TM M. Zustandsmenge Q = {q 0,..., q t } Simulierte Turingmaschine M: B B B B δ 1 2 B Der Anfangszustand ist q 1, und der Endzustand ist q 0 TM im Zustand q i WHILE Variable Zustand = i q 1 q 2 q 3 (q 2, 1, R) q 3 Bandalphabet Γ = {1, 2, B} WHILE kodiert Buchstaben 1 durch Dezimalziffer 1, Buchstaben 2 durch Dezimalziffer 2, und Buchstaben B durch Dezimalziffer 0. Alle WHILE Variablen enthalten im Folgenden Dezimalzahlen Entsprechende Konfiguration: 1122 q Drei entsprechende Variablen im WHILE-Programm: Band-vor-Kopf 1122 Variable BandVorKopf Zustand 3 Variable Zustand pfok-ba-danb Variable BandAbKopf BuK/WS 2017 VL-11: LOOP und WHILE Programme I 31/46 BuK/WS 2017 VL-11: LOOP und WHILE Programme I 32/46

9 Simulation von TM durch WHILE (2) Simulation von TM durch WHILE (3A) Jeder Rechenschritt von M wird durch einige WHILE-Befehle simuliert. Jeder Rechenschritt der TM besteht (gemäss Überführungsfunktion) aus (A) Update von Zustand (B) Update von Symbol unterm Kopf (C) Bewegung des Kopfes L,R,N Jeder Rechenschritt der TM besteht (gemäss Überführungsfunktion) aus (A) Update von Zustand (B) Update von Symbol unterm Kopf (C) Bewegung des Kopfes L,R,N Beginn der Rechenschritt Simulation Aktueller Zustand steht in der Variablen Zustand Das Symbol unterm Kopf erhalten wir durch den Befehl UntermKopf := BandAbKopf MOD 10 Der Zustand wird auf neuen Zustand q i gesetzt, indem man die Zuweisung Zustand := i ausführt BuK/WS 2017 VL-11: LOOP und WHILE Programme I 33/46 BuK/WS 2017 VL-11: LOOP und WHILE Programme I 34/46 Simulation von TM durch WHILE (3B) Simulation von TM durch WHILE (3C-links) Jeder Rechenschritt der TM besteht (gemäss Überführungsfunktion) aus (A) Update von Zustand (B) Update von Symbol unterm Kopf (C) Bewegung des Kopfes L,R,N Jeder Rechenschritt der TM besteht (gemäss Überführungsfunktion) aus (A) Update von Zustand (B) Update von Symbol unterm Kopf (C) Bewegung des Kopfes L,R,N Das Symbol unterm Kopf wird auf σ {0, 1, 2} gesetzt, indem man das folgende Programmstück ausführt: BandAbKopf := BandAbKopf DIV 10; BandAbKopf := 10 BandAbKopf + σ; UntermKopf := σ; Der Kopf wird einen Schritt nach links (L) bewegt, indem man: UntermKopf := BandVorKopf MOD 10; BandVorKopf := BandVorKopf DIV 10; BandAbKopf := 10 BandAbKopf + UntermKopf; BuK/WS 2017 VL-11: LOOP und WHILE Programme I 35/46 BuK/WS 2017 VL-11: LOOP und WHILE Programme I 36/46

10 Simulation von TM durch WHILE (3C-rechts) Simulation von TM durch WHILE (3C-nichts) Jeder Rechenschritt der TM besteht (gemäss Überführungsfunktion) aus (A) Update von Zustand (B) Update von Symbol unterm Kopf (C) Bewegung des Kopfes L,R,N Jeder Rechenschritt der TM besteht (gemäss Überführungsfunktion) aus (A) Update von Zustand (B) Update von Symbol unterm Kopf (C) Bewegung des Kopfes L,R,N Der Kopf wird einen Schritt nach rechts (R) bewegt, indem man: UntermKopf := BandAbKopf MOD 10; BandVorKopf := 10 BandVorKopf + UntermKopf; BandAbKopf := BandAbKopf DIV 10; UntermKopf := BandAbKopf MOD 10; Der Kopf wird nicht bewegt (N), indem man gar nichts macht und alle Variablen unverändert lässt: BuK/WS 2017 VL-11: LOOP und WHILE Programme I 37/46 BuK/WS 2017 VL-11: LOOP und WHILE Programme I 38/46 Simulation von TM durch WHILE (4) Ausblick: Landschaft um LOOP, WHILE, TM, RAM Schlussendlich die Grobstruktur der Simulation: Initialisierung Zustand := 1; BandVorKopf := 0; BandAbKopf := Gespiegeltes Eingabewort als Dezimalzahl; UntermKopf := BandAbKopf MOD 10; Die äussere Schleife WHILE Zustand 0 DO IF Zustand=1 AND UntermKopf=0 THEN Schritt ENDIF; IF Zustand=1 AND UntermKopf=1 THEN Schritt ENDIF; IF Zustand=1 AND UntermKopf=2 THEN Schritt ENDIF; IF Zustand=2 AND UntermKopf=0 THEN Schritt ENDIF;. IF Zustand=t AND UntermKopf=2 THEN Schritt ENDIF; ENDWHILE A(m, n) Ackermann Funktion TM = RAM = WHILE = entscheidbar LOOP = primitiv rekursiv + a b a ( ) b n k BuK/WS 2017 VL-11: LOOP und WHILE Programme I 39/46 BuK/WS 2017 VL-11: LOOP und WHILE Programme I 40/46

11 Ackermann Funktion: Definition Die Ackermann Funktion Definition Die Ackermann Funktion A : N 2 N ist folgendermassen definiert: A(0, n) = n + 1 für n 0 A(m + 1, 0) = A(m, 1) für m 0 A(m + 1, n + 1) = A(m, A(m + 1, n)) für m, n 0 BuK/WS 2017 VL-11: LOOP und WHILE Programme I 41/46 BuK/WS 2017 VL-11: LOOP und WHILE Programme I 42/46 Ackermann Funktion: Beispiele (1) Ackermann Funktion: Beispiele (2) A(0, n) = n + 1 für n 0 A(m + 1, 0) = A(m, 1) für m 0 A(m + 1, n + 1) = A(m, A(m + 1, n)) für m, n 0 A(0, n) = n + 1 für n 0 A(m + 1, 0) = A(m, 1) für m 0 A(m + 1, n + 1) = A(m, A(m + 1, n)) für m, n 0 Ein paar Beispiele für m = 1: A(1, 0) = A(0, 1) = 2 A(1, 1) = A(0, A(1, 0)) = A(1, 0) + 1 = 3 A(1, 2) = A(0, A(1, 1)) = A(1, 1) + 1 = 4 A(1, 3) = A(0, A(1, 2)) = A(1, 2) + 1 = 5 Beobachtung A(1, n) = n + 2 Ein paar Beispiele für m = 2: A(2, 0) = A(1, 1) = 3 A(2, 1) = A(1, A(2, 0)) = A(2, 0) + 2 = 5 A(2, 2) = A(1, A(2, 1)) = A(2, 1) + 2 = 7 Beobachtung A(2, n) = 2n + 3 BuK/WS 2017 VL-11: LOOP und WHILE Programme I 43/46 BuK/WS 2017 VL-11: LOOP und WHILE Programme I 44/46

12 Ackermann Funktion: Beispiele (3) Ackermann Funktion: Beispiele (4) A(0, n) = n + 1 für n 0 A(m + 1, 0) = A(m, 1) für m 0 A(m + 1, n + 1) = A(m, A(m + 1, n)) für m, n 0 Und ein paar Beispiele für m = 3: A(3, 0) = A(2, 1) = 5 A(3, 1) = A(2, A(3, 0)) = 2 A(3, 0) + 3 = 13 A(3, 2) = A(2, A(3, 1)) = 2 A(3, 1) + 3 = 29 A(3, 3) = A(2, A(3, 2)) = 2 A(3, 2) + 3 = 61 Beobachtung A(3, n) = 2 n+3 3 Zusammenfassung der Beispiele Wenn man den ersten Parameter fixiert... A(1, n) = n + 2 A(2, n) = 2n + 3 A(3, n) = 2 n+3 3 A(4, n) = 2 2 } 2 {{} 3 n + 3 viele Zweien Bereits der Wert A(4, 2) = ist grösser als die Anzahl aller Atome im Weltraum. BuK/WS 2017 VL-11: LOOP und WHILE Programme I 45/46 BuK/WS 2017 VL-11: LOOP und WHILE Programme I 46/46