Theorie der Reihen. Kapitel Konvergente und divergente Reihen Definition komplexer unendlicher Reihen

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1 Kapitel 2 Theorie der Reihe 2. Kovergete ud divergete Reihe 2.. Defiitio komplexer uedlicher Reihe Uter eier komplexe uedliche Reihe verstehe wir eie Ausdruck der Form mit komplexe Zahle a k C. a k = a + a a + a Beispiel 2.. Betrachte die reelle uedliche Reihe 2 k = = mit a k = 2 k. Dass sich diese Reihe tatsächlich zu addiert, lässt sich a der Formel für die geometrische Reihe, die wir bald keelere, verifiziere oder a eiem Bild. Beispiel 2.2. Die reelle uedliche Reihe ( ) k = ±... köe wir durch geeigetes Klammer versuche auszuwerte: Wo steckt aber der Fehler? ( ) + ( ) + ( ) +... = 0, ( ) ( ) ( )... = usw. 8

2 82 2 Theorie der Reihe Diesem Beispiel köe wir die wichtige Beobachtug etehme: Die Recheregel der elemetare Arithmetik, d.h. die Regel für edliche Summe, gelte icht otwedig auch für uedliche Summe Kovergez uedlicher Reihe Usere Utersuchuge werde geleitet vo usere Ketisse über reelle bzw. komplexe Zahlefolge. Daher begie wir mit der Defiitio 2.. Für eie atürliche Idex N bezeiche wir mit S := die -te Partialsumme der komplexe Reihe a k = a + a a Mit {S } =,2,... liegt us u eie reelle bzw. komplexe Zahlefolge vor. Auf ihre Kovergezeigeschafte baue wir de Kovergezbegriff für Reihe auf: Defiitio 2.2. Die komplexe Reihe a k. {S } =,2,... mit S := a k heißt koverget, falls die Folge a k ihrer Partialsumme kovergiert, d.h. falls der Grezwert existiert S := lim S = lim Nicht kovergete Reihe heiße diverget. Im Falle der Kovergez schreibe wir S = Beispiel 2.3. Die reelle Folge {S } =,2,... mit kovergiert icht. Die Reihe S = k = a k. a k <. ( + ) 2 k ist also diverget, ud wir schreibe k =.

3 2. Kovergete ud divergete Reihe Cauchysches Kovergezkriterium Aus Satz.29 des erste Kapitels wisse wir, dass die Vollstädigkeit der Mege der komplexe Zahle C die folgede Äquivalez beihaltet: {S } =,2,... C ist Cauchyfolge {S } =,2,... kovergiert i C a k <. Nu ist {S } =,2,... geau da eie Cauchyfolge, we zu beliebig vorgegebeem ε > 0 ei atürliches N(ε) N existiert mit S S m < ε für alle m, N(ε). Ohe Eischräkug köe wir auch > m aehme ud damit weiter bereche m S S m = a k a k = a k. k=m+ Die Awedug des Cauchysche Kovergezkriteriums für komplexe Zahlefolge auf diese rechts stehede Summe liefert us da de Satz 2.. Die komplexe uedliche Reihe a k kovergiert geau da, we es zu jedem ε > 0 eie atürliche Zahl N(ε) N gibt mit der Eigeschaft a k < ε für alle > m > N(ε). k=m+ Diesem allgemeie Resultat etehme wir sofort das folgede otwedige Kovergezkriterium: Satz 2.2. Falls die komplexe Reihe (i) {a } =,2,... C eie Nullfolge, (ii) {R } =,2,... C mit R := k= a k kovergiert, so bilde otwedig a k eie Nullfolge. Beweis. Übugsaufgabe. Bemerkug 2.. Bildet {a } =,2,... C keie Nullfolge, so divergiert a k.

4 84 2 Theorie der Reihe Beispiel 2.4. Die Notwedigkeit i der Aussage (i) des vorige Satz macht das Beispiel der folgede reelle Reihe deutlich = , k 2 3 dere Glieder a k zwar eie Nullfolge bilde, die Reihe selbst aber divergiert. Für alle atürliche Zahle > gilt ämlich ud da S = = > =, k 2 3 divergiert, folgt die Behauptug. L. Oliver (827) variierte die Aussage (i) des obige Satzes 2.2 wie folgt: Satz 2.3. Für jede reelle kovergete Reihe fallede Glieder a k, d.h. welche erfülle, gilt otwedig 0 <... a k+ a k... a 3 a 2 a lim k a k = 0. k Beweis. Wir gehe ach Strubecker [33], Seite 58 vor: a k mit ur positive ud mooto. Für gerade Idizes setze wir = 2m, für ugerade = 2m +. Da gilt i jedem Fall 2 m. 2. Nach Satz 2. fide wir zu vorgelegtem ε > 0 ei N(ε) N mit a k = a m+ + a m a + a < ε k=m+ 2. Die hier ageschriebee ( m) Glieder a m+,...,a sid ach Voraussetzug der Mootoie sämtlich größer als das Glied a, d.h. es gilt mit obiger Überlegug 2 a ( m)a k < k=m+a ε 2 bzw. a ε. Da aber ε > 0 beliebig gewählt wurde, folgt die Behauptug. Beispiel 2.5. Beweise Sie als Awedug: Die hyperharmoische Reihe k α = α + 2 α α +... divergiere für alle reelle Poteze 0 < α.

5 2. Kovergete ud divergete Reihe 85 Beispiel 2.6. Die alterierede harmoische Reihe ( ) k = k ±... = l2 4 kovergiert ach dem später zu diskutierede Leibizsche Kovergezkriterium. Im Gegesatz zu de Glieder a k, bilde aber die Produkte a = ( ) = ( ) keie Nullfolge. Das i Satz 2.3 agegebee Kriterium ka daher icht auf Reihe mit icht-positive Glieder agewedet werde. Aus dem Cauchysche Kovergezkriterium werde wir u für die Praxis sechs leichter azuwedede Kriterie ableite, um über Kovergez oder Divergez komplexwertiger Reihe zu etscheide, ud zwar der Reihefolge ach: das Majoratekriterium, das geometrische-reihe-kriterium, das Mioratekriterium, das Leibizkriterium für alterierede Reihe, das Wurzelkriterium, ud das Quotietekriterium. Weitere Kriterie fide Sie i der umfagreiche Literatur zur Aalysis, z.b. i dem vierbädige Lehrbuch Strubecker [33] Das Majoratekriterium Zu diesem Zweck begie wir mit dem Satz 2.4. Es seie a k eie komplexe Reihe ud Reihe, d.h. für die Zahlefolge {b } =,2,... R gilt b k <. Ferer gebe es eie atürliche Zahl M N mit der Eigeschaft Da gilt auch a k <. a b für alle M. b k eie kovergete reelle

6 86 2 Theorie der Reihe Beweis. Da b k kovergiert, existiert ach dem Cauchysche Kovergezkriterium Satz 2. zu vorgegebeem ε > 0 ei N(ε) N mit b k < ε k=m für alle m N(ε). Damit schätze wir uter Verwedug der Dreiecksugleichug wie folgt ab: a k a k b k < ε für alle m N(ε), d.h. k=m k=m k=m a k erfüllt ebefalls das Cauchysche Kovergezkriterium für Reihe ud ist daher koverget. Beispiel 2.7. Wir wisse bereits, dass 2 k = = kovergiert. Nach dem Majoratekriterium kovergiert da auch die Reihe de es ist stets k + = , 2..5 Die geometrische Reihe als Majorate I Kapitel, Hilfssatz.3, Seite 47, habe wir für alle z C \ {} die geometrische Summeformel bewiese z k = z+ z = z+ z, N. Diese Idetität ziehe wir u zum Beweis der achstehede Kovergezresultate für geometrische Reihe wie folgt hera. z k = + z + z 2 + z 3 + z

7 2. Kovergete ud divergete Reihe 87 Satz 2.5. Die folgede Aussage sid richtig: (i) Für alle z C mit z < kovergiert z k = z. z k, ud es gilt (ii) Für alle z C mit z divergiert z k. Beweis. Wir gehe ach Sauvigy [32], Kapitel I, Beweis vo Satz 7 aus 6 vor: (i) Im Falle z < ist {z k },,2,... eie komplexe Nullfolge, ud es folgt mit der geometrische Summeformel (ii) z k = lim z k z + = lim = z lim ( z+ ) lim ( z) = z. Im Falle z ist {z k },,2,... keie Nullfolge, d.h. die Reihe ist ach obigem Satz 2.2 diverget. Das beweist die Behauptug. Beispiel 2.8. Wir komme och eimal auf user erstes Beispiel zurück: 2 k = 2 k = 2 = 2 =. Dieses Ergebis köe wir us sehr schell ahad eier Skizze klarmache. Köe Sie sich auch 4 k = 4 = 3 geometrisch veraschauliche? Die Sätze 2.4 ud 2.5 ziehe wir u zum Beweis useres ächste Kovergezkriteriums hera. Satz 2.6. Die komplexe Zahlefolge {a } =,2,... C geüge a cq für alle N mit reelle Zahle c > 0 ud q (0,). Da ist die Reihe a k koverget. Beweis. Übugsaufgabe.

8 88 2 Theorie der Reihe 2..6 Zeo, Achilles ud die Schildkröte Wir gehe ereut ach Strubecker [33] vor: Obwohl der schellfüßige Achilles im Lauf zehmal scheller als eie im Abstad a > 0 vor ihm befidliche Schildkröte ist, wird er diese ie eihole. Oder etwa doch? Besitzt ämlich die Schildkröte eie Vorsprug der Läge a, so muss Achilles erst diese Vorsprug schließe. I der Zwischezeit ist die Schildkröte aber vorwärts gekroche ud hat so eie eue Vorsprug der Läge 0 a gewoe usw. Das widerspricht userer Erfahrug! Zur Lösug des Rätsels stelle wir die Wege ud Zeite des Achilles ud der Schildkröte i de eizele Etappe ihres Laufes gegeüber: Wir erkee hieri Tabelle 2. Zum Problem des Achilles ud der Schildkröte Weg des Achilles Weg der Schildkröte a a 0 a 0 a 00 a 00 a 000 a 0 a 0 beötigte Zeit t t 0 t 00 t 0 die geometrische Reihe z k + = z mit z = 0 wieder: Gesamtzeit T = t + t 0 + t = t 0 = 0t 9 vo Achilles zurückgelegter Gesamtweg A = a + a 0 + a = a 0 vo der Schildkröte zurückgelegter Gesamtweg Beachte Sie u S = a 0 + a 00 + a = a 0 0a 9 = a + a 9, 0 = 0a 9 d.h. Achilles hat ach Ablauf der Gesamtzeit 0t 9 de afägliche Vorsprug a > 0 aufgeholt. Wori liegt also Zeos Dekfehler? = a 9

9 2. Kovergete ud divergete Reihe Das Mioratekriterium Das Majoratekriterium diet us auch zum Beweis des Satz 2.7. Die reelle Zahlefolge {a } =,2,... R ud {b } =,2,... R mit 0 b a für alle N seie vorgelegt. Ferer divergiere die Reihe Reihe a k, d.h. gilt Beweis. Ageomme, a k =. b k =. Da divergiert auch die a k kovergiert. Die vo dieser Reihe majorisierte Reihe b k müsste da ach Satz 2.4 ebefalls kovergiere im Widerspruch zur Voraussetzug b k =. Wir werde u das Mioratekriterium auf die sogeate harmoische Reihe awede Awedug auf die harmoische Reihe Die harmoische Reihe k = spielt i der Aalysis eie besoders wichtige Rolle. Bereits der frazösische Gelehrte Nikolaus vo Oresme ( ) wies ihre Divergez ach, ud zwar wahrscheilich wie folgt: Zuächst sid > 2, > 2, > 2 ud diese Abschätzuge führe auf usw., k 2 =. Die harmoische Reihe divergiert also auf Grud des Mioratekriteriums.

10 90 2 Theorie der Reihe Wir wolle us vo ihrer Divergez aber auch uter Verwedug des Cauchysche Kovergezkriteriums aus Satz 2. überzeuge. Dazu kozetriere wir us zweckmäßig auf Idizes = 2m ud bereche 2m m S 2m S m = k 2m 2m k = k > k=m+ 2m = m 2m = 2. k=m+ Das Cauchykriterium ist also verletzt, ud die harmoische Reihe divergiert. Bemerkug 2.2. Die harmoische Reihe verdakt ihre Name der Tatsache, dass jedes ihrer Glieder das harmoische Mittel seier beide Nachbarglieder ist, d.h. es gilt, wie Sie sofort verifiziere, 2 a k = a + = 2a k a k+, k = 2,3,4,... a k a k + a k+ k+ Beispiel 2.9. Nach dem Mioratekriterium divergiere die reelle Reihe k α = + 2 α + 3 α für alle α [0,], 4α de es ist stets k α, ud die harmoische Reihe selbst divergiert; siehe auch k Beispiel 2.5 obe. Was köe Sie aber sage für die Reihe k α für reelle α >? 2..9 Alterierede Reihe Wir bezeiche eie reellwertige Reihe a k abwechseld positiv ud egativ sid, wie z.b. π 4 = a k als alteriered, we ihre Glieder Auf G.W. Leibiz (682) geht u folgedes Kovergezkriterium zurück. Satz 2.8. Ist die reellwertige Reihe der Absolutbeträge der Glieder mooto gege Null, d.h. gilt so ist die Reihe koverget. a k alteriered, ud kovergiert die Folge a a 2... a... 0,

11 2. Kovergete ud divergete Reihe 9 Beweis.. Ohe Eischräkug sei a k = ( ) k+ b k mit reelle Koeffiziete b k 0; evetuell muss die gesamte Reihe mit multipliziert werde. Die Mootoievoraussetzug impliziert b b 2 b Die (geeiget geklammerte) Partialsumme S (2k) = (a + a 2 ) + (a 3 + a 4 ) + (a 5 + a 6 ) (a 2k + a 2k ) = (b b 2 ) + (b 3 b 4 ) + (b 5 b 6 ) (b 2k b 2k ) mit geradem Idex 2k wachse wege b k b k+ 0 mit wachsedem k, währed die Partialsumme S (2k+) = a + (a 2 + a 3 ) + (a 4 + a 5 ) (a 2k + a 2k+ ) = b (b 2 b 3 ) (b 4 b 5 )... (b 2k b 2k+ ) mit ugeradem Idex 2k + mit wachsedem k abehme. Damit ist auch 0 S (2k+2) = b b 2 + b 3 b 4 + b 5... b 2k + b 2k+ b 2k+2 = S 2k+ b 2k+2 S 2k+ b, d.h. die beide Teilfolge {S (2k) },2,... ud {S (2k+) },2,... sid ach ute durch 0 ud ach obe durch b beschräkt. 3. Ihre Mootoie etehme wir die Existez der Grezwerte S g := lim k S (2k) ud S u := lim k S (2k+) ach Kapitel, Satz.24 ud der aschließede Bemerkug.8. Die Recheregel für kovergete Zahlefolge liefer jetzt S u S g = lim S (2k+) lim S (2k) = lim S(2k+) S (2k) k k k = lim b 2k+ = 0, k wobei wir die Voraussetzug a k 0 ausutze. Es gilt also S u = S g. Führe Sie de Beweis des Satzes u zu Ede. Beispiel 2.0. Die reellwertige Reihe ( ) k+ = + ±... k kovergiert ach dem Leibische Kovergezkriterium für alterierede Reihe. Beispiel 2.. Die alterierede harmoische Reihe besitzt de Reihewert ( ) k = k ±... = l

12 92 2 Theorie der Reihe Beispiel 2.2. E.C. Catala wies darauf hi, dass die Bedigug der Mootoie der a k > 0 im Leibizsche Kovergezkriterium wesetlich ist ud gab als Gegebeispiel die folgede uedliche Reihe a ±... Die Summade a k strebe zwar für k gege 0, aber icht mooto. Werte Sie mit Catala aber aus: Das Wurzelkriterium Das achstehede Wurzelkriterium sowie das dara aschließede Quotietekriterium stelle sich i der Praxis als besoders ützliche Hilfsmittel für Kovergezutersuchuge vo Reihe heraus. Achte Sie bitte darauf, dass auch die Beweise dieser beide Kriterie wesetliche Gebrauch vo der Kovergez der geometrische Reihe i Zusammehag mit dem Majoratekriterium mache. Das zeigt ereut die Mächtigkeit dieser beide elemetare, aber grudlegede Kriterie. Satz 2.9. Die komplexe Zahlefolge {a } =,2,... C sei gegebe. Da sid die folgede Aussage richtig: (i) (ii) Ist limsup Ist limsup a <, so ist a >, so ist a k koverget. a k diverget. Beweis. Wir gehe ach Sauvigy [32], Kapitel I, Beweis vo Satz 9 aus 6 vor: (i) Es sei r := limsup a <. Nach Satz.26 aus Kapitel existiert zu eiem beliebige q (r,) stets eie atürliche Zahl N(q) N mit der Eigeschaft a q für alle N(q) bzw. a q für alle N(q). Die Kovergez der Reihe folgt jetzt aus Satz 2.6 (i leicht variierter Form).

13 2. Kovergete ud divergete Reihe 93 (ii) Es sei u r := limsupr > mit r := a. Nach Satz.26 aus Kapitel existiert eie Teilfolge mit der Eigeschaft {r k },2,... {r } =,2,... r k r. Da aber auch r > vorausgesetzt ist, existiert ei Idex K N, so dass r k = k a k > bzw. a k > für alle k K richtig ist, d.h. {a } =,2,... ist keie Nullfolge. Nach Satz 2.2 kovergiert die Reihe a k icht. Damit ist der Satz bewiese. Bemerkug 2.3. Im Grezfall lim sup a = köe wir mittels des Wurzelkriteriums icht zwische Kovergez ud Divergez der Reihe a k etscheide. Beispiel 2.3. Die Reihe k k + k 2 ist koverget, de wege a = = + + e < für mit der Eulersche Zahl e = gilt lim sup a = lim a 2 <. Die behauptete Kovergez folgt aus dem Wurzelkriterium. Dass tatsächlich lim + = e richtig ist, werde wir i de Übuge achweise.

14 94 2 Theorie der Reihe 2.. Das Quotietekriterium Satz 2.0. Die komplexe Zahlefolge {a } =,2,... C sei gegebe. Ferer existiere eie atürliche Zahl N N mit der Eigeschaft a = 0 für alle N. Da sid die folgede Aussage richtig: (i) Ist limsup a + a <, so ist k koverget. a (ii) Ist a + a für alle M N mit M N, so ist k diverget. a Beweis. Wir gehe ach Sauvigy [32], Kapitel I, Beweis vo Satz 0 aus 6 vor: (i) Zuächst setze wir η := limsup a + a <. Zu reellem q (η,) existiert ach Kapitel, Satz.26 ei N(q) N mit N(q) N ud a k+ a k q für alle k N(q). Es folgt mit der abkürzede Setzug N := N(q) für alle N a = an+ a N+2... a a q q... q = q N a N a N a N+ a 2 a bzw. ach Umstelle a an q N = ( an q N ) q =: C q für alle N (ii) mit C := an q N. Die behauptete Kovergez folgt aus Satz 2.6. Nu gelte mit der aus der Behauptug (ii) bekate atürliche Zahl M N a k+ a für alle k M. k Wir bereche a a M = a M+ a M a M+2 a M+... a a 2 a a... für alle M bzw. ach Umstelle a a M für alle M. Nach Voraussetzug ist aber a M > 0, d.h. {a } =,2,... ist keie Nullfolge, ud die Reihe divergiert ach Satz 2.2. Damit ist der Satz vollstädig bewiese.

15 2.2 Umordug vo Reihe 95 Beispiel 2.4. Die Reihe a + a k 2 2 k ist koverget, de wege = ( + ) = < gilt mit beliebigem ε (0, 2 ) lim sup a + a = lim a + a 2 + ε <. Die behauptete Kovergez folgt aus dem Quotietekriterium. 2.2 Umordug vo Reihe 2.2. Absolute ud bedigte Reihekovergez Die alterierede harmoische Reihe ( ) k = l2 k kovergiert ach Leibizkriterium, aber es kovergiert icht die hieraus, durch Übergag zu de Beträge gewoee harmoische Reihe ( ) k k = k =. Das führt us auf die folgede Defiitio 2.3. Die komplexwertige Reihe a k <. a k heißt absolut koverget, falls gilt Eie kovergete, aber icht absolut kovergete Reihe heißt bedigt koverget. Die alterierede harmoische Reihe kovergiert also icht absolut. Bemerkug 2.4. Jede absolut kovergete Reihe ist ach dem Majoratekriterium auch koverget.

16 96 2 Theorie der Reihe Der Begriff der Umordug vo Reihe Die beide achstehede Umordugssätze hadel vo bedigt kovergete bzw. vo absolut kovergete Reihe. Wir müsse aber zuächst de Begriff eier Reiheumordug festhalte: Defiitio 2.4. Der komplexe Zahlefolge {a } =,2,... C sei vermöge der uedliche Permutatio π : N N, k π(k) := k N, zwische de atürliche Zahle die komplexe Folge {a k },2,... C zugeordet: a k := a k = a π(k), k N. Da heißt die Reihe a k eie Umordug der Reihe a k Der Riemasche Umordugssatz Um diese erste Umordugssatz zu motiviere, betrachte wir zwei Beispiele. Beispiel 2.5. De Reihewert S = l 2 der alterierede harmoische Reihe S = ( ) köe wir wie folgt ach ute ud ach obe eischließe: 2 = 2 < S < 5 6 = 2 + 3, also 2 < S < 5 6. Die spezielle Umordug dieser Reihe ist jedoch echt größer als 5 6 ist - jeder Klammerausdruck ist ämlich positiv, ud bereits für de erste Klammerausdruck gilt = 6 5. Beispiel 2.6. Wir betrachte och eimal die alterierede harmoische Reihe mit dem Reihewert S = l 2 ud klammer wie folgt: S =

17 2.2 Umordug vo Reihe 97 Wir wolle diese Summe durch geeigetes Maipuliere auf de Wert S = 0 brige. Dazu stelle zuächst die Summade wie folgt um S = ( ) 6 Wir erier jetzt a ( ) aus dem vorige Beispiel ud bilde S 2, d.h. S 2 = , ud addiere dieses Ergebis zu S aus ebe jeer Defiitio ( ) : S + S 2 = = = Das stimmt aber mit ( ) überei, ud es ergibt sich ereut ei Widerspruch: S = S + S 2 = 3 S bzw. S = 0. 2 Die alterierede harmoische Reihe ist zwar bedigt koverget, aber ebe icht absolut koverget, ud für geau solche Folge gilt der sogeate Riemasche Umordugssatz: Satz 2.. Die reelle Reihe a k kovergiere bedigt. Da existiert zu jeder reelle Zahl s R eie Umordug a k vo a k im Sie vo Defiitio 2.4, so dass gilt a k = s. Beweis. Übugsaufgabe Der Umordugssatz Ersetze wir im Riemasche Umordugssatz die Voraussetzug bedigt koverget durch absolut koverget, so stellt sich die Situatio dar wie bei der Additio edlich vieler komplexer Zahle:

18 98 2 Theorie der Reihe Satz 2.2. Es seie {a } =,2,... C ud {a } =,2,... C zwei komplexe Zahlefolge, ud es stelle a k eie Umordug vo a k im Sie vo Defiitio 2.4 dar. Kovergiert u a k absolut, so kovergiert auch a k = a k. a k Beweis. Wir gehe ach Sauvigy [32], Kapitel I, Beweis vo Satz 2 aus 7 vor.. Betrachte die vo der absolut kovergete Reihe a k zur Umordug absolut, ud es gilt a k führede Permutatio a k = a j k mit der bijektive Abbildug k j k N. Zu festem m N gibt es eie Idex m mit der Eigeschaft { j,..., j m } {,...,}. Es folgt daher uter Beachtug der absolute Kovergez der ursprügliche Reihe die Abschätzug m a m k = a jk j= a j j= a j <. Da aber m N beliebig war, folgt a k <, d.h. a k ist absolut koverget. 2. Es verbleibt zu zeige, dass die Werte beider im Satz geate Reihe übereistimme: Zu vorgegebeem ε > 0 existiert zuächst ei N(ε) N mit da die zur Reihe a k < ε für alle m > N(ε) ( ), k=m a k gehörige Folge der Partialsumme eie Cauchyfolge bildet. Ferer existiert ei K(ε) N(ε), so dass richtig ist {,...,N(ε)} { j,..., j } für alle K(ε). Jetzt schätze wir wie folgt ab: a k a k = a jk a k = a jk a k,...,: j k >N(ε) a jk +,...,: j k >N(ε) k=n(ε)+ a k. k=n(ε)+ Wege ( ) folgt damit a k a k < ε + ε = 2ε für alle K(ε), d.h. wir habe lim a k = lim a k. Damit ist der Satz vollstädig bewiese.

19 2.3 Doppelreihe Doppelreihe Wir wolle i diesem Abschitt de sogeate Cauchysche Produktsatz für komplexe Doppelreihe m,=0 keelere. Dazu begie wir mit der Defiitio 2.5. Die komplexe Doppelreihe l=0 c m m,=0 c ml l < c m heißt absolut koverget, falls gilt für jede Abzählug {(m, ),(m 2, 2 ),...} N 0 N 0 des Gitters N 0 N 0. Bemerkug 2.5. Ma überlege sich mit Hilfe des obige Umordugssatzes, dass der Wert eier absolut kovergete Doppelreihe uabhägig vo der gewählte Abzählug des Gitters N 0 N 0 ist Der Cauchysche Produktsatz für Reihe Absolut kovergete Doppelreihe köe wir ach dem folgede Cauchysche Resultat wie Produkte edlicher Summe darstelle: Satz 2.3. Es seie {a } =0,,2,... C ud {b } =0,,2,... C zwei komplexe Zahlefolge, für welche die zugehörige Reihe a k ud b l l=0 absolut kovergiere. Da kovergiert auch die Doppelreihe ud es gilt die Produktdarstellug mit der Setzug a m b = m,=0 c l = l a k b l k = m=0a m l =0b = c l l=0 a l k b l, l = 0,,2,... a m b absolut, m,=0

20 00 2 Theorie der Reihe Beweis. Wir gehe ach Sauvigy [32], Kapitel I, Beweis vo Satz 3, 7 vor.. Auf Grud der absolute Kovergez der Reihe wir zuächst für beliebiges N 0 N 0 N 0 N0 N0 a m b = a m b m,=0 m=0 =0 m=0 a m m=0 a m ud =0 b =0 b bereche Daher gilt auch für jede Abzählug (m l, l ), l = 0,,2,..., vo N 0 N 0 l=0 a ml b l a m m=0 b =0. <. Nach Defiitio 2.5 ist somit die Doppelreihe a m b absolut koverget, m,=0 ud der Wert dieser Reihe ist uabhägig vo der gewählte Abzählug des Gitters N 0 N Wir erkee ferer d.h. auch die Reihe l=0 l=0 c l a m m=0 b =0 c l ist absolut koverget. <, 3. I der für beliebiges N 0 N 0 gültige Idetität N 0 N0 N0 a m b = a m b m,=0 m=0 =0 aus dem erste Beweispukt, köe wir u ach dem vorige Kovergezbeweis zum Grezwert N 0 übergehe ud erhalte a m b = m,=0 m=0a m =0b Da der Wert der like Doppelreihe vo der gewählte Abzählug des Gitters N 0 N 0 uabhägig ist, wähle wir als eie solche Abzählug speziell m,=0 a m b = l=0 m, 0:m+=l a m b =. l=0 c l. Damit ist der Satz vollstädig bewiese.

21 2.4 Komplexe Potezreihe Komplexe Potezreihe 2.4. Die komplexe Expoetialfuktio. Potezreihe Eie der wichtigste Fuktioe i der Mathematik ist die Expoetialfuktio, die wir a dieser Stelle als Beispiel ud Motivatio für usere folgede Betrachtuge eiführe wolle: Defiitio 2.6. Die komplexe Expoetialreihe ist gegebe durch expz := z k k!, z C. Nach dem Quotietekriterium Satz 2.0 ist diese Reihe für alle z C koverget, de wir bereche mit a = z! lim a + a = lim z +! z ( + )! = lim z + = 0. Defiitio 2.7. Eie Zuordug P: C C der Form P(z) := mit komplexwertige Koeffiziete a k C für alle k = 0,,2,... heißt eie komplexe Potezreihe. Isbesodere hadelt es sich um ei komplexes Polyom N-te Grades mit eier atürliche Zahl N N, we gelte a N = 0 sowie a = 0 für alle > N. a k z k Der Satz vo Cauchy ud Hadamard Wir übertrage u das Wurzelkriterium aus Satz 2.9 auf Potezreihe. Satz 2.4. Es seie P(z) := Ferer setze wir a k z k eie komplexe Potezreihe ud α := limsup a. +, falls α = 0 R := α, falls α (0,+) 0, falls α = + Es ist da P(z) für alle z < R koverget ud für alle z > R diverget.

22 02 2 Theorie der Reihe Beweis. Wir gehe ach Sauvigy [32], Kapitel I, Beweis vo Satz 2, 6 vor:. Sei z < R gewählt. Es gilt z < geau da, we lim sup a z limsup a = limsup a z < richtig ist. Das Wurzelkriterium Satz 2.9 liefert die Kovergez vo P(z). 2. Die etsprechede Ausführuge im Fall z > R belasse wir als Übug. Damit ist der Satz bewiese Der Kovergezradius Die reelle Zahl R 0 aus diesem Satz bekommt eie besodere Name. Defiitio 2.8. Es heißt R [0,] aus Satz 2.4 der Kovergezradius vo P(z), ud die Mege z < R bezeiche wir als ihre Kovergezbereich. Beispiel 2.7. Die geometrische Reihe P(z) = z k kovergiert ach Satz 2.5 für alle z < ud divergiert für alle z. Sie besitzt also de Kovergezradius R =. Beispiel 2.8. Die komplexe Expoetialreihe P(z) = z k k! kovergiert ach dem Majoratekriterium für alle z C ud besitzt daher de Kovergezradius R = Absolute Kovergez vo Potezreihe Komplexe Potezreihe kovergiere stets im Pukt z 0 = 0. Kovergiert sie aber auch i eiem Pukt z 0 = 0, so köe wir die folgede Aussage treffe: Satz 2.5. Die komplexe Potezreihe P(z) = a k z k kovergiere i eiem Pukt z 0 C \ {0}. Da ist P(z) absolut koverget für alle z C mit z < z 0.

23 2.4 Komplexe Potezreihe 03 Beweis. Wir gehe ach Sauvigy [32], Kapitel I, Beweis vo Satz 4, 6 vor: Da P(z) i z 0 C \ {0} kovergiert, gilt auch lim k a kz k 0 = 0, d.h. es gibt eie Zahl C (0,+) mit der Eigeschaft a z 0 C für alle N 0. Damit folgt für beliebiges z C mit z < z 0 a z = a z 0 z = a z 0 z C z =: C q für alle N 0 mit der Setzug q := z = z z 0 <. z 0 z 0 z 0 z 0 Mit der geometrische Reihe als Majorate folgt die Behauptug des Satzes. Beispiel 2.9. Die komplexe Expoetialreihe expz = z k k!, z C, aus Defiitio 2.6, welche für alle z C kovergiert, ist i C absolut koverget Der Cauchysche Produktsatz für Potezreihe Wir wolle usere Betrachtuge mit der Verallgemeierug des Cauchysche Produktsatzes Satz 2.3 auf Potezreihe, die us z.b. bei der Behadlug der komplexe Expoetialfuktio wichtige Dieste leiste wird. Satz 2.6. Gegebe seie die beide Potezreihe a k z k ud alle z C mit z < R für ei R (0, ] kovergiere. Da gilt mit der Setzug c := a k z k a k b k = b k z k = c k z k a k b k, = 0,,2,... b k z k, welche für

24 04 2 Theorie der Reihe Beweis. Nach vorigem Satz 2.5 kovergiere die beide Potezreihe absolut für alle z < R, ud die Behauptug folgt umittelbar aus Satz 2.3. Beispiel (Fuktioalgleichug für die komplexe Expoetialreihe) Wir köe die Cauchysche Produktformel aus Satz 2.3 für absolut kovergete Reihe auf die komplexe Expoetialreihe exp z uter Zuhilfeahme des biomische Lehrsatzes awede: z k z l k 2 z expz expz 2 = = k! l! l zk l 2 l!(k l)! = k! k l=0 = exp(z + z 2 ). l=0 k z l l zk l 2 = l=0 (z + z 2 ) k Das ist die sogeate Fuktioalgleichug der komplexe Expoetialreihe: expz expz 2 = exp(z + z 2 ) für alle z,z 2 C. k!