Übungsaufgaben zu Analysis 1 Lösungen von Blatt VIII vom

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Ursula Kurzmann
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1 Prof. Dr. Moritz Kaßmann Faultät für Mathemati Wintersemester 04/05 Universität Bielefeld Übungsaufgaben zu Analysis Lösungen von Blatt VIII vom Aufgabe VIII. (8 Punte) a) Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz. Beweisen Sie Ihre Behauptung.!, (ii) 4, (iii) 4 +, (iv) ( + ). b) Berechnen Sie die Grenzwerte der folgenden Reihen: n 3 n, (ii) n (3n + )(3n ). Aufgabe VIII. (5 Punte) a) Beim Anwenden des Wurzelriteriums verwendet man häufig die Tatsache n n =. n Beweisen Sie diese Aussage. Hinweis: Zeigen Sie, dass die durch a n = n n definierte Folge gegen Null onvergiert, indem Sie den Ausdruc ( + a n ) n geeignet abschätzen. b) Sei 0 < q <. Zeigen Sie mit dem Wurzelriterium, dass die folgende Reihe onvergiert: q. Aufgabe VIII.3 (3 Punte) Beweisen Sie den folgenden Satz: Satz: Sei (a n) eine reelle Zahlenfolge mit a n > 0. Es gebe ein c > n 0 N derart, dass für alle n n 0 gilt: an+ a n c n. Dann onvergiert a. Falls ein n 0 N existiert, sodass für alle n n 0 gilt Dann ist a divergent. a n+ a n n. Aufgabe VIII.4 (4 Punte) Sei z C. Untersuchen Sie die unten stehenden Reihen auf Konvergenz. Machen Sie gegebenenfalls eine Fallunterscheidung., (ii) Lösungsvorschläge. Erreichbare Puntzahl: 0

2 Übungsblatt VIII Lösungen Seite Aufgabe VIII. a) Die Reihe overgiert nach dem Quotientenriterium, denn es gilt =! ( + )! = + = 0 <. (+)!! (ii) Die Reihe onvergiert nach dem Majorantenriterium. Für alle N mit gilt 4 gilt für beliebiges N N, N N overgiert. N 4 N 4 4 = (iii) Die Reihe overgiert nach dem Majorantenriterium, denn für beliebiges N N gilt N N 4 + = N overgiert. (iv) Die Reihe overgiert nach dem Wurzelriterium, denn es gilt ( sup + ) ( = sup + ) = <. b) Mit der geometrischen Summenformel erhalten wir (ii) Es gilt 3 = = 3 4 = ( ) 4 N = 4 =. ( ) 4 (3 + )(3 ) = A B 3 A = 3 B = 3 (3 + )(3 ) = ( ) = 9 6 [( = n 3 + ) ( ) ( [ = n 6 + ] = 9n n ( ) 9 6 ( 9n ) + + 9n 6 )]

3 Übungsblatt VIII Lösungen Seite 3 Aufgabe VIII. a) Wir betrachten die Folge (a n ), definiert durch a n = n n 0 für jedes n N. Dann ist ( + a n ) n = n mit dem binomischen Lehrsatz folgt: n = ( + a n ) n = ( ) n a n ( ) n a n = Nach Division der linen rechten Seite mit n erhält man n a n a n n a n n(n ) a n. n für jedes n. Wegen der ( Positivität ) der Folge (a n ) der Tatsache, dass sie nach oben durch die Nullfolge n beschränt ist, ist (a n) selbst eine Nullfolge, n woraus die Aussage folgt. b) Anwendung des Wurzelriteriums liefert sup q = q sup Also onvergiert die Reihe nach dem Wurzelriterium. = q <. Aufgabe VIII.3 Dieses Konvergenzriterium ist beannt unter dem Namen Raabe-Kriterium, benannt nach dem Schweizer Mathematier Joseph Ludwig Raabe. Wir zeigen zuerst die absolute Konvergenz von a. Sei n n 0 beliebig. Wir formen die Voraussetzung des Satzes wie folgt um Addition dieser Ungleichungen liefert a n+ a n c n n a n+ n a n c a n (c ) (c ) a n (n ) a n n a n+. a (( ) a a + ). Die rechts stehende Summe ist eine sogenannte Telesopsumme, in der sich fast alle Summanden herausheben. Es folgt (c ) a (n 0 ) a n0 n a n+ (n 0 ) a n0. Da c >, önnen wir auf beiden Seiten durch c teilen erhalten a (n 0 ) a n0. c

4 Übungsblatt VIII Lösungen Seite 4 Also ist die Folge der Partialsummen beschränt da ( n a eine monoton )n wachsende Folge ist, folgt die Behauptung. Sei ohne Beschränung der Allgemeinheit n 0 n n 0. Aus der Voraussetzung folgt na n+ (n )a n. Wiederholtes Anwenden dieser Ungleichung liefert Somit divergiert a, da na n+ (n )a n (n )a n (n 0 )a n0 die harmonische Reihe divergiert. Aufgabe VIII.4 a n+ (n 0 ) a n0. n a + (n 0 )a n0 Die Anwendung des Quotientenriteriums liefert + ( + ) = ( ) z = z. + Also onvergiert die Reihe im Fall z < onvergiert nicht im Fall z >. Wir müssen den Fall z = gesondert untersuchen. Sei also z =. Dann onvergiert die Reihe für alle z C mit z =, denn nach dem Majorantenriterium gilt onvergiert. = (ii) Die Anwendung des Quotientenriteriums liefert + + ( ) = z = z. + Also onvergiert die Reihe im Fall z < onvergiert nicht im Fall z >. Wir müssen den Fall z = gesondert untersuchen. Es ist lar, dass für z = die Reihe nicht onvergiert, da die harmonische Reihe nicht onvergiert. Sei also z C mit z = z. Für n, m N mit n m sei s m n := ( z) m =n.

5 Übungsblatt VIII Lösungen Seite 5 Dann gilt: s m z n n = n + s m n = ( z) =n+ m =n = zn n + =n+ ( ) zm+ m n + m + ( ) zm+ m =n+ ( ) = m. Sei ε > 0 beliebig. Da ( ) eine Nullfolge ist, existiert ein n0 N derart, dass n < ε für alle n n 0. Seien m, n n 0 mit m n. Dann gilt s m n < ε. Also onvergiert die Reihe ( z) z folglich auch z. nach dem Cauchy-Kriterium (Satz II.58) da z

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