b) Was ist eine Gradsequenz? Eine sortierte Folge der Grade der Knoten aus einem Graphen.

Transkript

1 Forml Mthon r Inormtik WS 2010/2011 Lhrstuhl ür Dtnnkn un Künstlih Intllignz ProDrDrFJRrmhr H Ünvr T Rhl J Dollingr 4 Augnltt Bsprhung in n Tutorin vom ( Üungstrmin) is (is Üungstrmin) 17 Aug (5 Punkt) Vrstännisrgn: ) Ws ist in Gr ins Knotns? (v) i Anzhl r Kntn, i isr Knotn ht ) Ws ist in Grsqunz? Ein sortirt Folg r Gr r Knotn us inm Grphn ) Folgt us r glihn Grsqunz zwir Grphn, ss i Grphn isomorph sin? Nin ) Ws ist in Wg urh inn Grphn? Ein Folg von Knotn, soss s zwishn jn zwi uinnrolgnn Knotn in r Folg in Knt git ) Ws ist in Zyklus in inm Grph? Ein inhr Wg, i m Strt- un Enknotn glih sin ) Wnn ist in Grph zusmmnhängn? Wnn s inn Wg von jm Knotn zu jm nrn git g) Ist in strk zusmmnhängnr Grph uh shwh zusmmnhängn? J h) Ws ist in Bum? Ungrihttr Bum: Ein ungrihttr, zusmmnhängnr, zyklishr Grph Grihttr Bum: Ein grihttr, shwh zusmmnhängnr, zyklishr Grph mit inm usgzihntn Knotn, r Wurzl, von r us ntwr ll nrn Knotn us rrihr sin (Out-Tr) or i slst von lln nrn Knotn us rrihr ist (In-Tr) ltrntiv (Grihttr Bum): nsttt: zyklishr Grph ür inn inutign Wg rrihr ltrntiv (Grihttr Bum, Out-Tr): Ein grihttr, zyklishr Grph ist in grihttr Bum, wnn ll Knotn inn Eingngsgr 1hn un s gnu inn Knotn mit Eingngsgr 0 git (In-Tr: nlog ür Ausgngsgr) i) Wnn ist in Bum r Höh nh usgglihn? Wnn ll Tiläum sinr irktn Nholgr sih mximl um 1 in ihrr Höh voninnr untrshin Höh ins Bums: Höh ins Knotns: Größt Höh untr lln sinn Knotn Läng s Wgs von r Wurzl is zum Knotn j) Wnn ist in Bum m Gwiht nh usgglihn? Wnn ll Tiläum sinr irktn Nholgr sih mximl um 1 in r Anzhl ihrr Knotn voninnr untrshin

2 18 Aug (2 Punkt) Zusmmnhängn Grphn: Wlh r olgnn Grphn sin zusmmnhängn, zw shwh or strk zusmmnhängn? ) ) h i j l m o p g k n q m ) h i j k n ) g l zu ) niht zusmmnhängn, Tilgrphn: {{, }, {, }, {, }} un {{, }} zu ) lut Dinition: shwh zusmmnhängn lut Dinition (im Skript, Foli 26): Ein Bum ist in ungrihttr, zusmmnhängnr Grph ohn Zykln Nh isr Dinition wär s kin Bum Es git joh uh tws wnigr strng Dinitionn, i uh Bäum i grihttn Grphn zulssn lut Dinition (im Skript, Foli 27): Ein grihttr Bum ist in grihttr Grph mit inm usgzihntn Knotn, r so gnnntn Wurzl, ür n gilt, ss im Fll von Out-Trs jr Knotn urh gnu inn grihttn P von ism us rrihr ist or ss im Fll von In-Trs isr von jm Knotn us urh gnu inn grihttn P rrihr ist (untrshilih Dinitionn) Shlussolgrung: Dr hir gilt grihtt Grph ist in Out-Tr mit m Knotn m ls Wurzl zu ) niht zusmmnhängn, Tilgrphn: {(, ), (,), (,), (h, )} un {(n, l), (l, j), (j, ), (, g), (, ), (i, ), (, k), (k, m)} zu ) shwh zusmmnhängn

3 19 Aug ( Punkt) Grsqunzn: Ggn sin i olgnn Grphn: 1 i) I II III ii) 2 4 iii) iv) A v) vi) A IV V VI 5 6 B C D E B C F D E F Brhnn Si i Grsqunzn r inzlnn Grphn i) (,, 2, 2, 1, 1) ii) (4,, 2, 2, 2, 1) iii) (,,, 2, 2, 1) iv) (4,, 2, 2, 2, 1) v) (4,, 2, 2, 2, 1) vi) (5, 2, 2, 1, 1, 1) 20 Aug (2 Punkt) Grsqunztst: Au inr Prty inn sih sin Prsonn Ist s möglih, ss j isr Prsonn gnu ri nr Bsuhr r Prty knnn? Hinwis: Es wir von usggngn, ß Prsonn sih immr ggnsitig knnn 1 Grish:? g Ds Prolm ist symmtrish Dshl lässt sih oba rits urh usproirn ststlln: Es ght niht u! Ein Prtygst lit ürig, ür n kin rittr Bknntr mhr ürig ist Ein ntsprhnr Grph knn niht gzihnt wrn

4 2 Grsqunztst: Zhlnolg: (,,,,,, ) (lit zu prün, o is in gültig Grsqunz ist) i) Sih Vorlsung, Foli 16/Til 2 (zw uh Foli 12/Til 2): Di Summ r Knotngr ist ungr lut 1 Kritrium: kin Grsqunz (igntlih wärn wir shon rtig) ii) Will mn n Algorithmus s Grsqunztst r ttsählih urhspiln, so kommt mn u olgns Ergnis: rst Zir strihn is Zir htt n Wrt, hr i nähstn Zirn um 1 rnirign, i olgnn inh ürnhmn nu sortirn rst Zir wir strihn is Zir htt n Wrt, hr i nähstn Zirn um 1 rnirign, i olgnn inh wir ürnhmn nu sortirn rst Zir wir strihn is Zir htt n Wrt 2, hr i nähstn 2 Zirn um 1 rnirign, i olgnn inh wir ürnhmn nu sortirn rst Zir wir strihn is Zir htt n Wrt 2, hr i nähstn 2 Zirn um 1 rnirign, i olgnn inh wir ürnhmn Nulln könnn gstrihn wrn nu sortirn 1 s ist nur noh in ungr Anzhl von Einsn ürig rolglosr Aruh! nr Aruhgrünung: rst Zir wir strihn is Zir htt n Wrt 1, hr i nähst 1 Zir um 1 rnirign, i olgnn inh wir ürnhmn 1? r: niht mhr gnügn Zir, i rnirigt wrn könntn rolglosr Aruh!

5 21 Aug (4 Punkt) Bonus: Mtrixmultipliktion: Ggn sin i Mtrizn: A ( ) B C Brhnn Si: ) A B A B ) B C B C ( ) ( ( ) ( ) )

6 22 Aug ( Punkt): Ggn si r Grph G (V,E) mitv {U, M, R, S, B, K} Di nggnn Knotn sthn ür i Europlänr Ungrn, Molwin, Rumänin, Srin, Bulgrin, Krotin (Hinwis: Vrwhsln Si niht n ingzihntn Vrlu r Donu mit vtl Länrgrnzn) ) Gn Si i Kntnmng E n (Zwishn zwi Länrn stht nn in Knt, wnn is Länr nhrt sin) G (V,E) V {U, M, R, S, B, K} E {{U, K}, {U, S}, {U, R}, {K, S}, {R, S}, {S, B}, {R, M}, {R, B}} ) Zihnn Si n Grphn G U M K R S B ) Gn Si i Drstllung s Grphn G ls Ajznzmtrix n U M R S B K U M R S B K ) Gn Si i Grsqunz ür n Grphn G n Di Gr r Knotn sin (, 1, 4, 4, 2, 2) Durh Sortirn r Folg kommt mn i Grsqunz: (4, 4,, 2, 2, 1)

7 ) Qurirn Si i Ajznzmtrix s Grphn G Vrwnn Si inml i norml Mtrix-Multipliktion sowi inml i ool sh Mtrix-Multipliktion Ws stllt s Ergnis r? Norml Mtrix-Multipliktion: Ein Eintrg x ij n r Stll (i, j) in r qurirtn Mtrix git i Anzhl r Wg von Knotn i nh Knotn j n, i i Läng 2 hn Zum Bispil git s zwishn K un R zwi Wg r Läng zwi: inml ür U un inml ür S Bool sh Mtrix-Multipliktion: Fst wi s Ergnis r normln Mtrix-Multipliktion Joh wrn ll Zhln in r Ergnis-Mtrix, i größr ls 1 sin u 1 ruzirt Intrprttion: Ein Eintrg x ij n r Stll (i, j) in r qurirtn Mtrix git n, o in Wg xistirt, r von Knotn i nh Knotn j ührt, r gnu i Läng 2 ht Dis Mtrix stllt in Vrinhung (untr Inormtionsvrlust) s Ergnisss r normln Mtrix-Multipliktion r Hinwis: Einig Whrhitsoprtionn (Bool sh Oprtorn): un-vrknüpung, Symol: un lsh lsh lsh lsh whr lsh whr lsh lsh whr whr whr ntspriht or-vrknüpung, Symol: or lsh lsh lsh lsh whr whr whr lsh whr whr whr whr ntspriht

8 2 Aug (2 Punkt): Zign Si, ss in Bum mit n Knotn immr n 1 Kntn ht Bgrünn Si urh Inuktion un Dinition Inuktionsnnhm: Ein Bum mit n Knotn ht n 1Kntn Inuktionsnng: n 1 : Ein Bum mit 1 Knotn ht 0 Kntn n 2 : Ein Bum mit 2 Knotn ht 1 Knt Inuktionsshritt: Wir hn inn Bum mit n Knotn un n 1KntnWirügn inn Knotn zu ism Bum hinzu, lso hn wir shon n + 1 Knotn Di Frg ist nun, wivil Kntn könnn nn nun hinzugügt wrn Mhn wir oh in Flluntrshiung: 0 Kntn Dr Knotn wir gr niht mit m Bum vrunn Ds ist niht zulässig, nn in Bum ist inirt ls in zusmmnhängnr Grph niht möglih 2 Knt Dr Knotn n + 1 wir mit inr Knt mit inm liign Knotn i us m Bum vrunn un nn noh mit inm Knotn j i (i witrn Kntn spiln kin Roll) Lut Dinition s Bums, ist r Grph j zusmmnhängn s git inn Wg von i nh j WirhnnohzwiKntnhinzugügt: (n +1,j) un (n +1,i) Folglih hn wir in Kris gilt n +1 j i n + 1 Lut Dinition s Bums, muss r Grph zyklish sin s ist niht möglih mhr ls in Knt hinzuzugn i Anzhl r Kntn ist um ins größr gworn, trägt lso n q