Der Durchschnitt einer Familie von σ-algebren auf M ist ebenfalls eine σ-algebra auf M. Ist also E M, so ist

Transkript

1 Maßtheorie (Versio 0.3) 1. σ-algebra Ist M eie Mege, so et ma ei System vo Teilmege A M eie σ-algebra (auf M ), we gilt: A A A A c A Ist A N eie Familie vo Mege i A, so ist N A A A ist damit stabil uter Differezbilduge, edliche ud abzählbare Durchschitts- ud Vereiigugsbilduge. Ma beachte die Ählichkeite ud Uterschiede zur Defiitio eier Topologie, ebeso wie die Trivialbeispiele M ud {, M } für eie σ-algebra. Der Durchschitt eier Familie vo σ-algebre auf M ist ebefalls eie σ-algebra auf M. Ist also E M, so ist E ist -Algebra = {B M für alle -Algebre mit E gilt B } die kleiste σ-algebra auf M, welche E ethält. Ma spricht auch vo der vo E erzeugte σ- Algebra. Die obige Durchschittsbildug ist übriges icht leer, de es gilt ja midestes E M. Hat ma eie Topologie auf M, so et ma die vo erzeugte σ-algebra Borelsch. Die Borelsche σ-algebra ethält also alle offee ud auch abgeschlossee Mege. Die Borelsche σ-algebra auf R wird offebar scho vo de halboffee Itervalle der Form ]a,b] oder auch vo dee der Form [a,b[ erzeugt, de jede offee Mege i R läßt sich als abzählbare Vereiigug solcher Itervalle darstelle. Ist A eie σ-algebra auf M, so et ma das Paar M, A eie meßbare Raum. Elemete der σ-algebra et ma auch meßbare Mege. Relativalgebra Ma eriere sich: Ist M, ei topologischer Raum ud durch N :={U N U }. N M, so defiiert ma die Relativtopologie auf N Völlig aalog: Ist M, A ei meßbarer Raum ud A N := { U N U A } N M, so defiiert ma die Relativalgebra auf N durch Produktalgebra Sid M, A, N, meßbare Räume, so et ma die vo { A B A A, B } erzeugte σ-algebra auf M N Produktalgebra ud bezeichet sie mit A Ä.

2 Wir kee die aaloge Kostruktio eier Produkttopologie: die Produkte der offee Mege bilde dere Basis, d.h. die offee Mege der Produkttopologie lasse sich als Vereiiguge offeer Rechtecke schreibe. Sid M,N topologische Räume ud A ud die zugehörige Borel- Algebre, so ist A Ä ur da die Borel-Algebra der Produkttopologie, we sich jede offee Mege als abzählbare Vereiigug offeer Rechtecke schreibe läßt. Dies ist sicher da der Fall, we die Topologie auf M ud N eie abzählbare Basis besitze. Wir möge us dukel erier, daß solche topologische Räume defiitiosgemäß dem zweite Abzählbarkeitsaxiom geüge, wie isbesodere der R mit seier gewöhliche Topologie. 2. Meßbare Abbilduge ud meßbare Fuktioe Ma eriere sich a die charakteristische Eigeschaft stetiger Abbilduge zwische topologische Räume: Urbilder offeer Mege sid offe. Etspreched et ma eie Abbildug zwische meßbare Räume meßbar, we Urbilder meßbarer Mege meßbar sid. Sid M, A, N, meßbare Räume ud wird die σ-algebra vo der Mege E erzeugt, so geügt für die Meßbarkeit eier Abbildug f : M N bereits die Meßbarkeit der Urbilder der Elemete vo E. Zum Beweis defiiere ma zuächst die Mege { A N f 1 A A }. Es ist trivial zu zeige, daß diese Mege eie σ-algebra auf N ist. Lt. Voraussetzug ethält diese σ-algebra die Mege E ud daher die vo E erzeugte σ-algebra, die ja defiitiosgemäß die kleiste σ-algebra ist, die E ethält. Also liege die Urbilder beliebiger Elemete vo i A, sid also meßbar. Betrachtet ma auf R die Borelsche σ-algebra, so ist demgemäß f : M R scho meßbar, we ur Urbilder offeer Mege meßbar sid, oder we ur Urbilder abgeschlosseer Mege meßbar sid, oder sogar we ur Urbilder vo Itervalle der Form ]a,b] meßbar sid, de jedes dieser Megesysteme erzeugt ja die Borelsche σ-algebra. Eie komplexwertige Fuktio ist geau da meßbar, we ihr Realteil ud ihr Imagiärteil meßbar sid. Kaoische Projektioe ud kaoische Ijektioe sid meßbar: Daß die Projektioe M N M ud M N N ebeso wie die Ijektioe M M N, x x, y 0, N M N, y x 0, y meßbar sid, folgt sofort aus der Defiitio der Produktalgebra. Stetige Abbilduge sid meßbar: Sid M,N topologische Räume ud f : M N stetig, so sid Urbilder offeer Mege offe, also Elemeteder Borelalgebra vo M. Nach obige Bemerkuge sid da Urbilder beliebiger Borelmege i N auch Borelmege i M, d.h. f ist meßbar bezüglich der Borelalgebre vo M,N. Hitereiaderschaltuge meßbarer Abbilduge sid meßbar: Sid M,A, N,, K, meßbare Räume ud f : M N, g : N K meßbar, so ist auch g f : M K meßbar, de für C ist g f 1 C = f 1 g 1 C A.

3 Summe ud Produkte meßbarer Fuktioe sid meßbar: M,A sei ei meßbarer Raum f, g : M R meßbare Fuktioe. Da ist f, g : M R R, x f x, g x meßbar. Sid ämlich I,J offee Itervalle i R, so ist f, g 1 I J = f 1 I g 1 J, Urbilder eies Erzeugedesystems der Produktalgebra auf R R sid also meßbar ud damit auch die Abbildug (f,g). Die Abbilduge Plus, Mal: R R R sid stetig, also meßbar. Damit sid f g :=Plus f, g ud f g :=Mal f, g Verküpfuge meßbarer Abbilduge, also meßbar. Etsprechedes gilt atürlich für Differeze, skalare Vielfache ud Quotieebilduge, solage ma icht durch Null dividiert, ebeso wie für Fuktioe, dere Bildbereich R ist, solage ma darauf achtet, daß ma Operatioe wie, 0 ausschließt. Suprema, Ifiima, Limes Superior, Limes Iferior meßbarer Fuktioe sid meßbar: M,A sei ei meßbarer Raum, f :M R eie Folge meßbarer Fuktioe. Ma defiiert sup f x :=sup f x ; etspreched if f, lim sup f, lim if f. Dabei eriere ma sich, daß der Limes Superior eier Folge reeller Zahle a als größter Häufugspukt der Folge defiiert ist. Betrachtet ma eie Folge a i R, so braucht ma sich um desse Existez keie Sorge zu mache, ud es gilt lim sup a =if sup a k k, wobei b =supa k offebar eie mooto fallede Folge ist. k Um die Meßbarkeit vo g :=sup f zu zeige, geügt es lt. obige Bemerkuge, die Meßbarkeit der Mege g 1 [a,] für jedes a R zu zeige, de die Itervalle [a, ] erzeuge ja die Borelalgebra auf R. (Z.B. ist [a,b[=[ a,] [b,] ud ]a,b[= [a 1,b[, wobei = b a ). Nu prüft ma sofort ach, ud dies wurde i der Vorlesug auch durchgeführt, daß g 1 [a,] = =1 f 1 [a,], de jedes Elemet der like Mege ist auch Elemet der rechte ud umgekehrt. Als abzählbare Vereiigug meßbarer Mege ist meßbar, was zu zeige war. g 1 [a, ] aber selbst Etspreched ist if f meßbar, ud damit auch lim sup f, lim if f. Ählich zeigt ma, daß mit f, g : M R meßbar auch max { f, g } ud mi { f, g} meßbar sid, ebeso wie f + :=max{ f, 0} ud f - := mi { f,0}. Mit diese Defiitioe sid f +, f - 0, ud es gilt f = f + f - ud f = f + f -, damit ist f meßbar, ebeso wie atürlich der Absolutbetrag eier komplexwertige meßbare Fuktio. Ist A M meßbar, so et ma eie ur auf A defiierte Fuktio mit Werte i R oder i C meßbar, we Urbilder meßbarer Mege meßbare Teilmege vo A sid. Nu ka ma eie auf A defiierte Fuktio auf gaz M fortsetze, idem ma ihr auf M-A de Wert 0 zuordet. Die so fortgesetzte Fuktio ist trivialerweise auch meßbar auf M.

4 Treppefuktioe Ist A M, so ee wir die durch A 1 für x A x ={ defiierte Fuktio die 0 für x A charakteristische Fuktio vo A. Offebar ist A geau da meßbar, we A meßbar ist. Ist A=, so ist A kostat gleich Null, immt also ur diese eie Wert a, ist A=M, so ist A kostat gleich 1, immt also ebefalls ur diese eie Wert a, asoste immt A die Werte 0 ud 1 a. Wir wolle im folgede ur positive Treppefuktioe betrachte ud uter eier solche eie meßbare Fuktio M [0,] verstehe, die ur edlich viele Werte 1, aimmt. Wir reserviere die Variable s für Treppefuktioe. Sid 1, [0,] die verschiedee Werte eier meßbare Treppefuktio s ohe de evetuell ebefalls vorhadee Wert Null, so sid die Mege A i :=s 1 { i } jedefalls meßbar, die A i sid paarweise disjukt, ud es gilt offebar s= i Ai! Der folgede Satz ist elemetar, aber fudametal für die Itegratiostheorie: Satz: Ist f : M R + meßbar, so gibt es eie mooto steigede Folge s vo Treppefuktioe mit s f ud sup s =lim s = f. Die folgede Kostruktio wurde scho i der Vorlesug durchgeführt: Für N ud 1 i 2 setze ma E i := f 1 ] i 1 2, i 2 ], sowie F := f 1 ], ] ; diese 2 Mege sid meßbar. Setzt ma u s := i 1 2 E i F, so hat die Treppefuktiosfolge s gaz eifach die im Satz beschriebee Eigeschafte. (Ma mache sich ei Bild, wie die Folge s z.b. für f :R R, x x 2 ud für f :R 2 R, x, y x 2 y 2 kokret aussieht!) 3. Positive Maße Ist M, A ei meßbarer Raum, so et ma eie Abbildug : A [0,] ei positives Maß we =0 Ist A N eie Folge paarweise disjukter meßbarer Mege, so gilt A ( σ-additivität) =1 A = =1 Setzt ma das Maß aller meßbarer Mege gleich Null, so hat ma das Nullmaß. Ist A={,M }, so hat ma mit =0 ud M =1 ebefalls ei triviales Maß. Ist A= M ud setzt ma A = A, mißt also die Azahl der Elemete vo A, so hat ma damit das scho recht iteressate sogeate abzählede Maß.

5 Das für us iteressateste Maß soll Teilmege des R ihre -dimesioale Raumihalt zuorde, also z.b. Itervalle ihre Läge, geeigete Teilmege des R 2 ihre Flächeihalt, geeigete Teilmege des R 3 ihre Raumihalt, etc. Die Kostruktio dieses Maßes, beat ach Heri Lebesgue, führe wir erst später durch. I der Vorlesug wurde gezeigt, daß ma dieses Maß icht σ-additiv für alle Teilmege des R defiiere ka, ud ma sich auf eie kleiere σ-algebra, die später zu kostruierede Lebesguesche σ-algebra beschräke muß. Ei Tripel M, A, bestehed also aus eier Mege, eier darauf defiierte σ-algebra ud eiem auf dieser σ-algebra defiierte Maß et ma auch eie Maßraum. Eifache Eigeschafte vo positiver Maße Sid A, B A disjukt ud setzt ma A 1 = A, A 2 =B, A = für 3, so erhält ma aus der σ-additivität A B = A B. Geauso: Sid A 1,, A A paarweise disjukt, so gilt A 1 A = A i. Sid A, B A ud A B, so folgt B = A B A = A B A, also A B Sei A N eie mooto steigede Familie meßbarer Mege. Setzt ma B 1 = A 1, B 1 =A 1 A, so sid die B paarweise disjukt ud es gilt i =1 =1 B i =A ud B =lim A = B, also =1 B i, währed wieder B i = A = B. Nu ist B i = A. Isgesamt also A =lim A Etspreched beweist ma mit Hilfe der de Morgasche Regel: Ist A N eie mooto fallede Familie meßbarer Mege ud gilt N: A, so folgt A =lim A (Ma kostruiert leicht ei Beispiel mit N: A = ud A =.) Ist A N eie beliebige Folge meßbarer Mege, so setzt ma lim sup diese Mege ist offebar wieder meßbar. Setzt ma B = A k k B =lim B. fallede Familie ud damit lim sup A = Nu ist A = A k, ud k, so ist B eie mooto A B, damit A B ud damit lim sup A lim sup B =lim B

6 Wäre jetzt lim sup A lim B, so gäbe es ei 0 mit B. Daher gibt es ei 0 N, so daß lim sup A lim B 0 lim B, also lim sup A B 0. Daher gibt es ei k 0 daß A k lim sup A, isgesamt also A k B 0. Dies ist aber wege A k B 0 icht möglich ud es folgt lim sup A =lim sup A Aalog hat ma für eie beliebige Folge meßbarer Mege auch die Formel lim if A =lim if A Kovergiert die Folge A, so falle Grezwert, Limes Superior ud Limes Iferior zusamme. Ist A N eie Folge icht otwedig disjukter meßbarer Mege, so gilt: A. =1 =1 Diese Eigeschaft eies Maßes et ma Subadditivitität. Ma zeigt dies, idem ma rekursiv die folgede Folge paarweise disjukter meßbarer Mege A i. Damit gilt A = =1 B ud N B A, =1 A defiiert: B 1 = A 1, B 1 =A 1 ud daraus folgt wege A = B A die Subadditivitität. =1 =1 =1 =1 Die Subadditivität folgt also aus der σ-additivität. B =, so Mege vom Maß Null ud Vervollstädigug eies Maßes Ist M,A, ei Maßraum, so bezeiche wir icht ur eie Mege A A mit A =0 als Nullmege, soder auch jede Teilmege eier solche Nullmege, die icht otwedigerweise i A liege muß. Ma et ei Maß bzw. eie Maßraum vollstädig, we jede Nullmege meßbar ist. Hat ma ei icht-vollstädiges Maß, so liegt es ahe, eier Mege B M, die sich ur um eie Nullmege vo eier meßbare Mege uterscheidet, für die es also meßbare Mege A,C A gibt mit C A =0, das Maß A = C zuzuorde. Auf diese Weise läßt sich jedes Maß zu eiem vollstädige Maß fortsetze. Dazu muß ma zeige, daß A :={B M A,C A: A B C ud C A =0 } eie σ- Algebra ist ud durch B := A ei vollstädiges Maß auf A Aufgabeblatt 12. gegebe wird, vgl. Es sei hier ohe Beweis erwäht, daß die Borel-Algebra auf dem R icht vollstädig bezüglich des Lebesgue-Maßes ist, d.h. es gibt Lebesgue-Nullmege, die icht Borel-meßbar sid. Zur

7 Kostruktio eier solche Mege beötigt ma wieder das Auswahlaxiom, ählich wie bei der i der Vorlesug gezeigte Kostruktio eier icht-lebesgue-meßbare Mege. Sei u M,A, ei vollstädiger Maßraum, f : M R eie meßbare Abbildug ud g : M R eie Abbildug, die sich ur auf eier Nullmege N vo f uterscheidet. Es soll gezeigt werde, daß auch g meßbar ist. Ma betrachte dazu h:= f g ; h ist außerhalb der Nullmege N die Nullfuktio. Ma zeigt leicht, daß h meßbar ist: Ist ämlich L R eie beliebige Mege, so ist h 1 L N, also meßbar, falls 0 L. Falls dagege 0 L, so schreibe wir L=K {0} mit 0 K ud habe h 1 L =h 1 K h 1 {0}. Wieder ist h 1 K N, also meßbar, ud h 1 {0} =: P ist eie Obermege vo M N. Es ist da aber M P M N, ud aus der Vollstädigkeit vo folgt jetzt daß P meßbar ist. Damit ist h 1 L i jedem Fall meßbar, also ist h meßbar ud damit g=f-h meßbar. Mit adere Worte: ädert ma eie auf eiem vollstädige Maßraum defiierte meßbare Fuktio auf eier Nullmege irgedwie ab, so ist die geäderte Fuktio immer och meßbar! Ma sagt, eie Eigeschaft gelte fast überall, we sie auf alle Pukte des Raums außerhalb eier Nullmege zutrifft. Wir habe ebe gezeigt: sid zwei Fuktioe fast überall gleich, so ist die eie meßbar geau da we die adere meßbar ist, ei vollstädiger Maßraum vorausgesetzt. Wie wir obe gesehe habe, köe wir aber jedes Maß zu eiem vollstädige Maß fortsetze. Wir werde später Fuktioe, die fast überall gleich sid, idetifiziere. Itegratio positiver meßbarer Fuktioe Wir gehe aus vo eiem positive Maß auf M. Sid B, A M meßbar, so setze wir A B d := A B. Am Afag steht also die Itegratio charakteristischer Fuktioe. Ist s= i Ai eie positive meßbare Treppefuktio, wobei die i 0 paarweise verschiede ud die A i paarweise disjukt sid, so setze wir A sd := Ist schließlich i A Ai d = i A A i. i =1 f : M [0,] meßbar, so setze wir A f d := sup 0 s f A sd, wobei das Supremum über die Itegrale aller positive Treppefuktioe geomme wird, die uterhalb f liege. Streg geomme müßte ma jetzt zeige, daß für de Fall, daß f selbst eie Treppefuktio ist, diese Defiitio icht mit der vorige kollidiert: der eifache Beweis sei ggf. dem Leser überlasse.