Pool für das Jahr 2017

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Heinrich Böhler
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Gemeinsame Abituraufgabenpools der Länder Pool für das Jahr 17 Aufgabe für das Fah Mathematik Kurzbeshreibung Anforderungsniveau Prüfungsteil Sahgebiet digitales Hilfsmittel erhöht B Analysis WTR 1

Dabei ist t die seit Beobahtungsbeginn vergangene Zeit in Stunden und f() t das Volumen in Kubikmetern. BE Abb.

1 Gemeinsame Abituraufgabenpools der Länder Pool für das Jahr 17 Aufgabe für das Fah Mathematik Kurzbeshreibung Anforderungsniveau Prüfungsteil Sahgebiet digitales Hilfsmittel erhöht B Analysis WTR 1 Aufgabe 1 Abbildung 1 zeigt den Graphen einer Funktion f, die für t 1 das Volumen des Wassers in einem Beken in Abhängigkeit von der Zeit beshreibt. Dabei ist t die seit Beobahtungsbeginn vergangene Zeit in Stunden und f() t das Volumen in Kubikmetern. BE Abb. 1 a Geben Sie das Volumen des Wassers fünf Stunden nah Beobahtungsbeginn an sowie den Zeitraum, in dem das Volumen mindestens Kubikmeter beträgt. b Bestimmen Sie die momentane Änderungsrate des Wasservolumens zwei Stunden nah Beobahtungsbeginn. Die fünfzehn Stunden nah Beobahtungsbeginn vorliegende momentane Änderungsrate des Wasservolumens bleibt bis zu dem Zeitpunkt erhalten, zu dem das 17_M_erhoeht_B_Analysis_WTR_1.dox

2 1 Aufgabe Beken kein Wasser mehr enthält. Beshreiben Sie ein Verfahren, mit dem man diesen Zeitpunkt grafish bestimmen kann. Geben Sie den Zeitpunkt an. f t + 6 = f t im Sahzusammenhang. Geben Sie eine Lösung der Gleihung an. d Interpretieren Sie die Gleihung ( ) ( ) e Begründen Sie, dass die Funktionsgleihung von f weder die Form I noh die Form II hat: I y =,t + at + 1, a IR II y = 8,t +,7t + bt + 1, b IR Für ein anderes Beken wird die momentane Änderungsrate des Volumens des enthaltenen Wassers für t 1 durh die Funktion g mit g() t =, ( t 9t + 18t) beshrieben. Dabei ist t die seit Beobahtungsbeginn vergangene Zeit in Stunden und g() t die Änderungsrate in m. Die Funktion G mit h G t =, t 6t + 18t ist eine Stammfunktion von g. () ( ) a Berehnen Sie für den beshriebenen Zeitraum denjenigen Zeitpunkt, zu dem die momentane Änderungsrate des Wasservolumens maximal ist. b Ermitteln Sie rehnerish den Zeitraum, in dem das Volumen des Wassers abnimmt. Drei Stunden nah Beobahtungsbeginn sind im Beken Kubikmeter Wasser enthalten. Bestimmen Sie das Volumen des Wassers zu Beobahtungsbeginn. d Untersuhen Sie rehnerish, ob es nah Beobahtungsbeginn einen Zeitpunkt gibt, zu dem das Wasservolumen ebenso groß ist wie zu Beobahtungsbeginn. ist die in IR definierte Funktion h :x sin( x) Für jeden Wert IR + Abbildung zeigt den Graphen von h 1. gegeben. Abb. a Skizzieren Sie für = 1 und = jeweils den Graphen von h in Abbildung. b Eine Nullstelle von h ist, die benahbarte positive Nullstelle wird mit u bezeihnet. Geben Sie den Wert von u in Abhängigkeit von an. Berehnen Sie damit den Inhalt des Flähenstüks, das der Graph von h für x u mit der x-ahse einshließt. Beshreiben Sie, wie man ohne Verwendung einer Ableitungsfunktion die Koordinaten eines Tiefpunkts des Graphen von h in Abhängigkeit von ermitteln kann. Geben Sie die Koordinaten eines Tiefpunkts an.

3 Erwartungshorizont d Geben Sie einen Term der 1. Ableitung von h an. Erwartungshorizont Der Erwartungshorizont stellt für jede Teilaufgabe dar, in welhem Umfang und in welher Form eine Lösung erwartet wird; niht alle Lösungen sind dazu vollständig ausgeführt. Niht dargestellte korrekte Lösungen sind als gleihwertig zu akzeptieren. BE 1 a Das Volumen des Wassers fünf Stunden nah Beobahtungsbeginn beträgt etwa 9m. Der Zeitraum, in dem das Volumen mindestens Kubikmeter beträgt, beginnt etwa,9 Stunden und endet etwa 6,8 Stunden nah Beobahtungsbeginn. b y 6 t = 9 Die momentane Änderungsrate beträgt etwa 9. m h Zeihnet man die Tangente an den Graphen von f im Punkt ( ( )) 1 f 1 in die Abbildung ein, so liefert die x-koordinate des Shnittpunkts dieser Tangente mit der t-ahse den gesuhten Zeitpunkt. Das Beken enthält etwa 19 Stunden nah Beobahtungsbeginn kein Wasser mehr. d Die Lösung der Gleihung liefert diejenigen Zeitpunkte, zu dem das Volumen des Wassers Kubikmeter größer ist als sehs Stunden später. t (Hinweis: Weitere Lösung ist t.) e Der Graph einer Funktion der Form I ist symmetrish bezüglih der y-ahse. Der Graph einer Funktion der Form II hat nur einen Wendepunkt. a g () t, ( 6t 78t 18) g t = t 1t+ = t = t = 1 = +, () Wegen g ( ) =, g ( ) = 97,, g1 ( ) = und ( ) g 1 = 7 ist die momentane Änderungsrate 1 Stunden nah Beobahtungsbeginn maximal. b () ( ) g t = t t 19,t+ 9 = t = t = 7, t = 1 g1 <, liegt der Zeitraum zwishen 7, und 1 Stunden nah Beobahtungsbeginn. Da ( )

4 Standardbezug d () () g t dt = G t 1 Zu Beobahtungsbeginn enthielt das Beken etwa x x () () ( ) 1m Wasser. g t dt = G t = x x 6x + 18 = x = Es gibt nah Beobahtungsbeginn keinen Zeitpunkt, zu dem das Wasservolumen ebenso groß ist wie zu Beobahtungsbeginn. a Der Graph zu = 1 ist gestrihelt, der zu = gepunktet dargestellt. b Mit u = ergibt sih: ( ) ( ) h x dx = os x = Die x-koordinate eines Tiefpunkts ergibt sih als Mittelwert der beiden kleinsten positiven Nullstellen von h, die zugehörige y-koordinate als entsprehender Funktionswert von h. Koordinaten dieses Tiefpunkts: x =, y= 1 d os( x) Standardbezug BE Leitideen allgemeine mathematishe Kompetenzen 1 Teilaufg. Anforderungsbereih L1 L L L L K1 K K K K K6 I II III 1 a X X I I X b X X X I I I X X X X II II II X d X X III II II X e X II II II X a X X I I II X b X X I II II X X X X III II II X d X X X X III II III X 1 Für jede Kompetenz, die bei der Bearbeitung der Teilaufgabe eine wesentlihe Rolle spielt, ist der Anforderungsbereih (I, II oder III) eingetragen, in dem die Kompetenz benötigt wird.

5 Bewertungshinweise a X I I X b X X X II II X X II II II X d X III III II X Bewertungshinweise Die Bewertung der erbrahten Prüfungsleistungen hat sih für jede Teilaufgabe nah der am rehten Rand der Aufgabenstellung angegebenen Anzahl maximal erreihbarer Bewertungseinheiten (BE) zu rihten. Für die Bewertung der Gesamtleistung eines Prüflings ist passend zur Konzeption der Aufgaben der Aufgabensammlung und des Abituraufgabenpools ein Bewertungsshlüssel vorgesehen, der angibt, wie die in den Prüfungsteilen A und B insgesamt erreihten Bewertungseinheiten in Notenpunkte umgesetzt werden. Der Bewertungsshlüssel ist Teil des Dokuments Beshreibung der Struktur, das auf den Internetseiten des IQB zum Download bereitsteht.

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