Mathematik LK 12 M1, 3. Kursarbeit Analytische Geometrie Lösung

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Helge Krüger
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1 Mathematik LK M,. Kursarbeit Analytische Geometrie Lösung 7..4 Aufgabe : Wandle die Gleichungen der folgenden Geraden und Ebenen in die angegebene Form um.. g : x= +t 6 4 =+6t II. x =+4t in die Koordinatenform. Ia. x =4+t IIa. x =9+t II I x +x =5. E : x= +r s in =+6r s I+ III II. x =+4r III. x = 4r+s Ia. x + x =4+8r Ia. II. II. x =6+8r die Koordinatenform und anschließend in die Normalenform. x x + x = n= [ x 6 ] =. E : x x + x =5 in die Parameterform und in die Hesse'sche Normalenform. x x + x =5 x =,5+x,5 x x =+x + x =++ x x=,5 +r +s,5 n= n = [ x,5 ] 7 =.4 Die Ebene E durch die Punkte A 4, B und C in die Normalenform, Parameterform und Koordinatenform. AB= 4 AC = x= 4 +r 4 = +4r+s II. x = r 6 III. x =4 r s +s III.+I. IIa. 6x =8 6r IIa.+IIIa. IIIa. x +x =6r x +6x + x =8 n= 6 [ x 4 ] 6 = Seite von 9

2 Mathematik LK M,. Kursarbeit Analytische Geometrie Lösung 7..4 Aufgabe : Zeichne jeweils einen Ausschnitt der beiden Ebenen +r 4 +s 4 4 E : x= 6 +r 5 +s 4 und E : x= 4 in ein gemeinsames Koordinatensystem. Berechne und 4 zeichne die Schnittgerade der beiden Ebenen. Färbe die Ebenen farbig korrekt ein, so dass ersichtlich ist, welche Teilflächen verdeckt sind. Umwandeln in Koordinatenform nicht zwingend erforderlich. Ebene E : = 6 r s II. x =+5r r= 5 x III. x =4+s s= x Einsetzen in I: x = 6 5 x x x = 6 5 x +4 x x = x 5x +x +5x 5 x + x +5 x = Ebene E : = 4 4r 4s II. x =+r r= x III. x =4+4s s= 4 x Einsetzen in I: x = 4 4 x 4 4 x x = 4 x +4 x +4 +x +x x + x + x =4 E : x +x +x 4= E : 5x +x +5x = I. 5x +x +5x = I +x +x 4= II. I. 4x +4x 6= Setze x =t 4x +4t=6 x =,5 t Setze x =,5 t und x =t in II. ein:,5 t +x +t 4= x =,5 x =,5 Damit ist x =,5 t x =,5+ t x =+t und somit x=,5,5 +t Seite von 9

Die Schnittfläche des Pyramidenstumpfes wird begrenzt durch die Punkte D4 4,75, E 4 4,5 und F 4,5.

3 Mathematik LK M,. Kursarbeit Analytische Geometrie Lösung 7..4 Aufgabe : Ein Pyramidenstumpf hat eine Grundfläche, die durch die Punkte A5, B 5 5 und C 5 begrenzt ist. Die Schnittfläche des Pyramidenstumpfes wird begrenzt durch die Punkte D4 4,75, E 4 4,5 und F 4,5.. Zeige, dass die Grundfläche und die Schnittfläche parallel zueinander sind. Ebene, in der die Grundfläche liegt: E : x= 5 = 5 +r r 4 +s 5 5 +s 6 4 =5 6s s= 6 x II. x =+4r+4s III. x = r s II.+4III. s fällt eh weg, muss also gar nicht erst eingesetzt werden. Somit E :x +4x =5 Seite von 9

4 Mathematik LK M,. Kursarbeit Analytische Geometrie Lösung 7..4 Ebene, in der die Schnittfläche liegt: E : x= 4 4,75 +r 4 4 4,5 4,75 +s 4 4,5 4,75 = 4 4,75 +r,5 +s,5 =4 s s= x + 4 II. x =+r+s III. x =4,75,5r,5s II.+4III. s fällt eh weg, muss also gar nicht erst eingesetzt werden. Somit E :x +4x =5 Normalenvektoren: n = 4 n = 4 Die Normalenvektoren sind gleich, also parallel zueinander, also sind auch die Ebenen parallel zueinander.. Berechne die Koordinaten der nicht vorhandenen Pyramidenspitze. Berechne den Schnittpunkt zweier Kanten: g aus den Punkten A und D. g aus den Punkten B und E. g : x= 5 +s 4 5 4,75 = 5 +s,75 g : x= 5 5 +t ,5 = 5 5 +t,5 Gleichsetzen: 5 +s,75 = 5 5 +t,5 5 s,75 t,5 = 4 I. s+t = I.+II. II. s+t=4 III.,75s,5t= t=4 t= Einsetzen in II.: s+=4 s= Überprüfen in III:,75,5 =,5 6,5= wahr Einsetzen in g : s= 5,75 = 6,5 +. Berechne die Höhe der gedachten vollständigen Pyramide. Abstand = der Spitze von der Ebene der Grundfläche: h a s +a s +a s b a +a +a = , A: Die Höhe des vollständigen Pyramide beträgt 4 L.E. = 5 =4 Seite 4 von 9

Mathematik LK M,. Kursarbeit Analytische Geometrie Lösung 7..4.4 Berechne die Höhe des Pyramidenstumpfes.

5 Mathematik LK M,. Kursarbeit Analytische Geometrie Lösung Berechne die Höhe des Pyramidenstumpfes. Da beide Flächen parallel sind, genügt es den Abstand eines Punktes der Schnittfläche von der Ebene der Grundfläche = zu bestimmen. h a s +a s +a s b a +a +a = , A: Die Höhe des Pyramidenstumpfes beträgt L.E. = 5 =.5 Berechne das Volumen des Pyramidenstumpfes mit der Formel V = h A + A A +A, wobei A und A die Grund- bzw. Schnittfläche sind. Höhe des Dreiecks der Grundfläche ist der Abstand des Punktes C von der Gerade durch die Punkte A und B. g : x= 5 +t 4 Der Lotfußpunkt F muss auf der Geraden liegen und hat somit die Koordinaten F 5 +4t t. Der Richtungsvektor von g und der Verbindungsvektor von F und C stehen senkrecht aufeinander t t = t +t = Seite 5 von 9

Mathematik LK M,. Kursarbeit Analytische Geometrie Lösung 7..4 6+4 4 4t+ +t= 6 6t+9 9t= 5 5t= 5 : 5 t= Somit ist F 5 +4 = F 5 5 = B5 5 B ist also gleichzeitig der Lotfußpunkt.

6 Mathematik LK M,. Kursarbeit Analytische Geometrie Lösung t+ +t= 6 6t+9 9t= 5 5t= 5 : 5 t= Somit ist F 5 +4 = F 5 5 = B5 5 B ist also gleichzeitig der Lotfußpunkt. Damit ist das Dreieck der Grundfläche ein rechtwinkliges Dreieck und die Höhe des Dreiecks ist der Abstand der Punkte B und C. BC = = 6=6 AB = = 6+9=5 Damit ist A = BC AB = 6 5=5 Wenn das Dreieck der Grundfläche rechtwinklig ist, muss auch das Dreieck der Schnittfläche rechtwinklig sein. DE = ,5 4,75 = 6,5=,5 EF = ,5,5 = 9= Damit ist A = DE EF =,5 =,75 Benutze angegebene Formel: V = h A + A A + A = 5+ 5,75+,75=7,5 A: Das Volumen des Pyramidenstumpfes beträgt 7,5 V.E. Aufgabe 4: Die Punkte A6,B 8 4 und M 9 9 liegen in einem Tribünendach siehe Skizze. Die Tribüne selbst wird durch die Ebene E : x 4 x +5 x =65 beschrieben. Im benutzten Koordinatensystem entspricht L.E.= m. In den Punkten C und D ist das Dach an zwei zur x -x -Ebene senkrecht stehenden Masten befestigt. Von den Punkten S 6 und S 6 6 führt jeweils ein Befestigungsseil zu den Punkten A bzw. B. Seite 6 von 9

7 Mathematik LK M,. Kursarbeit Analytische Geometrie Lösung Das Tribünendach liegt in der Ebene E. Berechne eine Ebenengleichung von E in Koordinatenform und den Winkel, den E mit der x -x -Ebene einschließt. Mögliches Ergebnis: E : x + x +5x =8 Parameterform: E : x= 6 Ebene E : =6+r+s II I II. x = +6r+4s III. x = s s= x + +r 6 +s 4 x +x = +5s s aus III einsetzen: x +x =+5 x + 5x x +x +5x = + Also E : x +x +5 x =8 Ein Normalenvektor der x -x -Ebene: n = ist: n = 5 Der Winkel zwischen den beiden Normalenvektoren ist der gesuchte Winkel zwischen den Ebenen: cosα= n n n n = = 5 α=4,9 4. Die Eckpunkte ABCD des Tribünendachs sind die Eckpunkte eines Parallelogramms und M ist der Schnittpunkt der Diagonalen. Berechne die Koordinaten der Punkte C und D und zeige, dass dieses Parallelogramm ein Rechteck ist. Bestimmung von C: OC= OA+ AM = = Damit C Bestimmung von D: OD= OB+ BM = = Damit D 6 Es genügt zu zeigen, dass einer der Winkel ein rechter Winkel ist. AB= 6 AD= 6 AB AD= = 9+9= q.e.d Alternativ kann auch gezeigt werden, dass die Diagonalen gleich lang sind. Seite 7 von 9

8 Mathematik LK M,. Kursarbeit Analytische Geometrie Lösung Im Punkt M soll ein Kontrollgerät installiert werden. Aus technischen Gründen ist ein Mindestabstand von m zu jedem Punkt der Tribüne vorgeschrieben. Untersuche, ob diese Vorschrift erfüllt wird. Abstand M zu E : d = a m +a m +a m b a +a +a A: Die Vorschrift wird nicht erfüllt. = = 6 =5 5 8, Die Punkte A ' 6, B', C' und D' seien die Projektionen der Punkte A, B, C und D auf die Tribüne, die durch zur x -x -Ebene senkrechte Strahlen entstehen. Ermittle die Koordinaten von B', C' und D'. Da die Fläche ABCD ein Rechteck ist, ist die senkrecht projizierte Fläche ebenfalls ein Rechteck. A ist angegeben; B, C, D unterscheiden sich von den Urbildpunkten lediglich in der x -Komponente. B ' 8 4 x b,c ' 6 x c, D ' x d, Einsetzen in E : x 4 x +5 x =65 B ' : x a =65 x b = C ' : x c =65 x c = D ' : 4 +5 x c =65 x d = Ergebnis: B 8 4,C 6, D 4.5 A', B', C' und D' sind auch die Eckpunkte des überdachten Tribünenbereiches. Berechne den Flächeninhalt der überdachten Tribünenfläche. Der Flächeninhalt des Rechteckes ist A = A' B ' A' D ' =8 8 64,87 A: Die überdachte Fläche hat ein Maß von circa 644 m. 4.6 Berechne den Winkel, den die Seile mit dem Dach einschließen. AD= AS 6 = 6 4 S cosα= A AD AS AD = = 56,7588 α 4, A: Der Winkel zwischen Dach und Seilen beträgt 4,7. Seite 8 von 9

9 Mathematik LK M,. Kursarbeit Analytische Geometrie Lösung Im Punkt Awirkt eine Gewichtskraft F G mit F G =. N senkrecht zur x -x -Ebene nach unten. Diese kann in eine Komponete F S, die in Richtung der Befestigungsseile wirkt und eine Komponete, die in Richtung AD wirkt, zerlegt werden. Berechne den Betrag von F S. Es gilt F G = F S + F D mit F S =r S A und F D =t AD. Einsetzen: F G zeigt nach unten, hat also nur die x-komponente ungleich null. Also F G= Alles einsetzen: =r 6 +t 4 6 Damit I. =6r 6s r =t II. = r +t r =t III. = 4r 6t = r : =r=t Also ist F S = r S A = 6 = = =4 A: Der Betrag der Kraft beträgt 4 N. Seite 9 von 9

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