2 t. Vorbemerkung: Bei den Berechnungen mit dem Programm ist keine vektorielle Schreibweise mit "Pfeil" möglich. x 2 8 2x 1.
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- Rudolf August Roth
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1 Abschlussprüfung Berufliche Oberschule Mathematik 3 Nichttechnik - B I - Lösung Teilaufgabe. In einem kartesischen Koordinatensystem des IR 3 sind die Gerade 3 3 g: x = r, die Ebene E: x = s t mit r, s, t IR, und die 5 Ebene F: x x 3 = gegeben. Vorbemerkung: Bei den Berechnungen mit dem Programm ist keine vektorielle Schreibweise mit "Pfeil" möglich. Teilaufgabe. (3 BE) Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E in Koordinatenform. [ Mögliches Ergebnis: E: x x x 3 33 = ] Eintragen in Gauß-Matrix. diagonalisieren: x 3 x x 3 ( II) ( I) > x 3 x x x > ( III) ( II) x 3 x x x x x 3 33 Ebene E: x x x 3 33 = Teilaufgabe. (3 BE) Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes S der Geraden g mit der Ebene E. [ Ergebnis: S(/7/3) ] Gerade g: gr () 3 5 r x Ebene E: Ex x x 3 x x 3 33 g E: r Egr () gr () gr () 3 Schnittpunkt: S gr T S ( 7 3 ) = r = auflösen r AP, Mathematik Nichttechnik 3. Klasse, B I - Lösung Seite von 6
2 Teilaufgabe.3 (3 BE) Geben Sie die besondere Lage von F im Koordinatensystem an und bestimmen Sie die Schnittpunkte von F mit den Koordinatenachsen. F: x x 3 = Ebene F: x Koordinate fehlt und Konstante ungleich Null, also liegt die Ebene F echt parallel zur x -Achse. Schnittpunkt mit x -Achse: x 3 = x = S Schnittpunkt mit x 3 -Achse: x = x 3 = S 3 Teilaufgabe. ( BE) Ermitteln Sie eine Gleichung der Schnittgerade h der Ebenen E und F. [ Mögliches Ergebnis: h: x =.5 ] E F : Wähle x 3 ( ) x ( ) 33 x ( ) x 3 ( ) 33 x ( ) x 3 ( ) x ( ) x ( ) Schnittgerade: h( ) x ( ) x ( ) x 3 ( ) AP, Mathematik Nichttechnik 3. Klasse, B I - Lösung Seite von 6
3 Teilaufgabe.5 (6 BE) Überprüfen Sie, ob der Punkt S aus Aufgabe. auf der Geraden h liegt, schließen Sie aus dem Ergebnis auf die gegenseitige Lage von g und h und fertigen Sie eine Skizze, aus der die gegenseitige Lage von E, g und h hervorgeht. s S T 7 s = einsetzen in Geradengleichung: 3 h h 7 = auflösen 3 7 h i sind nicht identisch, also liegt S nicht auf h. () S ist Schnittpunkt von g und E, also g E. () h liegt als Schnittgerade in E und S h g und h liegen windschief zueinander. Ebene E: gelb Ebene F: blau Gerade h: rot Gerade g: schwarz Punkt S: rot AP, Mathematik Nichttechnik 3. Klasse, B I - Lösung Seite 3 von 6
4 Teilaufgabe. Die Länder A, B und C sind untereinander und mit dem Weltmarkt nach dem Leontief-Modell mit..5.5 der Inputmatrix M..6. verflochten....6 Teilaufgabe. ( BE) Interpretieren Sie die Bedeutung der Werte a und a der Inputmatrix M. a. a. das heißt, % der Produkte im Land A werden im eigenen land benötigt. das heißt, für die Produktion einer Mengeneinheit benötigt Land A von Land B, Mengeneinheiten. Teilaufgabe. (6 BE) Erstellen Sie die Input-Output-Tabelle und zeichnen Sie das Verflechtungsdiagramm (Gozintograph) für den Produktvektor x ( 6 ) T Gegeben: M x 6 Gesucht: y, Warenflussmatrix ( ) x Grundgleichung für Verflechtungen: E M = y Definitionen Zwischenrechnung: E M.... y ( E M) x Marktvektor: y 6 Verflechtungsmatrix: V M x M x M 3 x M x M x M 3 x M 3 x 3 M 3 x 3 M 33 x 3 V 6 3 AP, Mathematik Nichttechnik 3. Klasse, B I - Lösung Seite von 6
5 Berechnungen Warenflussmatrix "Länder" "A" "B" "C" "A" "B" 6 3 "C" "y" 6 "x" 6 Teilaufgabe.3 ( BE) Eine Wirtschaftskrise in A führt dazu, dass A kurzzeitig keine Güter an den Weltmarkt liefern kann. Die Produktionsmengen von B und C sollen in diesem Zeitraum gleich groß sein. Berechnen Sie das Verhältnis der Produktionsmengen von C und A. Bestimmen Sie, wie viel Prozent ihrer Produktion B und C an den Weltmarkt abgeben können. Es gilt: x = x Ansatz: y y 3 = ( E M) Vereinfacht: y y 3 Lösung: x x x y y 3 =.x.x.x.x.x.x.x.x.x.x =.x.3x auflösen x y y 3.5x.75x.75x.x.x x x = = C produziert die achtfache Menge von A. x x 3 y =.75x = 7.5 % x B kann 7,5% an den Weltmarkt abgeben y 3 =.75x = 7.5 % x C kann 7,5% an den Weltmarkt abgeben AP, Mathematik Nichttechnik 3. Klasse, B I - Lösung Seite 5 von 6
6 Teilaufgabe 3 (5 BE) Drei 3. Klassen einer Fach- und Berufsoberschule gehen zu einem Imbissstand zum Essen und geben den Inhalt ihrer Klassenkassen von jeweils aus. Es werden drei Speisen angeboten: Leberkässemmel (L), Pizza (P) und Gyros (G). Die Tabelle zeigt die jeweils bestellten Mengen. Berechnen Sie die Preise der einzelnen Speisen. "3a" "3b" "3c" "L" 5 "P" "G" Aufstellen des Gleichungssystems als Gauß-Matrix: Diagonalisieren G 5 D zref ( G) 6 Definition Euro: Abrufen der Lösung: x D x Leberkäse kostet Abrufen der Lösung: x D x 6 Pizza kostet 6 Abrufen der Lösung: x 3 D 3 x 3 Gyros kostet AP, Mathematik Nichttechnik 3. Klasse, B I - Lösung Seite 6 von 6
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