Klasse WI06b MLAN2 zweite-klausur 13. Juni 2007

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Anton Becker
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1 Klasse WI6b MLAN zweite-klausur 3. Juni 7 Name: Aufgabe Gegeben sind die beiden harmonischen Schwingungen ( y = f (t) = +3 sin ωt + π ) (), ( 4 y = f (t) = 8 cos ωt + π ) (). 4 a) Bestimmen Sie mit Hilfe von Zeigern die Überlagerung y = f (t) + f (t) = f(t) = A sin (ωt + φ), (graphische Darstellung: Einheiten für beide Achsen Häuschen). b) Für welches t > zeigt der Zeiger der Überlagerung zum ersten Mal in Richtung der Geraden y = x. Aufgabe Die Funktion f(x) = cos (x) + sin (x + ϑ) soll als harmonische Schwingung y = f(x) = A sin (x + φ) geschrieben werden. a) Schreiben Sie die Amplitude A als Funktion in ϑ, d.h. A = A(ϑ). b) Wie gross wird A maximal? c) Bestimmen Sie für den Fall b) die zugehörige Phase φ. Aufgabe 3 a) Gegeben sind eine Ebene E : 6x + y 3z = 4 und eine Gerade g = g(a, B), wobei A(,, ) und B(3, 8, ). Bestimmen Sie die gegenseitige Lage von E und g (Schnittpunkt S, Schnittwinkel φ). b) Eine zweite Ebene F hat die Koordinatengleichung x + 3y + 6z = 7. Bestimmen Sie den Schnittwinkel ϑ = (E, F ) der beiden Ebenen. c) Gegeben ist ein weiterer Punkt M(, 47, 6). Bestimmen Sie die Abstände von M von den beiden Ebenen. Feststellung? bitte wenden

2 Aufgabe 4 Die Gleichung x cos (x) = hat eine Lösung im Intervall [,.]. Welche der angegebenen Iterationsvorschriften (evtl. auch mehrere) kann man zur Bestimmung dieser Lösung verwenden? (mit Begründung, Satz von Banach über das Iterationsverfahren) a) x k+ = + cos (x k) x k b) x k+ = + cos (x k ) c) Wieviele Schritte müssten Sie für 7 stellige Genauigkeit durchführen, falls Sie das angegebene Intervall für eine Bisektion verwenden würden? Aufgabe Gegeben ist die Gleichung (3) x =. x + a) Bestimmen Sie die Fixpunkte von (3). b) Welcher der Fixpunkte ist attraktiv, welcher abstossend? (mit Begründung) c) Bestimmen Sie den abstossenden Fixpunkt mit der Iteration x k+ = F (x k ) x = 8. Wie gross ist der Konvergenzquotient? Aufgabe 6 Gegeben ist die Gleichung (4) x x 8 =. a) Die Nullstellen von (4) sollen mit der Regula falsi bestimmt werden. Wie müssen die entsprechenden Intervalle [a, b] gewählt werden? (graphische Darstellung) b) Die Methode von Newton mit dem Startwert x = 3 soll als zweite Methode angewendet werden. Ist für x die Konvergenzbedingung erfüllt? Welche der beiden Nullstellen wird erhalten? c) Wie müssen Sie x wählen, damit Sie mit Newton die andere Nullstelle erhalten?

3 WI6b MLAN Lösungen zweite Klausur Lösung a) Graphik, A = 73 und φ = arctan ( ) b) ωt + φ = π 4 = t = ( π ω 4 φ) Lösung a) mit Koeffizientenvergleich: A(ϑ) = ( + sin (ϑ)) b) A ist maximal sin (ϑ) =, also A max = c) f(x) = sin ( x + π ) = φ = π Lösung 3 a) g : r = A + µ a = oder a n E und g E b) n E = 6 3 und n F = + µ 3, g E = {}, d.h. kein Schnittpunkt, g E 3 6 : n E n F = = ϑ = π c) HNF: d E = 47+( 3) ( 6) 4 7 = 4 und d F = ( 6) 7 7 = 4 = die Abstände sind gleich.

4 Lösung 4 a) F (x) = +cos (x) x : i) F (I) I, ii) erfüllt, da Zusammensetzung stetiger Funktionen, iii) F x sin (x)++cos (x) (x) = x = F () = sin () + + cos () > ist also verletzt! D.h. diese Iteration kann nicht verwendet werden. b) F (x) = + cos (x): i) F (I) I ist erfüllt, ii) erfüllt, da Zusammensetzung stetiger Funktionen, sin (x) iii) F (x) = = F (x) < für alle x [,.]. +cos (x) D.h. diese Iteration kann verwendet werden. c) n > ln. 8 ln () = ln (7 ) ln () Lösung a) x x + =, also s = + und s = b) F (x) =. x + und F (x) =. x: F (s ) >, d.h. s ist abstossend und F (s ) <, d.h. s ist attraktiv. c) F (x) = (x ) und [ F (x) ] = und damit q = [ F (s ) ] = (x ) (4+ ) Lösung 6 a) Graphik: Parabel mit den Nullstellen s = und s = 4. [a, b] = [ 3, ] für s = und [a, b] = [3, ] für s = 4 b) Newton: x k+ = x k f(x k) f(x) f (x k ), also F (x) = x f (x) mit F (x) = f(x) f (x) (f (x)) : F (x ) = 8 <, also ist die Konvergenzbeding erfüllt. x = 7 4, also haben wir Konvergenz gegen s = 4. c) x <, allein aus der Graphik.

5 Aufgabe 7 Gegeben ist die Matrix A = λ λ + λ + 7 λ + λ a) Bestimmen Sie die Determinante von Ain Abhängigkeit von λ. b) Für welche Werte von λ R gilt det(a) =? Aufgabe 8 Aufgabe 9 Gegeben: Gerade g : r = Gesucht sind: + µ, sowie die Punkte A(, 3, 9), B(,, 6) und C( 4, 7, 3). Schwerpunkt S des Dreiecks ABC. Gerade g g durch S. Länge der zwischen π und π liegenden Strecke auf g. a) Mit dem Gauss-Algorithmus: Endschema: x y z d.h. der Rang r = 3, d.h. die drei Vektoren sind linear unabhängig. b) b = b = b3 = Lösung 7 a) i) ii) b) Lösung 8

6 Gauss-Algorithmus Schema nach einem Schritten: Schema nach zwei Schritten: x x x 3 a a a a x x x 3 a a a 7 a 3 4 a a) b) c) d) Lösung 9 a) F g, d.h. F ( 3 + µ, 3 + 7µ, + 3µ) und damit F A = und damit F (, 4, 4). Also g : r = A + µ F A = 3 b) A = A + AF = A ( 6,, 3) + µ µ 6 7µ 4 3µ 4 a F A = = µ = Lösung Gauss-Algorithmus, Endschema: a) L = R = b) erster Schritt: Lc = P b, wobei P b = = c = 7 7 zweiter Schritt: Rc = x = x = P = 7 7 Lösung

7 a) g : r = P + µ a E : r = A + α a + β AB = E : 4x + 6y + 3z = α 3 + β und damit b) V = h 3 G: Schnittpunkte der Ebene E mit den Koordinatenachsen und z = 3 liefert die Punkte (,, 3), (,, ), (6,, 3), (, 4, 3) und somit h = 8 und G = woraus V = 3 resultiert.

8 alte Lösungen Lösung a) b) Endschema: x x x 3 x Das Glgsyst hat keine Lösung, da r = 3 und die letzte Zeile = ein Widerspruch darstellt! Lösung 3 Endschema: b b b b also b = 3, b = 8, b = 3 und b = 4 ( ) 4 3 B =, das gegebene Problem hat genau eine Lösung. 8 3 Lösung 4 Endschema: x y z 3. (t ) -.. ( 6t)( t) 3( t) a) t und t 6, Rang r = 3 x y z = 6t 4 3t 3 b) t = 6, letzte Zeile: = ist ein Widerspruch! c) t =, Rang r =, z = µ = freier Parameter, y = und x = µ x y z = + µ, µ R und somit Lösung

9 a) s a = k= ( k k n= 643 ( ) b) s b = N (a ) n a k = N n= ) n = k k(k+) = k 3 + k= k= k= k= n= (a n ) = a N n= k = ( ) + 6 = = a n N = a an a N Lösung 6 l= x l = x l = und damit s = l= k= (x k 8) = = 78

10 Lösung 7 s N = N { n(n + ) n= } n(n + ) N N = 3 n + n = N(N + ) n= n= Lösung 8 j= x j = 4 j= x j = j= ( x j x j + ) = = s = x k 3 = 4 3 = 77 4 k=

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