Aufgabenskript. Lineare Algebra

Transkript

1 Dr Udo Hagenbach FH Gießen-Friedberg Sommersemester 9 Aufgabenskript zur Vorlesung Lineare Algebra 6 Vektoren Aufgabe 6 Gegeben sind die Vektoren a =, b =, c = Berechnen Sie die folgenden Vektoren und ihre Beträge: a) x = a b + c b) y = ( b + c) + ( a b) Aufgabe 6 Welche Gegenkraft F hebt die folgenden vier Einzelkräfte in ihrer Wirkung auf: F = N, F = N, F = 8 N, F = N

2 Lineare Algebra, Sommersemester 9 Aufgabe 6 Normieren Sie die Vektoren x = und y = Aufgabe 6 Berechnen Sie den Einheitsvektor in Richtung AB mit A( //) und B(// ) Aufgabe 6 Wie lautet der Einheitsvektor e, der die zum Vektor x = Richtung hat? entgegengesetzte Aufgabe 66 Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes Q, der vom Punkt P (// ) in Richtung des Vektors x = genau Längeneinheiten entfernt ist Aufgabe 67 Entsprechend dem Phototropismus wächst ein Pflanzenspross in die Richtung des einfallenden Lichtes, proportional zur Lichtstärke Auf einem Tisch befindet sich ein Topf mit einem Pflanzenspross Nach rechts um 6 cm, hinten um cm und nach oben um cm entfernt befindet sich die Lichtquelle Nach links um cm, nach hinten um cm und nach oben um 7 cm entfernt befindet sich die Lichtquelle, die dreimal stärker leuchtet als Lichtquelle a) In welche Richtung wächst der Spross? Führen Sie hierzu Koordinaten ein mit dem Spross im Ursprung des Systems b) Wo befindet sich die Spitze des Sprosses, wenn dieser cm gewachsen ist?

3 Lineare Algebra, Sommersemester 9 Aufgabe 68 Bilden Sie mit den Vektoren x =, y =, z = Skalarprodukte: a) x y b) ( x + y) ( x z) die folgenden und prüfen Sie die Gültigkeit des Distributivgesetzes x ( y + z) = x y + x z Aufgabe 69 Zeigen Sie, dass die Vektoren x = e e + e und y = e + e e senkrecht aufeinander stehen Aufgabe 6 Welchen Winkel schließen die Vektoren x und y ein? a) x =, y = b) x =, y =, Aufgabe 6 Durch die drei Punkte A(// ), B(//), C( //) wird ein Dreieck festgelegt Berechnen Sie die Längen der drei Seiten und die drei Winkel Aufgabe 6 Eine Masse wird durch die Kraft F = nach Q( m/ m/ m) verschoben N geradlinig von P ( m/ m/ m)

4 Lineare Algebra, Sommersemester 9 a) Welche Arbeit leistet die Kraft? b) Welchen Winkel bildet sie mit dem Verschiebungsvektor P Q? Aufgabe 6 Eine Kraft mit Betrag F = 8 N verschiebt eine Masse um die Strecke s = m und verrichtet dabei die Arbeit W = 6 Nm Unter welchem Winkel greift die Kraft an? Aufgabe 6 Beweisen Sie den Kosinussatz für allgemeine Dreiecke, also c = a + b ab cos γ Hinweis: Setzen Sie a = CB, b = CA, c = AB und berechnen Sie das Skalarprodukt c c Aufgabe 6 Bilden Sie mit den Vektoren x =, y =, z = 6 Vektorprodukte: a) x y b) ( x y) z die folgenden aufgespann- Aufgabe 66 Bestimmen Sie den Flächeninhalt des von x = ten Parallelogramms und y =

5 Lineare Algebra, Sommersemester 9 Aufgabe 67 Es sei x = und y = k k Wie muss k gewählt werden, damit x y die Länge hat? Aufgabe 68 Liegen die Vektoren x =, y =, z = in einer Ebene? Aufgabe 69 Für welchen Wert k liegen die Vektoren x = k, y =, z = in einer Ebene? Aufgabe 6 Bestimmen Sie das Volumen, des aus den Vektoren x =, y = 7, z = 8 gebildeten Spats

6 Lineare Algebra, Sommersemester 9 6 Aufgabe 6 Eine Leiterschleife mit den Eckpunkten A(, //), B(/, /) und C(//, ) wird von einem homogenen Magnetfeld mit der magnetischen Flussdichte V s B = m durchflutet Wie groß ist der magnetische Fluss φ durch die Leiterschleife? Hinweis: Der magnetische Fluss φ berechnet sich als φ = B A mit dem Flächenvektor A, der senkrecht auf der Dreiecksfläche steht und dessen Betrag dem Flächeninhalt des Dreiecks entspricht

7 Lineare Algebra, Sommersemester Analytische Geometrie Aufgabe 7 Es sei G die Gerade durch die Punkte P (// ), P (//) a) Bestimmen Sie eine Parametergleichung von G b) Liegt der Punkt Q( //) auf G? c) Welchen Abstand hat Q von G? Aufgabe 7 E sei die Ebene durch die Punkte P (/ /), P ( //), P (/7/ ) a) Bestimmen Sie eine Parameterform von E b) Bestimmen Sie eine Normalenform von E c) Bestimmen Sie die Höhe von E über (//) d) Liegt der Punkt Q(//) auf E? e) Welchen Abstand hat Q von E? Aufgabe 7 Die Vektoren x = 7, y = 7 spannen eine Ebene auf Welchen Betrag hat die vektorielle Komponente der Kraft die senkrecht zur Ebene steht? F = N, Hinweis: Verwenden Sie den Normalenvektor der Ebene

8 Lineare Algebra, Sommersemester 9 8 Aufgabe 7 Die Ebene E schneidet die x -,x -,x -Achse in, und Wie groß ist der senkrechte Abstand der Ebene zum Koordinatenursprung? Hinweis: Bestimmen Sie zunächst die Koordinaten der Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen Aufgabe 7 Berechnen Sie Abstand und gegebenenfalls Schnittpunkt und Schnittwinkel der beiden gegebenen Geraden: a) G : x = 7, G : x = 8 b) G : x = 6 6 8, G : x = Aufgabe 76 Flugzeug A bewegt sich von P (/ /) nach Q(//), Flugzeug B von R( /6/) nach S(/ 8/) Wie groß ist der kleinste Abstand der Flugbahnen zueinander? Aufgabe 77 Berechnen Sie den Abstand der Geraden zur Ebene und gegebenenfalls den Schnittpunkt a) G : x = 9, E : x = + µ

9 Lineare Algebra, Sommersemester 9 9 b) G : x = 6, E : x = µ Aufgabe 78 Für welche Werte des Parameters a hat der Punkt P den Abstand d zur Ebene E? a) E : 6 x =, P (//a), d =, b) E : x 6y + 9z =, P (7/ /a), d =, c) E : x + 8y + z = 6, P (a/6/9), d = Aufgabe 79 Untersuchen Sie die gegenseitige Lage von G und E Berechnen Sie gegebenenfalls den Schnittpunt S a) G : x = 6 7, E : x =, b) G : x = 8, E : x =, c) G : x =, E : x =

10 Lineare Algebra, Sommersemester 9 Aufgabe 7 Die Ebene E ist orthogonal zur x -x -Ebene und zur x -x -Ebene und enthält den Punkt A(//) Stellen Sie eine Gleichung der Ebenen in Normalform auf Aufgabe 7 Bestimmen Sie die Schnittgerade der Ebenen E : 7 x = 6 mit E : x = Aufgabe 7 Untersuchen Sie, welche Lage die Ebene E : x = + µ in Bezug auf die Ebene E einnimmt Bestimmen Sie gegebenenfalls die Gleichung der Schnittgeraden a) E : 6 x =, b) E : x =,

11 Lineare Algebra, Sommersemester 9 c) E : x = Aufgabe 7 Gegeben ist die Ebenenschar E a : a a x = a) Die Ebenen der Schar E a schneiden sich in der Geraden G Bestimmen Sie eine Gleichung von G b) Welche Ebene der Schar E a verläuft parallel zur x -Achse? c) Welche Ebene der Schar E a wird von der Geraden G : x = +λ 6 senkrecht geschnitten? Aufgabe 7 Gegeben sind die Ebene E : 6 x = 6 und die Gerade G : x = 6 9

12 Lineare Algebra, Sommersemester 9 a) Stellen Sie die Ebene E durch eine Gleichung in Parameterform dar b) Bestimmen Sie die Schnittpunkte von E mit den Koordinatenachsen c) Bestimmen Sie a R so, dass der Punkt P (a/ a/ a) auf E liegt d) E und G schneiden sich Berechnen Sie den Schnittpunkt und den Schnittwinkel e) Welche Punkte von G haben zu E den Abstand d = 6 6? f) Welchen Abstand hat der Punkt Q(/ /) zu G g) Die Punkte R(6/ 9/6) und R (/ / ) liegen spiegelbildlich bezüglich einer Ebene E Bestimmen Sie eine Gleichung von E

13 Lineare Algebra, Sommersemester 9 8 Matrizen Aufgabe 8 Gegeben sind die folgenden Matrizen: A = B = 7 C = D = E = 9 7 ( F = ) G = Berechnen Sie (falls möglich) die folgenden Ausdrücke: a) BA + C, b) ABG, c) E + D, d) DE, (DE) T, e) E T D T, f) F CF Aufgabe 8 Wie muss man k wählen, damit das Matrixprodukt eine Diagonalmatrix ergibt? 7, k

14 Lineare Algebra, Sommersemester 9 Aufgabe 8 Berechnen Sie a, b, so dass 7 a a b + = 7 Aufgabe 8 Zeichnen Sie die Punkte P (/), Q(/) und R(/) in ein Koordinatensystem ein Berechnen Sie danach mit Hilfe einer Drehmatrix die Koordinaten der um π gedrehten Punkte und zeichnen Sie diese ebenfalls in das Koordinatensystem ein Aufgabe 8 Berechnen Sie die Determinanten a) 6 b) 6 c) d) a a a Aufgabe 86 Berechnen Sie die Determinanten a) b) b b b b c) x x x x x Aufgabe 87 Vereinfachen Sie die folgenden Determinanten und berechnen Sie danach ihren Wert: a) + cos α + sin α sin α + cos α b) c)

15 Lineare Algebra, Sommersemester 9 Aufgabe 88 Berechnen Sie für zwei beliebige untere und obere Dreiecksmatrizen U und O a) det U, b) det O, c) det(uo) Welches vereinfachte Gesetz gilt für die Berechnung der Determinante einer Dreiecksmatrix? Aufgabe 89 Für welche der folgenden Paare gilt, dass A und B invers zueinander sind?, a) A =, B =,, b) A =, B = Aufgabe 8 Berechnen Sie mit der Cramer-Regel die Inverse zu A = 8 Aufgabe 8 Berechnen Sie mit dem Verfahren von Gauß-Jordan die Inverse zu A = 8

16 Lineare Algebra, Sommersemester 9 6 Aufgabe 8 Für welche x R ist A = x x invertierbar? Aufgabe 8 Welchen Rang hat die Matrix A =? Aufgabe 8 Gegeben ist die Drehmatrix D ϕ = cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ a) Berechnen Sie die inverse Matrix D ϕ b) Vergleichen Sie Dϕ sollten sie es sein? mit D ϕ : Sind die Matrizen identisch und warum eigentlich

17 Lineare Algebra, Sommersemester Lineare Gleichungssysteme Aufgabe 9 Gegeben ist das LGS x x = a) Zeigen Sie, dass das LGS genau eine Lösung besitzt b) Berechnen Sie diese Lösung mit der Cramer-Regel Aufgabe 9 Ein LGS sei auf das Lösungsschema transformiert a) Welchen Rang hat das LGS? b) Welche Dimension hat die Lösungsmenge L? c) Wie lauten die Lösungen x des LGS? d) Was stellen die Lösungen geometrisch dar? Aufgabe 9 Lösen Sie das LGS mit Hilfe des Gauß-Verfahrens x + y z = x y z = x + y z =

18 Lineare Algebra, Sommersemester 9 8 Aufgabe 9 Für welche reellen Werte des Parameters λ besitzt das homogene LGS = ( ) ( ) λ λ x x x x = Lösungen verschieden von? Aufgabe 9 Bestimmen Sie die Lösungen des LGS x + x + x = 8 x x + x = x + x x = Aufgabe 96 Bestimmen Sie die Lösungen des LGS x + x + x 9x = x x + x + x = x + x + x x = Warum kann die Cramer-Regel für dieses Beispiel nicht angewendet werden? Aufgabe 97 Berechnen Sie die Lösungen der Vektorgleichung x + x x = 8 8

19 Lineare Algebra, Sommersemester 9 9 Lineare Abbildungen Aufgabe Durch f (x) = x, f (x) = x + x, f (x) = x + seien drei Funktionen f k : R R, k =,, definiert a) Zeigen Sie, dass {f, f, f } ein Erzeugendensystem des Vektorraums V aller Polynome auf R höchstens zweiten Grades ist b) Ist {f, f, f } sogar eine Basis von V? c) Stellen Sie g : R R, g(x) = x +x als Linearkombination von f, f, f dar Aufgabe Das Dreieck ABC mit A(/), B(/) und C(/) soll im mathematisch positivem Sinn um um den Ursprung gedreht und anschließend vom Ursprung aus mit dem Faktor q = zentrisch gestreckt werden a) Wie lautet die Matrixdarstellung der gesamten linearen Abbildung? b) Berechnen Sie die Eckpunkte des Bilddreiecks Aufgabe Die lineare Abbildung f : R R sei eine orthogonale Spiegelung an der x -x - Ebene a) Wie lautet die Abbildungsmatrix? b) Bestimmen Sie das Bild der Geraden G : x =

20 Lineare Algebra, Sommersemester 9 Aufgabe Betrachtet wird eine lineare Abbildung f : R R, welche zunächst orthogonal in die x -x -Ebene projiziert und danach am Ursprung spiegelt a) Wie lautet die Abbildungsmatrix der Gesamtabbildung? b) Wie lautet das Bild der Strecke AB mit A(//) und B(//6)? Aufgabe Gegeben sei die lineare Abbildung f : R R ; f( x) = x Untersuchen Sie die geometrische Wirkung der Abbildung, indem Sie das Einheitsquadrat ABCD mit A(/), B(/), C(/), D(/) abbilden und eine Skizze anfertigen Aufgabe 6 Gesucht sind die Abbildungsmatrizen für lineare Abbildungen f : R R mit den folgenden Eigenschaften: a) Spiegelung an der Geraden x = x, b) Spiegelung an der Geraden x = x, c) Spiegelung an der Geraden x = x, d) Drehung um um den Ursprung, e) Projektion parallel zur x -Achse auf die Gerade x = x, f) Projektion parallel zur Winkelhalbierenden x = x auf die x -Achse Aufgabe 7 Gegeben sind die linearen Abbildungen f,, f mit den Abbildungsmatrizen: A(f ) = A(f ) =

21 Lineare Algebra, Sommersemester 9 A(f ) = A(f ) = Bestimmen Sie die Bildmenge, den Kern und die Fixpunktmenge der vier Abbildungen Aufgabe 8 Gegeben sind die linearen Abbildungen f,, f mit den Abbildungsmatrizen: A(f ) = A(f ) = A(f ) = A(f ) = a) Bestimmen Sie den Kern und die Fixpunktmenge der vier Abbildungen b) Bestimmen Sie die Bildmenge der Abbildung f c) Auf welche Vierecksform wird das Rechteck mit den Eckpunkten A(//), B(/7/8), C(/7/8), D(//) durch die Abbildung f abgebildet? Ändert sich dabei der Flächeninhalt des Vierecks? Aufgabe 9 Betrachtet wird die lineare Abbildung f aus Aufgabe 7 a) Bestimmen Sie die Bilder der folgenden Geraden G : x =, G : x = G : x =, b) Erhält die Abbildung f die Parallelität von Geraden?

22 Lineare Algebra, Sommersemester 9 c) Erhält die Abbildung f die Winkel zwischen zwei Geraden? Aufgabe Gegeben seien die Abbildungen f, f, f aus Aufgabe 7 a) Bestimmen Sie die Eigenwerte der Abbildungen b) Bestimmen Sie die Eigenvektoren der Abbildungen c) Beurteilen Sie mit Hilfe der Eigenvektoren die geometrische Abbildungswirkung von f, f, f Aufgabe Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der Abbildungen f,, f Aufgabe 8 aus Aufgabe (Orthogonale Spiegelung an einer Ebene) Betrachtet wird die lineare Abbildung f : R R, welche eine orthogonale Spiegelung an der Ebene E : x x = bewirkt a) Stellen Sie die Abbildungsmatrix A(f) auf b) Bestimmen Sie die Bildmenge, den Kern und die Fixpunktmenge von f c) Errechnen Sie die Eigenwerte von f d) Bestimmen Sie die Fixgeraden von f, also alle Geraden, die auf sich selbst abgebildet werden Aufgabe (Schrägspiegelung an einer Ebene) Gegeben ist die lineare Abbildung f : R R ; f( x) = x

23 Lineare Algebra, Sommersemester 9 a) Bestimmen Sie Bildmenge, Kern und Fixpunktmenge von f b) f beschreibt eine Spiegelung an einer Ebene E Bestimmen Sie eine Gleichung von E und geben Sie die Spiegelungsrichtung durch einen Vektor an c) Bestimmen Sie das Bild der Geraden G : x = d) Zeigen Sie, dass die Gerade G : x = auf sich selbst abgebildet wird e) Bestimmen Sie die Fixgeraden von f