Algorithmen und Datenstrukturen (für ET/IT)

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1 Algorithmen und Datenstrukturen (für ET/IT) Sommersemester 05 Dr. Tobias Lasser Computer Aided Medical Procedures Technische Universität München

2 Programm heute Einführung Grundlagen von Algorithmen Grundlagen von Datenstrukturen 4 Grundlagen der Korrektheit von Algorithmen 5 Grundlagen der Effizienz von Algorithmen 6 Grundlagen des Algorithmen-Entwurfs Entwurfsprinzipien Divide and Conquer Greedy-Algorithmen Backtracking Dynamisches Programmieren

3 Algorithmen-Muster: Greedy greedy = gierig, gefräßig Greedy Prinzip: Lösung eines Problems durch schrittweise Erweiterung der Lösung ausgehend von Startlösung in jedem Schritt wähle den bestmöglichen Schritt (ohne Berücksichtigung zukünftiger Schritte) greedy gefundene Lösung muss nicht immer optimal sein! 4

4 Algorithmen-Muster: Greedy Greedy-Muster als Pseudocode: Input: Aufgabe A Greedy(A): while (A nicht gelöst) { wähle bestmöglichen Schritt; // Greedy Strategie baue Schritt in Lösung ein; } 5

5 Greedy: Beispiel Wechselgeld I Problem: Herausgabe von Wechselgeld Voraussetzung: übliche Euro-Münzen e, e, 50c, 0c, 0c, 5c, c und c Aufgabe: Wechselgeld-Herausgabe mit möglichst wenig Münzen Beispiel: Preis e., bezahlt mit e Münze. Wechselgeld: 89c Minimum Anzahl Münzen: 6 89c = 50c + 0c + 0c + 5c + c + c 6

6 Greedy: Beispiel Wechselgeld II Greedy-Algorithmus: Input: Betrag b Wechselgeld(b): ausgegeben = 0; while (ausgegeben < b) { wähle größte Münze s mit ausgegeben + s b; // greedy print(s); ausgegeben += s; } Achtung: Abhängig vom Geldsystem liefert dieser Algorithmus nicht immer die optimale Lösung! Beispiel: Münzen 5c, 4c, c. Betrag: 8c Greedy-Lösung: 8c = 5c + c + c + c Optimale Lösung: 8c = 4c + 4c 7

7 Von Greedy lösbare Probleme Voraussetzungen für Anwendbarkeit von Greedy: feste Menge von Eingabewerten Lösungen werden aus Eingabewerten aufgebaut Lösungen lassen sich schrittweise durch Hinzufügen von Eingabewerten aufbauen, beginnend bei leerer Lösung Bewertungsfunktion für partielle und vollständige Lösung Gesucht wird eine/die optimale Lösung 8

8 Anwendung Greedy: Glasfasernetz Problemstellung: Aufbau von möglichst billigem Glasfasernetz zwischen n Knoten K,..., K n, so daß alle Knoten miteinander verbunden sind (u.u. mit Umweg) Input: Knoten K,..., K n Kosten d ij > 0 für direkte Verbindung zwischen K i und K j für i j, i, j {,..., n} K 6 K K K K 5 8 Output: Teilmenge aller Verbindungen, so daß alle Knoten verbunden sowie minimale Kosten 9

9 Glasfasernetz: Beispiel I K 6 K K 5 8 K 5 K Knoten K,..., K 5 Kosten d ij repräsentiert als gewichteter, ungerichteter Graph (Kapitel 7) 0

10 Glasfasernetz: Beispiel II K 6 K 4 K K 5 K Startknoten: K beste Verbindung: zu K, Kosten andere Kosten: 7 (zu K ), 0 (zu K 4 ), 5 (zu K 5 )

11 Glasfasernetz: Beispiel III K 6 K 4 K K 5 K nächst-beste Verbindung von {K, K }: zu K, Kosten andere Kosten: 8 (zu K 4 ), (zu K 5 ), 7 (zu K )

12 Glasfasernetz: Beispiel IV K 6 K 4 K K 5 K nächst-beste Verbindung von {K, K, K }: zu K 5, Kosten andere Kosten: 6 bzw. 8 (zu K 4 )

13 Glasfasernetz: Beispiel V K 6 K 4 K K 5 K nächst-beste Verbindung von {K, K, K, K 5 }: zu K 4, Kosten 6 alle Knoten behandelt, Algorithmus fertig 4

14 Glasfasernetz: Beispiel VI K 7 0 K 5 6 K 8 K K 5 K 6 K K K 5 K 4 Ergebnis: ein sog. minimaler Spannbaum (minimum spanning tree, MST) vom Graphen 5

15 Glasfasernetz: Algorithmus Input: Feld von Knoten K (Länge n), Kostenfunktion d(i, j) Output: minimaler Spannbaum B Glasfasernetz(K, d): B = {K }; // Startlösung while (B nicht Spannbaum von {K,..., K n }) { suche billigste Kante, die aus B rausgeht; // Greedy Schritt füge entsprechenden Knoten und Kante zu B hinzu; } Komplexität naiver Implementation: O(n ) geht besser, s. Kapitel 9 6

16 Programm heute Einführung Grundlagen von Algorithmen Grundlagen von Datenstrukturen 4 Grundlagen der Korrektheit von Algorithmen 5 Grundlagen der Effizienz von Algorithmen 6 Grundlagen des Algorithmen-Entwurfs Entwurfsprinzipien Divide and Conquer Greedy-Algorithmen Backtracking Dynamisches Programmieren 7

17 Algorithmen-Muster: Backtracking Backtracking: systematische Suchtechnik, um vorgegebenen Lösungsraum vollständig abzuarbeiten Paradebeispiel: Labyrinth. Wie findet Maus den Käse? 8

18 Backtracking: Labyrinth I Problem: Wie findet Maus den Käse? Lösung: systematisches Abgehen des Labyrinths Zurückgehen falls Sackgasse (daher: Backtracking) trial and error 9

19 Backtracking: Labyrinth II Mögliche Wege repräsentiert als Baum: (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) 0

20 Algorithmen-Muster: Backtracking Voraussetzungen: Lösungs(teil)raum repräsentiert als Konfiguration K K 0 ist Start-Konfiguration jede Konfiguration K i kann direkt erweitert werden für jede Konfiguration ist entscheidbar, ob Lösung Input: Konfiguration K Backtrack(K): if (K ist Lösung) { gib K aus; } else { for each (direkte Erweiterung K von K) { Backtrack(K ); } } initialer Aufruf mittels Backtrack(K 0 )

21 Backtracking: Konfigurationen (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) Konfiguration z.b. repräsentiert als Pfad im Baum

22 Backtracking: Eigenschaften Terminierung von Backtracking: nur wenn Lösungsraum endlich nur wenn sichergestellt daß Konfigurationen nicht wiederholt getestet werden Komplexität von Backtracking: direkt abhängig von Größe des Lösungsraums meist exponentiell, also O( n ), oder schlimmer! nur für kleine Probleme wirklich anwendbar Alternative: Begrenzung der Rekursionstiefe dann Auswahl der bis dahin besten Lösung z.b. für Schach-Programme

23 Backtracking Beispiel: Traveling Salesman Traveling Salesman Problem: n Städte finde kürzeste Rundreise, die alle Städte exakt einmal besucht außer Start- und Zielort (identisch) K 6 K 4 K K 5 K Lösung z.b. mit Algorithmen-Muster Backtracking 4

24 Traveling Salesman Problem: Algorithmus mit Backtracking Input: n Städte, Rundreise trip TSP(trip): if (trip besucht jede Stadt) { erweitere trip um Reise zum Startort; gebe trip und die Kosten aus; } else { for each (bislang unbesuchte Stadt s) { trip = trip erweitert um s; TSP(trip ); } } 5

25 Traveling Salesman Problem: Beispiel K 6 K K 5 8 K 5 K bei n Städten mit fixiertem Start-/Zielort gibt es (n )! Rundreisen hier: 5 Städte 4! = 4 Rundreisen Laufzeit von TSP hier ist O ( (n )! ) hier: kürzeste Rundreise hat Länge z.b. über Route K K K K 4 K 5 K 6

26 Backtracking Beispiel: Acht-Damen-Problem Acht-Damen-Problem: suche alle Konfigurationen von 8 Damen auf Schachbrett so daß keine Dame eine andere bedroht Dame auf Schachbrett: A B C D E F G H A B C D E F G H 7

27 Acht-Damen-Problem Zwei der mo glichen Lo sungen: A B C D E F G H A B C D E F G H A B C D E F G H A B C D E F G H Beobachtung: jeweils nur eine Dame pro Zeile/Spalte Lo sung z.b. mit Algorithmen-Muster Backtracking 8

28 Acht-Damen-Problem: Algorithmus mit Backtracking Input: Zeilenindex i AchtDamen(i): for h = to 8 { // probiere alle Spalten aus if (Feld in Zeile i, Spalte h nicht bedroht) { setze Dame auf Feld (i, h); if (Brett voll) { // i == 8 gib Lösung aus; } AchtDamen(i + ); nimm Dame von Feld (i, h) wieder weg; } } 9

29 Acht-Damen-Problem: Illustration 0

30 Acht-Damen-Problem es gibt 9 Lösungen für das Acht-Damen-Problem das Problem läßt sich auf n Damen auf einem n n Schachbrett ausweiten Anzahl Lösungen wächst stark z.b. für n = gibt es 77 Lösungen ähnliche Spiele, wie z.b. Sudoku, lassen sich entsprechend lösen

31 Programm heute Einführung Grundlagen von Algorithmen Grundlagen von Datenstrukturen 4 Grundlagen der Korrektheit von Algorithmen 5 Grundlagen der Effizienz von Algorithmen 6 Grundlagen des Algorithmen-Entwurfs Entwurfsprinzipien Divide and Conquer Greedy-Algorithmen Backtracking Dynamisches Programmieren

32 Dynamisches Programmieren Dynamisches Programmieren einsetzbar für Probleme, deren optimale Lösung sich aus optimalen Lösungen von Teilproblemen zusammensetzt (z.b. Rekursion) Optimalitätsprinzip von Bellman Prinzip: statt Rekursion berechnet man vom kleinsten Teilproblem aufwärts Zwischenergebnisse werden in Tabellen gespeichert

33 Fibonacci Zahlen Fibonacci Folge Die Fibonacci Folge ist eine Folge natürlicher Zahlen f, f, f,..., für die gilt f n = f n + f n für n mit Anfangswerten f =, f =. eingesetzt von Leonardo Fibonacci zur Beschreibung von Wachstum einer Kaninchenpopulation Folge lautet:,,,, 5, 8,,, 4, 55, 89,... berechenbar z.b. via Rekursion 4

34 Fibonacci Funktion Input: Index n der Fibonacci Folge Output: Wert f n fib(n): if (n == n == ) { return ; } else { return fib(n ) + fib(n ); } Aufrufstruktur für fib(5): fib(5) fib(4) fib() fib() fib() fib() fib() fib() fib() Beobachtung: Komplexität ist O( n ) gleicher Funktionswert wird mehrfach berechnet! z.b. x fib(), x fib(), x fib() dynamisches Programmieren 5

35 Fibonacci Funktion: dynamisch programmiert Prinzip dynamisches Programmieren: vom kleinsten Teilproblem aufwärts Zwischenergebnisse in Tabelle Input: Index n der Fibonacci Folge Output: Wert f n FibDyn(n): fib = leeres Feld Größe n + ; // Tabelle fib[] = ; // kleinstes Teilproblem fib[] = ; // kleinstes Teilproblem for k = to n { fib[k] = fib[k-] + fib[k-]; // Rekursion aufwärts } return fib[n]; Komplexität dynamisch programmiert: O(n) 6

36 Zusammenfassung Einführung Grundlagen von Algorithmen Grundlagen von Datenstrukturen 4 Grundlagen der Korrektheit von Algorithmen 5 Grundlagen der Effizienz von Algorithmen 6 Grundlagen des Algorithmen-Entwurfs Entwurfsprinzipien Divide and Conquer Greedy-Algorithmen Backtracking Dynamisches Programmieren 7