MATHE KLASSE 11. Funktionen Extremwerte lineare Funktionen WOLFGANG STILLER

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1 MATHE KLASSE Funktionen Etremwerte lineare Funktionen

2 FUNKTION Def.: Funktionen sind eindeutige Zuordnungen. (Mathe eine Menge X [Definitionsbereich] wird einer Menge Y [Wertebereich] zugeordnet. Jedem Element von wird genau ein Element zugeordnet. (eindeutig) Darstellung von Funktionen: (im Koordinatensstem, Wertetabelle, Gleichung) f()= ;

3 FUNKTIONEN Das ist eine Funktion! Eindeutig, zu jedem gibt es genau ein. Das ist keine Funktion! Nicht eindeutig, nicht zu jedem gibt es genau ein. (Manchmal auch zwei oder drei, z.b. = 0)

4 EXTREMWERTE VON FUNKTIONEN Lokale Etremwerte: Finden wir immer an den Stellen der Funktion, an der das Vorzeichen der Monotonie sich verändert. (von fallend in steigend oder umgekehrt) Monotonie Änderung an den Stellen (-; ;) Maimum ( ) Minimum (- ) und ( 0) Globale Etremwerte: Stellen an der, die Funktion den größten oder den kleine Funktionswert besitzt (Wert von ) kleinstes an größtes an Maimum ( ); Minimum (- ) Wertebereich/Funktionswerte: Monotonieintervalle: Fallend Steigend

5 SCHNITTPUNKTE MIT DEN KOORDINATENACHSEN Schnittstelle mit der - Achse (Nullstelle) 0 In der Funktionsgleichung oder f() durch Null ersetzen und nach auflösen. Die Anzahl der Lösung gibt die Anzahl der Schnittstellen an. Um die Schnittpunkte zu bestimmen werden die Koordinaten mit den Lösungen ergänzt. 0 bei mehren Lösungen wiederholen. Schnittstelle mit der -Achse 0 In der Funktionsgleichung für den Wert Null einsetzen und den Funktionswert bestimmen. Es kann nur eine Schnittstelle geben! Für den Schnittpunkt werden die Koordinaten ergänzt. 0 ö

6 SCHNITTPUNKTE ZWISCHEN FUNKTIONEN Schneiden sich zwei Funktionen, so ist der Funktionswert an dieser Stelle jeweils gleich. Es gilt also. Beide Funktionsgleichungen gleich setzten und dann diese Gleichung lösen. Mit der Lösung erhalten wir die Stelle ()/ Stellen n, an der beide Funktionen sich schneiden. Nun noch die Lösung/Lösungen in jeweils eine der beiden Funktionsgleichungen einsetzen und den Funktionswert () zu bestimmen. Der Schnittpunkt ist dann ), der Lösungen. f()=² S(0,0 -,0) S(,0,0) 0;, nun in! 0. g()=- Damit sind die Schnittpunkte 0

7 LINEARE FUNKTIONEN Gleichung: Anstieg: gibt an wie steil oder flach die Funktion verläuft. < 0 fallende Funktion 0steigende Funktion 0 parallele zur -Achse Schnittstelle mit der -Achse

8 ANSTIEGSWINKEL LINEARE FUNKTIONEN Der Anstiegswinkel einer linearen Funktion wird immer zwischen der positiven Richtung der -Achse und der Funktion bestimmt (rechts). Der Anstieg ist das Verhältnis von der, Steigungsdreieck. tan

9 BESONDERE LINEARE FUNKTIONEN Parallele lineare Funktion Lineare Funktionen sind parallel zueinander, wenn sie die gleichen Anstieg besitzen. (m =m ) 5 f()=-+ Senkrechte lineare Funktionen Lineare Funktionen sind senkrecht zueinander, wenn die Anstiege verschieden Vorzeichen besitzen und reziprok sind. oder = f()=/+ g()=- g()=

10 GESPIEGELTE LINEARE FUNKTIONEN lineare Funktion an der -Achse An der -Achse gespiegelte Funktionen haben entgegengesetzte Ansteige. ( ) lineare Funktionen an der -Achse An der -Achse gespiegelte Funktionen haben entgegengesetzte Anstiege und entgegengesetzte Schnittstellen mit der -Achse ( und ) f()=-- g()=- f()=-+ g()=

11 SCHNITTWINKEL ZWEIER LINEARER FUNKTIONEN Schneiden sich zwei lineare Funktionen, so ist der Schnittwinkel zu berechnen. f()=-+ g()=- ; mit dieser Formel berechnen wir immer den kleineren Winkel zwischen den Geraden! ; 5 ca. 5 φ S

12 BESTIMMUNG EINER FUNKTIONSGLEICHUNG Aus einer gegeben grafischen Darstellung ist die Funktionsgleichung zu ermitteln! Suchen wir uns geeignete Punkte (bekannte Werte oder Werte die sich gut ablesen lassen!). Aus diesen Werten konstruieren wir das Steigungsdreieck und bestimmen dann den Anstieg. Aus der Schnittstelle mit der -Achse lesen wir damit den Wert für n ab! ; ; ist dann die Funktionsgleichung! B A -

13 BERECHNUNG EINER FUNKTIONSGLEICHUNG Aus zwei Punkten ist die Gleichung einer Funktion zu bestimmen. Zunächst ist erst der Anstieg zu bestimmen. Hierzu verwenden wir das Steigungsdreieck.,. P( ) und Q( ), damit ist der Anstieg ; Jetzt verwenden wir von einen Punkt die Koordinaten und setzen diese in die von uns bestimmte Gleichung ein. Durch Umstellen können wir dann n berechnen.,! 5 f()=+ B A

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