Stroppel Musterlösung , 180min. Aufgabe 1 (5 Punkte) Gegeben sei eine lineare Abbildung α: R 4 R 3 : x Ax mit. . Weiter sei b = A =

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1 Stroppel Musterlösung 4. 9., 8min Aufgabe 5 Punkte Gegeben sei eine lineare Abbildung α: R 4 R 3 : x Ax mit 4 A =. Weiter sei b = 3 gegeben. Entscheiden Sie jeweils, ob die durch gekennzeichneten freien Stellen mit Elementen aus {, } so aufgefüllt werden können, dass die entsprechende Eigenschaft erfüllt ist. Geben Sie, wenn möglich, ein Beispiel einer solchen Matrix A an. a RgA = 3 b dim Kernα = c RgA b = RgA d Die Abbildung α ist surjektiv und ihr Kern hat die Dimension zwei. a Um Rang 3 zu erhalten muss man nachprüfen, ob die Zeilen linear unabhängig sind. Beachte: Zeilenrang=Spaltenrang=Rang, es geht also auch über die Spalten Hier eine Liste der Matrizen, die Rang 3 haben zur Orientierung: in jeder Zeile sind die ersten beiden Spalten der Matrizen gleich. b Der Lösungsraum des linearen Gleichungsystem Ax = ist der Kern der Abbildung α. Falls das Gleichungssystem genau zwei Parameter erlaubt, so ist der Kern zweidimensional. Hier eine Liste der Matrizen, die diese Eigenschaft erfüllen zur Orientierung: in jeder Zeile sind die ersten beiden Spalten der Matrizen gleich. Seite von 4

2 Stroppel Höhere Mathematik / Musterlösung 4. 9., 8min c Es sind die gleichen Matrizen wie in a. Man kann direkt die Ränge der Matrix und der erweiterten Matrix betrachten oder man betrachtet das inhomogene lineare Gleichungssystem Ax = b, hier gilt: Lösbarkeit RgA b = RgA. d Nicht möglich. Die Dimensionsformel für lineare Abbildungen besagt: dim Definitionsbereich = dim Bild + dim Kern. In diesem Fall ist die Dimension des Definitionsbereichs vier, die Dimension des Bildes soll drei sein und gleichzeitig soll die Dimension des Kernes zwei sein. Setzt man das in die Formel ein, so sieht man Das ist unmöglich, d.h. eine solche Abbildung kann nicht existieren. Anmerkung: Insgesamt gibt es 6 Varianten die Matrix aufzufüllen. Es sind 5 verschiedene Varianten oben aufgeführt, nun noch die letzte Matrix, sie hat Rang, die Dimension des Kernes ist 3 und der Rang der erweiterten Matrix ist. Seite von 4

3 Stroppel Höhere Mathematik / Musterlösung 4. 9., 8min Aufgabe 3 Punkte Lösen Sie das reelle lineare Gleichungssystem x = und geben Sie die Lösungsmenge an. Der Gaußalgorithmus liefert: Z 3 +Z : Z3 Z : Z 4 Z 3 : Z Z : Somit ist die Lösungsmenge L = +t Z Z 3 : Z Z 3 : t R. Seite 3 von 4

4 Stroppel Höhere Mathematik / Musterlösung 4. 9., 8min Aufgabe 3 7 Punkte Gegeben sei die Quadrik sowie die beiden Ebenen E = Q = { } x R 3 3x +x x 3 +6x +x 3 +5 = { } x R 3 x3 = und E = { } x R 3 x =. Bestimmen Sie für die Quadriken Q = Q E und Q = Q E, die als Schnitt der Quadrik Q mit E beziehungsweise E entstehen, jeweils eine euklidische Normalform und die Gestalt. Q hat die Gleichung x +3x +6x +3 =. Quadratisches Ergänzen liefert x +3x + =, also die Normalform 3y +y =. Die Gestalt ist eine Parabel. Q hat die Gleichung x x 3 +x 3 + = bzw. x,x 3 x x 3 + x x 3 + =. Wir berechnen die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix: λ = det = λ = λ λ+,dieeigenwertesindalso und.zumeigenwert ist λ ein normierter Eigenvektor; zum Eigenwert ist ein normierter Eigenvektor. Wir erhalten also als Transformationsmatrix T = Diagonalisieren y y + Quadratisches Ergänzen liefert z z + =. Die Gestalt ist eine Hyperbel. y +. Insgesamt ergibt sich dann durch y + =. y + y + =. Die euklidische Normalform ist Seite 4 von 4

5 Stroppel Höhere Mathematik / Musterlösung 4. 9., 8min Aufgabe 4 5 Punkte Gegeben seien die folgenden komplexen Potenzreihen mit α C. fz = e n z n und g α z = n= n= α n n+ zn a Bestimmen Sie den Konvergenzradius und den Konvergenzkreis der Reihe fz. Skizzieren Sie den Konvergenzkreis. b Finden Sie das maximale δ > so, dass die Reihe fz für alle z U δ 9 i absolut konvergiert. c Bestimmen Sie die Menge aller α C, für die der Konvergenzradius der Reihe g α z gleich ist. a Wir bestimmen den Konvergenzradius ρ: a n+ a n = e n+ e n = e, also lim n a n+ a n = e. Daraus folgt: ρ = e. Der Konvergenzkreis ist also U e. Dies ist eine Kreisscheibe mit Radius e ohne den Rand und mit Ursprung in. Skizze: Imz Rez D.h. für z U e konvergiert die Reihe fz absolut, für z U e divergiert sie, für z U e wird keine Aussage gemacht. Seite 5 von 4

6 Stroppel Höhere Mathematik / Musterlösung 4. 9., 8min b Es gilt: i =. Für den Radius δ muss also folgendes gelten: 9 9 δ := e 9. c Wir bestimmen den Konvergenzradius ρ α : lim a n+ n a n = lim α n+ n n+ n+ α n = α. Der Konvergenzradius ist somit: ρ α = α Der Konvergenzradius soll sein. D.h. alle α aus der Menge { } α C α = ergeben einen Konvergenzradius gleich der Reihe g α z. Seite 6 von 4

7 Stroppel Höhere Mathematik / Musterlösung 4. 9., 8min Aufgabe 5 6 Punkte a Bestimmen Sie den Funktionsgrenzwert lim x fx für die Funktion f : R {} R : x x5 x 4x 8x+4. b Bestimmen Sie die Summe 3 k + k= k= k. 3 c Bestimmen Sie den Häufungspunkt lim n a n der Folge a n n N mit a n = cos 5nπ + nπ 4. a Für x gilt x 5 x 4x 8x+4 = +x+x +x 3 +x 4 x = +x+x +x 3 +x 4 4x 4 x 5 x lim x 4x 8x+4 = 5/4 Alternativ: mit l Hospital, da Zähler und Nenner an verschwinden x 5 x lim x 4x 8x+4 = lim x 6 x 5 x+ x 4x 8x+4 L H = lim x 6x 5 5x 4 8x 8 L H = lim x 3x 4 x 3 8 = 5/4 b Mit dem Grenzwert / q für die geometrische Reihe zweite um erstes Glied korrigiert ist der Wert der Summe +/3 + /3 = = 5 4 Alternativ: Zusammenfassen der beiden Reihen ergibt 3 k und daher insgesamt 9 8 = 5 4. c Wegen der Periodizität des Kosinus ist k= cos 5nπ + nπ = cos nπ + nπ 4 4 Der größte Häufungspunkt ergibt sich also zu lim n a n =. { cos π = falls n gerade, 4 = cos π 4 π = falls n ungerade. Seite 7 von 4

8 Stroppel Höhere Mathematik / Musterlösung 4. 9., 8min Aufgabe 6 4 Punkte Gegeben ist die Funktion f: R R: x,y sin3x+y. Bestimmen Sie das Taylorpolynom zweiter Stufe von f um den Entwicklungspunkt, π/4. Gradient Hesse-Matrix Hf x,y = Auswertung am Entwicklungspunkt f,π/4 = Taylorpolynom der Stufe zwei gradfx,y =, gradf,π/4 = 3cos3x+y cos3x+y 9sin3x+y 3sin3x+y 3sin3x+y sin3x+y 3, Hf,π/4 = T f,x,y,,π/4 = + 3 x+ 9 y π/4 4 x 3 xy π/4 y π/4 4 Seite 8 von 4

9 Stroppel Höhere Mathematik / Musterlösung 4. 9., 8min Aufgabe 7 6 Punkte Die Funktion f: R R sei definiert durch fx,y := y +y x + = x y x +y +3y +. a Bestimmen Sie die Nullstellenmenge von f und skizzieren Sie die Vorzeichenverteilung in R. b Bestimmen Sie Lage und Art aller kritischen Stellen von f. a Nullstellenmenge: y = x y = Skizze: y x b Der Gradient xy x x +y +3 muss an den kritischen Stellen verschwinden. Aus der ersten Zeile folgt somit xy + = x = y =. Die zweite Zeile liefert die kritischen Stellen lauten also x = y = 3 y = x = ±, P =, P =, P 3 =, 3. Seite 9 von 4

10 Stroppel Höhere Mathematik / Musterlösung 4. 9., 8min Lösung via Vorzeichenverteilung: Wegen der aus der Skizze erkenntlichen Vorzeichenwechsel liegen bei P, P Sattelpunkte vor. Die Stelle P 3 liegt in einem von Nullstellen umrandeten kompakten Gebiet. Da die Funktion f stetig ist, nimmt sie ein Minimum in diesem kompakten Gebiet an. Dieses Minimum kann wegen negativen Vorzeichens der Funktionswerte in dessen Innern nicht auf dem Rand liegen. Da P 3 die einzige kritische Stelle im Innern des Gebietes ist, muss dort ein lokales Minimum vorliegen. Alternative Lösung via Hessematrix: Die Hessematrix ist gegeben durch y x x. Wir werten diese nun an den kritischen Stellen aus und berechnen die Determinante. Es ist dethf, = 4 <. Folglich liegt bei P ein Sattelpunkt vor. Es ist dethf, = 4 <. Folglich liegt bei P ein Sattelpunkt vor. Es ist dethf, 3 = >. Außerdem ist fxx, 3 = >. Folglich ist P3 eine lokale Minimalstelle. Seite von 4

11 Stroppel Höhere Mathematik / Musterlösung 4. 9., 8min Aufgabe 8 6 Punkte Gegeben ist das von dem reellen Parameter α abhängige Vektorfeld f α : R R αx x +6x : x x. x 3 +8x x a Bestimmen Sie alle α R, für die U: R R: x 4x x +x 3 x x ein Potential von f α ist. b Berechnen Sie für den abgebildeten Weg C die Integrale f 4 x dx und f x dx. C C x a Wegen gradux = ist U für α = 4 ein Potential von f α. 8x x +6x x 8x x +x 3! = f α x b Parametrisierung der Randkurven: t C t = C t = t t t C 3 t = t [,] f 4 besitzt ein Potential, ein geschlossenes Kurvenintegral ist demnach gleich Null. f 4 x dx = Das Kurvenintegral muss nach Definition berechnet werden. f x dx = f x dx+ f x dx+ f x dx C C C C 3 6t 3... = t 3 +8t 3 dt+ +8 t + dt... = 6t 3 dt+ C +8tdt+ dt = [ 4t 4] +[ t+4t ] + = 4 +4 = dt Seite von 4

12 Stroppel Höhere Mathematik / Musterlösung 4. 9., 8min Alternative: Wegen der Linearität des Integrals und der Tatsache, dass f 4 ein Potential besitzt, folgt Mit dem Vektorfeld f4 x f x dx = f 4 x dx } {{ } = f x dx f x dx = f4 x f x dx. f 4 x f x = und obenstehender Parametrisierung folgt dann f4 f x dx = x f x dx 8t 3 = dt = 8t 3 dt = 8x x... dt... dt Seite von 4

13 Stroppel Höhere Mathematik / Musterlösung 4. 9., 8min Name, Vorname: Nummer: Matrikel- Studiengang: Aufgabe 9 3 Punkte Skizzieren Sie folgende Teilmengen von C. a A = {z C z +i 9} 4 b B = {z C Rez Imz } c C = {z C Imz = Rez } Im 3 C A Re B 3 Aufgabe 3 Punkte Gegeben ist die Matrix i A = i. Bestimmen Sie die Spur und die Determinante der Matrix A. SpA = 4 deta = 5 Bestimmen Sie die Eigenwerte und die zugehörigen Eigenräume der Matrix A. λ = +i, Vλ = L, λ = i, Vλ = L Seite 3 von 4

14 Stroppel Höhere Mathematik / Musterlösung 4. 9., 8min Aufgabe 4 Punkte +i a Geben Sie z = in Polarkoordinatendarstellung an. Berechnen Sie 8 +i = e iπ 4 oder cos π 4 +isin π 4 b Geben Sie die Lösungsmenge der Gleichung 8i = z 3 an. Die Lösungen können in Polarkoordinatendarstellung angeben werden. {e iπ, e i7π 6, e iπ 6 } oder {cos π +isinπ,cos7π 6 +isin7π 6,cosπ 6 +isinπ 6 } oder {i, 3 i, 3 i} Aufgabe 3 Punkte Gegeben sind im Standardkoordinatensystem E = ;, die Punkte P =,, Q = 4, und R = 3,3. Das Koordinatensystem F = P;v,w wird durch den Punkt P und die beiden Vektoren v = PQ und w = PR gebildet. a M sei der Mittelpunkt der Strecke QR. Geben Sie die Koordinaten des Punktes M bezüglich des Koordinatensystems F an. F M = / / b Die affine Abbildung α vertauscht die Punkte P,Q und R zyklisch, d.h. αp = Q, αq = R und αr = P. Geben Sie die Darstellung von α bezüglich des Koordinatensystems F an. F αx = F x + Aufgabe 3 5 Punkte Bestimmen Sie folgende Integrale. xsinx 3dx = [ ] cosx 3 x 6 x +3x dx = [ ] 3ln x+5 ln x xlnxdx = [ ] x 4 lnx xlnxdx = 4 Seite 4 von 4