Analysis 2. Delio Mugnolo. (Version von 13. Februar 2013)

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1 Anlysis 2 Delio Mugnolo (Version von 13. Februr 213)

2 2 Dies ist ds Skript zur Vorlesung Anlysis 2, welche ich im Wintersemester 212 n der Universität Ulm gehlten hbe. Es ist durchus möglich, dss ich im Text Fehler vergessen hbe. Ich werde jedem/jeder dnkbr sein, der/die mich druf hinweisen wird m besten direkt n Ulm, den 13. Februr 213 Delio Mugnolo Veröffentlicht unter der Cretive Commons-Lizenz Nmensnennung (cc-by)

3 Inhltsverzeichnis Kpitel 1. Konvergenz von Funktionenfolgen und -reihen Funktionenfolgen Funktionenreihen Approximierbrkeit und Tylorentwicklung 17 Kpitel 2. Integrlrechnung Uneigentliche Integrle 5 Kpitel 3. Einige Anwendungen der Integrlrechnung Konvergenz von Reihen Tylor-Entwicklung einer Stmmfunktionenreihe Der Stz von Weierstrß Existenz von trnszendenten Zhlen (optionl) 58 Kpitel 4. Differenzilrechnung von Funktionen mehrerer Vriblen Beschränkte linere Opertoren Fréchet-Differenzierbrkeit Richtungsdifferenzierbrkeit Der Spezilfll von Y = R n 67 Kpitel 5. Einige Anwendungen der Differenzilrechnung 85 Kpitel 6. Metrische Räume und Kompktheit 97 Literturverzeichnis 13 3

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5 KAPITEL 1 Konvergenz von Funktionenfolgen und -reihen In [6] hben wir den Begriff von konvergenten Folgen gnz llgemein eingeführt ls Abbildungen von einer bzählbrer Menge (insbesondere, N) nch einen normierten Rum. Insbesondere können wir ls normierten Rum B(A; X), den Vektorrum der beschränkten Funktionen von A nch X; oder C b (A; X), den Vektorrum der stetigen und beschränkten Funktionen von A nch X, betrchten 1 und Folgen von Funktionen uf Konvergenz zu untersuchen. Dbei wiederholen wir, dss wir B(A; X) und C b (A; X) mit der knonischen Norm (1.1) f := sup f(x) X x A versehen. In diesem Sinne leiten wir ntürlich einen Konvergenzbegriff für Folgen stetiger Funktionen b: Eine Folge (f n ) n N beschränkter Funktionen gilt ls konvergent (und mn spricht oft von Konvergenz in -Norm), flls sie im Sinne von [6, Definition 4.24] konvergiert d.h., flls es ein f B(A; X) bfzw. f C b (A; X) gibt, für ds (1.1) gilt, d.h., ε > N ε N s.d. f n f < ε für lle n N ε Funktionenfolgen Es stellt sich ber schnell herus, dss neben diesem uch ndere Konvergenzbegriffe sinnvoll erscheinen, zuml (1.1) nicht nur für beschränkte Funktionen sinnvoll ist dzu reicht es lediglich, dss f n f für lle n N beschränkt bleibt. Definition 1. Es seien X, Y Normierte Räume, A eine Teilmenge von Y und (f n ) n N eine Folge von Funktionen von A nch X. Die Folge (f n ) n N heißt gleichmäßig konvergent, flls es ein f : A X gibt, für ds ε > N ε N s.d. f n (x) f(x) X < ε für lle n N ε und lle x A. gilt. Die Folge (f n ) n N heißt punktweise konvergent, flls jede Punktuswertung (f n (x)) n N X konvergiert d.h., flls es ein g : A X gibt, für ds gilt. ε > x A N ε N s.d. f n (x) g(x) X < ε für lle n N ε Definitionsgemäß stimmen die Begriffe der Konvergenz in -Norm bzw. der gleichmäßigen Konvergenz für Folgen stetiger Funktionen überein. Mn knn diese Beobchtung leicht verllgemeinern. 1 Einen Spezilfll hben wir in [6, Korollr 7.87 und Anmerkung 7.89] betrchtet: Ist A R n, dnn ht jede Funktion von A nch R ein globles Mximum und somit ist C b (A; X) = C(A; X) ein bgeschlossener Unterrum des Bnchrumes B(A; X) und somit selber ein Bnchrum 5

6 6 Kpitel 1 Stz 1.1. Es seien X, Y Normierte Räume, A eine Teilmenge von Y und (f n ) n N eine Folge von Funktionen von A nch X, von denen nur endlich viele n einer gegebenen Stelle x A nicht stetig sind. Konvergiert die Folge (f n ) n N gleichmäßig, so ist ihr Grenzwert ebenflls eine n der Stelle x stetige Funktion. Beweis. Es sei ε > und N ε N so, dss f n f < ε. Es sei Ñ N der Index, für den f n C(A; X) für lle n Ñ und betrchte Ñε := mx{n ε, Ñ}. Wegen der Stetigkeit von f Ñ ε gibt es eine Umgebung U von x, in der gilt fñε (x ) fñε (x) X ε für lle x U. Nun folgt die Aussge mit einem 3ε-Argument: Für lle x U gilt nämlich f(x) f(x ) X f(x) fñε (x) X + fñε (x) fñε (x ) X + fñε (x ) f(x ) X ws den Beweis vervollständigt. 2 f fñε + fñε (x) fñε (x ) X 3ε, Übungsufgbe 2. Es seien X, Y Normierte Räume, A eine Teilmenge von Y und (f n ) n N eine Folge von Funktionen von A nch X. Eine Folge (f n ) n N heißt lokl gleichmäßig konvergent, flls es ein f : A X gibt so, dss für lle x A eine Umgebung U x existiert mit ε > N ε N s.d. f n (y) f(y) X < ε für lle n N ε und lle y U x gilt. Zeige: Konvergiert eine Folge (f n ) n N lokl gleichmäßig, und sind nur endlich viele Folgenglieder nicht stetig, so ist ihr Grenzwert ebenflls eine stetige Funktion. Korollr 1.2. Es seien X, Y Normierte Räume, A eine Teilmenge von Y. Ist X ein Bnchrum, so sind uch B(A; X) und C b (A; X) Bnchräume. Beweis. 1) Wir wissen schon, dss B(A; X) ein normierter Rum bzgl. der -Norm ist. Wir wollen nun seine Vollständigkeit zeigen. Es sei (f n ) n N B(A; X) eine Cuchy-Folge (bzgl. der -Norm! Insbesondere ist lut [6, Lemm 4.33] die Folge beschränkt, d.h., f n M für ein M > und lle n N), d.h., (1.2) ε > N ε N s.d. f n (x) f m (x) X für lle n, m N ε und lle x A. Dnn ist uch jede Folge von Punktuswertungen (f n (x)) n N X eine Cuchy-Folge, die wegen der Vollständigkeit von X konvergiert. Ddurch definiert mn eine Grenzfunktion f : A X, gegen die (f n ) n N punktweise konvergiert. Wir wollen nun zeigen, dss die Konvergenz sogr gleichmäßig ist. Dzu zeigen wir zuerst, dss f beschränkt ist: Denn us (1.2) folgt (im Grenzwert m ), dss (1.3) ε > N ε N s.d. f n (x) f(x) X < ε für lle n N ε und lle x A, und Dnk der Dreiecksungleichung ε > N ε N s.d. f(x) X f N + ε M + ε für lle x A, und somit ist f B(A; X). Aus (1.3) folgt schließlich, dss f uch gleichmäßiger Grenzwert von (f n ) n N ist d.h., für jede Cuchy-Folge (f n ) n N gibt es f B(A; X) so, dss (f n ) n N gegen f in der Norm von B(A; X) konvergiert.

7 Kpitel 1 7 2) Um nun die Vollständigkeit von C b (A; X) zu beweisen, reicht es nch [6, üa 7.28] zu zeigen, dss C b (A; X) ein bgeschlossener Unterrum von B(A; X) ist. Betrchte dzu eine bzgl. der Norm von C b (A; X) (d.h., bzgl. der -Norm) konvergente Folge (f n ) n N C b (A; X). Wir wissen schon us 1), dss der Grenzwert sicherlich uch beschränkt ist. Dss er uch stetig ist, folgt us dem Stz 1.1. Beispiel 3. Es ist klr, dss gleichmäßige Konvergenz uch punktweise Konvergenz impliziert. Die Umkehrung gilt nicht: Um ein Gegenbeispiel zu finden, bruchen wir ngesichts des Stzes 1.1 einfch eine Folge stetiger Funktionen zu finden, welche punktweise gegen eine nichtstetige Funktion konvergiert. Betrchte dzu die Funktionen f n : [, 1] R, welche durch f n (x) := x n, x [, 1] definiert sind. Dnn ist f n (1) = 1 für lle n N und somit lim n f n (1) = 1, während lim n x n = für lle x [, 1) (s. [6, üa 4.48]). Somit konvergiert (f n ) n N punktweise gegen die Funktion f, welche durch { 1, flls x = 1, f n (x) :=, sonst, definiert ist und offensichtlich nicht stetig ist. Übungsufgbe 4. Finde eine Folge beschränkter Funktionen, welche punktweise gegen eine nichtbeschränkte Funktion konvergiert. Übungsufgbe 5. Es sei Y ein normierter Rum, A eine Teilmenge von Y, und X ein Bnchrum. Es sei drüber hinus (f n ) n N eine Folge von Funktionen von A nch X. Beweise die folgenden Aussgen: Die Funktionenfolge ist genu dnn punktweise konvergent, wenn für lle x A und lle ε > es ein N N gibt so, dss f n (x) f m (x) X < ε m, n N. Die Funktionenfolge ist genu dnn gleichmäßig konvergent, wenn für lle ε > es ein N N gibt so, dss f n (x) f m (x) X < ε m, n N, x A, oder äquivlent, dss sup f n (x) f m (x) X < ε m, n N. x A Wir hben gesehen, dss der gleichmäßige Grenzwert eine Folge stetiger Funktionen selber stetig ist: ds liegt im Wesentlichen drn, dss die gleichmäßige Konvergenz gerde der Norm von C b entspricht. ähnlich knn mn sich frgen, ob weitere Eigenschften unter Grentzwertbildung invrint bleiben, etw die stetige Differenzierbrkeit. D für jedes Intervll A R C 1 b (A; X) := {f C b(a; X) C 1 (A; X) : f C b (A; X)} ein Bnchrum ist bzgl. f C 1 b := f + f, liegt die Vermutung nh, dss eine Folge (f n ) n N stetig differenzierbrer Funktionen gegen eine stetig differenzierbre Funktion konvergiert, wenn sowohl (f n ) n N ls uch (f n) n N gleichmäßig konvergieren.

8 8 Kpitel 1 Übungsufgbe 6. Es seien X, Y Normierte Räume, A eine Teilmenge von Y und (f n ) n N eine Folge differenzierbrer Funktionen von A nch X, von denen nur endlich viele n einer gegebenen Stelle x A weder stetig sind, noch mit stetiger Ableitung. Konvergiert die Folgen (f n ) n N und (f n) n N gleichmäßig, so ist ihr Grenzwert ebenflls eine n der Stelle x stetig differenzierbre Funktion. Ttsächlich gilt es sogr eine stärkere Aussge (wrum ist sie stärker ls die Aussge von der obigen übungsufgbe?), wenn wir den Spezilfll einer Folgen von Funktionen einer reellen Vriblen betrchten. Zum Beweise von dieser Aussge (Stz 1.6) benötigen wir erst zwei Lemmt. Lemm 1.3. Es seien, b R, < b, X ein Bnchrum und (f n ) n N einer Folge differenzierbrer Funktionen von [, b] nch X. Konvergiert die Folge (f n) n N gleichmäßig, und gibt es drüber hinus ein y [, b] so, dss (f n (y )) n N konvergiert, so konvergiert uch (f n ) n N gleichmäßig. Dbei sollte bechtet werden, dss wir (noch) keine Aussge über die Differenzierbrkeit des Grenzwerts der Funktionenfolge (f n ) n N treffen. Beweis. Wir wollen die Cuchy-Bedingung us der übungsufgbe 5 überprüfen. Es sei dzu ε >. Wir wollen eine Abschätzung für f n (x) f m (x) X, finden, gleichmäßig in x [, b], für m, n groß genug. Wir fngen dmit n, dss wir diesen Term mittels Dreiecksungleichung umschreiben: f n (x) f m (x) X f n (x ) f m (x ) X + (f n (x) f m (x)) (f n (x ) f m (x )) X = f n (x ) f m (x ) X + (f n f m )(x) (f n f m )(x ) X. Nun erfüllt die Funktion f n f m die Vorussetzungen des vektorwertigen Mittelwertstzes ([6, Stz 8.39]) und somit (f n f m )(x) (f n f m )(x ) X und somit bekommen wir die Abschätzung sup (f n f m ) (ξ) X x x. ξ (min{x,x},mx{x,x}) f n (x) f n (x ) X f n (x ) f m (x ) X + sup (f n f m ) (ξ) X x x ξ (min{x,x},mx{x,x}) f n (x ) f m (x ) X + b sup f n(ξ) f m(ξ) X ξ (,b) Nun der erste Summnd knn durch Anwendung der Cuchy-Bedingung für (f n (x )) n N, während der zweite durch die gleichmäßige Cuchy-Bedingung für (f n) n N, bgeschätzt werden. Dies vervollständigt den Beweis. Lemm 1.4. Es seien, b R, < b, X ein Bnchrum und (f n ) n N einer Folge differenzierbrer Funktionen von [, b] nch X. Es sei x [, b] und definiere eine Folge von Funktionen von [, b]\{x } nch X durch g n (x) := f n(x) f n (x ) x x, x [, b] \ {x }. Konvergiert die Folge (f n) n N gleichmäßig, so konvergiert uch (g n ) n N gleichmäßig.

9 Kpitel 1 9 Beweis. Wir wollen wieder den vektorwertigen Mittelwertstz nwenden. Dzu betrchten wir für beliebige n, m N den Ausdruck (f n f m )(x) (f n f m )(x ) x x = (g n g m )(x), x [, b] \ {x }, n, m N, für den dnn die Abschätzung (g n g m )(x) X sup (f n f m ) (ξ) X sup (f n f m ) (ξ) X, x [, b]\{x } ξ (min{x,x},mx{x,x}) ξ (,b) gilt. D der letzte Term mittels der Cuchy-Bedingung bgeschätzt werden knn, gilt eine entsprechende Abschätzung uch für sup x [,b]\{x } (g n g m )(x) X. Lemm 1.5. Es seien Y normierter Rum, A eine Teilmenge von Y, x A, X ein Bnchrum und (f n ) n N eine Folge von Funktionen von A nch X. Konvergiert diese Folge gleichmäßig, etw gegen f, und existiert drüber hinus für lle n N der Grenzwert so existieren beide Grenzwerte und sie stimmen überein. lim n lim x x f n (x) =: l k, ( ) lim f n (x), lim x x x x ( ) lim f n(x), n Beweis. Die gleichmäßige Cuchy-Bedingung für (f n ) n N besgt, dss für lle ε > ein N N existiert so, dss f n (x) f m (x) X ε x A. Im Grenzwert für x x liefert die obige Abschätzung uch l n l m X ε, und us der Cuchy-Eigenschft folgt die Konvergenz der Folge (l n ) n N etw gegen ein l X. Um den Beweis zu vollenden, reicht es zu zeigen, dss lim x x f(x) = l: Wir wollen somit f(x) l X f(x) f N (x) X + f N (x) l N X + l N l X betrchten und die drei rechten Terme gegen ein gegebenes ε bschätzen. Es sei dzu N N so, dss sowohl f N (x) f(x) X < ε ls uch sowohl l N l X < ε. D f N stetig ist, können wir nun δ > finden, für ds us x A und x x X < δ f N (x) l N X < ε folgt. Insgesmt hben wir zu jedem ε > ein δ > gefunden, für ds us us x A und x x X < δ f(x) l X < 3ε folgt. Somit ist die Aussge vollständig bewiesen. Endlich können wir den folgenden fundmentlen Stz formulieren.

10 1 Kpitel 1 Stz 1.6. Es seien, b R, < b, X ein Bnchrum und (f n ) n N einer Folge differenzierbrer 2 Funktionen von [, b] nch X. Konvergiert die Folge (f n) n N gleichmäßig, und gibt es drüber hinus ein x [, b] so, dss (f n (x )) n N konvergiert, so konvergiert uch die Folge (f n ) n N gleichmäßig, und ihr Grenzwert f ist eine differenzierbre Funktion, deren Ableitung mit dem Grenzwert von (f n) n N übereinstimmt. Besteht unter den obigen Vorussetzungen die Folge (f n ) n N us stetig differenzierbren Funktionen, so ist selbstverständlich uch f stetig differenzierbr, d der gleichmäßige Grenzwert der Folge stetiger Funktionen (f n) n N ebenflls stetig ist. Beweis. Es folgt us dem Lemm 1.3, dss (f n ) n N gleichmäßig konvergiert. Drüber hinus konvergiert dnk Lemm 1.4 die Folge (g n ) n N von Funktionen von [, b] \ {x } nch X, welche durch g n (x) := f n(x) f n (x ) x x, x [, b] \ {x }, n N, definiert ist, gleichmäßig gegen die Funktion g : [, b] \ {x } X, welche durch g(x) := f(x) f(x ), x [, b] \ {x }, x x definiert ist. Schließlich folgt us dem Lemm 1.5, dss ( ) lim f n n(x ) = lim lim g n (x) n x x ( ) = lim lim g n(x) x x n = lim x x g(x) = f (x ), wo die letzte Identität gerde der Definition der Ableitung von f n der Stelle x entspricht. Im llgemeinen stellt die überprüfung der gleichmäßigen Konvergenz von Funtkionenfolgen große Schwierigkeiten, während punktweise Konvergenz ist meistens leicht überprüft. Mn sucht lso Kriterien, welche erluben, us punktweise Konvergenz doch gleichmäßige Konvergenz zu schließen. Es stellt sich herus, dss Monotonie dbei sehr hilfreich ist. Definition 7. Eine Folge von Funktionen (f n ) n N von einer Menge A nch einer hlbgeordneter Menge G heißt monoton, wenn sie bzgl. der Hlbordnung in [6, üa 3.42] ist, d.h. wenn f n (x) f n+1 (x) x A, n N (monoton wchsend) bzw. f n (x) f n+1 (x) x A, n N (monoton fllend). (Dbei bruchen die einzelnen Funktionen f n nicht selber monoton zu Sein!) Der folgende Stz geht uf Ulisse Dini zurück. Stz 1.7. Es seien A R n kompkt und (f n ) n N eine monotone Folge stetiger Funktionen von A nch R, welche punktweise gegen eine Funktion f konvergiert. Ist f stetig, so ist die Konvergenz bereits gleichmäßig. 2 Aber nicht notwendigerweise stetig differenzierbr!

11 Kpitel 1 11 Beweis. Es sei o.b.d.a. (f n ) n N monoton wchsend, und somit f n (x) f(x) für lle x A und lle n N. Wäre die Konvergenz nicht gleichmäßig, so gäbe es ε >, für ds zu jedem N N es n N N ε und x N A gibt mit (1.4) f nn (x N ) f(x N ) = f(x N ) f nn (x N ) ε. Somit bildet mn zwei Folgen (n N ) N N N und (x N ) N N A: die erstere Folge konvergiert uneigentlich gegen +, für die zweitere folgt us der Kompktheit von A die Existenz einer Teilfolge (x Nh ) h N, die gegen einen Punkt etw x A konvergiert. Insbesondere gilt us (1.4), dss (1.5) f(x N ) f m (x N ) ε, N N, m n N. und insbesondere (1.6) f(x Nh ) f m (x Nh ) ε, N N, m n Nh. Somit erhlten wir im Grenzwert für h (d f und lle f n stetig sind) (1.7) f(x ) f m (x ) ε, N N, m N. Schließlich liefert die Grenzwertbildung für m (1.8) = f(x ) f(x ) ε, N N, m N. Diese unmögliche Ungleichung folgt us der Annhme, dss die Funktionenfolge nicht gleichmäßig konvergiert. Ddurch ist die Aussge bewiesen. (Im Fll einer monoton fllende Folge, wiederhole einfch den Beweis für die Folge ( f n ) n N ). Beispiel 8. Die Folge stetiger Funktionen im Beispiel 3 ist monoton fllend. Dennoch ist ihr punktweise Grenzwert nichtstetig, und somit knn der Stz von Dini nicht drn ngewendet werden ttsächlich ist erfolgt die Konvergenz nicht gleichmäßig. Zum Schluss dieses Abschnitts zeigen wir ein Existenzresultt für gleichmäßige konvergente Teilfolgen. Definition 9. Es sei K R n kompkt, X ein normierter Rum. Eine Funktionenfolge (f n ) n N C(K; X) heißt punktweise beschränkt, flls es für lle x K ein M > existiert, so dsssup n N f n (x) X M und gleichgrdig stetig, flls für lle ε > es ein δ > gibt, so dss f n (x) f n (y) X < ε für lle n N und lle x, y K mit x y < δ. Der folgende fundmentler Stz wurde von Giulio Ascoli 1883 und dnn (suberer) von Cesre Arzelà 1895 bewiesen, und ist somit mit dem Nmen von Stz von Ascoli Arzelà beknnt. Stz 1.8. Es seien, b R, < b. Ist eine Funktionenfolge (f n ) n N C([, b]; R m ) punktweise beschränkt und gleichgrdig stetig, so ht sie eine gleichmäßig konvergente Teilfolge. Beweis. 1) Zuerst betrchten wir Q [, b]. D diese eine bzählbre Menge ist, können wir sie mithilfe einer Folge drstellen, etw {x j : j N} := Q [, b]. Betrchte die Folge (f n (x 1 )) n N R m, welche wegen ihrer Beschränktheit (bechte die punktweise Beschränktheit der Funktionenfolge!) und Dnk dem Stz von Bolzno Weierstrß eine konvergenten Teilfolge ht, die wir mit (f n 1 (x 1 )) k k N bezeichnen wollen, um zu bekräftigen, dss die Extrktionsregel von x 1 bhängen knn. Entsprechend ht uch (f n 1 (x 2 )) k k N eine konvergente Teilfolge (f n 2 (x 2 )) k k N, und i.a. ht für jedes j N (f n j 1(x j )) n N k

12 12 Kpitel 1 eine konvergente Teilfolge (f n j (x j )) n N. Wir können llerdings ds Cntorsche Digonlverfhren nwenden, um eine einzige Teilfolge zusmmenzubsteln: Betrchte nämlich die Funktionenfolge (f n k) k N, k k welche nch Konstruktion die Eigenschft ht, dss (1.9) (f n k k (x j )) k N R m für lle j N konvergiert. Jetzt, wo wir ein Kndidt für eine konvergente Teilfolge hben, müssen wir zeigen, dss (f n k) k N k ttsächlich gleichmäßig konvergiert, und nicht nur punktweise uf Q [, b]. 2) Bevor wir beweisen, dss die Folge (f n k) k N die gleichmäßige Cuchy-Eigenschft genügt, lss k uns nmerken, dss [, b] folgendermßen zerlegt werden knn: Zu jedem δ > gibt es q 1,..., q J Q, so dss [, b] in J j=1 (q j δ, q j + δ) enthlten ist. Betrchte nämlich die gnze Zhlen := und b := b + 1 so dss [, b] [, b ], eine rtionle Zhl δ < δ und finde ein l N, so dss lδ > b. Dnn gilt nämlich und [, b] [, b ] l j=1 δ > b l Q ( + j l (b ) δ, + j ) l (b ) + δ. Mn knn nun o.b.d.a. die in (1) eingeführte Folge (x j ) j N so durchnummerieren, dss x 1 = q 1,..., x J = q J und somit gerde die Inklusion [, b] J (x j δ, x j + δ) j=1 gilt. 3) Mn will eine (in x gleichmäßige!) Abschätzung (1.1) f n p p (x) f n q q (x) < 3ε, x [, b], für p, q groß genug beweisen. Es sei nun ε > beliebig. Wegen der gleichgrdigen Stetigkeit der Folge (f n ) n N, und somit insbesondere ihrer Teilfolge (f n k k ) k N, gibt es ein δ > so, dss (1.11) f n k k (x) f n k k (y) < ε für lle k N und lle x, y [, b] mit x y < δ. Betrchte jetzt x [, b]. Aufgrund der Aussge in (2) gibt es zu dem gerde erwähnten δ ein j {1,... J}, so dss (1.12) x x j < δ. Mn zerlege lso den bzuschätzenden Term ls f n p p (x) f n q q (x) f n p p (x) f n p p (x j ) + f n p p (x j ) f n q q (x j ) + f n q q (x j ) f n q q (x) Nun gibt es zu ε Dnk (1) ein N N so, dss f n p p (x j ) f n q q (x j ) < ε

13 Kpitel 1 13 für lle p, q > N gilt. Auch liefert ufgrund von (1.12) die Abschätzung (1.11) sowohl f n p p (x) f n p p (x j ) < ε ls uch f n q q (x j ) f n q q (x) < ε Somit ist die Ungleichung (1.1) vollständig bewiesen Funktionenreihen Wie wir bereits wissen, sind Reihen nichts nderes ls Spezilfälle von Folgen. Somit knn mn uch Funktionenreihen n= betrchten, ws sich in vielen Hinsichten ls nützlich erweist. Betrchtet mn eine Funktionenreihe, so knn mn verschiedene Konvergenzbegriffe betrchten. Es gibt ntürlich die gleichmäßige bzw. die punktweise Konvergenz (im Sinne der Definition 1) für die Folge ihrer Prtilsummen, ber uch weitere Begriffe, die wir hier zusmmenfssen. Definition 1. Es seien X, Y Normierte Räume, A eine Teilmenge von Y und (f n ) n N eine Folge beschränkter Funktionen von A nch X. Dnn heißt die Reihe punktweise konvergent, flls die Funktionenfolge ( n k= f ) k Definition 1) konvergiert, d.h., flls gleichmäßig konvergent, flls die Funktionenfolge ( n k= f ) k Definition 1) konvergiert, d.h., flls n ein pssendes F : A X; bsolut konvergent, flls normkonvergent, flls k= f n f k n N punktweise (im Sinne der k= f k(x) für lle x A in X konvergiert; gleichmäßig (im Sinne der n N k= f k F gegen konvergiert für n gegen, für k= f k(x) X für lle x A in R konvergiert; k= f k für lle x A in R konvergiert; Lemm 1.9. Gleichmäßige Konvergenz impliziert punktweise Konvergenz. Normkonvergenz impliziert bsolute Konvergenz. Ist X ein Bnchrum, so folgt us der bsoluten Konvergenz uch die punktweise Konvergenz; und us der Normkonvergenz uch die gleichmäßige Konvergenz Beweis. Dss die gleichmäßige Konvergenz uch die punktweise Konvergenz impliziert, ist ein llgemeines Phänomen, dss wir bereits für Folgen erwähnt hben. Es folgt us f(x) X f x X und dem Mjorntenkriterium (für reell-wertige Reihen: somit brucht X kein Bnchum zu sein), dss Normkonvergenz uch die bsolute Konvergenz impliziert. Ist X ein Bnchrum, so folgt dnk dem Mjorntenkriterium für Reihen, die mit Folge von Vektoren us X ssoziiert sind, us der bsoluten Konvergenz uch die punktweise Konvergenz. Betrchtet mn schließliche eine Folge beschränkter Funktionen, so knn mn ( n k= f ) k n N ls Folge von Vektoren in B(A; X) nschuen. Somit liefert ds Mjorntenkriterium für Reihen (wieder im Fll, dss X ein Bnchrum ist), dss Normkonvergenz uch die gleichmäßige Konvergenz impliziert:

14 14 Kpitel 1 denn die bsolute Konvergenz (resp. die Konvergenz) einer Reihe im Bnchrum B(A, X) bedeutet gerde die Normkonvergenz (resp. die gleichmäßige Konvergenz) im Sinn der Definition 1. Anmerkung 11. Eine spezielle Klsse von Funktionenreihen kennen wir schon: Es sind die Potenzreihen, welche die obere Form hben, wenn lle f n Monome sind, lso f n : C z n z n C, für ein n N. Mn betrchte eine Potenzreihe P und die beiden Aussgen (i) P ht Konvergenzrdius R > (ii) P (ls Reihe von Funktionen von B R () nch X ufgefsst) konvergiert punktweise. Dnn besgt [6, Stz 6.41] gerde, dss (i) (ii). Übungsufgbe 12. Formuliere Cuchy-Bedingungen für die Konvergenz von Funktionenreihen. Ds folgende Konvergenzkriterium geht uf Krl Weierstrß zurück. Stz 1.1. Es seien X, Y Normierte Räume, A eine Teilmenge von Y und (f n ) n N eine Folge beschränkter Funktionen von A nch X. Gibt es eine Folge ( n ) n N R so, dss f n α n für lle n 3 und die ssoziierte Reihe n= α n konvergiert. Dnn ist die Reihe normkonvergent (und insbesondere bsolut und gleichmäßig konvergent). k= Beweis. Diese Reihe ist mit der Folge (f n ) n N B(A; X) ssoziiert. Dnn folgt die bsolute Konvergenz in B(A; X) (in der Sprche der Definition 1: die Normkonvergenz) nch dem Mjorntenkriterium für Reihen, s. [6, Stz 6.16], d B(A; X) nch dem Korollr 1.2 ein Bnchrum ist. Folglich liefert die Anmerkung 1 die behupteten Konvergenzussgen in bsoluten und gleichmäßigen Sinne. Im folgenden wenden wir den Stz 1.6 n Potenzreihen n. Dbei wollen wir nottionell nicht zwischen der formlen Potenzreihe P (die nicht zu Konvergieren brucht) und die ssoziierte Funktion, deren Definitionsmenge sicherlich die offene Kugel mit Rdius R(P ) enthält wobei R(P ) der Konvergenzrdius von P bezeichnet. Beispiel 13. Es seien A = Y = X = R und definiere (f n ) n N durch x f n (x) := x 4, n N, x R. + 3n4 Für lle n N gilt f n(x) = 3(n4 x 4 ) (x 4 + 3n 4 ) 2 n N, x N, 3 Wir wissen, dss Konvergenz nicht vom Verhlten von endlich vielen Termen einer Folge bhängt: Somit könnten wir diese Bedingung schwächen und lediglich fordern, dss f n α n für lle n größer ls ein pssender Index N. f k

15 Kpitel 1 15 und somit sind +n und n die einzigen kritischen Punkte von f n (übungsufgbe). Mn knn leicht überprüfen, dss +n bzw. n ttsächlich ds globle Mximum bzw. ds globle Minimum der Funktion drstellen, und somit gilt f n = f n (n) = f n ( n) = 1 4n 3. Dnn knn mn ds obige Konvergenzkriterium von Weierstrß nwenden, denn die Reihe 1 4n 3 konvergiert nch [6, Beispiel 6.18]. Beispiel 14. Es seien X = Y = C, A = B 1 (). Die Exponentilreihe z k k! n= k= definiert eine uf A normkonvergente Funktionenreihe der Grenzwert ist selbstverständlich die Exponentilfunktion. Die Aussge im obigen Beispiel knn ngesichts des folgenden Resultts deutlich gestärkt werden. Korollr Es sei P (z) := k z k eine Potenzreihe mit Konvergenzrdius R(P ) > und es sei r (, R(P )). Dnn ist die ddurch definierte Funktionenreihe uf {z C : z r} normkonvergent. Beweis. Nch [6, Stz 6.41] ist P (z) für lle z {w C : w < R(P )} bsolut konvergent. Also insbesondere (ls Funktionenreihe k= f k : {z C : z r} C ufgefsst) gilt f k = k r k <. Dies vervollständigt den Beweis. k= k= k= Beispiel 15. Es seien wieder X = Y = C, A = B 1 (). Dnk [6, Stz 6.44] ht Exponentilreihe Konvergenzrdius, somit ist die dmit ssoziierte Funktionenreihe lut dem Korollr 1.11 uf B R () normkonvergent, für R > beliebig groß. Es bietet sich nun n, die im 1.1 erhltenen Konvergenzsätze speziell n Funktionenreihen nzuwenden. Stz Es seien X, Y Bnchräume, A X, und (f n ) n N einer Folge Funktionen von A nch X, welche n einer Stelle x A stetig sind. Konvergiert die mit der Folge (f n ) n N ssoziierte Reihe gleichmäßig, etw gegen F, so ist uch F n der Stelle x stetig. Beweis. Es reicht, die Folge (φ n ) n N der Prtilsummen der Reihe F = zu betrchten, und dnn den Stz 1.1 nzuwenden. Ds ist möglich, d jedes φ n in x stetig ist. k= f k

16 16 Kpitel 1 Stz Es seien A R n kompkt und (f n ) n N eine Folge stetiger Funktionen von A nch [, ). Konvergiert die ssoziierte Funktionenreihe Punktweise gegen eine stetige Funktion f, so ist die Konvergenz bereits gleichmäßig. Beweis. Es reicht wieder, die Folge der Prtilsummen zu betrchten. D die Funktionen positive Werte nnehmen, ist die Folge der Prtilsummen monoton wchsend. Die Aussge folgt nun ls Korollr vom Stz von Dini. Stz Es seien, b R, < b, X ein Bnchrum und (f n ) n N einer Folge differenzierbrer 4 Funktionen von [, b] nch X. Gibt es ein x [, b] so, dss die mit der Folge (f n (x )) n N R ssoziierte Reihe konvergiert, und konvergiert uch die mit der Folge (f n) n N ssoziierte Reihe gleichmäßig, etw gegen F, so konvergiert die mit der Folge (f n ) n N ssoziierte Reihe gleichmäßig, etw gegen F. Der Grenzwert F ist uf [, b] differenzierbr und F (x) = f k (x). Besteht die Folge us stetig differenzierbren Funktionen, so ist uch F stetig differenzierbr. Beweis. Betrchte die Folge (φ n ) n N der Prtilsummen der Reihe F = und wende den Stz 1.6 n. Ds ist möglich, d jedes φ n uf [, b] differenzierbr ist. Eine verlockend nschuliche Möglichkeit, um den obigen Stz uszudrucken, ist, dss ( f k (x)) = f k (x), x [, b], k=1 gilt. Mn knn lso die Reihe summndenweise bleiten. Insbesondere knn mn den obigen Stz zum Spezilfll von Potenzenreihen P : z n z n, k=1 k=1 k= n= nwenden: denn Potenzenreihen sind mit Folgen von Funktionen ssoziiert, welche sicherlich unendlich oft stetig differenzierbr sind. Dnn knn mn hoffentlich summndenweise bleiten und somit die neue, bgeleitete Potenzreihe P : z n n z n 1, betrchten. n= Korollr Eine Potenzreihe und ihre bgeleitete Potenzreihe hben übereinstimmende Konvergenzrdien. f k 4 Aber nicht notwendigerweise stetig differenzierbr!

17 Kpitel 1 17 Beweis. Mn bechte, dss der Konvergenzrdius der Reihen n n z n 1 und n n z n = z n n z n 1 n= n= übereinstimmen. Somit ist der Stz bewiesen, wenn wir die Aussge für die ursprügliche Reihe und für diese modifizierte bgeleitete Reihen beweisen können. Wollen wir die Cuchy-Formel für die Bestimmung des Konvergenzrdius ([6, Stz 6.42]) nwenden, so merken wir, dss n= lim sup n n n = lim d lim n n n = 1 (übungsufgbe!). n n n lim sup n n n n = lim sup n n, n Anmerkung 16. Es ist klr, dss genu dnn eine Potenzreihe P (z) := n z n, konvergiert, wenn die verschobene Potenzreihe P (z) := n= n (z z ) n, n= konvergiert. Allgemeiner gilt: Die Potenzreihe um ein z konvergiert in B R(P ) (z ) = {z C : z z < R(P )} und divergiert in {z C : z z > R(P )}, wobei R(P ) der Konvergenzrdius der ursprünglichen Reihe P ist. Diese einfche Beobchtung wird im folgenden Abschnitt oft gebrucht Approximierbrkeit und Tylorentwicklung Im ersten Teilbschnitt hben wir uns mit der Frge befsst, im welchen Sinn eine Funktionenfolge konvergieren knn, und welche Eigenschften die Grenzfunktion von den Folgenglieder erben knn. Hier wollen wir uns mit dem etws dulen Them beschäftigen, inwiefern eine gegebene stetige Funktion sich ls Grenzwert eine pssende Folge (z.b. einer Reihe) drstellen lässt. Die Bedeutung dieser Aufgbe wird gleich klr, wenn mn bedenkt, ds eine gnz llgemeine Funktion slopp gesgt unendlich viel Informtion enthält, genuer gesgt: die Beschreibung einer Funktion f : R R benötigt im Allgemeinen überbzählbre bits. Ist jedoch eine Funktion z.b. ls Potenzreihe drstellbr, dnn zählen für ihre Beschreibung usschließlich ihre (bzählbr viele) Koeffizienten. Noch besser wäre, wenn wir nsttt der gnzen Potenzreihe nur eine Prtilsumme d.h., ein Polynom betrchten könnten und dbei gut wüssten, welchen Fehler dbei mximl entsteht. Stz Es seien, b R, < b, X ein normierter Vektorrum und f : [, b] X eine n-ml stetig differenzierbre Funktion, wobei n N. (i) Dnn gibt es zu jedem x [, b] eine Restfunktion R n C([, b]; X) (die i.a. von f und x bhängt), so dss (1.13) f(x) = n k= f (k) (x ) (x x ) k + R f,x n (x), x (, b), k!

18 18 Kpitel 1 und welche die Abschätzung 1 (n 1)! (1.14) R f,x n (x) X sup f (n) (x + t(x x )) f (n) (x ) X x x n, t (,1) x (, b), erfüllt. (ii) Ist insbesondere die Funktion sogr (n + 1)-Ml differenzierbr mit beschränkter (n + 1)-ter Ableitung, so gibt es ein L >, für ds die Abschätzung (1.15) R f,x n (x) X gilt. L (n 1)! x x n+1, x (, b), Anders gesgt lässt sich die Funktion f durch ein Polynom pproximieren, ds lle seine Nullstellen in einem gewünschten Punkt x ht. Je regulärer die Funktion f und je näher ds Argument der Funktion n x ist, desto genuer diese Approximtion ist. Dbei folgt ber nicht, etw us der Abschätzung n f(x) k= f (k) (x ) (x x ) k k! X 1 (n 1)! x x n+1, x (, b), (vgl. (1.15)), dss T f,x n in einer Umgebung von x gegen f konvergiert, nicht ml punktweise. Vielmehr gilt eine solche punktweise Konvergenz genu dnn, wenn R f,x n punktweise gegen konvergiert. Wir wollen uch usdrucklich erwähnen, dss die Vorussetzun von (b) insbesondere erfüllt ist, flls f uf [, b] (n + 1)-Ml stetig differenzierbr. Es sei lso f C ( [, b]; X ) 5. Dnn knn mn für jedes n den Wert f(x) durch ds Tylor-Polynom vom Grd n n der Stelle x T f,x n (x) := n k= bschätzen: mn spricht dbei von Tylor-Formel. Beweis. (i) Es sei R f,x n (x) := f(x) und setze für ein festes x (, b) n 1 h(t) := f(x) k= f (k) (x + t(x x )) k! f (k) (x ) (x x ) k, x (, b), k! n k= Diese Funktion h : (, 1) X ist gerde so gewählt, dss f (k) (x ) (x x ) k, x (, b), k! (1 t) k (x x ) k f (n) (x ) (1 t) n (x x ) n, t [, 1]. n! h() = R f,x n (x) und h(1) = (d die Summe n der rechten Seite für k = nicht verschwindet). Drüber hinus ist h differenzierbr, d für ds obige (festes!) x ( ) (1 t) h (t) = f (n) (x ) f (n) n 1 (x + t(x x )) (x x ) n, t (, 1), (n 1)! 5 D.h. (zur Erinnerung): f C n ( [, b]; X ) für lle n N.

19 Kpitel 1 19 (Dnk der Kettenregel wird g (t) zu einer teleskopischen Summe!). Nch der vektorwertigen Version des Stzes von Lgrnge ([6, Stz 8.39]) gilt R f,x n (x) X = h(1) h() X sup h (ξ) X ξ (,1) = sup f (n) (x ) f (n) x x n (x + ξ(x x )), x (, b). X (n 1)! ξ (,1) (ii) Es sei nun f zusätzlich (n + 1)-Ml differenzierbr mit beschränkter (n + 1)-ter Ableitung. Dnn knn mnn [6, ÜA 8.21] n f (n) nwenden und somit bekommen, dss f (n) Lipschitz-stetig ist, d.h., es gibt L > mit f (n) (x) f (n) (y) X L x y, für lle x, y [, b]. Wendet mn diese Abschätzung n (1.14) n, so erhält mn R f,x n (x) wie mn zeigen wollte. 1 (n 1)! sup (Lt x x ) x x n = t (,1) L (n 1)! x x n+1, x (, b), Im Folgenden verwenden wir die folgende Verllgemeinerung der Nottion, die in [6, Definition 4.65] eingeführt wurde: Es sei f eine Funktion von (, b) nch X und α R. Dnn sgt mn, dss f eine Nullstelle von Ordnung α n der Stelle x ht und schreibt f = o( x x α ), wenn 6 lim x x f(x) x x α = Anmerkung 17. Für die Anwendungen ist eine Abschätzung der Art von (1.13) wesentlich, denn sie liefert eine quntittive Aussge über den Fehler, den wir mchen, wenn wir den Wert f(x) mit T f,x n (x) nnähern. Mn bechte, dss nur für x [x 1, x + 1] wird der Term x x n beschränkt, und somit R f,x n (x) klein. Unter den Vorussetzungen des Stzes 1.16 gilt im Allgemeinen nur n f (k) (x ) f(x) = (x x ) k + o( x x n ) für x x für lle x (, b). k! k= Beispiel 18. Für viele Zwecke lässt sich lso eine Funktion durch Polynome niedriger Ordnung pproximieren. So beruhen z.b. die meisten Herleitungen in der Physik des Pendels druf, dss sin x x für x klein gilt. Diese oft ngewndte Approximtions entspricht der Ttsche, dss x der erste Term der Tylorreihe von sin x um ist. Eine genuere Approximtion wäre sin x x + x3 6 für x klein. 6 Wir fügen hinzu: Auch sgt mn, dss f beschränkt von Ordnung α n der Stelle x ist und schreibt f = O( x x α ), wenn die Funktion in einer Umgebung von x beschränkt ist. f x α

20 2 Kpitel 1 ähnlich pproximiert mn gelegentlich cos x x2 2 für x klein. Beispiel 19. Wir hben in [6] die Logrithmusfunktion einfch ls Umkehrfunkion der Exponentilfunktion eingeführt. Will mn ber die Logrithmusfunktion uswerten, so bietet sich n, die Tylorformel von log x zu verwenden zunächst für x (, 2). Betrchte dzu die Funktion f, die durch f(x) := log(1 + x) definiert wird und die nch der Kettenregel uf ( 1, 1) uendelich oftstetig differenzierbr ist. Dnn gilt f (x) = x, f 1 (x) = (1 + x) 2, und induktiv f (n) n 1 (n 1)! (x) = ( 1) (1 + x) n für n = 1, 2, 3,.... Insbesondere f (n) () = ( 1) n 1 (n 1)!, n = 1, 2, 3,.... Durch Einsetzen in (1.13) für x = (ds entspricht der Tylorschen Entwicklung von log n der Stelle 1) erhält mn für jedes N N d.h., Somit ist für lle N N f(x) = N ( 1) n 1 (n 1)! xn n! + R N(x), x ( 1, 1). n= log(1 + x) = N ( 1) n= n 1 xn n + R N(x), x ( 1, 1). log(1 + x) = x x2 2 + x ( 1)N 1 xn N + o( x N ), x (, 2). Korollr Es seien, b R, < b, und f : [, b] R uf (, b) n-ml differenzierbr. Gilt für ein x (, b) f (x ) = f (x ) =... = f (n 1) (x ) = und f (n) (x ), so gelten die folgenden Aussgen. () Ist n ungerde, so ht f weder ein lokles Minimum noch ein lokles Mximum n der Stelle x. (b) Ist n gerde, so ht f n der Stelle x ein lokles Minimum, flls f (n) (x ) >, oder ein lokles Mximum, flls f (n) (x ) <. Beweis. Nch dem Stz 1.16 gilt ( ) f (n) (x ) (1.16) f(x) f(x ) = + o( x x n ) n! (x x ) n (x x ) n für x x.

21 Kpitel 1 21 D nch Definition des Lndu-Symbols o knn mn insbesondere zur Konstnte ein δ > so klein finden, dss d.h. flls n ungerde ist o( x x n ) lim x x (x x ) n = ε := f (n) () (2n)! o( x x ) n x x n ε für lle x (, b) (x δ, x + δ), (1.17) f (n) (x ) n! + o( x x n ) (x x ) n ε für lle x (, b) (x δ, x + δ) sowie uch, flls n gerde ist und f (n) (x ) >, dss (1.18) f (n) (x ) n! + o( x x n ) (x x ) n ε für lle x (, b) (x δ, x + δ) und, flls n gerde ist und f (n) (x ) <, dss (1.19) f (n) (x ) n! + o( x x n ) (x x ) n ε für lle x (, b) (x δ, x + δ) (Bechte, dss ds Symbole o( x x n ) nur Informtionen über eine Größe in Betrg liefert, jedoch nicht über ihr Vorzeichen!) Jetzt knn die Fllunterscheidung nfngen. Es sei n ungerde. Es sei zunächst f (n) () >. Dnn folgt us (1.16) und (1.17), dss sowie uch, dss f(x) f(x ) ε(x x ) n für lle x (, b) (x, x + δ), f(x) f(x ) ε(x x ) n für lle x (, b) (x δ, x ). Somit ist x weder eine Mximum- noch eine Minimumstelle. ähnlich beweist mn die Aussge, flls stttdessen f (n) () > gilt. Es sei n gerde und es gelte f (n) () >. Dnn folgt us (1.16) und (1.18), dss f(x) f(x ) ε(x x ) n für lle x (, b) (x δ, x + δ), und somit ist x eine Minimumstelle. Entsprechend folgt us (1.16) und (1.19), dss f(x) f(x ) ε(x x ) n für lle x (, b) (x δ, x + δ), flls n gerde ist und f (n) () < gilt, und somit ist x eine Mximumstelle. Alle Fälle wurden betrchtet und somit ist der Beweis vervollständigt.

22 22 Kpitel 1 Mn knn forml die Potenzreihe betrchten, die durch T f,x : x k= f (k) (x ) (x x ) k, k! definiert ist: sie heißt die Tylor-Reihe von f n der Stelle x. Diese Reihe brucht n beliebige x nicht zu konvergieren, vielmehr soll mn ihren Konvergenzrdius R(T f,x ) bestimmen. Innerhlb der Kugel mit Zentrum x und Rdius R(T f,x ) definiert definitionsgemäß T f,x eine Funktion, die im Allgemeinen nicht mit f übereinstimmen muss (obwohl (T f,x n ) n N ttsächlich f pproximiert). Beispiel 2. Es sei f : R R die Funktion, die durch { f(x) := e 1 x 2, flls x,, sonst, definiert ist. Wir zeigen durch Induktion über n, dss f C (R) ist, und deren Ableitungen lssen sich durch { f (n) (x) := p n (x)e 1 x 2, flls x,, sonst, drstellen lssen, wobei p n pssende Polynome sind. Für n = ist die Aussge klr: nimm einfch ds Polynom vom Grd. Es sei nun die Aussge für n richtig, so unterscheidet mn die Fälle x und x =. Für x gilt nämlich f (n+1) (x) = Andererseits gilt uch für x = = = d dx f (n) (x) ( ( ) ) d 1 p n e 1 x dx x 2 ( ( ) 1 1 p n x x 2 ) + 2p n ) e 1 x 2. =: p n+1 ( 1 x f (n+1) f (n) (x) f (n) () () = lim x x ( p 1 n = lim x) e 1 x 2. x x ( ) ) 1 1 x x 3 e 1 x 2 Nun knn dieser Grenzwert bestimmt mithilfe von [6, üa 7.12], welche ( p 1 ) n x e 1 x 2 lim x x = lim R ± Rp n(r)e R2 =.

23 Kpitel 1 23 liefert. Somit ist bewiesen, dss f (n) () = für lle n N, lso nimmt die Tylor-Reihe von f n der Stelle Wert T f, f (k) () (x) = x k für lle x R, k! obwohl f. k= Beispiel 21. Betrchte eine Knonenkugel, die mit fester Anfngsgeschwindigkeit v und Abschusswinkel α geschossen wird. Berücksichtigt mn den Luftwiderstnd nicht, so liefern die klssischen Gesetze der Newtonschen Mechnik unmittelbr die Flugbhn der Kugel in Abhängigkeit von der Zeit b dem Schuss. Dnn liegt die Flugbhn in einer Ebene, die wir in krtesischen Koordinten mit x bzw. y (horizontler bzw. vertikler Abstnd vom Schusspunkt) beschreiben. Dnn sind die dementsprechenden Gleichungen x(t) = vt cos(α) y(t) = gt2 2 + vt sin(α) solng y(t), wobei g die Fllbeschleunigung bezeichnet. Diese Gleichungen gelten uf jedem Plnet, sobld mn die spezifische Fllbeschleunigung g kennt (g = 9, 81 m uf der Erde). s 2 Ht übrigens die Funktion y ein Mximum n einem Zeitpunkt t? Wir wissen schon, dss eine notwendige Bedingung hierfür ist, dss y (t ) =, lso dss gt = v sin(α) und somit t = v sin(α). g Es ist y (t ) = g <, lso ist t eine Mximumstelle: dnn erreicht für festen Anfngsgeschwindigkeit und Abschusswinkel die Kugel ihr Mximum Stz Ist P eine Potenzreihe (1.2) P : x y(t ) = v2 sin(α) 2. 2g k (x x ) k k= mit Konvergenzrdius R(P ) >, so ist P C ( ( R(P ), R(P )); X ) und P stimmt mit seiner eigener Tylor-Reihe n jeder Stelle x ( R(P ), R(P )) überein 7. Innsbesondere stimmt ds k-te Koeffizient k von P mit überein. P (k) () k! 7 D.h., (T f,x n ) n N konvergiert uf ( R(P ), R(P )) punktweise gegen die mit P ssoziierte Funktion f.

24 24 Kpitel 1 Beweis. Es sei k N. Mn knn rekursiv us dem Stz 1.15 folgern, dss P C k( (x R(P ), x + R(P ) ) und zusätzlich P (k) (x) = n(n 1) (n k + 1) n (x x ) n k n=k = k! k + (h k)(h k 1) 2 h k (x x ) h, h=1 und insbesondere (durch Einsetzen von x = x ) P (k) () = k! k. Somit P (k) () = k, k! und deshlb stimmt P notwendigerweise mit seiner Potenzreihe. Dies zeigt die Aussge. Wir hben im Beispiel 2 gesehen, dss eine Funktion nicht notwendigerweise mit ihrer Tylor-Reihe übereinstimt selbst wenn sie C ist. In der Tt knn mn eine Klsse von Funktionen einführen, die noch regulärer ist und diese Lücke schließt. Definition 22. Es seien, b R, < b, X ein normierter Vektorrum und f C ( (, b); X) ). Dnn heißt f reell-nlytisch, flls es für jedes x (, b) ein R gibt mit B R (x) (, b) und eine Potenzreihe P : x k (x x ), so dss f(x) = P (x) k= für lle x B R (x). Korollr Es seien, b R, < b, X ein normierter Vektorrum. Dnn ist f : (, b) X genu dnn reell-nlytisch, wenn f C ( (, b); X) ) und zu jedem x (, b) gibt es ein ρ >, so dss (x ρ, x + ρ) (, b), die Tylor-Reihe n der Stelle x konvergiert punktweise und f(x) = T f,x (x) für lle x (x ρ, x + ρ). Beweis. Die Aussge folgt direkt vom Stz Anmerkung 23. Unter den Vorussetungen des Stzes 1.16, ist f uf (, b) (n + 1)-ml differenzierbr und ist X = R, so gibt es zu jedem x (, b) ein ξ (, b), so dss die Restfunktion R n in (1.13) die Form (1.21) R f,x n (x) = f (n+1) (ξ) (n 1)! (x x ) n+1, x (, b).

25 Kpitel 1 25 nimmt: Denn mn findet R f,x n (x) = h(1) h()! = h (ζ) ( ) (x = f (n) (x ) f (n) x ) n (x + ξ(x x )), x (, b), (n 1)!! = f (n+1) (η) (x x ) n+1, (n 1)! wobei ζ, η zwei pssende Elemente von (, b) sind (beide mit! gekennzeichneten Ausdrucke folgen us dem Stz von Lgrnge). Wir werden ber gleich sehen, dss die Abschätzung (1.21) sich ein wenig verbessern lässt, wenn mn den Stz von Cuchy (und nicht den Stz von Lgrnge!) im Beweis verwendet der leider im vektorwertigen Fll nicht zur Verfügung steht. Diese Verbesserung ist ber für den Beweis des Stzes 1.21 wesentlich. Stz 1.2. Es seien, b R, < b, n N und f : [, b] R eine n-ml stetig differenzierbre Funktion, welche zudem uf (, b) (n + 1)-ml differenzierbr ist. Es sei x (, b). Dnn gelten die folgenden Aussgen. () Zu jedem x (, b) \ {x } gibt es ein ξ (, b) (genuer: ξ (min{x, x }, mx{x, x })), so dss die Restfunktion R n in (1.13) die Form R f,x n (x) = f (n+1) (ξ) (n + 1)! (x x ) n+1, x (, b). nimmt. (b) Ist zudem die (n + 1)-te Ableitung beschränkt, so gilt die Abschätzung f(x) T f,x n (x) sup f (n+1) (ξ) x x n+1, x (, b). ξ (,b) (n + 1)! Bechte den Term 1 (n+1)!, im Gegenstz zu 1 (n 1)! in (1.21). Beweis. () Betrchte für festes x die Funktionen g, h, die durch n g(t) := f (k+1) (x t)k (t) k! k= bzw. h(t) := (x t) n+1 definiert sind. Sie sind so gewählt worden, dss (1.22) g(x ) = f(x), g(x) = T f,x n (x), und somit g(x) g(x ) = R f,x n (x), sowie (1.23) h(x) h(x ) = (x x ) n+1 Dnn sind g, h uf [min{x, x }, mx{x, x }] stetig und uf (min{x, x }, mx{x, x }) differenzierbr mit g (t) = f (n+1) (x t)n (t) n!

26 26 Kpitel 1 (Dnk der Kettenregel wird g (t) zu einer teleskopischen Summe!) bzw. h (t) := (n + 1)(x t) n. Nch dem Stz von Cuchy gibt es somit ξ (min{x, x }, mx{x, x }) mit g(x) g(x ) = g (ξ) h (ξ) (h(x) h(x )). definiert werden. Durch Einsetzen von (1.22) folgt die Aussge sofort. (b) Die Abschätzung ist eine unmittelbre Folgerung des obigen Resultts und der Definition von R f,x n. Übungsufgbe 24. Es seien, b R, < b, und f : [, b] R eine n-ml stetig differenzierbre Funktion, die zusätzlich uf (, b) n + 1-ml differenzierbr ist. Es sei x [, b]. Zeige: Es gibt für lle p > und lle x [, x ) (x, b] ein ξ (min{x, x}, mx{x, x}), so dss die Restfunktion R n us dem Stz 1.16 durch R f,x n (x) = f (n+1) ( ) (ξ) x ξ n p+1 (x x ) n+1. pn! x x gegeben ist. (Hinweis: Betrchte Funktionen g, h, welche durch g(s) := n k= gegeben sind und wende drn den Stz von Cuchy n). f (k) (s) (x s) k, h(s) := (x s) p, s [, b], k! Beispiel 25. Selbst für Funktionen, die ls Potenzreihen eingeführt wurden, liefert die Tylorsche Theorie interessnte Informtionen. Betrchte etw die Cosinusfunktion cos : R R, cos x := ( 1) k x2k (2k)!, x R. k= Möchte mn wissen, welchen Fehler mn mcht, wenn mn die Potenzreihe etw bei (N + 1)-ten Term bschneidet, d.h. wenn mn die Approximtion cos x 2N+2 k= ( 1) k x2k (2k)! betrchet, so erhält mn Dnk dem Stz 1.2.(b) für x = und ngesichts von dss cos 2k (x) = cos x, k N, x R, x 2N+2 f(x) T f, 2N+2 (x) sup cos ξ ξ ( π,π) (2N + 2)! π2n+2, x [ π, π]. (2N + 2)! Schon für N = 1 erhält mn dmit einen Fehler von nur c Der Stz 1.2 sgt somit, dss jede Potenzreihe mit strikt positivem Konvergenzrdius eine reell nlytische Funktion definiert. Ein weiteres nützliches Kriterium für die reelle Anlytizität ergibts sich im Folgenden.

27 Kpitel 1 27 Stz Es seien, b R, < b und f : (, b) R eine unendlich oft differenzierbre Funktion. Gibt es für lle n N Zhlen M, L so, dss f (n) ML n, so ist die Tylor-Reihe T f, (ls Reihe von Funktionen von (, b) nch R ufgefsst) gegen f normkonvergent. Beweis. Wie wir schon us dem Stz 1.2 wissen, gibt es zu jedem n N ein R n C((, b); R) so, dss n (1.24) f(x) f (k) (x ) (x x ) k = R f,x n (x), x (, b), k! k= und welche für ein ξ (min{x, x 1 }, mx{x, x 1 }) die Abschätzung R f,x n (x) 1 (n + 1)! f (n+1) (ξ) x x n, x (, b), erfüllt. Die Aussge ist dnn zur Konvergenz von R f,x n gegen äquivlent. Dnk der Vorussetzung gilt somit R f,x n (x) MLn+1 (n + 1)! x x n+1 (L b )n+1 M, x (, b), (n + 1)! und der rechtere Term definiert eine Funktionenfolge. Dnk dem Mjorntenkriterium ist der linkere Term konvergent: Dies zeigen wir ddurch, dss wir die deutlich stärkere Aussge beweisen, die Reihe n= (L b ) n+1 (n + 1)! sei konvergent ds knn z.b. mittels des Quotientenkriteriums überprüft werden. Übungsufgbe 26. Formuliere ein ähnliches Kriterien für die bsolute, und somit punktweise Konvergenz der Tylor-Reihe. Übungsufgbe 27. Betrchte die Tylor-Entwicklung im Beispiel 19 und zeige, dss für lim n T f,1 n (x) = log(1 + x) für lle x < 1.

28

29 KAPITEL 2 Integrlrechnung Definition 28. Es seien, b R mit < b. Eine endliche Punktenmenge ζ := {x,..., x n } heißt Zerlegung von (, b), flls = x, x n = b und x k < x k+1 für lle k =,..., n + 1. Anmerkung 29. Die Punktenmenge {, b} ist selbstverständlich eine (trivile) Zerlegung des Intervlls (, b). Es seien ζ, ζ zwei Zerlegungen eines Intervlls. Dnn ist uch ζ ζ eine Zerlegung desselben Intervlls. Allgemeiner gilt: Durch Zufügen von endlich vielen Punkten bei einer gegebenen Zerlegung ζ bekommt mn eine neue Zerlegung, welche eine Verfeinerung von ζ heißt. Definition 3. Es seien, b reelle Zhlen, mit < b und X ein normierter Rum. Eine Abbildung φ : (, b) X heißt Treppenfunktion, flls es eine Zerlegung ζ := {x,..., x n } ihres Definitionsbereichs (, b) gibt, so dss die Einschränkungen von φ uf (x k, x k+1 ) für lle k =,..., n 1 konstnt sind, etw φ (xk,x k+1 ) : c k X. Die Menge der Treppenfunktionen von (, b) nch X bezeichnet mn mit T (, b; X). Die Summe n 1 φ(x) dx := c k (x k+1 x k ) k= nennen wir (bestimmtes) Integrl von φ zwischen und b. Mnn knn offensichtlich (, b) in unendlich vielen Weisen derrt zerlegen, dss eine gegebene Treppenfunktion f uf jeden Teilintervll konstnt ist. Doch ist die obige Definition berechtigt, d folgendes gilt. Lemm 2.1. Es seienb, b reelle Zhlen, mit < b und X ein normierter Rum. Es sei φ : (, b) X eine Treppenfunktion. Ds Integrl f(x) dx hängt nicht von der gewählten Zerlegung b. Beweis. Es seien ζ, ζ zwei Zerlegungen. Es reicht us, die Aussge im Fll, dss ζ ζ zu zeigen; denn dnn würde es im llgemeinen Fll einfch die neue Zerlegung ζ := ζ ζ zu betrchten: denn nch dem ersten fll würde dnn beide Intergrle bezüglich ζ bzw. bezüglich ζ mit dem Intergrl bezüglich ζ übereinstimmen. In der Tt reicht es sogr den Fll zu betrchten, dss ζ \ ζ us einem einzigen Punkt besteht, d der llgemeine Fll wohl induktiv behndelt werden knn. Es sei lso ζ := {x,..., x n } und ζ := {x,..., x m, y, x m+1, x n } mit x < x 1... x m < y < x m+1 <... x n, so dss φ (xk,x k+1 ) : c k X, k =, 1,..., n, sowie uch φ (xm,y) : d + X, φ (y,xm+1 ) : d X. 29

30 3 Kpitel 2 D ber die Einschränkung von φ (xk,x k+1 ) uf (x m, y) mit φ (xm,y), bzw. die Einschränkung von φ (xk,x k+1 ) uf (y, x m+1 ) mit φ (y.xm+1 ) übereinstimmen, muss notwendigerweise gelten. Die Aussge folgt dnn unmittelbr. d = c m = d + Anmerkung 31. Mn sieht, dss die Definitionen von Zerlegungen und Treppenfunktionen sich uch im Fll nichtoffener (beschränker) Intervlle problemlos formulieren lässt. Allerdings zeigt die Definition vom bestimmten Integrl einer Funktion φ : (, b) X unmittelbr, dss die Integrle zwischen und b von φ und von ihren Einschränkungen uf [, b), (, b], oder (, b) übereinstimmen. Somit werden wir im folgenden immer wieder der Einfchheit hlber nur den Fll von uf offenen Intervllen definierten Funktionen explizit betrchten. Jetzt wollen wir einige Rechenregel für die Integrle von Treppenfunktionen beweisen. Stz 2.2. Es seien f, g : (, b) X Treppenfunktionen und α, β K. Dnn gelten die folgenden Rechenregel. (1) Für lle c (, b) sind die Einschränkungen f (,c), f (c,b) Treppenfunktionen und f(x) dx = (2) αf + βg ist eine Treppenfunktion und c (αf + βg)(x) dx = α f(x) dx + c f(x) dx + β f(x) dx. g(x) dx. (3) f X ist eine (reellwertige) Treppenfunktion und β f(x) dx f(x) X dx f b. (4) Ist X = R und gilt f g, so ist uch Zur Erinnerung: f g bedeutet, dss α f(x) g(x) f(x) dx g(x) dx. für lle x (, b). Beweis. D die Integrle zwischen und b definitionsgemäß nichts nderes ls endliche Summen sind, gelten lle Aussgen selbstverständlich: Z.B. beruht die erste Gleichung druf, dss die Vereinigung zweier Zerlegungen ζ von (, c) und ζ von (b, c) uch eine Zerlegung ζ ζ von (, b) liefert, so dss die Aussge eine Folgerung der Assozitivität der Addition ist. Die zweite Aussge folgt us der Distributivität der Multipliktion. Die dritte Aussge folgt us der Dreiecksungleichung für. Schließlich gilt die letzte Aussge, d R ein geordneter Körper ist, und somit us m, n, p, q R mit m n und p q folgt m + p n + p n + q. Beispiel 32. Es sei c R und betrchte die Funktion f : [, b] R mit konstntem Wert c. Dnn gilt f(x) dx = c(b ).

31 Kpitel 2 31 Denn von der gewählte Zerlegung von [, b] unbhängig sind offensichtlich uch die pproximierenden Funktionen φ u und φ o konstnt mit Wert c, und somit gilt n 1 inf ζ n P k= n 1 φ o (x)(x k+1 x k ) = c inf ζ n P k= (x k+1 x k ) = c(b ) n 1 = c sup (x k+1 x k ) = sup ζ n P k= ζ n P k= n 1 φ u (x)(x k+1 x k ). Wir wollen nun die obige Konstruktion uf llgemeinere Funktionen verllgemeinern. Dzu benötigen wir erst eine technische Definition. Definition 33. Es seien X ein normierter Rum,, b R mit < b und x [, b]. Es seien f : [, b] X und y X. Mn sgt, y ist linksseitiger (bzw. rechtsseitiger) Grenzwert von f für x gegen x flls y der Grenzwert von f {x [,b]:x<x } (bzw. von f {x [,b]:x>x }) für x gegen x ist, d.h., bzw. Mn schreibt dnn ε > δ > so dss y f(x) < ε für lle x [, x ) mit x x < δ ε > δ > so dss y f(x) < ε für lle x (x, b] mit x x < δ. lim f(x) = y (bzw. lim f(x) = y). x x x x + Besitzt eine Funktion n einer Stelle x sowohl linksseitigen ls uch rechtsseitigen Grenzwert, so sgt mn, dss sie beide einsseitigen Grenzwerte besitzt. Beispiel 34. Die Gußsche Klmmerfunktion ist unstetig, ht ber n jeder Stelle beide einsseitigen Grenzwerte: für x Z stimmen beide einsseitigen Grenzwerte mit x überein, während für x Z ist der linksseitiger Grenzwert x 1 und der rechtsseitiger Grenzwert x. Dgegen ht die Funktion R x 1 x R n der Stelle x = keinen der beiden einsseitigen 1 Grenzwerte, d lim x ± x R. Anmerkung 35. Auch in diesem Fll ist es klr, dss mn die obige Definition sich uch n Funktionen erweitern knn, die uf einem nichtbgeschlossenen Intervll definiert sind. Allerdings bevorzugen wir uf technischen Gründen, Regelfunktionen immer ls uf bgeschlossenen Intervllen definiert zu betrchten. Eine wichtige Beispielklsse liefern die monotonen Funktionen. Stz 2.3. Es sei A R ein Intervll und f : A R eine monotone Funktion. Dnn besitzt sie n jeder Stelle beide einsseitigen Grenzwerte. Beweis. Wir betrchten o.b.d.a. den Fll, dss f monoton wchsend ist. Es sei dzu x A. Ist x = inf A, dnn ist inff(a) = lim x x + f(x). Ist jedoch x > inf A, so wollen wir zeigen, dss lim f(x) = s := sup{f(x) R : x A (, x )}. x x

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