So genannte. Steckbriefaufgaben. für ganzrationale Funktionen. Teil 1: Ganzrationale Funktionen 2. Grades (Parabelfunktionen) Datei 42080

Transkript

1 Analysis So genannte Steckbriefaufgaben für ganzrationale Funktionen Funktionsgleichungen aufstellen Teil 1: Ganzrationale Funktionen. Grades (Parabelfunktionen) Datei 4080 Stand 8. März 010 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

2 Vorwort In 1. Teil geht es nur um Funktionen. Grades, deren Schaubild also eine Parabel ist. Die Aufgaben aus.1 sind auch in Klasse 9 lösbar. Im Abschnitt. kommen Steigungseigenschaften dazu, so dass die 1. Ableitungsfunktion benötigt wird. In 4081 werden auch Funktionen 3. und in 408 Funktionen 4. Grades behandelt. Inhalt 1 Worum es geht und Grundlagen 1 Funktionen. Grades aufstellen 4.1 Funktionen. Grades ohne Verwendung der Ableitung 4 1. Sonderfall: Die beiden Nullstellen sind gegeben 10. Sonderfall: Der Parabelscheitel und ein weiterer Punkt sind gegeben 1 3. Sonderfall: Drei Punkte in besonderer Lage sind gegeben 13. Funktionen. Grades mit Verwendung der Ableitung 14 Beispiel mit Tangente 0 Beispiel mit Normale 3 Berührung zweier Kurven 4.3 Lösung der Trainingsaufgaben 31

3 4080 Steckbriefaufgaben Worum es geht und Grundlagen Gestern hat ein Schüler in Englisch eine Klausur geschrieben und in Deutsch ein Referat gehalten. Man weiß außerdem, dass er männlich ist und Brillenträger. Wie heißt dieser Schüler? So etwas nennt man einen Steckbrief. Er enthält Angaben, die zur Identifizierung dieser Person führen sollen. So etwas gibt es bei Funktionen auch. Die grafische Darstellung einer Funktion nennt man Schaubild oder einfach Kurve. Wenn man von einem Schaubild beispielsweise 4 Punkte kennt, dann kann man nach einer Funktion suchen, deren Schaubild durch diese Punkte geht. Man kann dann auch Bedingungen angeben wie: Dies Kurve soll bei H( 3 6) einen Hochpunkt besitzen oder soll die Gerade y = x 3 bei x = 1 berühren. Aufgabensteller lassen sich da vieles einfallen. Dabei gibt es allerdings ein Problem: Die Aufgabe kann unterbestimmt oder überbestimmt sein. Wenn man eine Parabelfunktion sucht, dann hat diese bekanntlich eine Gleichung der Form ( ) f x = ax + bx+ c. Um die Funktion zu kennen, muss man die drei Koeffizienten a, b und c bestimmen. Schon in Klasse 9 lernt man, dass zur Bestimmung von 3 Unbekannten 3 Gleichungen erforderlich sind. Jede solche Gleichung stellt eine Bedingung dar, die man aus den oben gezeigten oder anderen Angaben erstellt. Hat man zu wenige Bedingungen also Gleichungen, dann ist das Ergebnis nicht mehr eindeutig. Dann gibt es mehrere, ja oft sogar unendlich viele Kurven, die diesen Steckbrief erfüllen. Hat man zu viele dieser Bedingungen, dann gibt es meist keine Funktion, die dazu passt. Dann aber geht man einen ganz anderen Weg. Man sucht dann die Funktion, die am besten dazu passt. Solche Verfahren werden wir hier nicht besprechen. Sie gehören zum Thema Regression und werden im Text besprochen. In diesem Heft werden ganzrationale Funktionen mittels Steckbrief gesucht. Die Lösungsverfahren führen stets auf ein Gleichungssystem. Dieses kann man auf ganz unterschiedliche Arten lösen. Ich gebe immer ein Lösungsverfahren an, zeige aber in wenigen Fällen, wie man es auch anders machen kann. Ich werde aber öfter auch zeigen, wie man mit CAS-Rechnern diesen Systemen zu Leibe rückt. Dabei werde ich auf die Modelle TI Nspire von Texas Instruments und Classpad von CASIO zurückgreifen. Dies sind die modernsten Geräte. Andere Geräte gehen ähnlich vor.

4 4080 Steckbriefaufgaben 1 Doch wie kommt man von gegebenen Kurvenpunkten auf Gleichungen? Dies sei vorweg besprochen, bevor es mit den eigentlichen Aufgaben angeht. 1 Ich nehme als Beispiel die Funktion f mit der Gleichung ( ) f x = x + 3x 5. Ihr Schaubild ist eine Parabel. Die Funktionsgleichung ist eine Berechnungsvorschrift für Funktionswerte. Will man den Funktionswert der Zahl berechnen, setzt man für x ein und erhält: 1 ( ) f = = = 3 Der Zahl wird dadurch die Zahl 3 zugeordnet. Daraus kann man ein Zahlenpaar bilden: ( ) Dieses wiederum kann man in einem Koordinatensystem als Punkt darstellen. Wenn wir ihn A nennen, hat dieser Punkt dann die Koordinaten ( ) A Die Menge aller so entstehenden Zahlenpaare nennt man das Schaubild der Funktion, in diesem Falle eine Parabel. Weil man den Funktionswert auch oft mit y abkürzt, kann man durch Ersetzen aus der erzeugen. 1 Funktionsgleichung ( ) die Kurvengleichung f x = x + 3x 5 1 y = x + 3x 5 Weil zu der Wert 3 berechnet worden ist, kann man das Zahlenpaar ( ) einsetzen: und kommt dann auf y= 3 1 y= x + 3x 5 1 x= x= 3= Rechnet man die rechte Seite aus, erhält man 3= 3, also eine wahre Aussage. 3 in die Kurvengleichung Man kann also durch Einsetzen von Punktkoordinaten nachprüfen, ob ein Punkt auf einer Kurve liegt oder nicht. Wenn dieses Einsetzen wie beim Punkt A eine wahre Aussage ergibt, dann liegt dieser auf B 4 7. der Kurve. Versuchen wir es mit dem Punkt ( ) Das Einsetzen der Koordinaten von B in die Parabelgleichung nennt man die Punktprobe machen. 1 Sie führt auf ( ) ( ) 7 = bzw. 7 = bzw. 7 = 9 Diese falsche Aussage besagt, dass B nicht auf der Parabel liegt.

5 4080 Steckbriefaufgaben 1 3 Nun kehren wir die Aufgabenstellung um und geben einen Punkt vor, etwa B( 4 7). Wir suchen jetzt eine Parabel, die durch B verläuft. Eine Parabelgleichung hat die Form y = a x + b x+ c. Sie wird durch die Koeffizienten a, b und c bestimmt. Wenn man sie kennt, also die Parabelgleichung bekannt ist, kann man die Koordinaten von B einsetzen und erhält eine wahre Aussage. Die Koordinaten eines Kurvenpunktes bilden eine Lösung der Kurvengleichung! Setzt man sie jedoch ein, so lange a, b und c noch Unbekannte sind, dann entsteht natürlich keine wahre Aussage sondern eine Gleichung mit 3 Unbekannten: ( ) ( ) 7 = a 4 + b 4 + c bzw. 7 = 16 a 4 b + c Wegen der Unbekannten a, b und c kann man nicht entscheiden, ob diese Gleichung eine wahre oder falsche Aussage darstellt, daher darf man sie nicht einmal Aussage nennen. Man bezeichnet sie als Aussageform, weil sie die Form einer Aussage hat. So kommt man also von einem Kurvenpunkt zu einer Gleichung. Nur jeder sieht, dass man mit dieser einen Gleichung, die 3 Unbekannte enthält, nichts anfangen kann. Erst wenn man drei solche Gleichungen hat, kann man sie nach a, b und c auflösen. Die Lösungsmethoden für 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten werden teilweise schon in Klasse 8 behandelt. Die gebräuchlichste Methode ist das Additions- bzw. Subtraktionsverfahren. Dabei wird eine Unbekannte aus mehreren Gleichungen durch Addition oder Subtraktion der Gleichungen eliminiert und so die Anzahl der Unbekannten schrittweise reduziert. In der Oberstufe lernt man auch andere Methoden, wie das Determinantenverfahren oder das Gaußsche Eliminationsverfahren, das zur Matrizenrechnung gehört. Schließlich kann man Gleichungssysteme auch mit CAS-Rechnern lösen (lassen). In diesem Text werden zu all diesen Methoden Beispiele aufgezeigt. Die Additions- oder Subtraktionsmethode kann man ausführlich in 1180 trainieren, die Determinantenmethode in 6101 / 13 und das Gauß-Verfahren in Wie man CAS-Rechner dazu einsetzt, wird in 1701 (für CASIO ClassPad) bzw. in (TI Nspire) gezeigt. Doch nun zur Praxis dieser Aufgaben.

6 4080 Steckbriefaufgaben 1 4 Funktionen. Grades aufstellen.1 Ohne Verwendung der Ableitung Beispiel 1 Wir entnehmen diesem Schaubild drei Punkte: A 3 1, B 4, C 4 4. ( ) ( ) ( ) Welche Gleichung hat die Parabel durch A, B und C? Lösung 1. Schritt: Aufstellen eines Gleichungssystems Eine nach oben oder unten geöffnete Parabel K hat stets eine Gleichung der Form. y = ax + bx + c. Darin sind die Koeffizienten a, b und c jetzt noch Unbekannte. Indem wir unsere drei Parabelpunkte in diese allgemeine Gleichung einsetzen (für x und y) erhalten wir 3 Gleichungen mit den 3 unbekannten Koeffizienten a, b und c: A K: also 1= 9a 3b+ c (1) B K : also 4 = 4a b+ c () C K : also 4 = 16a 4b+ c (3) Die Schreibweise A K: besagt, dass A ein Element von K ist, also ein Punkt der Kurve K.. Schritt: Lösen des Gleichungssystems (1. Methode: Subtraktionsverfahren) Weil jede Gleichung am Ende +c zu stehen hat, wende ich das Subtraktionsverfahren an. Durch Subtrahieren je zweier Gleichungen erhält man zwei neue Gleichungen, die dann nur noch a und b enthalten. Dabei kann man geschickt aber auch ungeschickt vorgehen: 1. Möglichkeit:. Möglichkeit: (1) (): 3 = 5a b (4) (1) (): 3 = 5a b (4 ) () (3): 8 = 1a + b (5) (3) (1): 5 = 7a b (5 ) Die. Möglichkeit ist günstiger, denn sie führt in beiden Gleichungen zu b, sodass dieses durch Subtraktion von (4 ) und (5 ) wegfällt. In der 1. Möglichkeit entsteht einmal b und einmal b, wodurch b und auch nicht a durch eine Subtraktion sofort wegfällt. A C B Wenn man vor der Rechnung erkennt, welche der beiden Möglichkeiten günstiger ist, hat man es leichter. Jetzt rechnen wir also: (5 ') (4 ') : = a a = 1.

7 4080 Steckbriefaufgaben 1 5 Man sollte jetzt auch dies wahrnehmen: Aus den ursprünglich 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten wurden Gleichungen mit den Unbekannten a und b und daraus dann eine Gleichung mit nur noch a. Die beiden anderen Unbekannten erhält man, indem man wieder auf zurückliegende Gleichungen zurückgreift und a in (4 ) oder (5 ) ersetzt: 3 = 5 ( 1) b b = 5+ 3 = und indem man a und b in z. B. () ersetzt: 4 = c c = 4 Ergebnis: y = x x + 4. Schritt: Lösen des Gleichungssystems (. Methode: CAS-Rechner) Mit dem CAS-Rechner TI-Nspire gelingt die Lösung natürlich ganz schnell: Hierin unterscheiden sich die Rechner kaum. Mit CASIO Classpad sieht das so aus:. Schritt: Lösen des Gleichungssystems (3. Methode: Gaußsches Eliminationsverfahren) Z Z Z3 Z Z3 Z Z3, Z+ Z Z3/ Z1 9*Z3+ 3 Z Aus der 1. Zeile folgt: c = 4, aus der. Zeile folgt b = und aus der dritten a = 1. Beispiele zu diesem Gaußschen Eliminationsverfahren siehe Datei 6011.

8 4080 Steckbriefaufgaben 1 6. Schritt: Lösen des Gleichungssystems (4. Methode: Determinanten) 9a 3b + c = 1 4a b + c = 4 16a 4b + c = 4 Nach der Cramerschen Regel erhält man die Lösungen so: Da Db Dc a =, b = und c = D D D. Zuerst die Nennerdeterminante: D = 4 1 = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) = = Dann die Zählerdeterminanten: a D = = = b D = = = 4 c D = = = Daraus folgt: Da a = = = 1 D Db 4 b = = =. D Dc 8 c = = = 4 D Ergebnis: y = x x + 4

9 4080 Steckbriefaufgaben 1 7 Beispiel Welche Gleichung hat die Parabel, die durch die Punkte A( 1 5 ), B( ), C( 3 4) geht? Lösung 1. Schritt: Aufstellen eines Gleichungssystems Ansatz für die Gleichung der Parabel: K: y = ax + bx + c Durch Einsetzen der Punktkoordinaten von A, B und C entstehen drei Gleichungen: A K : also 5 = a b+ c (1) B K : also = 4a+ b+ c () C K : also 4 = 9a+ 3b+ c (3). Schritt: Lösen des Gleichungssystems (Methode: Subtraktionsverfahren) Durch die Subtraktionen (3) - () und () - (1) entstehen zwei Gleichungen ohne die Unbekannte c, also nur noch mit a und b: (3) - (): = 5a+ b (4) () - (1): 3 = 3a+ 3b (5) Die Gleichung (5) vereinfacht man durch eine Division durch 3: 1= a+ b (6) Elimination von b durch (4) - (6): 3 3 = 4a a = a in (6) einsetzen: b = 1 a = 1 = a und b in (1) einsetzen: c = 5 a+ b = 5 7 = Ergebnis: ( ) y = f x = x x+ A B C

10 4080 Steckbriefaufgaben 1 1. Sonderfall Es ist der Parabelscheitel und ein weiterer Punkt gegeben. Grundlagen und 1. Musteraufgabe S Die Scheitelform einer Parabelgleichung lautet: ( ) y = a x x + y Kennt man also wie hier den Scheitel ( ) dann kann man ihn einsetzen und erhält: ( ) S y = a x S S1 8, Wie man erkennt, benötigt man jetzt also nur noch einen A 0 6 : zusätzlichen Punkt, etwa ( ) ( ) 6 = a Daraus folgt 6 = a 1+ 8 a = Ergebnis: ( ) y = x bzw. ( ) y = x x = x + 4x+ 6 (Achtung: Die binomische Formel richtig anwenden: ( ) a b a ab b. Musteraufgabe: 5 9 Welche Gleichung hat eine Parabel mit dem Scheitel ( ) Lösung Die Scheitelform der Parabel lautet dann y a ( x ) Einsetzen des Ursprungs liefert ( ) = +!) S, die durch den Ursprung geht? 4 =. 9 Daraus folgt a = Ergebnis: 9 5 ( ) 9 y = x 5 4 bzw. ( ) = a a = y = x 5x+ = x x Trainingsaufgabe 3 Bestimme die Parabelgleichung, S sei der Parabelscheitel und A liege auf der Parabel: a) S( 1 5 ); A( 1 3), b) S,5 ( 3,5;A0,5 ) (,5) c) ( ) ( ) S5 3 ;A6 S3 4;A4 1 d) ( ) ( ) A Dieser Aufgabentyp kann auch ganz anders gelöst werden. Siehe dazu. Beispiel 3: Verwendung der 1. Ableitung.