Aufgabe Summe Note Punkte

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Herbert Morgenstern
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1 Fachhochschule Südwestfalen - Meschede Prof. Dr. Henrik Schulze Klausur Ingenieurmathematik am 9. März 7 - Musterlösung Name Matr.-Nr. Vorname Unterschrift Aufgabe Summe Note Punkte Die Klausur umfasst 7 Aufgaben. Insgesamt sind Punkte erreichbar. Die Bearbeitungszeit beträgt 9 Minuten. Erlaubtes Hilfsmittel (neben Schreib- und Zeichengerät): Ein Formelblatt DIN A4 (beidseitig beschrieben). Ausdrücklich verboten sind Taschenrechner. Eingeschaltete Kommunikationsgeräte (z.b. Mobiltelefone) müssen als Täuschungsversuch gewertet werden. Verwenden Sie bitte ausschließlich das bereit gestellte Papier. Die Rechenschritte müssen nachvollziehbar sein. Ungültige Teile streichen Sie bitte durch! Vereinfachen Sie die Ergebnisse so weit wie möglich!

2 Aufgaben Aufgabe Von einem Vektor a sind sein Betrag a = a und zwei seiner Richtungswinkel bekannt: (a) Wie lauten die Koordinaten von a? a = 4, α = 45, β = 6, 9 < γ < 8 Berechnung des Winkels γ : cos α + cos β + cos γ = Damit ergibt sich Vektor a zu: a = a cos γ, = ± cos α cos β = ± γ = 6 (entfällt), γ = cos 45 cos 6 cos (b) Welchen Winkel schließen a und b = cos ϕ = = 4 ein? a = a b a b = 4 = ϕ = 9 5 (c) Wie groß ist die Fläche F des Parallelogramms, welches von a und b aufgespannt wird? Vektorprodukt: a b = = 4 4 F = a b = + = 64 F = 8 Alternative: Man benutzt die - bereits in Teil b) berechnete - Länge der Vektoren a und b: F = a b = 4 = 8 6

3 Aufgabe Von einer Ebene ist der y-achsenabschnitt b = 5 und der Normalenvektor n = bekannt. (a) Wie groß ist der Abstand d der Ebene zum Ursprung? Schreibe die Ebene in der Hesseschen Normalenform ˆ n r = d: / / y = / z Weil d < ist, muss der Normalenvektor gespiegelt werden: n = Damit ergibt sich: / / / y z = d = 4 (b) Wie groß sind die übrigen Achsenabschnitte a und c? Schreibe die Ebene in der Achsenabschnittsform: + y z = Daraus ergibt sich a =, c = 5 4 (c) Wie groß ist der Abstand der Ebene zum Punkt P = ( 6; ; )? = ˆ n p d = / / 6 d / = + 4 ( ) = 6 Mit dem gespiegelten Normalenvektor ergibt sich: = ˆ n p d = / / 6 / d = + 4 = 6 4

4 Aufgabe Berechnung kompleer Ausdrücke: (a) Berechnen Sie die folgenden kompleen Ausdrücke und geben Sie die Ergebnisse in kartesischer Darstellung an: 6 ( ) 9 ( + ) z = und z = ( ) + z = ( e 6 ) 9 = 9 e 54 = 9 z = 5 ( + ) ( ) z = ( ) ( + ) + ( + ) ( ) = 5 = ( + + ( 6)) z = (5 5) (b) Berechnen Sie mit den kompleen Zahlen z = 4e 9, z =, z = e 5 die folgenden Ausdrücke z a = z z + z und z b = z z und geben Sie das Ergebnis in kartesischer Form an. 8 Mit Umwandlung in kartesische Form: z = 4e 9 = 4 und z = e 5 = + ergibt sich: z a = 4 ( ) + ( + ) = z a = 9 + z b = 4 ( ) = 8 ( + ) = z b = Aufgabe 4 Bestimmen Sie alle kompleen Lösungen z der folgenden Gleichungen und geben Sie das Ergebnis in kartesischer Form an. z 4 = 4 e 45 + eponentielle Darstellung: Die Lösungen lauten z 4 = 4e z = e z = z = e 9 z = z = e 8 z = z = e 9 z = 6

5 Aufgabe 5 Gegeben ist die Matri A = (a) Berechnen Sie die Spur und die Determinante der Matri. Was folgt daraus für die Eigenwerte? 6 tr(a) = = λ + λ + λ det(a) = = λ λ λ (b) Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matri A und vergleichen Sie mit den Erwartungen aus (a). Eigenwertgleichung: Charakteristische Gleichung: λ λ λ [( λ)( λ) ] ( λ) = λ, = ±, λ = 6 = Daraus ergeben sich die Eigenwerte λ = λ = λ =. Offenbar sind die Bedingungen λ + λ + λ = und erfüllt. λ λ λ = Der Eigenvektor zu λ = ergibt sich aus dem Gleichungssystem: 4 + = + = + = Also gilt = = und ist beliebig. Der Eigenvektor lautet: (α) = α Der Eigenvektor zu λ = ergibt sich aus dem Gleichungssystem: + = + = + = Also gilt =. Mit weiteren Umformungen lautet der Eigenvektor: (β) = β Der Eigenvektor zu λ = ergibt sich aus dem Gleichungssystem: + = 5 + = = Also ist beliebig, mit weiteren Umformungen lautet der Eigenvektor: (γ) = γ

6 Aufgabe 6 Gegeben sind Matri A und Vektor b: 5 A = 4 4 7, b = (a) Berechnen Sie det (A) (auf möglichst einfache Weise) und entscheiden Sie an Hand des Ergebnisses, ob das Gleichungssystem A = b eine eindeutige Lösung besitzt. Man erkennt folgende lineare Abhängigkeiten zwischen den Spaltenvektoren (SV): SV SV 4 = SV SV + SV 4 = SV Elementare Umformungen ändern den Wert der Determinanten nicht. Durch die genannten linear abhängigen Spaltenvektoren ergibt sich det (A) =. Die Matri A ist singulär. Eine eindeutige Lösung kommt demnach nicht in Frage. Ob es keine oder keine eindeutige Lösung gibt, lässt sich mit dem Rang-Kriterium untersuchen: SV und SV 4 sind linear unabhängig, SV und SV sind Linearkombinationen rank (A) = Der Vektor b verändert den Wert des Rangs nicht! rank (A b) = In diesem Fall gilt also rank (A b) = rank (A). Das Gleichungssystem besitzt keine eindeutige Lösung. 8 (b) Wie lautet die Lösungsmenge des Gleichungssystems A = b? Wir wenden das Gaußsche Einationsverfahren an -5 ( ) -4 ( ( )) - - ( ( )) 4-7 ( ) ( ) ( 7/ ( )) - (+/ ( )) Setze = λ und 4 = µ. Damit ergibt sich aus Gleichung : Setzt man alles in Gleichung ein, erhält man: + 6λ µ = = λ µ + (λ µ) 5λ + µ = = λ + µ Die Lösung des Gleichungssystems lautet also: (λ, µ) = λ + µ 6

7 Aufgabe 7 Eine reelle Funktion f ist gegeben durch die Abbildungsvorschrift f() = (a) Geben Sie den größtmöglichen Definitionsbereich D an! Der Nenner wird null für =. Es liegt eine Polstelle vor. D R\ = (b) Wie verhält sich die Funktion für? Was passiert bei ±? = + und = Polstelle mit Vorzeichenwechsel = ( ) 4 ( 6 = 4) ) = ( 4 ( 6 4) = 4 = 4 = + (c) Wie lautet der (kleinste) Wertebereich W? Skizzieren Sie den Graphen der Funktion. Als Funktionswerte f() kommen alle reellen Werte infrage, siehe auch Ergebnisse aus (b). W R. Mit diesen Informationen kann man die Funktion skizzieren:

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