Probeklausur Januar 2008

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1 Probeklausur Januar 2008 Wie in der richtigen Klausur für das Erste Staatsexamen sind in 4 Zeitstunden 4 Aufgaben zu bearbeiten (jeweils maximal zwei pro Fach). Bitte verwende für jedes neue Gebiet ein neues Blatt und versehe jedes einzelne Blatt mit Deinem Namen, da wir die Arbeiten für die Korrektur aufteilen. Zahlentheorie Aufgabe 1 a) Definiere das Legendresymbol, und formuliere das Quadratische Reziprozitätsgesetz und die Ergänzungssätze. b) Für jede Primzahl p 2, 3 zeige ( ) 3 = 1 p 1 (mod 6). p Hinweis: Unterscheide die Fälle p 1 (mod 4) und p 1 (mod 4). c) Für welche Primzahlen p gibt es ein x Z so, dass durch p teilbar ist? Aufgabe 2 x 2 + 4x + 79 a) Sei p m eine ungerade Primzahlpotenz. Die Zahl k N habe die Eigenschaft: Für jedes a Z mit ggt(a, p) = 1 gilt: a k 1 (mod p m ). Zeige, dass dann ϕ(p m ) k gilt. b) Die Zahl n N, n > 1 habe die Eigenschaft: Für jedes a Z mit ggt(a, n) = 1 gilt: a n 1 1 (mod n). (1) Zeige, dass dann gilt: Entweder ist n prim oder für die Primfaktorzerlegung n = p m 1 1 p m 2 2 p mr r (mit p i p j und r 2) gilt für i = 1, 2,..., r. m i = 1, p i 2 und p i 1 n 1 c) Zeige, dass keine aus genau zwei verschiedenen Primzahlen zusammengesetzte Zahl n die Eigenschaft (1) erfüllen kann. d) Zeige, dass 561 die Eigenschaft (1) hat.

2 Probeklausur Januar Algebra Aufgabe 3 Seien G eine Gruppe und Aut(G) die Gruppe aller Automorphismen von G. Eine Abbildung ϕ: G G heißt innerer Automorphismus, wenn sie sich als Konjugation mit einem Element g G schreiben lässt, d.h. es gilt ϕ(x) = gxg 1 für alle x G. a) Zeige, dass ein innerer Automorphismus tatsächlich ein Gruppenhomomorphismus und bijektiv ist. b) Zeige, dass die Menge Int(G) aller inneren Automorphismen von G ein Normalteiler von Aut(G) ist. c) Bestimme einen Gruppenhomomorphismus Φ: G Aut(G) mit Bild im(φ) = Int(G), und bestimme ker(φ). d) Sei G = GL 2 (Z/5Z). Bestimme die Ordnungen von G und von Int(G). Aufgabe 4 a) Formuliere den Hauptsatz der Galoistheorie für endliche Körpererweiterungen. b) Bestimme den Zerfällungskörper L von f = X 3 95 über Q. c) Bestimme die Zwischenkörper von L über Q. Funktionentheorie Aufgabe 5 Bestimmen Sie alle auf der Einheitskreisscheibe {z C : z 1} definierten holomorphen Funktionen f, für die gilt für alle n N, n 2. Aufgabe 6 f ( 1 n ) + f(1 n ) = 0 Berechnen Sie x 5dx. 2

3 Probeklausur Januar Differentialgleichungen Aufgabe 7 Bestimmen Sie die allgemeinen Lösungen folgender Differentialgleichungen: a) xy (x) = y(x) + x 2, b) u(t) + 1 t u(t) + t(u(t))3 = 0 für t > 0, c) f (x) 3f (x) + 2f(x) = xe x. Aufgabe 8 Ein Kind zieht an einer 2 Meter langen Schnur einen Schlitten hinter sich her. Wir idealisieren Kind und Schlitten als Punkte. Das Kind bewege sich entlang einer Geraden, der Schlitten befinde sich zum Zeitpunkt t 0 = 0 einen Meter von dieser Geraden entfernt. Wir interessieren uns dafür, wie weit das Kind laufen muß, damit der Abstand des Schlittens von der Geraden nur noch 10 cm beträgt. a) Nehmen Sie zunächst an, der Schlitten bewege sich mit einer dem Betrage nach konstanten Geschwindigkeit von 1 m/s. Seien die Koordinaten des Schlittens zum Zeitpunkt t bezeichnet mit (x(t), y(t)), die des Kindes mit (k(t), 0). Stellen Sie ein System von Differentialgleichungen für ẋ(t) und ẏ(t) auf und lösen Sie es, um die Frage nach der Laufstrecke des Kindes zu beantworten. b) Sei nun die Geschwindigkeit des Schlittens nicht länger als dem Betrage nach konstant vorausgesetzt. Nutzen Sie das bei (a) aufgestellte System von Differentialgleichungen, um eine Differentialgleichung für x(y) zu bestimmen. Lösen Sie diese Differentialgleichung und beantworten Sie erneut die Frage nach der Laufstrecke des Kindes. c) Interpretieren Sie das Ergebnis. Hinweis: Laut Bronstein ist a2 x 2 dx = ( ) a + a2 x a x 2 x 2 a ln 2. x 3

4 Probeklausur Januar Angewandte Mathematik für Lehramt Aufgabe 9 Gegeben sei die symmetrische, tridiagonale n n-matrix mit a, b R und n 3. a b A := b b b a a) Man gebe eine hinreichende Bedingung dafür an, dass A nichtsingulär bzw. positiv definit ist. Hinweis: Es kann der Satz von Gerschgorin angewandt werden. Dieser sagt aus: Ist A = (a ij ) R n n und r i := n j=1,j i a ij, i = 1,..., n, so liegt jeder Eigenwert von A in n i=1 G i, wobei G i := {z C : z a ii r i }, i = 1,...,n. b) Man gebe eine hinreichende Bedingung für die Konvergenz des Jacobi-Verfahrens (Gesamtschrittverfahrens) zur Lösung linearer Gleichungssysteme mit der Koeffizientenmatrix A an. c) Wie vereinfacht sich das Gaußsche Eliminationsverfahren für die Matrix A? Welchen Aufwand hat es als Funktion von n? Dabei darf man eine Pivotisierung unberücksichtigt lassen. 4

5 Probeklausur Januar Aufgabe 10 Gegeben sei das Optimierungsproblem x + 4y = Max! 2x + y 8 2x + y 4 x y 2 x 0 y 0. a) Man überführe das Optimierungsproblem in Normalform und stelle dann das Dualproblem auf. b) Man löse das obige Primalproblem grafisch. c) Unter Ausnutzung der Tatsache, dass eine Komponente der Optimallösung des Dualproblems nur dann von Null verschieden sein kann, wenn die entsprechende Ungleichung des Primalproblems im Optimalfall exakt erfüllt ist, gebe man die Lösung des Dualproblems an. Stochastik Aufgabe 11 Seien X und Y unabhängige, binomialverteilte Zufallsvariablen mit X B(n, p) und Y B(m, p). Bestimmen Sie die Verteilung der Summe X + Y. Aufgabe 12 Sei N die Anzahl von Kindern in einer Familie, wobei die Verteilung von N durch P(N = 1) = 0.2 und P(N = 2) = P(N = 3) = 0.4 gegeben ist. Bei jeder Geburt sei die Geburt eines Jungen und eines Mädchen gleich wahrscheinlich und unabhängig von den anderen Geburten. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Familie mindestens ein Mädchen als Kind hat? b) Sei X die Anzahl von Mädchen einer Familie. Berechnen Sie den Erwartungswert von X. c) Sei Y die Anzahl von Jungen einer Familie. Berechnen Sie den Erwartungswert von Y. 5