Mathematik für Wirtschaftsingenieure

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1 Mathematik für Wirtschaftsingenieure Lehr- und Übungsbuch Bearbeitet von Christopher Dietmaier 1. Auflage 005. Buch. 600 S. Hardcover ISBN Format (B L): 17,6 4,6 cm Gewicht: 1196 g Weitere Fachgebiete > Technik > Technik Allgemein > Mathematik für Ingenieure Zu Inhaltsverzeichnis schnell und portofrei erhältlich bei Die Online-Fachbuchhandlung beck-shop.de ist spezialisiert auf Fachbücher, insbesondere Recht, Steuern und Wirtschaft. Im Sortiment finden Sie alle Medien (Bücher, Zeitschriften, CDs, ebooks, etc.) aller Verlage. Ergänzt wird das Programm durch Services wie Neuerscheinungsdienst oder Zusammenstellungen von Büchern zu Sonderpreisen. Der Shop führt mehr als 8 Millionen Produkte.

2 Mathematik für Wirtschaftsingenieure Christopher Dietmaier Lehr- und Übungsbuch ISBN Leseprobe Weitere Informationen oder Bestellungen unter sowie im Buchhandel

3 Komplee Zahlen und algebraische Gleichungen Einführungsbeispiel.1 Gitterspektroskopie Bei der Gitterspektroskopie wird ein optisches Strichgitter mit Licht bestrahlt. Um Spektroskopie betreiben zu können, muss man die Lichtintensitätsverteilung hinter dem Gitter verstehen. Durch die Verwendung von kompleen Zahlen wird die Berechnung dieser Intensitätsverteilung enorm vereinfacht. Dies wird im Abschnitt.1.5. demonstriert. Bild.1 Lichtintensitätsverteilung bei Beugung am Gitter Einführungsbeispiel. Interner Zinssatz Bei einem der dynamischen Verfahren der Investitionsrechnung erfolgt die Bewertung einer Investition durch Vergleich des internen Zinssatzes mit dem Kalkulationszinssatz. Hat man eine Normalinvestition mit einer einmaligen Zahlung in der Höhe A zu einem bestimmten Zeitpunkt und n Rückflüssen in der Höhe B i ( i = 1, K, n ) in regelmäßigen (i.d.r. jährlichen) Abständen, so ist der interne Zinssatz z int eine Lösung der folgenden Gleichung: B1 B Bn A K + = 0 mit A < 0 und B 1+ z n i > 0 für i = 1, K, n (1 + z) (1 + z) 1 Mit q = lautet diese Gleichung 1 + z 1 q + B q n + + B n q = A + B K 0 Dies ist eine algebraische Gleichung vom Grad n. Die Berechnung des internen Zinssatzes bedeutet die Lösung einer algebraischen Gleichung.

4 .1 Komplee Zahlen 31.1 Komplee Zahlen.1.1 Einführung Bei dem im Abschnitt skizzierten Weg von den natürlichen zu den reellen Zahlen trat bei den natürlichen, ganzen und rationalen Zahlen das Problem auf, dass bestimmte Gleichungen, bei denen Zahlen mit den Verknüpfungen + und verknüpft werden, nicht lösbar sind. Dieses Problem hat man auch bei den reellen Zahlen. So gibt es z.b. keine reelle Zahl, welche eine der folgenden Gleichungen löst: = + + = = 0 Veranschaulicht man reelle Zahlen als Punkte auf der Zahlengeraden, so gibt es keinen Punkt auf der Geraden mit der Eigenschaft, dass die entsprechende reelle Zahl eine dieser Gleichungen löst. Will man trotzdem Zahlen haben, die diese Gleichungen lösen, so muss man anschaulich ausgedrückt die reelle Zahlengerade verlassen und sich in die Zahlenebene begeben. y Bild. Die neuen Zahlen entsprechen Punkten in der Ebene. Sie heißen komplee Zahlen. Jedem Punkt in der Ebene entspricht genau eine komplee Zahl z und umgekehrt. Komplee Zahlen bestehen damit aus reellen Zahlenpaaren (, y). Jede reelle Zahl soll nach wie vor dem zugehörigen Punkt auf der reellen Zahlengeraden entsprechen. Damit ist eine reelle Zahl eine komplee Zahl (,0). Die Zahlen ( 0, y ) heißen imaginäre Zahlen. Die imaginäre Zahl ( 0,1) heißt imaginäre Einheit und wird mit i bezeichnet. i = (0,1)

5 3 Komplee Zahlen und algebraische Gleichungen Da in der Elektrotechnik mit dem Buchstaben i auch der elektrische Strom bezeichnet wird, verwendet man für die imaginäre Einheit auch den Buchstaben j. Es sollen nun zwei Verknüpfungen + und so definiert werden, dass für reelle Zahlen (,0) die bekannten Eigenschaften dieser Verknüpfungen erhalten bleiben und es eine Lösung der Gleichung z = gibt, d.h. eine Zahl z mit der Eigenschaft z z = (,0) Dies ist der Fall für die folgenden Definitionen der zwei Verknüpfungen + und : z 1 + z = ( 1, y1 ) + (, y ) = ( 1 +, y1 + y ) z z =, y ) (, y ) = ( y y, y + 1 ( y1 Damit gilt z.b. ( 1,0) + (,0) = ( 1 +,0),0) (,0) = (,0) ( 1 1 (0,1) (0,1) = i = (,0) z = (, y) = (,0) + (0,1)( y,0) Daraus folgt, dass sich jede komplee Zahl z folgendermaßen darstellen lässt: z = + iy wobei und y jeweils reelle Zahlen sind. Aus der Definition der beiden Verknüpfungen + und folgt, dass man mit kompleen Zahlen in dieser Darstellung mit den gleichen Rechenregeln wie bei reellen Zahlen und der Zusatzregel i = rechnen kann. Oft führt man die kompleen Zahlen in dieser Form ein und postuliert dabei eine Zahl i mit der Eigenschaft i =. Menge der kompleen Zahlen = { z = + iy, y i = } (.1) Die Zahl heißt Realteil, die Zahl y heißt Imaginärteil der kompleen Zahl z. In dieser Darstellung der kompleen Zahlen ist die Addition und Multiplikation folgendermaßen gegeben: z 1 + z = ( 1 + iy1) + ( + iy ) = ( 1 + ) + i( y1 + y ) z z = + iy ) ( + iy ) = ( y y ) + i( y + 1 ( y1 Mit diesen Verknüpfungen besitzt nun z.b. auch die Gleichung z + z + = 0 komplee Lösungen. Man kann leicht überprüfen, dass die Zahl z = + i eine Lösung ist: ) )

6 .1 Komplee Zahlen 33 z + z + = ( + i)( + i) + ( + i) + = 1 i + i + i + = 0 Wegen = schreibt man auch i =. Wurzeln aus negativen Zahlen wurden rein formal bereits im 16. Jahrhundert von Cardano ( ) bei der Lösung algebraischer Gleichungen verwendet. Das Symbol i wurde 1777 von Euler eingeführt. i.1. Grundbegriffe Jede komplee Zahl z = + iy lässt sich als Punkt in der Ebene mit den Koordinaten und y in einem kartesischen Koordinatensystem darstellen oder als Pfeil vom Ursprung des Koordinatensystems zu diesem Punkt. Diese Ebene wird Gaußsche Zahlenebene oder komplee Zahlenebene genannt. Einige wichtige Grundbegriffe werden in der folgenden Tabelle definiert und in Bild.3 dargestellt. Tabelle.1 Grundbegriffe Begriff Symbol Bedeutung Komplee Zahl z z z = + iy mit, y i = Realteil von z Re(z ) Imaginärteil von z Im(z ) Konjugiert komplee Zahl Re( z ) = Im( z ) = z z = iy y Betrag von z Argument von z z = r z = r = + y arg(z ) = ϕ ϕ = Winkel zwischen Realteilachse und Pfeil z Bild.3

7 34 Komplee Zahlen und algebraische Gleichungen.1.3 Rechenoperationen Die Addition und Multiplikation von kompleen Zahlen wurden bereits definiert. Rechenoperation Addition Multiplikation Definition z 1 + z = ( 1 + iy1 ) + ( + iy ) = + ) + i( y + ) (.) ( 1 1 y 1 z = ( 1 + iy1 ) ( iy ) ( 1 y1 y ) + i( 1 y + y1 z + = ) (.3) Für beide Rechenoperationen gibt es ein neutrales Element: Rechenoperation Neutrales Element Eigenschaft Addition 0 + i0 = 0 z + 0 = 0 + z = z Multiplikation 1 + i0 = 1 z 1 = 1 z = z Bei der Addition eistiert für alle z = + iy ein inverses Element z = iy. Bei der Multiplikation muss das zu einer Zahl z = + iy inverse Element z = a + ib folgende Gleichung erfüllen: z z = ( + iy) ( a + ib) = 1+ i0 = 1 Daraus folgt das Gleichungssystem a yb =1 b + ya = 0 mit der Lösung a = + y b = y + y Damit hat man folgende inverse Elemente: Rechenoperation Inverses Element zu z = + iy Eigenschaft Addition z = iy z + ( z) = ( z) + z = 0 y z Multiplikation z = i = z z = z z = 1 für z 0 + y + y z Die Rechenoperationen Subtraktion und Division werden mit Hilfe dieser inversen Elemente definiert: