LINEARE ALGEBRA UND ANALYSIS FÜR FUNKTIONEN EINER VARIABLEN
|
|
|
- Catharina Rothbauer
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Fakultät Mathematik Institut für Numerische Mathematik LINEARE ALGEBRA UND ANALYSIS FÜR FUNKTIONEN EINER VARIABLEN 6. Komplexe Zahlen Prof. Dr. Gunar Matthies Wintersemester 2017/18
2 G. Matthies Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen 2/25 Motivation Problem: Da für alle reellen Zahlen x stets x 2 0 gilt, hat die Gleichung x 2 = 1 keine (reellen) Lösungen. Frage: Lässt sich eine Erweiterung von R derart finden, dass die Gleichung x = 0 eine Lösung hat? Anmerkung: Erweiterungen von Zahlenbereichen sind nicht neu. So führte der Wunsch nach der Durchführbarkeit der Division von den ganzen Zahlen auf die rationalen Zahlen. Idee: Wir führen die imaginäre Einheit i ein, für die gilt. i 2 = 1
3 G. Matthies Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen 3/25 Komplexe Zahlen Definition Die Menge der komplexen Zahlen ist durch C := { z = a + bi : a, b R } definiert. Bemerkung Komplexe Zahlen können als formale Rechenausdrücke mit der Variablen i betrachtet werden. Jede komplexe Zahl z C lässt sich eindeutig in der Form z = a + bi mit reellen Zahlen a, b schreiben. Beispiele für komplexe Zahlen: i, 2 4i, 3 + πi
4 G. Matthies Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen 4/25 Real- und Imaginärteil Definition Sei z = a+bi eine komplexe Zahl. Dann nennen wir a Realteil von z und b Imaginärteil von z. Wir schreiben: a = Re z und b = Im z. Die reellen Zahlen a und b heißen kartesische Koordinaten der komplexen Zahl z. Die Darstellung z = a + bi wird als kartesische Koordinatendarstellung bezeichnet. Der Imaginärteil ist stets eine reelle Zahl. Folgerung Zwei komplexe Zahlen z = a+bi und w = c +di sind genau dann gleich, wenn ihre Realteile und ihre Imaginärteile übereinstimmen, d. h., wenn a = c und b = d gilt.
5 G. Matthies Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen 5/25 Komplexe Konjugation und Betrag Definition Sei z = a + bi eine komplexe Zahl. Dann heißt die komplexe Zahl z := a bi die zu z konjugiert komplexe Zahl. Wir nennen z := a 2 + b 2 den Betrag der komplexen Zahl z. Bemerkung Der Betrag von z ( = ) a + bi entspricht der Länge des zweidimensionalen Vektors. a b
6 Gaußsche Zahlenebene G. Matthies Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen 6/25
7 G. Matthies Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen 7/25 Grundrechenarten Satz Seien z = a + bi und w = c + di zwei komplexe Zahlen. Dann gelten die Rechenregeln Summe: z + w = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i Differenz: z w = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i Produkt: zw = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi 2 = (ac bd) + (bc + ad)i Quotient: z w = a + bi (a + bi)(c di) = c + di (c + di)(c di) = z w w w (ac + bd) + (bc ad)i = c 2 + d 2 für w 0 + 0i
8 G. Matthies Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen 8/25 Rechengesetze I Bemerkung Addition und Subtraktion komplexer Zahlen entsprechen der Addition und Subtraktion von zweidimensionalen Vektoren. Satz Für komplexe Zahlen gelten die Kommutativgesetze, die Assoziativgesetze und das Distributivgesetz wie für reelle Zahlen. Bemerkung Da sich jede reelle Zahl a gemäß a+0i als komplexe Zahl darstellen lässt, bilden die komplexen Zahlen einen Zahlenbereich, der die reellen Zahlen enthält. Statt a + 0i schreiben wir weiterhin a.
9 G. Matthies Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen 9/25 Rechengesetze II Bemerkung Für komplexe Zahlen gibt es keine Relationen wie < oder >. Nur Gleichheit kann festgestellt werden. Bemerkung Bei der Division komplexer Zahlen wird mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners erweitert.
10 G. Matthies Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen 10/25 Rechenregeln I Seien z, w komplexe Zahlen. Dann gelten die Rechenregeln z + w = z + w z w = z w zw = z w z n = z n, n N 0 ( ) z = z w w, falls w 0 z + z = 2 Re z z z = 2i Im z z = z
11 G. Matthies Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen 11/25 Rechenregeln II Seien z, w komplexe Zahlen. Dann gelten die Rechenregeln z z = z 2 = z 2 Dreiecksungleichung: z + w z + w zw = z w z = z w w, falls w 0 z n = z n, n N 0
12 G. Matthies Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen 12/25 Polarkoordinatenform Bemerkung Jede komplexe Zahl z = a + bi lässt sich durch ihren Betrag z und den Winkel ϕ zwischen der positiven reellen Achse und der Verbindungsstrecke vom Ursprung zu z in der Form z = z ( cos(ϕ) + i sin(ϕ) ), ϕ [0, 2π), darstellen, die Polarkoordinatenform genannt wird.
13 G. Matthies Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen 13/25 Winkel und Argument Bemerkung In der Polarkoordinatenform kann der Winkel ϕ additiv durch ganzzahlige Vielfache von 2π geändert werden, ohne dass sich die komplexe Zahl ändert, d. h., alle Winkel ϕ + 2kπ, k Z, erzeugen bei gleichem Betrag stets die gleiche komplexe Zahl. Definition Der zur komplexen Zahl z = a + bi gehörende Winkel ϕ, der im Intervall [0, 2π) liegt, wird als Argument von z, kurz arg(z), bezeichnet. Bemerkung Für die Eindeutigkeit des Arguments setzen wir arg(0 + 0i) = 0.
14 Umrechnung zwischen den Darstellungsformen I Gegeben: r, ϕ Gesucht: a, b Umrechnung: a = r cos ϕ b = r sin ϕ z = a + bi = r ( cos(ϕ) + i sin(ϕ) ) Gegeben: a, b Gesucht: r, ϕ Umrechnung: r = a 2 + b 2 b a = r sin ϕ r cos ϕ = tan ϕ G. Matthies Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen 14/25
15 G. Matthies Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen 15/25 Umrechnung zwischen den Darstellungsformen II tan ϕ = b a, r = a 2 + b 2 arctan b a für a > 0, b 0 ϕ =
16 G. Matthies Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen 15/25 Umrechnung zwischen den Darstellungsformen II tan ϕ = b a, r = a 2 + b 2 arctan b a für a > 0, b 0 π 2 für a = 0, b > 0 ϕ =
17 G. Matthies Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen 15/25 Umrechnung zwischen den Darstellungsformen II tan ϕ = b a, r = a 2 + b 2 arctan b a für a > 0, b 0 π 2 für a = 0, b > 0 ϕ = π + arctan b a für a < 0
18 G. Matthies Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen 15/25 Umrechnung zwischen den Darstellungsformen II tan ϕ = b a, r = a 2 + b 2 arctan b a für a > 0, b 0 2 für a = 0, b > 0 ϕ = π + arctan b a für a < 0 π 3 2 π für a = 0, b < 0
19 G. Matthies Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen 15/25 Umrechnung zwischen den Darstellungsformen II tan ϕ = b a, r = a 2 + b 2 arctan b a für a > 0, b 0 π 2 für a = 0, b > 0 ϕ = π + arctan b a für a < 0 3 2π für a = 0, b < 0 2π + arctan b a für a > 0, b < 0
20 G. Matthies Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen 16/25 Illustration von Multiplikation und Division Vermutung: Bei der Multiplikation werden Beträge multipliziert und Winkel addiert, bei der Division werden Beträge dividiert und die Winkel subtrahiert.
21 G. Matthies Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen 17/25 Komplexe Exponentialfunktion I Wert der Exponentialfunktion für komplexe Argumente erklären Taylor-Reihe der Exponentialfunktion T exp x k (x) = k! = 1 + x + x x 3 3! + + x n n! + k=0 Einsetzen von x = iϕ T exp (iϕ) = 1 + iϕ + (iϕ)2 2 + (iϕ)3 3! + + (iϕ)n n! + = 1 + iϕ ϕ2 2 i ϕ3 3! + ϕ4 4! + i ϕ5 5! + i n ϕn n! + ) ) = (1 ϕ2 2 + ϕ4 4! + i (ϕ ϕ3 3! + ϕ5 5! = T cos (ϕ) + it sin (ϕ) Idee: e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ
22 G. Matthies Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen 18/25 Komplexe Exponentialfunktion II Definition Sei z = a + bi eine komplexe Zahl. Dann legen wir e z := e a (cos b + i sin b) C als Wert der komplexen Exponentialfunktion an der Stelle z fest. Bemerkung Für reelle Zahlen stimmt der Wert der komplexen Exponentialfunktion mit dem der üblichen Exponentialfunktion überein, da für b = 0 der Klammerausdruck 1 wird. Satz Seien z, w zwei komplexe Zahlen. Dann gilt e z+w = e z e w, also das gleiche Gesetz wie bei reellen Exponenten.
23 G. Matthies Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen 19/25 Eigenschaften der komplexen Exponentialfunktion Für z = iϕ mit ϕ R erhalten wir und Weiterhin gilt e z = e iϕ = e 0 (cos ϕ + i sin ϕ) = cos ϕ + i sin ϕ e iϕ = cos 2 ϕ + sin 2 ϕ = 1. e i(ϕ+2πk) = cos(ϕ + 2πk) + i sin(ϕ + 2πk) = cos ϕ + i sin ϕ = e iϕ für alle k Z. Damit ist die komplexe Exponentialfunktion, im Gegensatz zur reellen Exponentialfunktion, nicht injektiv. Schönste Gleichung der Mathematik e iπ + 1 = 0
24 G. Matthies Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen 20/25 Exponentialform Satz Für alle ϕ R sind die Zusammenhänge erfüllt. Satz e iϕ = e iϕ, cosh(iϕ) = 1 2( e iϕ + e iϕ) = cos(ϕ), sinh(iϕ) = 1 2( e iϕ e iϕ) = i sin(ϕ), Jede komplexe Zahl z lässt sich in der Form z = r e iϕ mit r 0 und ϕ [0, 2π) darstellen, die als Exponentialform bezeichnet wird. Dabei sind r der Betrag von z und ϕ das Argument von z.
25 G. Matthies Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen 21/25 Multiplikation und Division Seien z 1 = r 1 e iϕ 1 und z 2 = r 2 e iϕ 2 zwei komplexe Zahlen in Exponentialform. Dann haben wir z 1 z 2 = r 1 e iϕ 1 r 2 e iϕ 2 = r 1 r 2 e i(ϕ 1+ϕ 2 ) und z 1 z 2 = r 1e iϕ1 r 2 e iϕ 2 = r 1 r 2 e i(ϕ 1 ϕ 2 ), d. h., bei Multiplikation (Division) werden die Beträge multipliziert (dividiert) und die Winkel addiert (subtrahiert). Weiterhin gilt z n = ( r e iϕ) n = r n e i nϕ für jede komplexe Zahl z = r e iϕ und n N 0.
26 G. Matthies Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen 22/25 Wurzeln komplexer Zahlen Satz Sei n eine natürliche Zahl. Dann hat die Gleichung w n = 1 genau n verschiedene komplexe Lösungen w k = e 2kπ n i, k = 0,..., n 1, die n-te Einheitswurzeln genannt werden. Insbesondere ist w 0 = 1. Satz Seien n eine natürliche Zahl und z = r e iϕ eine von 0 verschiedene komplexe Zahl, d. h. r 0. Dann hat die Gleichung w n = z genau n verschiedene komplexe Lösungen, die durch gegeben sind. w k = n r e ( ϕ n + 2kπ n )i, k = 0,..., n 1,
27 G. Matthies Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen 23/25 Illustration zu Einheitswurzeln Lösungen von w 6 = 1: sechste Einheitswurzeln Die Einheitswurzeln liegen in der Gaußschen Zahlenebene stets auf dem Kreis mit Radius 1 um den Ursprung.
28 G. Matthies Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen 24/25 Illustration zu Wurzeln Lösungen von w 4 = 64 = 64e iπ Die Wurzeln liegen in der Gaußschen Zahlenebene stets auf einem Kreis um den Ursprung.
29 G. Matthies Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen 25/25 Fundamentalsatz der Algebra Satz Seien n eine natürliche Zahl und p(z) = a 0 + a 1 z + a 2 z a n z n, a n 0, ein Polynom vom Grad n mit komplexen Koeffizienten a 0,..., a n. Dann gibt es n (nicht notwendig verschiedene) komplexe Zahlen z 1,..., z n C derart, dass p(z) = a n (z z 1 )(z z 2 ) (z z n ) für alle z C erfüllt ist. Damit sind z 1,..., z n die Nullstellen des Polynoms p. Beispiel: 2z 3 2z 2 + 8z 8 = 2(z 1)(z 2 + 4) = 2(z 1)(z 2i)(z + 2i)
Vorlesung. Komplexe Zahlen
Vorlesung Komplexe Zahlen Motivation Am Anfang der Entwicklung der komplexen Zahlen stand ein algebraisches Problem: die Bestimmung der Lösung der Gleichung x 2 + 1 = 0. 1 Mit der Lösung dieses Problems
Die Menge der reellen Zahlen vereinigt die Menge der rationalen Zahlen mit der Menge der irrationalen
9 Menge der natürlichen Zahlen Axiome von Peano: 1. 1 ist eine natürliche Zahl. 2. Jede Zahl a hat einen bestimmten Nachfolger a + in der Menge der natürlichen Zahlen.. Stets ist a + 1, d.h. es gibt keine
Zahlen und Gleichungen
Kapitel 2 Zahlen und Gleichungen 21 Reelle Zahlen Die Menge R der reellen Zahlen setzt sich zusammen aus den rationalen und den irrationalen Zahlen Die Mengen der natürlichen Zahlen N, der ganzen Zahlen
ax 2 + bx + c = 0, (4.1)
Kapitel 4 Komplexe Zahlen Wenn wir uns auf die reellen Zahlen beschränken, ist die Operation des Wurzelziehens (also die Umkehrung der Potenzierung) nicht immer möglich. Zum Beispiel können wir nicht die
Corinne Schenka Vorkurs Mathematik WiSe 2012/13. Die kleineren Zahlbereiche sind jeweils Teilmengen von größeren Zahlbereichen:
2. Zahlbereiche Besonderheiten und Rechengesetze Die kleineren Zahlbereiche sind jeweils Teilmengen von größeren Zahlbereichen: 2.1. Die natürlichen Zahlen * + besitzt abzählbar unendlich viele Elemente
Komplexe Zahlen. 1) Motivierende Aufgabe. 2) Historisches
Annelie Heuser, Jean-Luc Landvogt und Ditlef Meins im 1. Semester Komplexe Zahlen Will man nur addieren und subtrahieren, multiplizieren und dividieren, kommt man uneingeschränkt mit reellen Zahlen aus.
Zahlen und metrische Räume
Zahlen und metrische Räume Natürliche Zahlen : Die natürlichen Zahlen sind die grundlegendste Zahlenmenge, da man diese Menge für das einfache Zählen verwendet. N = {1, 2, 3, 4,...} Ganze Zahlen : Aus
3.1. Die komplexen Zahlen
3.1. Die komplexen Zahlen Es gibt viele Wege, um komplexe Zahlen einzuführen. Wir gehen hier den wohl einfachsten, indem wir C R als komplexe Zahlenebene und die Punkte dieser Ebene als komplexe Zahlen
10. Die komplexen Zahlen.
10-1 Funktionen 10 Die kompleen Zahlen Dies ist ein Thema, das unberechtigter Weise als schwer gilt! Die Konstruktion der kompleen Zahlen ist viel einfacher zu verstehen ist, als einige der bisherigen
Technische Universität München. Lösung Montag WS 2013/14. (Einheitskreis, ohne Rechnung ersichtlich) (Einheitskreis, ohne Rechnung ersichtlich)
Technische Universität München Andreas Wörfel Ferienkurs Analysis 1 für Physiker Lösung Montag WS 01/1 Aufgabe 1 Zum warm werden: Komplexe Zahlen - Lehrling Bestimmen Sie das komplex Konjugierte, den Betrag
Die komplexen Zahlen
Kapitel 9 Die komplexen Zahlen Der Körper der komplexen Zahlen Die Gauß sche Zahlenebene Algebraische Gleichungen Anwendungen Der Körper der komplexen Zahlen Die Definition der komplexen Zahlen Definition
Einführung Seite 28. Zahlenebene C. Vorlesung bzw. 24. Oktober 2013
Einführung Seite 8 Vorlesung 1 3. bzw. 4. Oktober 013 Komplexe Zahlen Seite 9 Lösung von x + 1 = 0, pq-formel liefert x 1/ = ± 1 ; }{{} verboten Definition Imaginäre Einheit i := 1 Dann x 1/ = ±i; i =
5. Komplexe Zahlen. 5.1 Was ist eine Zahl?
5. Komplexe Zahlen Komplexe Zahlen sind Zahlen der Form a + bi, wo a und b reelle Zahlen sind und i = 1 ist. Wurzeln aus negativen Zahlen gibt es nicht, wird man da antworten, und in der Tat gibt es keine
7. KOMPLEXE ZAHLEN. und die. KOMPLEXE e-funktion
7. KOMPLEXE ZAHLEN und die KOMPLEXE e-funktion 1 Wir gehen aus von der Ebene, versehen mit einem Koordinatensystem und x, y-koordinaten. Dann entsprechen Punkte z in der Ebene Zahlenpaaren: z = (x, y)
MSG Kurs 10. Klasse, 2011/2012
MSG Kurs 10. Klasse, 011/01 Holger Stephan, Berlin Weierstraß Institut für Angewandte Analysis und Stochastik Inhaltsverzeichnis 1 Komplexe Zahlen 3 1.1 Heuristische Herleitung I (Potenzreihen)......................
Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit. 1-E Ma 1 Lubov Vassilevskaya
Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit -E Ma Lubov Vassilevskaya Eindimensionaler Raum Abb. -: Zwei nicht gleiche Vektoren auf der gleichen Gerade Jeden Vektor, der auf einer Geraden liegt, kann man durch
Potenzen - Wurzeln - Logarithmen
Potenzen - Wurzeln - Logarithmen Anna Geyer 4. Oktober 2006 1 Potenzrechnung Potenz Produkt mehrerer gleicher Faktoren 1.1 Definition (Potenz): (i) a n : a... a, n N, a R a... Basis n... Exponent od. Hochzahl
Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2009/10
TU München Prof. Dr. P. Vogl, Dr. S. Schlicht Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2009/10 Vorlesung 1, Montag vormittag Vektoralgebra Ein Vektor lässt sich geometrisch als eine gerichtete Strecke darstellen,
Vorkurs Mathematik 1
Vorkurs Mathematik 1 Einführung in die mathematische Notation Konstanten i komplexe Einheit i 2 + 1 = 0 e Eulersche Zahl Kreiszahl 2 Einführung in die mathematische Notation Bezeichner Primzahlen, Zähler
Komplexe Zahlen und Wechselstromwiderstände
Komplexe Zahlen und Wechselstromwiderstände Axel Tobias 22.2.2000 Ein besonderer Dank geht an Ingo Treunowski, der die Übertragung meines Manuskriptes in L A TEX durchgeführt hat tob skript komplex.tex.
DHBW Karlsruhe, Vorlesung Programmieren, Klassen (2)
DHBW Karlsruhe, Vorlesung Programmieren, Klassen (2) Aufgabe 3 Bankkonto Schreiben Sie eine Klasse, die ein Bankkonto realisiert. Attribute für das Bankkonto sind der Name und Vorname des Kontoinhabers,
11.3 Komplexe Potenzreihen und weitere komplexe Funktionen
.3 Komplexe Potenzreihen und weitere komplexe Funktionen Definition.) komplexe Folgen: z n = x n + j. y n mit zwei reellen Folgen x n und y n.) Konvergenz: Eine komplexe Folge z n = x n + j. y n heißt
Vektoren und Matrizen
Vektoren und Matrizen Einführung: Wie wir gesehen haben, trägt der R 2, also die Menge aller Zahlenpaare, eine Körperstruktur mit der Multiplikation (a + bi(c + di ac bd + (ad + bci Man kann jedoch zeigen,
Surjektive, injektive und bijektive Funktionen.
Kapitel 1: Aussagen, Mengen, Funktionen Surjektive, injektive und bijektive Funktionen. Definition. Sei f : M N eine Funktion. Dann heißt f surjektiv, falls die Gleichung f(x) = y für jedes y N mindestens
4. QUADRATISCHE GLEICHUNGEN, GLEICHUNGEN HÖHEREN GRADES
4. QUADRATISCHE GLEICHUNGEN, GLEICHUNGEN HÖHEREN GRADES 4.1. Quadratische Gleichungen (a) Definition Beispiel: Das Produkt zweier aufeinanderfolgender gerader Zahlen beträgt 808. Wie lauten die beiden
x 2 + px + q = 0 ) x 1;2 = p 2 r p 2 2
Komplexe Zahlen Komplexe Zahlen treten in der Schule zum ersten Mal bei der Lösung von quadratischen Gleichungen auf. Wir nehmen die Gleichung x 2 + 6x + 25 als Beispiel. Diesen Gleichungstyp können wir
Mathematische Strukturen
Mathematische Strukturen Lineare Algebra I Kapitel 3 18. April 2012 Logistik Dozent: Olga Holtz, MA 378, Sprechstunden Freitag 14-16 Webseite: www.math.tu-berlin.de/ holtz Email: holtz@math.tu-berlin.de
Zuammenfassung: Reelle Funktionen
Zuammenfassung: Reelle Funktionen 1 Grundlegendes a) Zahlenmengen IN = {1; 2; 3; 4;...} Natürliche Zahlen IN 0 = IN {0} Natürliche Zahlen mit 0 ZZ = {... ; 2; 1; 0; 1; 2;...} Ganze Zahlen Q = { z z ZZ,
1 Vorlesungen: und Vektor Rechnung: 1.Teil
1 Vorlesungen: 4.10.005 und 31.10.005 Vektor Rechnung: 1.Teil Einige in der Physik auftretende Messgrößen sind durch eine einzige Zahl bestimmt: Temperatur T K Dichte kg/m 3 Leistung P Watt = J/s = kg
Komplexe Zahlen. Kapitel 1. 1.1 Definitionen 18.4.01
Kapitel Komplexe Zahlen Motivation: die Gleichung x = hat offensichtlich keine reellen Lösungen, da x 0 für jedes reelle x gilt Um auch diese Gleichung lösen zu können, muß man neue Zahlen einführen: die
Vektorgeometrie Layout: Tibor Stolz
Hanspeter Horlacher Vektorgeometrie Layout: Tibor Stolz 1. Einführung Eine Grösse, zu deren Festlegung ausser einer Zahl auch noch die Angabe einer Richtung nötig ist, heisst VEKTOR. P 2 P 1 P 1 P 2 P
Erster Zirkelbrief: Komplexe Zahlen
Matheschülerzirkel Universität Augsburg Schuljahr 04/05 Erster Zirkelbrief: Komplexe Zahlen Inhaltsverzeichnis Zahlenbereiche. Natürliche Zahlen................................. Ganze Zahlen...................................3
Ergänzung zu komplexe Zahlen
Juli 2015 Übersicht 1 Ortskurven 2 Wechselstromkreis mit ohmschem und kapazitivem Widerstand (Parallelschaltung) i(t) u(t) R C Bei festen Werten für den ohmschen Widerstand R und die Kapazität C ergibt
KOMPLEXE ZAHLEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME
KOMPLEXE ZHLEN UND LINERE GLEICHUNGSSYSTEME Vektoren Definition: Parallelverschiebung, Pfeil(e) mit Länge und Richtung. Darstellung Eigenschaften Komponenten Graphisch Länge, Betrag Zwischenwinkel Vektorarten
7.1 Imaginäre Zahlen. Für die imaginäre Einheit gilt: i 2 = 1 bzw. j 2 = 1 i = 1 j = 1 Alle Vielfachen von i bzw. j nennt man imaginäre Zahlen.
7 Komplexe Zahlen In vielen Sammlungen mathematischer Zitate findet man den Ausspruch des deutschen Mathematikers Leopold Kronecker: Die natürlichen Zahlen hat der liebe Gott geschaffen, alles andere ist
Aufgabensammlung Klasse 8
Aufgabensammlung Klasse 8 Inhaltsverzeichnis 1 Potenzen mit natürlichen Hochzahlen 3 1.1 Rechenregeln für das Rechnen mit Potenzen..................... 3 1.1.1 Addition und Subtraktion von Potenzen...................
3 Vektoren. 3.1 Kartesische Koordinaten in Ebene und Raum. Höhere Mathematik 60
Kartesische Koordinaten in Ebene und Raum 3 Vektoren 3.1 Kartesische Koordinaten in Ebene und Raum In der Ebene (mathematisch ist dies die Menge R 2 ) ist ein kartesisches Koordinatensystem festgelegt
Geometrie. 1 Vektorielle analytische Geometrie der Ebene, Kegelschnitte
Geometrie Geometrie W. Kuhlisch Brückenkurs 206. Vektorrechnung und analytische Geometrie der Ebene, Kegelschnitte 2. Vektorrechnung und analytische Geometrie des Raumes, Anwendungen in der Geometrie,
Die komplexen Zahlen. Kapitel 1. Kapitel Historisches
Die komplexen Zahlen 1.1 Historisches 1.2 Definition und Modelle komplexer Zahlen 1.3 Elementare Operationen und Regeln 1.4 Argument, geometrische Veranschaulichung 1.5 Wurzeln 1.6 Riemannsche Zahlenkugel
Komplexe Zahlen. Inhaltsverzeichnis. 1. Vorwort Historischer Rückblick 1
Komplexe Zahlen Kapitel Inhaltsverzeichnis Seite 1. Vorwort 1 2. Historischer Rückblick 1 3. Die Definition der komplexen Zahlen 2-3 3.1 Das Symbol i 2 3.2 Komplexe Zahlen 3 4. Darstellungsformen in der
gebrochene Zahl gekürzt mit 9 sind erweitert mit 8 sind
Vorbereitungsaufgaben Mathematik. Bruchrechnung.. Grundlagen: gebrochene Zahl gemeiner Bruch Zähler Nenner Dezimalbruch Ganze, Zehntel Hundertstel Tausendstel Kürzen: Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl
Algebra und Diskrete Mathematik, PS3. Sommersemester Prüfungsfragen
Algebra und Diskrete Mathematik, PS3 Sommersemester 2016 Prüfungsfragen Erläutern Sie die Sätze über die Division mit Rest für ganze Zahlen und für Polynome (mit Koeffizienten in einem Körper). Wodurch
Brückenkurs Mathematik
Brückenkurs Mathematik 6.10. - 17.10. Vorlesung 3 Geometrie Doris Bohnet Universität Hamburg - Department Mathematik Mi 8.10.2008 1 Geometrie des Dreiecks 2 Vektoren Länge eines Vektors Skalarprodukt Kreuzprodukt
1. Vereinfache wie im Beispiel: 3. Vereinfache wie im Beispiel: 4. Schreibe ohne Wurzel wie im Beispiel:
1. Zahlenmengen Wissensgrundlage Aufgabenbeispiele Gib die jeweils kleinstmögliche Zahlenmenge an, welche die Zahl enthält? R Q Q oder All diejenigen Zahlen, die sich nicht mehr durch Brüche darstellen
Übungsbuch Algebra für Dummies
...für Dummies Übungsbuch Algebra für Dummies von Mary Jane Sterling, Alfons Winkelmann 1. Auflage Wiley-VCH Weinheim 2012 Verlag C.H. Beck im Internet: www.beck.de ISBN 978 3 527 70800 0 Zu Leseprobe
Differenzengleichungen. und Polynome
Lineare Differenzengleichungen und Polynome Franz Pauer Institut für Mathematik, Universität Innsbruck Technikerstr. 13/7, A-600 Innsbruck, Österreich franz.pauer@uibk.ac.at 1 Einleitung Mit linearen Differenzengleichungen
Lineare Abhängigkeit
Lineare Abhängigkeit Vorbemerkung. Es sei X eine Menge. Eine Familie von Elementen von X ist eine Abbildung I X, i x i. I heißt dabei Indexmenge. Man verwendet dabei oft die Schreibweise (x i ) oder (x
Kapitel VI. Euklidische Geometrie
Kapitel VI. Euklidische Geometrie 1 Abstände und Lote Wiederholung aus Kapitel IV. Wir versehen R n mit dem Standard Skalarprodukt x 1 y 1.,. := x 1 y 1 +... + x n y n x n y n Es gilt für u, v, w R n und
00. Einiges zum Vektorraum R n
00. Einiges zum Vektorraum R n In diesem einleitenden Kapitel werden die in der LV Einführung in die mathematischen Methoden erwähnten Konzepte über Vektoren (im R 2 und R 3 ) im Rahmen des n-dimensionalen
Negative Zahlen. Lösung: Ordne in einen Zahlenstrahl ein! 7;5; 3; 6. Das Dezimalsystem
Negative Zahlen Negative Zahlen Ordne in einen Zahlenstrahl ein! 7;5; 3; 6 Das Dezimalsystem Zerlege in Stufen! Einer, Zehner, usw. a) 3.185.629 b) 24.045.376 c) 3.010.500.700 Das Dezimalsystem a) 3M 1HT
Kapitel 2 Algebra und Arithmetik. Inhalt
Kapitel 2 Algebra und Arithmetik Seite 1 Inhalt 2.1 Zahlbereiche N, Z, Q, R 2.2 Terme und (Un-) Gleichungen Lineare und quadratische Gleichungen, Nullstellen von Polynomen und gebrochenrationalen Funktionen,
3.1.3 Newtonsche Interpolationsformel / Dividierte Differenzen
KAPITEL 3 INTERPOLATION UND APPROXIMATION 4 33 Newtonsche Interpolationsformel / Dividierte Differenzen Das Verfahren von Neville ist unpraktisch, wenn man das Polynom selbst sucht oder das Polynom an
Die Gleichung A x = a hat für A 0 die eindeutig bestimmte Lösung. Für A=0 und a 0 existiert keine Lösung.
Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten Die Grundform der linearen Gleichung mit einer Unbekannten x lautet A x = a Dabei sind A, a reelle Zahlen. Die Gleichung lösen heißt, alle reellen Zahlen anzugeben,
Prof. Dr. G. Wagner Ingenieurmathematik Begleittext Seite 1
Prof. Dr. G. Wagner Ingenieurmathematik Begleittext Seite 1 Kapitel 3 Lineare Gleichungssysteme 3.1. Einleitung Beispiel 1 3 Kinder haben eingekauft. Franz hat 4 Lakritzen, 2 Schokoriegel und 5 Kaugummis
Mathematik II. D K, z P(z) Q(z), wobei D das Komplement der Nullstellen von Q ist, eine rationale Funktion.
rof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 200 Mathematik II Vorlesung 34 Wir erinnern an den Begriff einer rationalen Funktion. Definition 34.. Zu zwei olynomen,q K[X], Q 0, heißt die Funktion D K, z (z) Q(z),
Achsensymmetrie. Konstruktionen. Mathematik-Grundwissen Klassenstufe 7
Wissen Achsensymmetrie Beispiel Figuren die an einer Achse a gespiegelt werden nennt man achsensymmetrisch bezüglich a. Die Verbindungsstrecke zwischen zwei achsensymmetrischen Punkten wird durch die Achse
Propädeutikum Mathematik
Propädeutikum Mathematik Sommersemester 2016 Carsten Krupp BBA Seite 1 Literaturhinweise Cramer, E., Neslehova, J.: Vorkurs Mathematik, Springer, 2004 Piehler, Sippel, Pfeiffer: Mathematik zum Studieneinstieg,
Vorkurs Mathematik für Wirtschaftsingenieure und Wirtschaftsinformatiker
Vorkurs Mathematik für Wirtschaftsingenieure und Wirtschaftsinformatiker Übungsblatt Musterlösung Fachbereich Rechts- und Wirtschaftswissenschaften Wintersemester 06/7 Aufgabe (Definitionsbereiche) Bestimme
56 Kapitel 6 Reelle Funktionen. B) Quadratische Funktionen: Eine Funktion der Gestalt. f(x) := ax 2 + bx + c (mit a 0)
55 6 Reelle Funktionen 6.1 Beispiele von Funktionen A) Lineare Funktionen: Seien a, b R, a 0. Dann heißt die Funktion f : R R, die durch definiert wird, eine lineare Funktion. 1 f(x) := ax + b Lineare
Teil I.2 Lösen von Bestimmungsgleichungen
Brückenkurs Mathematik Teil I.2 Lösen von Bestimmungsgleichungen Staatliche Studienakademie Leipzig Studienrichtung Informatik Dr. Susanne Schneider 12. September 2011 Bestimmungsgleichungen 1 Reelle Zahlen
Grundwissen 10. Überblick: Gradmaß rπ Länge eines Bogens zum Mittelpunktswinkels α: b = α
Grundwissen 0. Berechnungen an Kreis und Kugel a) Bogenmaß Beispiel: Gegeben ist ein Winkel α=50 ; dann gilt: b = b = π 50 0,8766 r r 360 Die (reelle) Zahl ist geeignet, die Größe eines Winkels anzugeben.
Berliner Studienreihe zur Mathematik. herausgegeben von. R. Gorenno und H. Lenz Fachbereich Mathematik Freie Universität Berlin
Berliner Studienreihe zur Mathematik herausgegeben von R. Gorenno und H. Lenz Fachbereich Mathematik Freie Universität Berlin Heldermann Verlag Berlin V Inhaltsverzeichnis 1 Allgemeine Grundlagen 1.1 Übersicht
Mathematik 1, Teil B
FH Oldenburg/Ostfriesland/Wilhelmshaven Fachb. Technik, Abt. Elektrotechnik u. Informatik Prof. Dr. J. Wiebe www.et-inf.fho-emden.de/~wiebe Mathematik 1, Teil B Inhalt: 1.) Grundbegriffe der Mengenlehre
9.2 Invertierbare Matrizen
34 9.2 Invertierbare Matrizen Die Division ist als Umkehroperation der Multiplikation definiert. Das heisst, für reelle Zahlen a 0 und b gilt b = a genau dann, wenn a b =. Übertragen wir dies von den reellen
ALGEBRA UND MENGENLEHRE
ALGEBRA UND MENGENLEHRE EINE EINFÜHRUNG GRUNDLAGEN DER ALGEBRA 1 VARIABLE UND TERME In der Algebra werden für Grössen, mit welchen gerechnet wird, verallgemeinernd Buchstaben eingesetzt. Diese Platzhalter
Urs Wyder, 4057 Basel Funktionen. f x x x x 2
Urs Wyder, 4057 Basel Urs.Wyder@edubs.ch Funktionen f 3 ( ) = + f ( ) = sin(4 ) Inhaltsverzeichnis DEFINITION DES FUNKTIONSBEGRIFFS...3. NOTATION...3. STETIGKEIT...3.3 ABSCHNITTSWEISE DEFINIERTE FUNKTIONEN...4
1 Rechnen. Addition rationaler Zahlen gleicher Vorzeichen Summand + Summand = Summe
Rationale Zahlen Die ganzen Zahlen zusammen mit allen positiven und negativen Bruchzahlen heißen rationale Zahlen. Die Menge der rationalen Zahlen wird mit Q bezeichnet. Je weiter links eine Zahl auf dem
Grundrechnungsarten mit Dezimalzahlen
Grundrechnungsarten mit Dezimalzahlen Vorrangregeln Die Rechnungsarten zweiter Stufe haben Vorrang vor den Rechnungsarten erster Stufe. Man sagt: "Punktrechnung geht vor Strichrechnung" Treten in einer
Ausgewählte Themen der Algebra für LA
Ausgewählte Themen der Algebra für LA LVA 405.730 C. Fuchs Inhaltsübersicht 30.06.2016 Inhaltsübersicht Diese Lehrveranstaltung dient zur Stärkung der Ausbildung im Bereich Algebra im Lehramtsstudium UF
Lineare Algebra. Axiome der Linearen Algebra
Lineare Algebra Simon Fuhrmann Christian M. Meyer Axiome der Linearen Algebra Im Folgenden sei V ein beliebiger K-Vektorraum und P eine Punktmenge. V und P bilden einen affinen Raum. Seien außerdem U 1
Numerische Integration und Differentiation
Einführung Grundlagen Bemerkung (Numerische Mathematik) a) Im engeren Sinn: zahlenmäßige Auswertung mathematischer Zusammenhänge z B Lösung von linearen und nichtlinearen Gleichungssystemen Numerische
Lösungen zum 2. Aufgabenblatt
SS 2012, Lineare Algebra 1 Onlineversion, es werden keine Namen angezeigt. Hinweis: Eine Liste der zur Bearbeitung verwendeten Literatur ist unter www.mathematiwelt.com aufrufbar. Insgesamt 3255 Wörter
1.Weiterentwicklung der Zahlvorstellung 1.1.Bruchteile und Bruchzahlen
Grundwissen Mathematik 6.Klasse Gymnasium SOB.Weiterentwicklung der Zahlvorstellung..Bruchteile und Bruchzahlen 3 des Kreises ist rot, des Kreises ist blau gefärbt. Über dem Bruchstrich steht der Zähler,
1 Zahlentheorie. 1.1 Kongruenzen
3 Zahlentheorie. Kongruenzen Der letzte Abschnitt zeigte, daß es sinnvoll ist, mit großen Zahlen möglichst einfach rechnen zu können. Oft kommt es nicht darauf, an eine Zahl im Detail zu kennen, sondern
KAP II. VEKTOREN UND KOMPLEXE ZAHLEN. 1. Vektoren
-1- KAP II. VEKTOREN UND KOMPLEXE ZAHLEN 1. Vektoren (1.1) Grundbegriffe. Ein (dreidimensionaler) Vektor ist eine mathematische Größe, die aus einer Richtung im Raum und einer nichtnegativen reellen Zahl,
Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler
Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler Wintersemester 3/4 (.3.4). (a) Für z = + i und z = 3 4i berechne man z z und z z. Die Ergebnisse sind in kartesischer Form anzugeben.
Didaktik der Zahlbereiche 4. Die Menge der ganzen Zahlen. Mathematikunterricht in der Jahrgangsstufe 7. Zahlbereichserweiterungen in der Hauptschule
Zahlbereichserweiterungen in der Hauptschule Didaktik der Zahlbereiche 4 Dr. Christian Groß Lehrstuhl Didaktik der Mathematik Universität Augsburg Wintersemester 2006/07 Natürliche Zahlen, : Klasse 5 positive
entspricht der Länge des Vektorpfeils. Im R 2 : x =
Norm (oder Betrag) eines Vektors im R n entspricht der Länge des Vektorpfeils. ( ) Im R : x = x = x + x nach Pythagoras. Allgemein im R n : x x = x + x +... + x n. Beispiele ( ) =, ( 4 ) = 5, =, 4 = 0.
Mathe-Fit. als Grundlage für die Vorlesung von Johannes Hatzl. Wintersemester 2015/16
Mathe-Fit als Grundlage für die Vorlesung von Johannes Hatzl Wintersemester 05/6 Version vom. August 05 Inhaltsverzeichnis Mengenlehre 4. Grundbegriffe.......................................... 4. Mengenoperationen.......................................
Kern- und Schulcurriculum Mathematik Klasse 9/10. Stand Schuljahr 2009/10
Kern- und Schulcurriculum Mathematik /10 Stand Schuljahr 2009/10 Fett und kursiv dargestellte Einheiten gehören zum Schulcurriculum In allen Übungseinheiten kommt die Leitidee Vernetzung zum Tragen - Hilfsmittel
Grundwissen 5. Klasse
Grundwissen 5. Klasse 1/5 1. Zahlenmengen Grundwissen 5. Klasse Natürliche Zahlen ohne Null: N 1;2;3;4;5;... mit der Null: N 0 0;1;2;3;4;... Ganze Zahlen: Z... 3; 2; 1;0;1;2;3;.... 2. Die Rechenarten a)
5. Polynome und rationale Funktionen.
5-1 Funktionen 5 Polnome und rationale Funktionen Wir betrachten nun ganz allgemein Polnome, und gleich auch rationale Funktionen Wir sind bisher ganz bedächtig vorgegangen: die Abschnitte 2 und 3 waren
Analysis I. 11. Beispielklausur mit Lösungen
Fachbereich Mathematik/Informatik Prof. Dr. H. Brenner Analysis I 11. Beispielklausur mit en Aufgabe 1. Definiere die folgenden kursiv gedruckten) Begriffe. 1) Ein angeordneter Körper. ) Eine Folge in
Zusammenfassung der 3. Vorlesung
Zusammenfassung der 3. Vorlesung Nyquist-Verfahren Motivation Ein mathematisches Modell der Strecke ist nicht notwendig Aussagen über die Stabilität des geschlossenen Regelkreises anhand des Frequenzgangs
3.6 Drehungen in der Ebene
3.6-1 3.6 Drehungen in der Ebene 3.6.1 Die Drehmatrix Gelegentlich müssen wir die Lage eines Teilchens in einem ebenen Koordinatensystem beschreiben, das gegenüber einem festen System um φ gedreht ist.
Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 4
Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik (Elektrotechnik) Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt 4 Hausaufgaben Aufgabe 4. Gegeben sei die Funktion f : D R mit f(x) :=
GW Mathematik 5. Klasse
Begriffe zur Gliederung von Termen Term Rechenart a heißt b heißt a + b (Summe) Addition 1. Summand 2. Summand a b (Differenz) Subtraktion Minuend Subtrahend a b ( Produkt) Multiplikation 1. Faktor 2.
2. Die Satzgruppe des Pythagoras
Grundwissen Mathematik 9. Klasse Seite von 17 1.4 Rechnen mit reellen Zahlen a) Multiplizieren und Dividieren von reellen Zahlen + Es gilt: a b = a b mit ab R, 0 Beispiele: 18 = 36 = 6 14 14 7 = = a a
Technische Mathematik
Lehrplan Technische Mathematik Fachschule für Technik Fachrichtungsbezogener Lernbereich Ministerium für Bildung, Kultur und Wissenschaft Hohenzollernstraße 60, 66117 Saarbrücken Postfach 10 24 52, 66024
5. bis 10. Klasse. Schnell-Merk-System. Mathematik. Kompaktwissen Testfragen SMS. Mit Lernquiz fürs Handy
5. bis 10. Klasse SMS Schnell-Merk-System Mathematik Kompaktwissen Testfragen Mit Lernquiz fürs Handy 2 Zahlen und Rechnen Rechnen mit natürlichen Zahlen Multiplikation ist die mehrfache Addition gleicher
Vektoralgebra Anwendungen der Vektorrechnung VEKTORRECHNUNG. Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet. Hochschule Esslingen 1/64
1/64 VEKTORRECHNUNG Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Hochschule Esslingen März 2011 2/64 Overview Vektoralgebra 1 Vektoralgebra 2 Was sind Vektoren? 3/64 Vektoren werden geometrisch definiert als Pfeilklassen:
Mathematik für Anwender I. Beispielklausur I mit Lösungen
Fachbereich Mathematik/Informatik Prof. Dr. H. Brenner Mathematik für Anwender I Beispielklausur I mit en Dauer: Zwei volle Stunden + 10 Minuten Orientierung, in denen noch nicht geschrieben werden darf.
I. Symmetrie. II. Grundkonstruktionen
I. Symmetrie Achsensymmetrie Zwei Figuren, die bezüglich einer Achse symmetrisch zueinander sind, nennt man achsensymmetrisch. Punktsymmetrie Zwei Figuren, die bei einer Halbdrehung um einen Punkt ineinander
Reelle Zahlen. Mathematische Grundlagen Lernmodul 4. Stand: Oktober 2010
Mathematische Grundlagen Lernmodul 4 Reelle Zahlen Stand: Oktober 200 Autoren: Prof. Dr. Reinhold Hübl, Professor Fakultät für Technik, Wissenschaftliche Leitung ZeMath, E-Mail: huebl@dhbw-mannheim.de
Rationale Zahlen Kurzfragen. 26. Juni 2012
Rationale Zahlen Kurzfragen 26. Juni 2012 Rationale Zahlen Kurzfrage 1 Wann ist eine Operation (+,,,... ) in einer Menge M abgeschlossen? Rationale Zahlen Kurzfrage 1 Wann ist eine Operation (+,,,... )
u + v = v + u. u + (v + w) = (u + v) + w. 0 V + v = v + 0 V = v v + u = u + v = 0 V. t (u + v) = t u + t v, (t + s) u = t u + s u.
Universität Stuttgart Fachbereich Mathematik Prof. Dr. C. Hesse PD Dr. P. H. Lesky Dipl. Math. D. Zimmermann Msc. J. Köllner FAQ 3 Höhere Mathematik I 4..03 el, kyb, mecha, phys Vektorräume Vektorräume
Skript zur Analysis 1. Kapitel 3 Stetigkeit / Grenzwerte von Funktionen
Skript zur Analysis 1 Kapitel 3 Stetigkeit / Grenzwerte von Funktionen von Prof. Dr. J. Cleven Fachhochschule Dortmund Fachbereich Informatik Oktober 2003 2 Inhaltsverzeichnis 3 Stetigkeit und Grenzwerte
Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen
Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen Prof. Dr. Volker Schulz Universität Trier / FB IV / Abt. Mathematik 8. November 2010 http://www.mathematik.uni-trier.de/ schulz/elan-ws1011.html
Lösungen zum Aufgabenblatt 4:
Lösungen zum Aufgabenblatt 4: $XIJDE Berechnen Sie die Kapazität eines Plattenkondensators mit der Fläche A 1cm, einem Abstand zwischen den Platten von d 5mm und einem Isoliermaterial mit der Dielektrizitätszahl