Theoretische Physik II Elektrodynamik Blatt 2

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1 PDDr.S.Mertens M. Hummel Theoretsche Physk II Elektrodynamk Blatt 2 SS Rechnen mt Nabla. Zegen Se durch Auswertung n kartesschen Koordnaten de folgende Relaton und werten Se de anderen Relatonen analog dazu aus. 4Pkt. W = W W Φ W W Lösung: Das Kreuzprodukt kann we folgt geschreben werden: W = 3 k=1 3 l=1 ǫ kl k W l In kartesschen Komponenten erhalten wr dann: W =,j,k ǫjk j W k Analog berechnen wr: =,j,k ǫ jk Wk j +j W k = W W Φ = jk ǫ jk j Φ k = j,k ǫ jk Φ j k + k j Φ = Φ Φ In der folgenden Aufgabe verweden wr de Kontrakton zweer total antsymmetrschertensoren:ǫ jk ǫ klm = δ l δ jm δ m δ jl. W = j,k,l,m ǫ jk ǫ klm j W = j,k,l,m δl δ jm δ m δ jl Wm j l + l j W m = j Wj j + j W j W j j j j W = [ ] W W + W W Sete1von5

2 Theoretsche Physk II Elektrodynamk SS 29 De Auswertung von W erfolgt nach der Produktregel W = j [ ] j W j = j W j +Wj j j 2. De ektorfläche. Der ektor a = d f S wrd manchmal auch ektorfläche ener belebgen Oberfläche genannt. Man seht lecht, dass sen Betrag für ncht gekrümmte Flächen dem Flächennhalt entsprcht. a b c d Berechnen Se de ektorfläche ener Halbkugelschale ohne Boden. Zegen Se, dass a =, falls es sch um ene geschlossene Oberfläche handelt. Bewesen Se, dass a für alle Oberflächen mt glechem Rand S dentsch st. Zegen Se für das geschlossene Wegntegral über den Rand der Oberfläche a = 1 r d l. 2 S Hnwes: Zechnen Se enen Kegel vom Rand der Oberfläche zum Koordnatenursprung. Zerlegen Se dessen Oberfläche n nfntesmale Dreecke von der Sptze zum Rand und nutzen Se de Egenschaft des Kreuzproduktes. 1Pkt. 1Pkt. 1Pkt. 1Pkt. nsgesamt 4 Pkt. Lösung: a Der Flächennormalenvektor lautet d f =R 2 snϑ e r. Setzt man her de Transformatonsglechungen zwschen karthesschen und Kugelkoordnaten en, erhält man e r =snϑcosϕ e x +snϑsnϕ e y +cosϑ e z. Damt ergeben sch folgende Integrale: a x = 2π π 2 a y = 2π π 2 a z = 2π π 2 R 2 sn 2 ϑcosϕdϑdϕ R 2 sn 2 ϑsnϕdϑdϕ R 2 snϑcosϑdϑdϕ Sete2von5

3 Theoretsche Physk II Elektrodynamk SS 29 We man schnell durch Ausführen der Integraton über ϕ feststellt, verschwnden de ersten beden Integrale. Im drtten Integral kann man lecht de Integraton über ϑ ausführen, ndem man feststellt, dass der Integrand de Form fϑ f ϑ hat. Es ergbt sch a = πr 2 e z. b Wr betrachten den Gauß schen Integralsatz für das olumen und dessen geschlossene Oberfläche S. Fd = Fd f S Wählenwr F = cpmtenemkonstantenektor c,soergbtschmtderumformung cp =p c + c p = c p der Gaußsche Satz zu c pd = c S p d f. Damt erhalten wr pd = S p d f. Setzenwrhernunp=1sofolgtdeBehauptung. d = = S 1 d f = S d f = a. c Man stelle sch zwe ncht geschlossene Flächen mt demselben Rand vor. Nehmen wr an, de ektorflächen der beden Flächen wären verscheden. Setzen wr de beden Flächen zu ener geschlossenen Fläche zusammen, muss deren ektorfläche nachb glech Null sen. = d f = d f d f = a1 a 2 S S 1 S 2 Mt unserer Annahme, dass de beden Flächenvektoren verscheden snd, wäre deseglechungfalsch,worausfolgt,dassdeannahme a 1 = a 2 falschst. d Da nachc Flächen mt glechem Rand de gleche ektorfläche haben, können wr auch ene belebge Fläche wählen um de ektorfläche zu enem gegebenen Rand zu berechnen. Wr wählen nun enen Kegel, dessen Sptze m Nullpunkt legt und dessen Bodenfläche vom gegebenen Rand begrenzt wrd. Wr drücken Sete3von5

4 Theoretsche Physk II Elektrodynamk SS 29 nundenflächennormalenvektord fdurchdaskreuzproduktvon runddemtangentalvektord laus. d f = 1 2 r d l Dabe nutzen wr aus, dass der sch aus dem Kreuzprodukt ergebende ektor senkrecht auf den beden ektoren steht und sen Betrag glech dem Flächennhalt des von den beden ektoren aufgespannten Parallelogramms st. Integraton über den gesamten Rand lefert dann de ektorfläche. 3. Posson Glechung. Lösen Se de Glechung: 3Pkt. Φ r = ρ r r Φ r = σ r r S Randbedngung F r = r homogene Lösung Herbe st S de Oberfläche des olumens. Hnwes:FührenSeG =G +F,mtG-GreenscheFunktondesLaplaceoperatorsen. StellenSe Φ ralsintegralüberene δ-fktdar.nutzensedebezehung G r, r = δ r r.wendenseden2.greenschensatzanumzuenerintegraldarstellungvon Φzu gelangen. Lösung: Wr führen en Dann glt Ĝ =G +F Φ r = Φ r δ r r d = Φ r Ĝ r, r d 2.Green = Ĝ r, r Φ r d = Ĝ r, r ρ r = Ĝ r, r ρ r + [ Φ r Ĝ r, r Ĝ r, r Φ ] d f S + [ Φ r Ĝ r, r Ĝ r, r Φ ] d f S + σ r Ĝ r, r d f S F st ncht endeutg festgelegt und kann somt so gewählt werden, dass de GreensfunktonaufdemRandverschwndet:Ĝ r, r =für r S,womtdashntereIn- Sete4von5

5 Theoretsche Physk II Elektrodynamk SS 29 tegral Null wrdletzter Umformungsschrtt und Φ r durch ene Integraldarstellung bestmmt st. Auf desem Übungsblatt snd maxmal 11 Punkte zu errechen, Abgabe der ersten beden Aufgabenerfolgtam Sete5von5