Übungsblatt 1 zum Propädeutikum
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- Leon Otto
- vor 6 Jahren
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1 Übungsblatt 1 zum Propädeutikum 1. Gegeben seien die Mengen A = {,, 6, 7}, B = {,, 6} und C = {,,, 1}. Bilden Sie die Mengen A B, A C, (A B) C, (A C) B und geben Sie diese in aufzählender Form an.. Geben Sie alle Teilmengen der Menge {rot, gelb, blau} in aufzählender Form an. Wieviel Teilmengen sind es?. Wieviele Teilmengen hat eine n-elementige Menge? (Begründung?). Durch welche charakterisierende Eigenschaften kann die Menge {,, 6, 8, 10, 1,...} beschrieben werden?. Gegeben sei die Menge M = { - < < }. Beschreiben Sie die Menge M in aufzählender Form in der Grundmenge der natürlichen Zahlen in der Grundmenge der ganzen Zahlen. 6. Welche Beziehung besteht zwischen den Mengen aus Aufgabe und? 7. Geben Sie die Menge der Buchstaben des Wortes Mengenlehre in aufzählender Form an. 8. Für eine natürliche Zahl n bezeichne T n die Menge aller natürlichen Zahlen, die n ohne Rest teilen. So ist beispielsweise T 1 = {1,,,, 6, 1}. Beschreiben Sie die Mengen T 0, T 0, T 0 T 0, und T 0 T 0 durch Aufzählung ihrer Elemente. Gibt es natürliche Zahlen a, b mit T a = T 0 T 0 bzw. T b = T 0 T 0, wenn ja, welche? 9. Multiplizieren Sie folgende Klammern aus (ab- -(-yz) ( a ( ( a (10 a 10. Verwandeln Sie in ein Produkt a b 6 ac bc ad bd 10u 6w 1yu 9yw u( y) y 11. Vereinfachen Sie -(-(8-7(-))-9) [y ( 6y) 7] 6y
2 Übungsblatt zum Propädeutikum 1. Kürzen Sie die folgenden Brüche a ay au av 6bu 8bv e) av au bv 6bu. Berechnen Sie ( ) 6 6 b a 7 1 e) Vereinfachen Sie ( a 6b 9by b c ) a b 8c a a. Stellen Sie die folgenden Brüche als Dezimalzahlen dar: 7 11 ; ; 1 8. Berechnen Sie k (k 1) k = 0 6 k = 1 i i 1 i= Schreiben Sie unter Verwendung des Summenzeichens Berechnen Sie 9 k k 1 ( 1) (k 1) k k = 0 k =
3 Übungsblatt zum Propädeutikum 1. Vereinfachen Sie n m m m ( ) n n n m ( c ) b ( ) a c 1. Berechnen Sie (ohne Taschenrechner) = 8. Vereinfachen Sie a 1 a 1 n 1 n b a a a n ab. Erweitern Sie den Bruch so, daß der Nenner ganzzahlig wird 1 6 a 1 a. Lösen Sie die Klammern auf ( a ( b a ) ( a ( a b ) 6. Berechnen Sie ohne Taschenrechner folgende Logarithmen log log 08 ln( e e) 7. Schreiben Sie als Summen von Produkten a b a 1 ln( ) ln( ) c 1 a 8. Fassen Sie zu einem einzigen Logarithmus zusammen 1 ln u ln v ln ln y ln z
4 Übungsblatt zum Propädeutikum Für alle Aufgaben seien die reellen Zahlen die Grundmenge. 1. Berechnen Sie aus 1 = 1 0,7 1/ = / 0, ( ) ( - ) = ( ) 9. Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichungen 1 9 = 0 1 = = 0. Stellen Sie die folgenden Terme als Produkt von Linearfaktoren dar Lösen Sie 1 = = 7 1 = Bestimmen Sie die Lösungsmengen der folgenden Gleichungen 8 7 = 1 6 = = = ( ) ( ) 6. Bestimmen Sie die Lösungen der folgenden Gleichung mit Hilfe der Polynomdivision = 0 7. Die Gleichung = 0 hat die Lösungen 1 = und =. Berechnen Sie alle Lösungen der Gleichung.
5 Übungsblatt zum Propädeutikum 1. Lösen Sie die folgenden Gleichungen (Grundmenge reelle Zahlen) 1 = 7 1 a = b ln = ln. Eine Firma produziert ein Gut und benötigt für die pro Tag herzustellende Menge Maschinen, die dafür rund um die Uhr laufen müssen. Wieviele Maschinen werden für die Herstellung der Tagesmenge benötigt, wenn die Betriebszeit der Maschinen auf 7 bis 1 Uhr eingeschränkt wird?. Der Kurs einer Aktie steigt von 70 Euro auf 100 Euro. Wieviel Prozent Kurssteigerung entspricht dies?. Eine Kapitalanlage von 000 Euro wird drei Jahre lang mit % pro Jahr verzinst (die Zinserträge werden nicht ausgezahlt, sondern wieder angelegt). Wie hoch ist der Endbetrag des Kapitals nach Jahren?. Ein Mann benötigt für das Umgraben seines Gartens Stunden. Seine Frau braucht für die gleiche Arbeit Stunden. Wie lange benötigen sie, wenn sie zusammen arbeiten?
6 Übungsblatt 6 zum Propädeutikum Grundmenge für die folgenden Aufgaben sind die reellen Zahlen. 1. Bestimmen Sie die Lösungsmengen der folgenden Ungleichungen 1 < 1 < 1. Bestimmen Sie die Lösungsmengen der folgenden Ungleichungen , > 0 e) 0 f), > 0 g) Lösen Sie die folgenden linearen Gleichungssysteme mit einer geeigneten Methode y = 8 6y = 6y = 8 y = 10 7,y = 8 7,y = 10 y = y =. Lösen Sie die folgenden Gleichungssysteme und geben Sie die Lösungsmenge an y = 0 y = = 0 10y = 0 y 1 = 0 y y = 0 y y = y = 0
7 Übungsblatt 7 zum Propädeutikum 1. Stellen Sie die Gleichung der Geraden durch die Punkte P und Q auf P(1,); Q(-,) P(,); Q(-,). Zeichnen Sie die Geraden g und h in ein Koordinatensystem. Rechnen Sie den Schnittpunkt durch Lösen des linearen Gleichungssystems aus g: y = - 1 h: y = g: y = 0, h: y = 0,. Wie lautet die Gleichung der Geraden, die auf der Geraden g: y = - 1 senkrecht steht und durch den Punkt P(,) geht.. Berechnen Sie die Länge der Hypothenuse und den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten a und b. a = cm; b = 8 cm a = cm; b = cm. Berechnen Sie die Höhe und den Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge a. 6. Berechnen Sie die Länge der Raumdiagonalen eines Würfels mit der Kantenlänge a. 7. Um die Erdkugel werde am Äquator ein Seil, das m länger als der Erdumfang ist, aufgespannt und zwar so, daß alle Punkte des Seils den gleichen Abstand von der Erdoberfläche haben. Berechnen Sie diesen Abstand für den Idealfall, das die Erde eine Kugel ist. Wie ändert sich das Ergebnis, wenn Sie statt der Erde einen Ball mit Radius 0cm nehmen. Hinweis: Bezeichnen Sie den Radius der Erdkugel mit R, den gesuchten Abstand mit h und fertigen Sie eine Skizze an. 8. Geben Sie folgende Winkel (in Gra in Bogenmaß an
Übungsblatt 1 zum Propädeutikum
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