Edgar Neuherz Michael Wanz MATHEMATIK. Aufgabensammlung mit vollständigen Lösungen INFORMATIONEN. Reifeprüfungstermine, Kompetenzkatalog

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1 Edgar Neuherz Michael Wanz MATHEMATIK Aufgabensammlung mit vollständigen Lösungen INFORMATIONEN Reifeprüfungstermine, Kompetenzkatalog

2 INFORMATIONEN Reifeprüfungstermine, Kompetenzkatalog Schuljahr 2017/ Verantwortlich für den Inhalt:: Dipl.-Ing. Edgar Neuherz, Graz

3 Inhaltsverzeichnis 1 Übersicht Grundkompetenzen (GK) Algebra und Geometrie (AG) Analysis (AN) Funktionale Abhängigkeiten (FA) Wahrscheinlichkeit und Statistik (WS Termine Schuljahr 2017/

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5 Das Halbverstandene und Halberfahrene ist nicht die Vorstufe der Bildung, sondern ihr Todfeind. Theodor W. Adorno, Übersicht Grundkompetenzen (GK) 7 7

6 1.1 Algebra und Geometrie (AG) AG 1 AG 1.1 AG 1.2 Grundbegriffe der Algebra Wissen über die Zahlenmengen N, Z, Q, R, C verständig einsetzen können Wissen über algebraische Begriffe angemessen einsetzen können: Variablen, Terme, Formeln, (Un)Gleichungen, Gleichungssysteme, Äquivalenz, Umformungen, Lösbarkeit AG 2 AG 2.1 AG 2.2 AG 2.3 AG 2.4 AG 2.5 (Un)Gleichungen und Gleichungssysteme einfache Terme und Formeln aufstellen, umformen und im Kontext deuten können lineare Gleichungen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen und die Lösung im Kontext deuten können quadratische Gleichungen in einer Variablen umformen/lösen, über Lösungsfälle Bescheid wissen, Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) deuten können lineare Ungleichungen aufstellen interpretieren, umformen/lösen, Lösungen (auch geometrisch) deuten können lineare Gleichungssysteme in zwei Variablen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen, über Lösungsfälle Bescheid wissen, Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) deuten können AG 3 AG 3.1 AG 3.2 AG 3.3 AG 3.4 AG 3.5 Vektoren Vektoren als Zahlentupel verständig einsetzen und im Kontext deuten können Vektoren geometrisch (als Punkte bzw. Pfeile) deuten und verständig einsetzen können Definition der Rechenoperationen mit Vektoren (Addition, Multiplikation mit einem Skalar, Skalarmultiplikation) kennen, Rechenoperationen verständig einsetzen und (auch geometrisch) deuten können Geraden durch (Parameter-)Gleichungen in R 2 und R 3 angeben können; Geradengleichungen interpretieren können; Lagebeziehungen (zwischen Geraden und zwischen Punkt und Gerade) analysieren können Normalvektoren in R 2 aufstellen, verständig einsetzen und interpretieren können AG 4 AG 4.1 Trigonometrie Definition von Sinus, Cosinus und Tangens im rechtwinkeligen Dreieck kennen und zur Auflösung rechtwinkeliger Dreiecke einsetzen können AG 4.2 Definitionen von Sinus und Cosinus für Winkel größer als 90 kennen und einsetzen können 1.2 Analysis (AN) AN 1 AN 1.1 Änderungsmaße absolute und relative (prozentuelle) Änderungsmaße unterscheiden und angemessen verwenden können AN 1.2 AN 1.3 AN 1.4 den Zusammenhang zwischen Differenzenquotient - Differenzialquotient auf der Grundlage eines intuitiven Grenzwertbegriffes kennen und damit (verbal sowie in formaler Schreibweise) auch kontextbezogen anwenden können den Differenzen- und Differenzialquotienten in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch den Differenzen- bzw. Differenzialquotienten beschreiben können das systemdynamische Verhalten von Größen durch Differenzengleichungen beschreiben bzw. diese im Kontext deuten können AN 2 AN 2.1 Regeln für das Differenzieren einfache Regeln des Differenzierens kennen und anwenden können: Potenzregel, Regeln für [k f (x)] 0 und [f (k x)] 0 (vgl. Inhaltsbereich Funktionale Abhängigkeiten AN 3 Ableitungsfunktion/Stammfunktion AN 3.1 AN 3.2 AN 3.3 den Begriff Ableitungsfunktion/Stammfunktion kennen und zur Beschreibung von Funktionen einsetzen können den Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitungsfunktion (bzw. Funktion und Stammfunktion) in deren grafischer Darstellung (er)kennen und beschreiben können Eigenschaften von Funktionen mithilfe der Ableitung(sfunktion) beschreiben können: Monotonie, lokale Exytrema, Links- und Rechtskrümmung, Wendestellen 8

7 AN 4 Summation und Integral AN 4.1 AN 4.2 den Begriff des bestimmten Integrals als Grenzwert einer Summe von Produkten deuten und beschreiben können einfache Regeln des Integrierens kennen und anwenden können: Potenzregel, Summenregel, k f (x)dx, f (k x)dx (vgl. Inhaltsbereich Funktionale Abhängigkeiten), bestimmte Integrale von Polynomfunktionen ermitteln können AN 4.3 das bestimmte Integral in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch Integrale beschreiben können 1.3 Funktionale Abhängigkeiten (FA) FA 1 FA 1.1 FA 1.2 FA 1.3 Funktionsbegriff, reelle Funktionen, Darstellungsformen und Eigenschaften für gegebene Zusammenhänge entscheiden können, ob man sie als Funktionen betrachten kann Formeln als Darstellung von Funktionen interpretieren und dem Funktionstyp zuordnen können zwischen tabellarischer und grafischer Darstellung funktionaler Zusammenhänge wechseln können FA 1.4 aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Funktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können FA 1.5 FA 1.6 FA 1.7 FA 1.8 FA 1.9 Eigenschaften von Funktionen erkennen, benennen, im Kontext deuten und zum Erstellen von Funktionsgraphen einsetzen können: Monotonie, Monotoniewechsel (lokale Extrema), Wendepunkte, Periodizität, Achsensymmetrie, asymptotisches Verhalten, Schnittpunkte mit den Achsen Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen grafisch und rechnerisch ermitteln und im Kontext interpretieren können Funktionen als mathematische Modelle verstehen und damit verständig arbeiten können durch Gleichungen (Formeln) gegebene Funktionen mit mehreren Veränderlichen im Kontext deuten können, Funktionswerte ermitteln können einen Überblick über die wichtigsten (unten angeführten) Typen mathematischer Funktionen geben, ihre Eigenschaften vergleichen können FA 2 FA 2.1 FA 2.2 FA 2.3 FA 2.4 FA 2.5 FA 2.6 Lineare Funktion f (x) =k x + d verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene lineare Zusammenhänge als lineare Funktionen erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können aus Tabellen, Graphen und Gleichungen linearer Funktionen Werte(paare) sowie die Parameter k und d ermitteln und im Kontext deuten können die Wirkung der Parameter k und d kennen und die Parameter in unterschiedlichen Kontexten deuten können charakteristische Eigenschaften kennen und im Kontext deuten können: f (x +1)=f (x)+1; f (x 2 ) f (x 1 ) x 2 x 1 = k = f 0 (x) die Angemessenheit eier Beschreibung mittels linearer Funktion bewerten können direkte Proportionalität als lineare Funktion vom Typ f (x) =k x beschreiben können FA 3 Potenzfunktion mit f (x) =a x z,z 2 Z oder mit fix)=x b FA 3.1 FA 3.2 FA 3.3 FA 3.4 verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene Zusammenhänge dieser Art als entsprechende Potenzfunktionen erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Potenzfunktionen Werte(paare) sowie die Parameter a und b ermitteln und im Kontext deuten können die Wirkung der Parameter a und b kennen un die Parameter im Kontext deuten können indirekte Proportionalität als Potenzfunktion vom Typ f (x) = a x bzw. f (x) =a x 1 beschreiben können 9

8 nÿ FA 4 Polynomfunktion f (x) = a i x i mit n 2 N i=0 FA 4.1 FA 4.2 FA 4.3 FA 4.4 typische Verläufe von Graphen in Abhängigkeit vom Grad der Polynomfunktionen (er)kennen zwischen tabellarischen und grafischen Darstellungen von Zusammenhängen dieer Art wechseln können aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Polynomfunktionen Funktionswerte, aus Tabellen und Graphen sowie aus einer quadratischen Funktionsgleichung Argumentwerte ermittlen können den Zusammenhang zwischen dem Grad der Polynomfunktion und der Anzahl der Null-, Extrem- und Wendestellen wissen FA 5 Exponentialfunktion f (x) =a b x bzw. f (x) =a e x mit a, b 2 R +, 2 R FA 5.1 FA 5.2 FA 5.3 FA 5.4 FA 5.5 FA 5.6 verbal, tabellarisch, grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene exponentielle Zusammenhänge als Exponentialfunktion erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können aus Tabellen, Graphen und Gleichungen von Exponentialfunktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können die Wirkung der Parameter a und b (bzw. e) kennen und die Parameter in unterschiedlichen Kontexten deuten können charakteristische Eigenschaften (f (x +1)=b f (x); [e x ] 0 = e x )kennenundimkontextdeutenkönnen die Begriffe Halbwertszeit und Verdoppelungszeit kennen, die entsprechenden Werte berechnen und im Kontext deuten können die Angemessenheit einer Beschreibung mittels Exponentialfunktion bewerten können FA 6 FA 6.1 FA 6.2 FA 6.3 FA 6.4 FA 6.5 Sinusfunktion, Cosinusfunktion grafisch oder durch eine Gleichung (Formel) gegebene Zusammenhänge der Art f (x) =a sin (b x) als allgemeine Sinusfunktion erkennen bzw. betrachten können; zwischen diesen Darstellungsformen wechseln können aus Graphen und Gleichungen von allgemeinen Sinusfunktionen Werte(paare) ermitteln und im Kontext deuten können die Wirkung der Parameter a und b kennen und die Parameter im Kontext deuten können Periodizität als charakteristische Eigenschaft kennen und im Kontext deuten können 1 2 wissen, dass cos(x) =sin x + 2 FA 6.6 wissen, dass gilt: [sin(x)] 0 =cos(x), [cos(x)] 0 = sin(x) 1.4 Wahrscheinlichkeit und Statistik (WS WS 1 WS 1.1 WS 1.2 WS 1.3 WS 1.4 Beschreibende Statistik Werte aus tabellarischen und elementaren grafischen Darstellungen ablesen (bzw. zusammengesetzte Werte ermitteln) und im jeweiligen Kontext angemessen interpretieren können Tabellen und einfache statistische Grafiken erstellen, zwischen Darstellungsformen wechseln können statistische Kennzahlen (absolute und relative Häufigkeiten; arithmetisches Mittel, Median, Modus, Quartile, Spannweite, empirische Varianz/Standardabweichung) im jeweiligen Kontext interpretieren können; die angeführten Kennzahlen für einfache Datensätze ermitteln können Definition und wichtige Eigenschaften des arithmetischen Mittels und des Medians angeben und nutzen, Quartile ermitteln und interpretieren können, die Entscheidung für die Verwendung einer bestimmten Kennzahl begründen können WS 2 WS 2.1 WS 2.2 WS 2.3 WS 2.4 Wahrscheinlichkeitsrechnung Grundraum und Ereignisse in angemessenen Situationen verbal bzw. formal angeben können relative Häufigkeit als Schätzwert von Wahrscheinlichkeit verwenden und anwenden können Wahrscheinlichkeit unter der Verwendung der Laplace-Annahme (Laplace-Wahrscheinlichkeit) berechnen und interpretieren können, Additionsregel und Multiplikationsregel anwenden und interpretieren können Binomialkoeffizient berechnen und interpretieren können 10

9 WS 3 Wahrscheinlichkeitsverteilung(en) WS 3.1 WS 3.2 WS 3.3 WS 3.4 die Begriffe Zufallsvariable, (Wahrscheinlichkeits-)Verteilung, Erwartungswert und Standardabweichung verständig deuten und einsetzen können Binomialverteilung als Modell einer diskreten Verteilung kennen - Erwartungswerte sowie Varianz/Standardabweichung binomialverteilter Zufallsgrößen angeben können, Arbeiten mit der Binomialverteilung in anwendungsorientierten Bereichen Situationen erkennen und beschreiben können, in denen mit Binomialverteilung modelliert werden kann Normalapproximation der Binomialverteilung interpretieren und anwenden können WS 4 Schließende/Beurteilende Statistik WS 4.1 Konfidenzintervalle als Schätzung für eine Wahrscheinlichkeit oder einen unbekannten Anteil p interpretieren (frequentistische Deutung) und verwenden können, Berechnungen auf Basis der Binomialverteilung oder einer durch die Normalverteilung approximierten Binomialverteilung durchführen können 11

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11 2 Termine 13 13

12 2.1 Schuljahr 2017/18 Prüfungstermin 1 (Haupttermine) Do: 03. Mai 2018 Deutsch (AHS/BHS) Mo: 07. Mai 2018 Kroatisch, Ungarisch, Slowenisch (AHS/BHS) als Unterrichtssprache Mo: 07. Mai 2018 Spanisch (AHS/BHS) Di: 08. Mai 2018 Englisch (AHS/BHS) Mi: 09. Mai 2018 (Angewandte) Mathematik (AHS/BHS) Di: 15. Mai 2018 Latein (AHS/BHS) Di: 15. Mai 2018 Griechisch (AHS/BHS) Mi: 16. Mai 2018 Französisch (AHS/BHS) Do: 17. Mai 2018 Italienisch (AHS/BHS) Fr: 05. Okt 2018 Kompensationsprüfungen (AHS/BHS) Prüfungstermin 2 (Herbsttermin) Do: 13. Sep 2018 Französisch (AHS/BHS) Fr: 14. Sep 2018 Deutsch (AHS/BHS) Mo: 17. Sep 2018 Kroatisch, Ungarisch, Slowenisch (AHS/BHS) als Unterrichtssprache Mo: 17. Sep 2018 Spanisch (AHS/BHS) Di: 18. Sep 2018 Englisch (AHS/BHS) Do: 20. Sep 2018 (Angewandte) Mathematik (AHS/BHS) Mi: 26. Sep 2018 Italienisch (AHS/BHS) Fr: 28. Sep 2018 Latein (AHS/BHS) Fr: 28. Sep 2018 Griechisch (AHS/BHS) Fr: 12. Okt 2018 Kompensationsprüfungen (AHS/BHS) Prüfungstermin 3 (Wintertermin) Mi: 09. Jan 2019 Deutsch (AHS/BHS) Do: 10. Jan 2019 Englisch (AHS/BHS) Fr: 11. Jan 2019 Kroatisch, Ungarisch, Slowenisch (AHS/BHS) als Unterrichtssprache Fr: 11. Jan 2019 Spanisch (AHS/BHS) Mo: 14. Jan 2019 Französisch (AHS/BHS) Di: 15. Jan 2019 (Angewandte) Mathematik (AHS/BHS) Mi: 16. Jan 2019 Italienisch (AHS/BHS) Do: 17. Jan 2019 Latein (AHS/BHS) Do: 17. Jan 2019 Griechisch (AHS/BHS) Do: 31. Jan 2019 Kompensationsprüfungen (AHS/BHS) 14