DHBW Karlsruhe, Vorlesung Programmieren, Klassen (2)

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "DHBW Karlsruhe, Vorlesung Programmieren, Klassen (2)"

Transkript

1 DHBW Karlsruhe, Vorlesung Programmieren, Klassen (2) Aufgabe 3 Bankkonto Schreiben Sie eine Klasse, die ein Bankkonto realisiert. Attribute für das Bankkonto sind der Name und Vorname des Kontoinhabers, der Kontostand sowie ein Limit, bis zu dem das Konto überzogen werden darf. a) Erstellen Sie einen oder mehrere geeignete Konstruktoren! b) Erstellen Sie Instanzenmethoden für folgende Operationen: Stringdarstellung des Bankkontos Einzahlung Auszahlung Abfrage des Kontostandes

2 Aufgabe 4 Polynome Schreiben Sie eine Klasse, die Polynome 2. Grades repräsentiert. Ein Polynom dieser Klasse hat allgemein das folgende Aussehen: ax 2 bx c a) Erstellen Sie einen oder mehrere geeignete Konstruktoren zur Instanziierung von Polynomen 2. Grades. b) Erstellen Sie Instanzenmethoden für folgende Operationen: Stringdarstellung eines Polynoms (z.b. 1.0x^ x ) Berechnen des Funktionswertes f(x) eines Polynoms. Addition/Subtraktion zweier Polynome. Das Ergebnis ist ein neues Polynom. Multiplikation mit einem Skalar. Das Ergebnis ist ein neues Polynom. Berechnung der Nullstellen des Polynoms. Testen Sie Ihre Klasse mit einer main-methode oder mit einer anderen Klasse.

3 Aufgabe 5 Komplexe Zahlen Eine komplexe Zahl ist durch einen Realteil a und Imaginärteil b gegeben. Komplexe Zahlen werden meist in der Form a+bi angegeben. i ist eine imaginäre Zahl mit i 2 = -1. Mit komplexen Zahlen lassen sich zum Beispiel für alle reellwertigen Polynome Nullstellen finden. So sind i (also 0+1i) und -i (also 0+( 1)i) Nullstellen von x Das Symbol + verhält sich wie eine normale Addition. Zwei komplexe Zahlen a+bi und c+di werden wie folgt addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert: Addition: (a + bi) + (c + di) = a+c + (b+d)i Subtraktion: (a + bi) (c + di) = a c + (b d)i Multiplikation: (a + bi) * (c + di) = ac bd + (ad + bc)i a bi ( a bi)( c di) ac bd bc ad Division: i c di ( c di)( c di) c d c d Implementieren Sie eine Klasse Complex für komplexe Zahlen mit den Instanzenmethoden getrealteil() getimaginaerteil() add(complex zahl) sub(complex zahl) mult(complex zahl) div(complex zahl) tostring() sowie dem Konstruktor Complex(double real, double imag) Wählen Sie jeweils geeignete Rückgabewerte! Die komplexen Zahlen C sind im Gegensatz zu den reellen Zahlen kein geordneter Körper, d. h. es gibt keine mit der Körperstruktur verträgliche Ordnungsrelation auf C. Von zwei unterschiedlichen komplexen Zahlen kann man daher nicht sagen, welche von beiden die größere bzw. die kleinere Zahl ist. Dennoch gibt es für die komplexen Zahlen eine Quasi-Ordnung, die über ihren (reellen) Betrag a bi 2 2 ( a bi)( a bi) a b definiert ist. Implementieren Sie zunächst eine Methode getbetrag(), welche den Betrag einer komplexen Zahl liefert und anschließend eine Methode kleiner(complex zahl), die als Ergebnis einen booleschen Wert liefert, der genau dann true ist, wenn der Betrag der übergebene Zahl zahl größer oder gleich dem Betrag der komplexen Zahl ist, für welche die Methode aufgerufen wurde. Erzeugen Sie 10 zufällige komplexe Zahlen und geben Sie diese aufsteigend nach ihrem Betrag sortiert aus. Passen Sie zum Beispiel den BubbleSort-Algorithmus (vgl. Übungsblatt Arrays(2), Aufgabe 3) entsprechend an. Sehen die Zahlen nun sortiert aus?

4 Aufgabe 6 Horner-Schema Das Horner-Schema (nach William George Horner) ist ein Umformungsverfahren für Polynome, um die Berechnung von Funktionswerten so einfach wie möglich zu machen. Bei Polynomen in einer Variablen x erfordert das Auswerten an einer Stelle x = a in der klassischen Form die Berechnung der Potenzen a k. Die Umformung des Polynoms nach dem Horner-Schema beschleunigt die Berechnung, indem überflüssige Berechnungen bei den Potenzen vermieden werden. Erfolgt die Auswertung durch Gleitkommaoperationen, so wird darüber hinaus auch der Rechenfehler geringer gehalten. Durch fortgesetztes Ausklammern der freien Polynomvariablen x wird das Polynom als Schachtelung von Produkten und Summen dargestellt. In der umgewandelten Darstellung kommt keine Potenzfunktion, sondern nur noch Multiplikation und Addition vor. Beispiel: Zur Illustration an einem Beispiel sortieren wir die Terme des Polynoms nach aufsteigenden Potenzen; das Ausklammern zur Überführung in das Horner-Schema arbeitet die Terme dann von rechts nach links ab: Die Beschleunigung der Auswertung an einer Stelle x = a kann man an diesem Beispiel wie folgt quantifizieren: In der klassischen Darstellung (linke Seite) werden 7 Multiplikationen benötigt, davon 3 zur Bildung der Potenzen a 2,a 3,a 4. Im Horner-Schema (rechte Seite) kommt man dagegen mit 4 Multiplikationen aus. Die Zahl der rechnerisch weniger aufwendigen Additionen ist in beiden Fällen gleich, nämlich 4. Generell wird der Aufwand für Multiplikationen durch die Anwendung des Horner-Schemas auf fast die Hälfte reduziert. Tabellarische Schreibweise: Betrachten wir nochmals obiges Beispiel und setzen: Nun überträgt man die Koeffizienten, die Zwischenprodukte und Teilsummen in eine 3zeilige- Tabelle, wobei in die erste Zeile die Koeffizienten eingetragen werden. In die dritte Zeile kommen die Teilsummen. Dabei wird der erste Koeffizient des Polynoms direkt übernommen. Die zuvor berechnete Teilsumme multipliziert mit x ergibt dann den nächsten Summanden, den man dann in die zweite Zeile unter den folgenden Koeffizienten einträgt.

5 So erhält man nach und nach das folgende Rechenschema: = = = = (Quelle dieser Beschreibung: de.wikipedia.org) a) Schreiben Sie eine Klasse Polynom, welche Polynome beliebigen Grades darstellen kann! b) Erstellen Sie einen Konstruktor und/oder geeignete Methoden zum Erzeugen eines beliebigen Polynoms! c) Implementieren Sie eine Methode funktionswert, welche für eine beliebige Gleitkommazahl x den Funktionswert des Polynoms gemäß dem Hornerschema berechnet! d) Testen Sie Ihre Klasse mit Polynomen mindestens 10. Grades!

GF(2 2 ) Beispiel eines Erweiterungskörpers (1)

GF(2 2 ) Beispiel eines Erweiterungskörpers (1) GF(2 2 ) Beispiel eines Erweiterungskörpers (1) Im Kapitel 2.1 wurde bereits gezeigt, dass die endliche Zahlenmenge {0, 1, 2, 3} q = 4 nicht die Eigenschaften eines Galoisfeldes GF(4) erfüllt. Vielmehr

Mehr

Faktorisierung bei Brüchen und Bruchtermen

Faktorisierung bei Brüchen und Bruchtermen Faktorisierung bei Brüchen und Bruchtermen Rainer Hauser Mai 2016 1 Einleitung 1.1 Rationale Zahlen Teilt man einen Gegenstand in eine Anzahl gleich grosse Stücke, so bekommt man gebrochene Zahlen, die

Mehr

Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen

Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen Prof. Dr. Volker Schulz Universität Trier / FB IV / Abt. Mathematik 8. November 2010 http://www.mathematik.uni-trier.de/ schulz/elan-ws1011.html

Mehr

4. QUADRATISCHE GLEICHUNGEN, GLEICHUNGEN HÖHEREN GRADES

4. QUADRATISCHE GLEICHUNGEN, GLEICHUNGEN HÖHEREN GRADES 4. QUADRATISCHE GLEICHUNGEN, GLEICHUNGEN HÖHEREN GRADES 4.1. Quadratische Gleichungen (a) Definition Beispiel: Das Produkt zweier aufeinanderfolgender gerader Zahlen beträgt 808. Wie lauten die beiden

Mehr

Mathematische Grundlagen 2. Termrechnen

Mathematische Grundlagen 2. Termrechnen Inhaltsverzeichnis: 2. Termrechnen... 2 2.1. Bedeutung von Termen... 2 2.2. Terme mit Variablen... 4 2.3. Vereinfachen von Termen... 5 2.3.1. Zusammenfassen von gleichartigen Termen... 5 2.3.2. Vereinfachen

Mehr

Vorlesung. Komplexe Zahlen

Vorlesung. Komplexe Zahlen Vorlesung Komplexe Zahlen Motivation Am Anfang der Entwicklung der komplexen Zahlen stand ein algebraisches Problem: die Bestimmung der Lösung der Gleichung x 2 + 1 = 0. 1 Mit der Lösung dieses Problems

Mehr

Repetitionsaufgaben Negative Zahlen/Brüche/Prozentrechnen

Repetitionsaufgaben Negative Zahlen/Brüche/Prozentrechnen Kantonale Fachschaft Mathematik Repetitionsaufgaben Negative Zahlen/Brüche/Prozentrechnen Zusammengestellt von der Fachschaft Mathematik der Kantonsschule Willisau Inhaltsverzeichnis A) Lernziele... 1

Mehr

Rationale Zahlen. Vergleichen und Ordnen rationaler Zahlen

Rationale Zahlen. Vergleichen und Ordnen rationaler Zahlen Rationale Zahlen Vergleichen und Ordnen rationaler Zahlen Von zwei rationalen Zahlen ist die die kleinere Zahl, die auf der Zahlengeraden weiter links liegt.. Setze das richtige Zeichen. a) -3 4 b) - -3

Mehr

INFOMAPPE ZUM EINSTUFUNGSTEST MATHEMATIK AN DER FOS/BOS MEMMINGEN

INFOMAPPE ZUM EINSTUFUNGSTEST MATHEMATIK AN DER FOS/BOS MEMMINGEN INFOMAPPE ZUM EINSTUFUNGSTEST MATHEMATIK AN DER FOS/BOS MEMMINGEN Liebe Schülerinnen und Schüler, wie schnell man einen bereits einmal gekonnten Stoff wieder vergisst, haben Sie sicherlich bereits schon

Mehr

Aufgabensammlung Klasse 8

Aufgabensammlung Klasse 8 Aufgabensammlung Klasse 8 Inhaltsverzeichnis 1 Potenzen mit natürlichen Hochzahlen 3 1.1 Rechenregeln für das Rechnen mit Potenzen..................... 3 1.1.1 Addition und Subtraktion von Potenzen...................

Mehr

Hinweise zu Anforderungen des Faches Mathematik in Klasse 11 des Beruflichen Gymnasiums Wirtschaft

Hinweise zu Anforderungen des Faches Mathematik in Klasse 11 des Beruflichen Gymnasiums Wirtschaft Berufsbildende Schule 11 der Region Hannover Hinweise zu Anforderungen des Faches Mathematik in Klasse 11 des Beruflichen Gymnasiums Wirtschaft Das folgende Material soll Ihnen helfen sich einen Überblick

Mehr

Rechnen mit rationalen Zahlen

Rechnen mit rationalen Zahlen Rechnen mit rationalen Zahlen a ist die Gegenzahl von a und ( a) a Subtraktionsregel: Statt eine rationale Zahl zu subtrahieren, addiert man ihre Gegenzahl. ( 8) ( ) ( 8) + ( + ) 8 + 7, (,6) 7, + ( +,6)

Mehr

ax 2 + bx + c = 0, (4.1)

ax 2 + bx + c = 0, (4.1) Kapitel 4 Komplexe Zahlen Wenn wir uns auf die reellen Zahlen beschränken, ist die Operation des Wurzelziehens (also die Umkehrung der Potenzierung) nicht immer möglich. Zum Beispiel können wir nicht die

Mehr

Kapitel 3 Mathematik. Kapitel 3.3. Algebra Gleichungen

Kapitel 3 Mathematik. Kapitel 3.3. Algebra Gleichungen TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Kapitel 3 Mathematik Kapitel 3.3 Algebra Gleichungen Verfasser: Hans-Rudolf Niederberger Elektroingenieur FH/HTL Vordergut 1, 877 Nidfurn 055-654 1 87 Ausgabe: Februar 009

Mehr

Einführung in die Java- Programmierung

Einführung in die Java- Programmierung Einführung in die Java- Programmierung Dr. Volker Riediger Tassilo Horn riediger horn@uni-koblenz.de WiSe 2012/13 1 Wichtig... Mittags keine Pommes... Praktikum A 230 C 207 (Madeleine + Esma) F 112 F 113

Mehr

Potenzen - Wurzeln - Logarithmen

Potenzen - Wurzeln - Logarithmen Potenzen - Wurzeln - Logarithmen Anna Geyer 4. Oktober 2006 1 Potenzrechnung Potenz Produkt mehrerer gleicher Faktoren 1.1 Definition (Potenz): (i) a n : a... a, n N, a R a... Basis n... Exponent od. Hochzahl

Mehr

Repetitionsaufgaben: Lineare Gleichungen

Repetitionsaufgaben: Lineare Gleichungen Kantonale Fachschaft Mathematik Repetitionsaufgaben: Lineare Gleichungen Zusammengestellt von Hannes Ernst, KSR Lernziele: - Lineare Gleichungen von Hand auflösen können. - Lineare Gleichungen mit Parametern

Mehr

Die Gleichung A x = a hat für A 0 die eindeutig bestimmte Lösung. Für A=0 und a 0 existiert keine Lösung.

Die Gleichung A x = a hat für A 0 die eindeutig bestimmte Lösung. Für A=0 und a 0 existiert keine Lösung. Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten Die Grundform der linearen Gleichung mit einer Unbekannten x lautet A x = a Dabei sind A, a reelle Zahlen. Die Gleichung lösen heißt, alle reellen Zahlen anzugeben,

Mehr

Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema

Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema 2x 4 + x 3 + x + 3 div x 2 + x 1 = 2x 2 x + 3 (2x 4 + 2x 3 2x 2 ) x 3 + 2x 2 + x + 3 ( x

Mehr

Komplexe Zahlen. 1) Motivierende Aufgabe. 2) Historisches

Komplexe Zahlen. 1) Motivierende Aufgabe. 2) Historisches Annelie Heuser, Jean-Luc Landvogt und Ditlef Meins im 1. Semester Komplexe Zahlen Will man nur addieren und subtrahieren, multiplizieren und dividieren, kommt man uneingeschränkt mit reellen Zahlen aus.

Mehr

Berechnungen mit dem Horner-Schema

Berechnungen mit dem Horner-Schema Berechnungen mit dem Horner-Schema Das Hornerschema kann als Rechenhilfsmittel zur Berechnung von Funktionswerten von Polynomfunktionen, zur Faktorisieriung von Polynomen alternativ zur Polynomdivision

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2015 Lineare Gleichungssysteme Schwerpunkte: Modellbildung geometrische Interpretation Lösungsmethoden Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik auf der

Mehr

Bevor lineare Gleichungen gelöst werden, ein paar wichtige Begriffe, die im Zusammenhang von linearen Gleichungen oft auftauchen.

Bevor lineare Gleichungen gelöst werden, ein paar wichtige Begriffe, die im Zusammenhang von linearen Gleichungen oft auftauchen. R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 1 13.0.010 Lineare Gleichungen Werden zwei Terme durch ein Gleichheitszeichen miteinander verbunden, so entsteht eine Gleichung. Enthält die Gleichung die Variable

Mehr

3.1. Die komplexen Zahlen

3.1. Die komplexen Zahlen 3.1. Die komplexen Zahlen Es gibt viele Wege, um komplexe Zahlen einzuführen. Wir gehen hier den wohl einfachsten, indem wir C R als komplexe Zahlenebene und die Punkte dieser Ebene als komplexe Zahlen

Mehr

Kapitel 6. Vererbung

Kapitel 6. Vererbung Kapitel 6 Vererbung Vererbung 1 Ziele Das Vererbungsprinzip der objektorientierten Programmierung verstehen Und in Java umsetzen können Insbesondere folgende Begriffe verstehen und anwenden können: Ober/Unterklassen

Mehr

= 26 60 (Hauptnenner) 15x 12x + 10x = 26 60 zusammenfassen 13x = 26 60 :13 (Variable isolieren) x =

= 26 60 (Hauptnenner) 15x 12x + 10x = 26 60 zusammenfassen 13x = 26 60 :13 (Variable isolieren) x = WERRATALSCHULE HERINGEN KOMPENSATION MATHEMATIK JG. 11 1 Lineare Gleichungen Das Lösen linearer Gleichungen ist eine wichtige Rechenfertigkeit, die immer wieder gefordert wird und für den Mathematikunterricht

Mehr

Zuammenfassung: Reelle Funktionen

Zuammenfassung: Reelle Funktionen Zuammenfassung: Reelle Funktionen 1 Grundlegendes a) Zahlenmengen IN = {1; 2; 3; 4;...} Natürliche Zahlen IN 0 = IN {0} Natürliche Zahlen mit 0 ZZ = {... ; 2; 1; 0; 1; 2;...} Ganze Zahlen Q = { z z ZZ,

Mehr

1. Das dekadische Ziffernsystem (Dezimalsystem) Eine ganze Zahl z kann man als Summe von Potenzen zur Basis 10 darstellen:

1. Das dekadische Ziffernsystem (Dezimalsystem) Eine ganze Zahl z kann man als Summe von Potenzen zur Basis 10 darstellen: Zahlensysteme. Das dekadische Ziffernsystem (Dezimalsystem) Eine ganze Zahl z kann man als Summe von Potenzen zur Basis darstellen: n n n n z a a... a a a Dabei sind die Koeffizienten a, a, a,... aus der

Mehr

Corinne Schenka Vorkurs Mathematik WiSe 2012/13. Die kleineren Zahlbereiche sind jeweils Teilmengen von größeren Zahlbereichen:

Corinne Schenka Vorkurs Mathematik WiSe 2012/13. Die kleineren Zahlbereiche sind jeweils Teilmengen von größeren Zahlbereichen: 2. Zahlbereiche Besonderheiten und Rechengesetze Die kleineren Zahlbereiche sind jeweils Teilmengen von größeren Zahlbereichen: 2.1. Die natürlichen Zahlen * + besitzt abzählbar unendlich viele Elemente

Mehr

Informatik 2 Labor 2 Programmieren in MATLAB Georg Richter

Informatik 2 Labor 2 Programmieren in MATLAB Georg Richter Informatik 2 Labor 2 Programmieren in MATLAB Georg Richter Aufgabe 3: Konto Um Geldbeträge korrekt zu verwalten, sind zwecks Vermeidung von Rundungsfehlern entweder alle Beträge in Cents umzuwandeln und

Mehr

DIFFERENTIALGLEICHUNGEN

DIFFERENTIALGLEICHUNGEN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN GRUNDBEGRIFFE Differentialgleichung Eine Gleichung, in der Ableitungen einer unbekannten Funktion y = y(x) bis zur n-ten Ordnung auftreten, heisst gewöhnliche Differentialgleichung

Mehr

183.580, WS2012 Übungsgruppen: Mo., 22.10.

183.580, WS2012 Übungsgruppen: Mo., 22.10. VU Grundlagen digitaler Systeme Übung 2: Numerik, Boolesche Algebra 183.580, WS2012 Übungsgruppen: Mo., 22.10. Aufgabe 1: Binäre Gleitpunkt-Arithmetik Addition & Subtraktion Gegeben sind die Zahlen: A

Mehr

15ab 21bc 9b = 3b 5a 7c 3

15ab 21bc 9b = 3b 5a 7c 3 4 4.1 Einführung Haben alle Summanden einer algebraischen Summe einen gemeinsamen Faktor, so kann man diesen gemeinsamen Faktor ausklammern. Die Summe wird dadurch in ein Produkt umgewandelt. Tipp: Kontrolle

Mehr

Kapitel 6. Vererbung

Kapitel 6. Vererbung 1 Kapitel 6 2 Ziele Das sprinzip der objektorientierten Programmierung verstehen Und in Java umsetzen können Insbesondere folgende Begriffe verstehen und anwenden können: Ober/Unterklassen Subtyping Überschreiben

Mehr

Vorkurs Mathematik 1

Vorkurs Mathematik 1 Vorkurs Mathematik 1 Einführung in die mathematische Notation Konstanten i komplexe Einheit i 2 + 1 = 0 e Eulersche Zahl Kreiszahl 2 Einführung in die mathematische Notation Bezeichner Primzahlen, Zähler

Mehr

Gleitkommaarithmetik und Pivotsuche bei Gauß-Elimination. Lehrstuhl für Angewandte Mathematik Wintersemester 2009/10. 14.

Gleitkommaarithmetik und Pivotsuche bei Gauß-Elimination. Lehrstuhl für Angewandte Mathematik Wintersemester 2009/10. 14. Gleitkommaarithmetik und Pivotsuche bei Gauß-Elimination Vorlesung Computergestützte Mathematik zur Linearen Algebra Lehrstuhl für Angewandte Mathematik Wintersemester 2009/0 4. Januar 200 Instabilitäten

Mehr

WURZEL Werkstatt Mathematik Polynome Teil III oder Probleme lösen mit Quadratfunktionen

WURZEL Werkstatt Mathematik Polynome Teil III oder Probleme lösen mit Quadratfunktionen Die WURZEL Werkstatt Mathematik Polynome Teil III oder Probleme lösen mit Quadratfunktionen Es passiert im Alltagsgeschehen oft, dass mit Kanonen auf Spatzen geschossen wird. Auch in der Mathematik vor

Mehr

Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium

Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden (FH) Fachbereich Informatik/Mathematik Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Studiengänge Informatik Medieninformatik Wirtschaftsinformatik Wirtschaftsingenieurwesen

Mehr

MSG Kurs 10. Klasse, 2011/2012

MSG Kurs 10. Klasse, 2011/2012 MSG Kurs 10. Klasse, 011/01 Holger Stephan, Berlin Weierstraß Institut für Angewandte Analysis und Stochastik Inhaltsverzeichnis 1 Komplexe Zahlen 3 1.1 Heuristische Herleitung I (Potenzreihen)......................

Mehr

Grundwissen 5. Klasse

Grundwissen 5. Klasse Grundwissen 5. Klasse 1/5 1. Zahlenmengen Grundwissen 5. Klasse Natürliche Zahlen ohne Null: N 1;2;3;4;5;... mit der Null: N 0 0;1;2;3;4;... Ganze Zahlen: Z... 3; 2; 1;0;1;2;3;.... 2. Die Rechenarten a)

Mehr

Aufgaben des MSG-Zirkels 10b Schuljahr 2007/2008

Aufgaben des MSG-Zirkels 10b Schuljahr 2007/2008 Aufgaben des MSG-Zirkels 10b Schuljahr 2007/2008 Alexander Bobenko und Ivan Izmestiev Technische Universität Berlin 1 Hausaufgaben vom 12.09.2007 Zahlentheorie 1 Aufgabe 1.1 Berechne die (quadratischen)

Mehr

Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2009/10

Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2009/10 TU München Prof. Dr. P. Vogl, Dr. S. Schlicht Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2009/10 Vorlesung 1, Montag vormittag Vektoralgebra Ein Vektor lässt sich geometrisch als eine gerichtete Strecke darstellen,

Mehr

Negative Zahlen. Lösung: Ordne in einen Zahlenstrahl ein! 7;5; 3; 6. Das Dezimalsystem

Negative Zahlen. Lösung: Ordne in einen Zahlenstrahl ein! 7;5; 3; 6. Das Dezimalsystem Negative Zahlen Negative Zahlen Ordne in einen Zahlenstrahl ein! 7;5; 3; 6 Das Dezimalsystem Zerlege in Stufen! Einer, Zehner, usw. a) 3.185.629 b) 24.045.376 c) 3.010.500.700 Das Dezimalsystem a) 3M 1HT

Mehr

5. bis 10. Klasse. Textaufgaben. Alle Themen Typische Aufgaben

5. bis 10. Klasse. Textaufgaben. Alle Themen Typische Aufgaben Mathematik 5. bis 10. Klasse 150 Textaufgaben Alle Themen Typische Aufgaben 5. bis 10. Klasse 1.3 Rechnen mit ganzen Zahlen 1 25 Erstelle zu den folgenden Zahlenrätseln zunächst einen Rechenausdruck und

Mehr

Zahlenbereiche. Jörn Loviscach. Versionsstand: 20. Oktober 2009, 17:43

Zahlenbereiche. Jörn Loviscach. Versionsstand: 20. Oktober 2009, 17:43 Zahlenbereiche Jörn Loviscach Versionsstand: 20. Oktober 2009, 17:43 1 Natürliche, ganze und rationale Zahlen Zum Zählen benötigt man die positiven natürlichen Zahlen 1, 2, 3,... In der Informatik zählt

Mehr

1 Lineare Gleichungssysteme

1 Lineare Gleichungssysteme MLAN1 1 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 1 Literatur: K Nipp/D Stoffer, Lineare Algebra, Eine Einführung für Ingenieure, VDF der ETHZ, 4 Auflage, 1998, oder neuer 1 Lineare Gleichungssysteme Zu den grundlegenden

Mehr

Kapitel 6. Vererbung

Kapitel 6. Vererbung 1 Kapitel 6 2 Ziele Das sprinzip der objektorientierten Programmierung verstehen Und in Java umsetzen können Insbesondere folgende Begriffe verstehen und anwenden können: Ober/Unterklassen Subtyping Überschreiben

Mehr

Weiterbildung und Zusatzausbildung der PHZ Luzern Interessantes und Spannendes aus der Welt der Mathematik September 2006, Dieter Ortner

Weiterbildung und Zusatzausbildung der PHZ Luzern Interessantes und Spannendes aus der Welt der Mathematik September 2006, Dieter Ortner Weiterbildung und Zusatzausbildung der PHZ Luzern Interessantes und Spannendes aus der Welt der Mathematik September 2006, Dieter Ortner Rechengesetze 1. Rechengesetze für natürliche Zahlen Es geht um

Mehr

gebrochene Zahl gekürzt mit 9 sind erweitert mit 8 sind

gebrochene Zahl gekürzt mit 9 sind erweitert mit 8 sind Vorbereitungsaufgaben Mathematik. Bruchrechnung.. Grundlagen: gebrochene Zahl gemeiner Bruch Zähler Nenner Dezimalbruch Ganze, Zehntel Hundertstel Tausendstel Kürzen: Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl

Mehr

Partialbruchzerlegung für Biologen

Partialbruchzerlegung für Biologen Partialbruchzerlegung für Biologen Rationale Funktionen sind Quotienten zweier Polynome, und sie tauchen auch in der Biologie auf. Die Partialbruchzerlegung bedeutet, einen einfacheren Ausdruck für eine

Mehr

Arrays von Objekten. Annabelle Klarl. Einführung in die Informatik Programmierung und Softwareentwicklung

Arrays von Objekten. Annabelle Klarl. Einführung in die Informatik Programmierung und Softwareentwicklung Annabelle Klarl Zentralübung zur Vorlesung Einführung in die Informatik: http://www.pst.ifi.lmu.de/lehre/wise-12-13/infoeinf WS12/13 Arrays: Wiederholung Ein Array ist ein Tupel von Elementen gleichen

Mehr

Informationssysteme Gleitkommazahlen nach dem IEEE-Standard 754. Berechnung von Gleitkommazahlen aus Dezimalzahlen. HSLU T&A Informatik HS10

Informationssysteme Gleitkommazahlen nach dem IEEE-Standard 754. Berechnung von Gleitkommazahlen aus Dezimalzahlen. HSLU T&A Informatik HS10 Informationssysteme Gleitkommazahlen nach dem IEEE-Standard 754 Berechnung von Gleitkommazahlen aus Dezimalzahlen Die wissenschaftliche Darstellung einer Zahl ist wie folgt definiert: n = f * 10 e. f ist

Mehr

Lineare Algebra - alles was man wissen muß

Lineare Algebra - alles was man wissen muß Statistik für Bioinformatiker SoSe 3 Rainer Spang Lineare Algebra - alles was man wissen muß Der Titel ist natürlich gelogen, aber was wir hier zusammengetragen haben ist zumindest ein Anfang. Weniger

Mehr

Umgekehrte Kurvendiskussion

Umgekehrte Kurvendiskussion Umgekehrte Kurvendiskussion Bei einer Kurvendiskussion haben wir eine Funktionsgleichung vorgegeben und versuchen ihre 'Besonderheiten' herauszufinden: Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte, Polstellen

Mehr

x A, x / A x ist (nicht) Element von A. A B, A B A ist (nicht) Teilmenge von B. A B, A B A ist (nicht) echte Teilmenge von B.

x A, x / A x ist (nicht) Element von A. A B, A B A ist (nicht) Teilmenge von B. A B, A B A ist (nicht) echte Teilmenge von B. SBP Mathe Grundkurs 1 # 0 by Clifford Wolf # 0 Antwort Diese Lernkarten sind sorgfältig erstellt worden, erheben aber weder Anspruch auf Richtigkeit noch auf Vollständigkeit. Das Lernen mit Lernkarten

Mehr

Reelle Zahlen (R)

Reelle Zahlen (R) Reelle Zahlen (R) Bisher sind bekannt: Natürliche Zahlen (N): N {,,,,,6... } Ganze Zahlen (Z): Z {...,,,0,,,... } Man erkennt: Rationale Zahlen (Q):.) Zwischen den natürlichen Zahlen befinden sich große

Mehr

Einführung in die Java- Programmierung

Einführung in die Java- Programmierung Einführung in die Java- Programmierung Dr. Volker Riediger Tassilo Horn riediger horn@uni-koblenz.de WiSe 2012/13 1 Rückblick Datentypen (int, long, double, boolean, String) Variablen und Variablendeklarationen

Mehr

Codierungsverfahren SS 2011. Reed-Solomon-Codes zur Mehrblock-Bündelfehler-Korrektur

Codierungsverfahren SS 2011. Reed-Solomon-Codes zur Mehrblock-Bündelfehler-Korrektur Reed-Solomon-Codes zur Mehrblock-Bündelfehler-Korrektur Wie die zyklischen BCH-Codes zur Mehrbitfehler-Korrektur eignen sich auch die sehr verwandten Reed-Solomon-Codes (= RS-Codes) zur Mehrbitfehler-Korrektur.

Mehr

Übungsbuch Algebra für Dummies

Übungsbuch Algebra für Dummies ...für Dummies Übungsbuch Algebra für Dummies von Mary Jane Sterling, Alfons Winkelmann 1. Auflage Wiley-VCH Weinheim 2012 Verlag C.H. Beck im Internet: www.beck.de ISBN 978 3 527 70800 0 Zu Leseprobe

Mehr

Übungsplan zu ganzen Zahlen Aufgaben zur Prüfungsvorbereitung von Markus Baur, StR Werdenfels-Gymnasium

Übungsplan zu ganzen Zahlen Aufgaben zur Prüfungsvorbereitung von Markus Baur, StR Werdenfels-Gymnasium Übungsplan zu ganzen Zahlen Aufgaben zur Prüfungsvorbereitung von Markus Baur, StR Werdenfels-Gymnasium Das Dokument steht unter einer Creative Commons Lizens: Das Werk darf unter den folgenden Bedingungen

Mehr

ALGEBRA UND MENGENLEHRE

ALGEBRA UND MENGENLEHRE ALGEBRA UND MENGENLEHRE EINE EINFÜHRUNG GRUNDLAGEN DER ALGEBRA 1 VARIABLE UND TERME In der Algebra werden für Grössen, mit welchen gerechnet wird, verallgemeinernd Buchstaben eingesetzt. Diese Platzhalter

Mehr

Abschnitt: Algorithmendesign und Laufzeitanalyse

Abschnitt: Algorithmendesign und Laufzeitanalyse Abschnitt: Algorithmendesign und Laufzeitanalyse Definition Divide-and-Conquer Paradigma Divide-and-Conquer Algorithmen verwenden die Strategien 1 Divide: Teile das Problem rekursiv in Subproblem gleicher

Mehr

Komplexe Zahlen und Wechselstromwiderstände

Komplexe Zahlen und Wechselstromwiderstände Komplexe Zahlen und Wechselstromwiderstände Axel Tobias 22.2.2000 Ein besonderer Dank geht an Ingo Treunowski, der die Übertragung meines Manuskriptes in L A TEX durchgeführt hat tob skript komplex.tex.

Mehr

Das Maschinenmodell Datenrepräsentation

Das Maschinenmodell Datenrepräsentation Das Maschinenmodell Datenrepräsentation Darstellung von Zahlen/Zeichen in der Maschine Bit (0/1) ist die kleinste Informationseinheit Größere Einheiten durch Zusammenfassen mehrerer Bits, z.b. 8 Bit =

Mehr

4 Vorlesung: 21.11. 2005 Matrix und Determinante

4 Vorlesung: 21.11. 2005 Matrix und Determinante 4 Vorlesung: 2111 2005 Matrix und Determinante 41 Matrix und Determinante Zur Lösung von m Gleichungen mit n Unbekannten kann man alle Parameter der Gleichungen in einem rechteckigen Zahlenschema, einer

Mehr

UND MOSES SPRACH AUCH DIESE GEBOTE

UND MOSES SPRACH AUCH DIESE GEBOTE UND MOSES SPRACH AUCH DIESE GEBOTE 1. Gebot: Nur die DUMMEN kürzen SUMMEN! Und auch sonst läuft bei Summen und Differenzen nichts! 3x + y 3 darfst Du NICHT kürzen! x! y. Gebot: Vorsicht bei WURZELN und

Mehr

Grundlagen Programmierung

Grundlagen Programmierung 1. Aufgabe (Spielen mit Objekten) Gegeben sei der auch von der Veranstaltungsseite erhältliche Programmcode auf der rechten Seite, der im Detail zuerst nicht verstanden werden muss. a) Erzeugen Sie sich

Mehr

Vorlesung Wirtschaftsmathematik II SS 2015, 3/2 SWS. Prof. Dr. M. Voigt

Vorlesung Wirtschaftsmathematik II SS 2015, 3/2 SWS. Prof. Dr. M. Voigt Vorlesung Wirtschaftsmathematik II SS 2015, 3/2 SWS Prof. Dr. M. Voigt 2. März 2015 II Inhaltsverzeichnis 5 Grundlagen 1 5.1 Funktionen einer Variablen...................... 1 5.2 spezielle Funktionen.........................

Mehr

1.1.1 Die natürlichen, ganzen und rationalen Zahlen

1.1.1 Die natürlichen, ganzen und rationalen Zahlen 1.1.1 Die natürlichen, ganzen und rationalen Zahlen Die Zahlen: 1, 2, 3,... verwendet der Mensch seit jeher, z.b. für das Zählen seiner Tiere. Die Inder führten im 7. Jahrhundert n. Christus die Null ein,

Mehr

1. Erste und letzte Gesucht ist die erste und die letzte Ziffer, sowie die totale Anzahl Ziffern der Zahl 3 1256

1. Erste und letzte Gesucht ist die erste und die letzte Ziffer, sowie die totale Anzahl Ziffern der Zahl 3 1256 Algebra. Erste und letzte Gesucht ist die erste und die letzte Ziffer, sowie die totale Anzahl Ziffern der Zahl 3 256 2. Tabelle 3. Beträge a b b a a b (a + b) a + b 2 3???? 2 3 4???? a b a b a + b a b

Mehr

Bestimmung einer ersten

Bestimmung einer ersten Kapitel 6 Bestimmung einer ersten zulässigen Basislösung Ein Problem, was man für die Durchführung der Simplexmethode lösen muss, ist die Bestimmung einer ersten zulässigen Basislösung. Wie gut das geht,

Mehr

Die reellen Lösungen der kubischen Gleichung

Die reellen Lösungen der kubischen Gleichung Die reellen Lösungen der kubischen Gleichung Klaus-R. Löffler Inhaltsverzeichnis 1 Einfach zu behandelnde Sonderfälle 1 2 Die ganzrationale Funktion dritten Grades 2 2.1 Reduktion...........................................

Mehr

Java-Vorkurs 2015. Wintersemester 15/16

Java-Vorkurs 2015. Wintersemester 15/16 Java-Vorkurs 2015 Wintersemester 15/16 Herzlich Willkommen! package de.unistuttgart.47.01.javavorkurs; public class WelcomeErstis { public static void main(string[] args){ System.out.println( Herzlich

Mehr

Mathematik 1. Inhaltsverzeichnis. Prof. Dr. K. Melzer. karin.melzer@hs-esslingen.de http://www.hs-esslingen.de/de/mitarbeiter/karin-melzer.

Mathematik 1. Inhaltsverzeichnis. Prof. Dr. K. Melzer. karin.melzer@hs-esslingen.de http://www.hs-esslingen.de/de/mitarbeiter/karin-melzer. Mathematik 1 Prof Dr K Melzer karinmelzer@hs-esslingende http://wwwhs-esslingende/de/mitarbeiter/karin-melzerhtml Inhaltsverzeichnis 1 Matrizenrechnung 2 11 Matrixbegri 2 12 Spezielle Matrizen 3 13 Rechnen

Mehr

Ergänzungen zur Analysis I

Ergänzungen zur Analysis I 537. Ergänzungsstunde Logik, Mengen Ergänzungen zur Analysis I Die Behauptungen in Satz 0.2 über die Verknüpfung von Mengen werden auf die entsprechenden Regelnfür die Verknüpfung von Aussagen zurückgeführt.

Mehr

Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler

Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler Wintersemester 3/4 (.3.4). (a) Für z = + i und z = 3 4i berechne man z z und z z. Die Ergebnisse sind in kartesischer Form anzugeben.

Mehr

Vorbereitungskurs Mathematik

Vorbereitungskurs Mathematik Vorbereitungskurs Mathematik Grundlagen für das Unterrichtsfach Mathematik für die Fachhochschulreifeprüfung Zweijährige Höhere Berufsfachschule Berufsoberschule I Duale Berufsoberschule Inhalt 0. Vorwort...

Mehr

Die komplexen Zahlen

Die komplexen Zahlen Kapitel 9 Die komplexen Zahlen Der Körper der komplexen Zahlen Die Gauß sche Zahlenebene Algebraische Gleichungen Anwendungen Der Körper der komplexen Zahlen Die Definition der komplexen Zahlen Definition

Mehr

Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen

Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen 1. Quadratische Gleichungen Quadratische Gleichungen lassen sich immer auf die sog. normierte Form x 2 + px + = 0 bringen, in

Mehr

Kapitel 3 Das Projekt Bankkonto Seite 1

Kapitel 3 Das Projekt Bankkonto Seite 1 Kapitel 3 Das Projekt Bankkonto Seite 1 3 Das Projekt Bankkonto Nun wirst du dich etwas gründlicher mit dem Quelltext einer Klasse beschäftigen. Du lernst, wie zwei Objekte eine gemeinsame Aufgabe erledigen.

Mehr

Einführung in die Informatik I

Einführung in die Informatik I Einführung in die Informatik I Das Rechnen in Zahlensystemen zur Basis b=2, 8, 10 und 16 Prof. Dr. Nikolaus Wulff Zahlensysteme Neben dem üblichen dezimalen Zahlensystem zur Basis 10 sind in der Informatik

Mehr

= * 281 = : 25 = oder 7x (also 7*x) oder (2x + 3) *9 oder 2a + 7b (also 2*a+ 7*b)

= * 281 = : 25 = oder 7x (also 7*x) oder (2x + 3) *9 oder 2a + 7b (also 2*a+ 7*b) GLEICHUNGEN Gleichungslehre Bisher haben Sie Aufgaben kennen gelernt, bei denen eine Rechenoperation vorgegeben war und Sie das Ergebnis berechnen sollten. Nach dem Gleichheitszeichen war dann das Ergebnis

Mehr

Komplexe. Zahlen. Ein Leitprogramm in Mathematik. Verfasst von Christina Diehl Marcel Leupp. Du weißt. Instinkt. Bei uns Tigern ist das angeboren.

Komplexe. Zahlen. Ein Leitprogramm in Mathematik. Verfasst von Christina Diehl Marcel Leupp. Du weißt. Instinkt. Bei uns Tigern ist das angeboren. Komplexe Hier ist noch eine Matheaufgabe, die ich nicht lösen kann. Was ist 9+4? Oh, die ist schwer. Dafür brauchst du Analysis und imaginäre Zahlen. Imaginäre Zahlen?! Du weißt schon. Elfzehn, zwölfunddreißig,

Mehr

Programmierkurs Java

Programmierkurs Java Programmierkurs Java Dr. Dietrich Boles Aufgaben zu UE16-Rekursion (Stand 09.12.2011) Aufgabe 1: Implementieren Sie in Java ein Programm, das solange einzelne Zeichen vom Terminal einliest, bis ein #-Zeichen

Mehr

Brückenkurs Elementarmathematik

Brückenkurs Elementarmathematik Brückenkurs Elementarmathematik IV. Ungleichungen November 13, 2013 Inhalt 1 Ungleichungen 2 Umformungen von Ungleichungen 2.1 Äquivalenzumformungen 2.2 Addition und Multiplikation von Ungleichungen 3

Mehr

Arrays von Objekten. Annabelle Klarl. Einführung in die Informatik Programmierung und Softwareentwicklung

Arrays von Objekten. Annabelle Klarl. Einführung in die Informatik Programmierung und Softwareentwicklung Annabelle Klarl Zentralübung zur Vorlesung Einführung in die Informatik: http://www.pst.ifi.lmu.de/lehre/wise-13-14/infoeinf WS13/14 Action required now 1. Smartphone: installiere die App "socrative student"

Mehr

Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren

Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren W. Kippels 22. Februar 2014 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Lineargleichungssysteme zweiten Grades 2 3 Lineargleichungssysteme höheren als

Mehr

Protokollbuch. Friedrich-Schiller-Universität Jena. Physikalisch-Astronomische Fakultät SS 2008. Messtechnikpraktikum

Protokollbuch. Friedrich-Schiller-Universität Jena. Physikalisch-Astronomische Fakultät SS 2008. Messtechnikpraktikum Friedrich-Schiller-Universität Jena Physikalisch-Astronomische Fakultät SS 2008 Protokollbuch Messtechnikpraktikum Erstellt von: Christian Vetter (89114) Helena Kämmer (92376) Christian.Vetter@Uni-Jena.de

Mehr

Arrays Fortgeschrittene Verwendung

Arrays Fortgeschrittene Verwendung Arrays Fortgeschrittene Verwendung Gilbert Beyer und Annabelle Klarl Zentralübung zur Vorlesung Einführung in die Informatik http://www.pst.ifi.lmu.de/lehre/wise-11-12/infoeinf WS11/12 Arrays: Wiederholung

Mehr

Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14. Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse

Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14. Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 MATHEMATIK Dipl.-Math. Kevin Everard Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14 Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse

Mehr

Programmieren. 10. Tutorium 4./ 5. Übungsblatt Referenzen

Programmieren. 10. Tutorium 4./ 5. Übungsblatt Referenzen Programmieren 10. Tutorium 4./ 5. Übungsblatt Inhalt I. Übungsblatt 4 II. III. - Rückgabe und Besprechung - Vorbereitung auf Wiederholung/ Nachtrag - Operatorpräzedenzen IV. Übungsblatt 5 - Vorstellung

Mehr

1.9 Eigenwerte und Eigenvektoren

1.9 Eigenwerte und Eigenvektoren .9. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 0.9 Eigenwerte und Eigenvektoren Alles in diesem Abschnitt bezieht sich auf quadratische reelle oder komplexe n n-matrizen. Statt E n (n n-einheitsmatrix) wird kurz E geschrieben..

Mehr

Diplomvorprüfung in Datenverarbeitung EBS Sommersemester 2002

Diplomvorprüfung in Datenverarbeitung EBS Sommersemester 2002 Diplomvorprüfung in Datenverarbeitung EBS Sommersemester 2002 Prüfungsaufgaben zu den Vorlesungen Datenverarbeitung im ersten und im zweiten Semester Aufgabensteller: Gleißner Die Lösungen sind auf das

Mehr

7 Rechnen mit Polynomen

7 Rechnen mit Polynomen 7 Rechnen mit Polynomen Zu Polynomfunktionen Satz. Zwei Polynomfunktionen und f : R R, x a n x n + a n 1 x n 1 + a 1 x + a 0 g : R R, x b n x n + b n 1 x n 1 + b 1 x + b 0 sind genau dann gleich, wenn

Mehr

Übersicht. Informatik 2 Teil 3 Anwendungsbeispiel für objektorientierte Programmierung

Übersicht. Informatik 2 Teil 3 Anwendungsbeispiel für objektorientierte Programmierung Übersicht 3.1 Modell Konto 3.2 Modell Konto - Erläuterungen 3.3 Benutzer Ein- und Ausgabe mit Dialogfenster I 3.4 Benutzer Ein- und Ausgabe mit Dialogfenster II 3.5 Klassen- und Objekteigenschaften des

Mehr

3 Berechnungen und Variablen

3 Berechnungen und Variablen 3 Berechnungen und Variablen Du hast Python installiert und weißt, wie man die Python-Shell startet. Jetzt kannst Du etwas damit machen. Wir fangen mit ein paar einfachen Berechnungen an und wenden uns

Mehr

Numerisches Programmieren

Numerisches Programmieren Technische Universität München WS /3 Institut für Informatik Prof Dr Hans-Joachim Bungartz Dipl-Inf Christoph Riesinger Dipl-Inf Dipl-Math Jürgen Bräckle Numerisches Programmieren Programmieraufgabe: Polnominterpolation,

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Eines der am häufigsten auftretenden Standardprobleme der angewandten Mathematik ist das Lösen linearer Gleichungssysteme, etwa zur Netzwerkberechnung in der Elektrotechnik oder

Mehr

4. Digitale Datendarstellung

4. Digitale Datendarstellung 4 Digitale Datendarstellung Daten und Codierung Textcodierung Codierung natürlicher Zahlen - Stellenwertsysteme - Konvertierung - Elementare Rechenoperationen Codierung ganzer Zahlen - Komplementdarstellung

Mehr

Corinne Schenka Vorkurs Mathematik WiSe 2012/13. ausmultiplizieren. Anwenden von Potenzgesetzen, Wurzelgesetzen, Logarithmengesetzen

Corinne Schenka Vorkurs Mathematik WiSe 2012/13. ausmultiplizieren. Anwenden von Potenzgesetzen, Wurzelgesetzen, Logarithmengesetzen 3. Algebraische Grundlagen 3.1. Termumformungen Begriff Term: mathematischer Ausdruck, der aus Zahlen, Variablen, Rechenzeichen oder Klammern besteht Termumformungen dienen der Vereinfachung von komplexen

Mehr