Mathematik leicht gemacht

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1 Hans Kreul Mathematik leicht gemacht Verlag Harri Deutsch

2 Inhaltsverzeichnis 1 Hinweise zur Benutzung des Buches 1 2 Zur Technik des Zahlenrechnens Der Zahlbegriff Die natürlichen Zahlen Das dekadische Positionssystem Das duale Positionssystem Konstante und Variable Das Rechnen mit Zahlen Notwendige Vorbemerkungen Bezeichnungen Die Teilbarkeit von Zahlen Teiler einer Zahl Primzahlen Teilbarkeitsregeln Der größte gemeinsame Teiler Das kleinste gemeinsame Vielfache Gewöhnliche Brüche Begriffserklärungen Erweitern und Kürzen von Brüchen Addition und Subtraktion gewöhnlicher Brüche Multiplikation von Brüchen Der Kehrwert eines Bruches Division von Brüchen Doppelbrüche Dezimalbrüche Begriffserklärungen Addition und Subtraktion von Dezimalbrüchen Multiplikation von Dezimalbrüchen Division von Dezimalbrüchen Umwandlung von Brüchen Das Runden von Dezimalbrüchen Potenzen und Wurzeln Quadrate und Kuben Quadrat- und Kubikwurzeln Rechenhilfsmittel Vorbemerkungen Der Taschenrechner Erste Begegnung mit dem Wissenschaftlichen Rechner Schlussbemerkungen 57 3 Arithmetik Die Rolle der Sprache in der Mathematik Allgemeine Bemerkungen Aussagen und Aussageformen Verknüpfung von Aussagen 73

3 viii Inhaltsverzeichnis Einführendes Beispiel Die Konjunktion Die Disjunktion Die Implikation Die Äquivalenz Grundbegriffe der Mengenlehre Der Begriff der Menge Die Beschreibung von Mengen Mengenrelationen Teilmengen Gleichheit zweier Mengen Mengenoperationen Vereinigung von Mengen Durchschnitt von Mengen Differenz zweier Mengen Das Rechnen mit Variablen Die vier Grundrechenoperationen Einfache Rechenoperationen mit Variablen Die negativen Zahlen Addition und Subtraktion Multiplikation Division Die rationalen Zahlen Das Rechnen mit algebraischen Summen Über die Bedeutung der Klammern Setzen und Auflösen additiverund subtraktiver Klammern Multiplikation von Klammerausdrücken Binomische Formeln Division von Klammerausdrücken Ausklammern gemeinsamer Faktoren Bruchrechnung Potenzrechnung Begriffserklärungen Potenzgesetze Addition und Subtraktion von Potenzen Multiplikation von Potenzen mit gleichen Exponenten Division von Potenzen mit gleichen Exponenten Multiplikation von Potenzen mit gleichen Grundzahlen Potenzieren einer Potenz Division von Potenzen mit gleichen Grundzahlen Überblick über die Gesetze für Potenzen mit gleichen Grundzahlen Berechnung von Potenzen mit dem Taschenrechner Erste Erweiterung des Potenzbegriffs Potenzen mit ganzzahligen negativen Exponenten Die Hochzahlen 0 und Das Rechnen mit Potenzen mit negativen Exponenten Anwendungen der Potenzen Schreibweise rationaler Zahlen mithilfe von Zehnerpotenzen 156

4 Inhaltsverzeichnis ix Schreibweise von Maßeinheiten Potenzen von Binomen 158 Wurzelrechnung Radizieren als erste Umkehrung des Potenzierens Der Wurzelbegriff Die Berechnung von Wurzelwerten Rationale und irrationale Zahlen Zweite Erweiterung des Potenzbegriffs Wurzelgesetze Addition und Subtraktion von Wurzeln Multiplikation und Division von Wurzeln mit gleichen Wurzelexponenten Rationalmachen des Nenners Radizieren von Potenzen und Wurzeln Wurzeln mit verschiedenen Wurzelexponenten Rückblick auf die Potenz- und die Wurzelgesetze 182 Logarithmenrechnung Loganthmieren als zweite Umkehrung des Potenzierens Begriffserklärungen Logarithmengesetze Spezielle Logarithmensysteme Vorbemerkungen Die dekadischen Logarithmen Weitere Logarithmensysteme Zusammenfassung 200 Algebra 207 Lineare Gleichungen und Ungleichungen Vorbemerkungen und Begriffserklärungen Umformung von Gleichungen Äquivalente Umformung von Gleichungen Nichtäquivalente Umformung von Gleichungen Lösung linearer Gleichungen mit einer Variablen Begriffserklärungen Einfache lineare Gleichungen Gleichungen mit Klammerausdrücken Bruchgleichungen Wurzelgleichungen Gleichungen mit eingeschränktem Definitionsbereich Das Umstellen von Formeln Anwendungen Schlussbemerkungen Das Rechnen mit Ungleichungen Gleichungen und Ungleichungen mit Beträgen 239 Proportionen Begriffserklärungen Rechengesetze für Proportionen Fortlaufende Proportionen Direkte Propotionalität 250

5 x Inhaltsverzeichnis Indirekte Proportionalität Proportionen als Gleichungen Prozentrechnung Grundbegriffe Berechnung des Prozentsatzes Berechnung des Prozentwertes Berechnung des Grundwertes Promillerechnung Zinsrechnung Zinseszinsrechnung Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen Begriffserklärungen Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen Das Einsetzverfahren Das Gleichsetzverfahren Das Additionsverfahren Bemerkungen zu den drei Lösungsverfahren Die Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme mit zwei Variablen Schwierigere Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme mit drei und mehr Variablen Begriffserklärungen Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme mit drei und mehr Variablen Quadratische Gleichungen Begriffserklärungen Spezielle Formen der quadratischen Gleichung Die reinquadratische Gleichung Die gemischtquadratische Gleichung ohne Absolutglied Die Normalform der quadratischen Gleichung Die quadratische Ergänzung Die Lösungsformel für quadratische Gleichungen Die Lösung der allgemeinen Form der quadratischen Gleichung Beziehungen zwischen den Koeffizienten und den Lösungen einer quadratischen Gleichung Die Diskriminante Der Wurzelsatz von VIETA Die Produktform quadratischer Terme Funktionen Begriffsbestimmungen Der Begriff der Abbildung Der Begriff der Funktion Arten der Darstellung von Funktionen Darstellung einer Funktion durch die Angabe der geordneten Paare Darstellung einer Funktion durch eine Wertetabelle Darstellung einer Funktion durch Graphen Darstellung einer Funktion durch wörtliche Formulierung der ZuOrdnungsvorschrift 318

6 Inhaltsverzeichnis xi Darstellung einer Funktion durch mathematische Relationen Darstellung einer Funktion durch eine Kurve Das rechtwinklige Koordinatensystem Darstellung von Funktionen in Form von Kurven Grafische Darstellung von Funktionen, die nicht von vorn herein als Kurven gegeben sind Zusammenhänge zwischen der Gleichung einer Funktion und der zugehörigen Kurve Schnittpunkt zweier Kurven Wichtige Eigenschaften von Funktionen Monotonie Stetigkeit Gerade Funktionen Ungerade Funktionen Nullstellen von Funktionen Lineare Funktionen Vorbemerkungen Begriffserklärungen Die Funktion y = mx Die Funktion y = mx + b Grafische Darstellung der linearen Funktion Grafische Lösung linearer Gleichungen und linearer Gleichungssysteme mit zwei Variablen Quadratische Funktionen Begriffserklärungen Die quadratische Funktion y = x Die quadratische Funktion y = x 2 + q Die quadratische Funktion y = x 2 + px + q Grafische Lösung quadratischer Gleichungen Die allgemeine quadratische Funktion y = Ax 2 + Bx + C Potenzfunktionen y = x" für ganzzahliges positives n Die Potenzfunktion y = x y = x" für ganzzahliges negatives n y = x" für gebrochene Werte von n Wichtige transzendente Funktionen Die Exponentialfunktionen Die logarithmischen Funktionen Planimetrie Grundbegriffe der Geometrie Lagebeziehungen zwischen Geraden und Winkeln Parallele Geraden Schnitt zweier Geraden Winkel an Parallelen Symmetrie Axiale Symmetrie Zentrale Symmetrie 369

7 > xii Inhaltsverzeichnis Geometrische Grundkonstruktionen Punktmengen Das Dreieck Allgemeines Dreieck Spezielle Dreiecke Dreieckstransversalen und deren Schnittpunkte Das Viereck Allgemeines Viereck Spezielle Vierecke Das Vieleck Unregelmäßiges Vieleck Regelmäßige Vielecke Kongruenz Was ist Kongruenz? Kongruenz von Dreiecken Ähnlichkeit Ähnlichkeit im allgemeinen Ähnlichkeit von Dreiecken Strahlensätze Das rechtwinklige Dreieck Strecken und Winkel am Kreis Kreis und Gerade Winkel am Kreis Ähnlichkeit am Kreis Der Goldene Schnitt Berechnung von Flächen und Umfangen Vierecke Dreiecke Unregelmäßige Vielecke Regelmäßige Vielecke Kreis und Kreisteile Umfang und Flächeninhalt ähnlicher Flächen Goniometrie Das Bogenmaß Winkelfunktionen Definition der Winkelfunktionen Kurvenbilder der Winkelfunktionen Die Zahlenwerte der Winkelfunktionen Elementare Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen Trigonometrie Die Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck Sätze über beliebige Dreiecke Der Sinussatz Die Flächenformel für Dreiecke Der Kosinussatz Die Berechnung schiefwinkliger Dreiecke Additionstheoreme Goniometrische Gleichungen 476

8 Inhaltsverzeichnis Xlll 8 Stereometrie Einteilung der Körper Ebenflächner Krummflächner Darstellung von Körpern Mehrtafelprojektion Axonometrische Projektion Isometrische Projektion Dimetrische Projektion Körperberechnung Berechnungsgrundlagen Ebenflächner Rechtkant und Würfel Gerades Prisma Satz des CAVALIERI Pyramide Pyramidenstumpf Krummflächner Kreiszylinder Kegel Kegelstumpf Kugel und Kugelteile Die GULDlNschen Regeln 550 Anhang - Mathematische Zeichen 559 Lösungen 565 Sachwortverzeichnis 627

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