Übungsblatt 1. Vorlesung Theoretische Grundlagen der Informatik im WS 17/18

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1 Institut für Theoretische Informtik Lehrstuhl Prof. Dr. D. Wgner Üungsltt Vorlesung Theoretische Grundlgen der Informtik im WS 78 Ausge 9. Oktoer 27 Age 7. Novemer 27, : Uhr (im Ksten im UG von Geäude 5.34) Aufge ( = 4 Punkte) Gegeen seien zwei Sprchen L, L 2 Σ üer dem Alphet Σ = {, }. Dei sei L die Sprche der Wörter, deren erstes und letztes Zeichen üereinstimmen und L 2 die Sprche der Wörter mit einer ungerden Anzhl n. Geen Sie reguläre Ausdrücke für folgende Sprchen n. () L L 2 () L L 2 (c) L 2 \ L (d) L c Für α = ε (( ) ) (( ) ) und β = ( ) gilt L = L(α) und L 2 = L(β). Anders usgedrückt: α und β eschreien die Sprchen L eziehungsweise L 2. Demnch gilt: () L L 2 = L(α β) () L L 2 = L(α β) (c) L 2 \ L = L(( + ( ) ) (( ) )) (d) L c = L((( ) ) (( ) )) Aufge 2 (2 + 2 = 4 Punkte) Sei L eine reguläre Sprche üer einem endlichen Alphet Σ. Für ein Wort w Σ sei w definiert ls ds Wort in Σ dessen Umkehrung w ist. Es gilt lso ε = ε und für jedes Wort w Σ + mit letztem Zeichen gilt w = (w). () Ist die Sprche L := { w w L} eine reguläre Sprche? Begründen Sie. () Ist die Sprche L 2 := {w w w L} eine reguläre Sprche? Begründen Sie.

2 () J, L is eine reguläre Sprche. Definiere llgemeiner für jede reguläre Sprche L die Sprche L := { w w L}. D L regulär ist, wird L durch einen regulären Ausdruck α eschrieen. Wir zeigen per Induktion nch der Anzhl n der Opertionen,, in α, dss es einen regulären Ausdruck β git, der L eschreit. n = : Dnn ist α = ε oder α = mit Σ oder α =. In jedem Fll gilt L = L und wir wählen β = α. n : Dnn ist α = α α 2 oder α = α α 2 oder α = α für reguläre Ausdrücke α, α 2, je mit höchstens n Opertionen,,. Nch IV existieren reguläre Ausdrücke β und β 2 die L(α ) eziehungsweise L(α 2 ) eschreien. Wir wählen β wie folgt: α = α α 2 β = β β 2 α = α α 2 β = β 2 β α = α β = β Nun ist β ein regulärer Ausdruck der die Sprche L eschreit. () Nein, L is im Allgemeinen keine reguläre Sprche. Betrchte dzu folgendes Bespiel: L = {} ist die Sprche üer dem Alphet Σ = {, } die nur us elieigen Konktentionen des Wortes esteht. Dnn ist L 2 = {w w w L} = {() n () n n N } keine reguläre Sprche, weil uch L = { n n n N } keine reguläre Sprche ist. Aufge 3 ( + = 2 Punkte) Gegeen seien zwei Grmmtiken G i = (Σ, V, S, R i ), i =, 2 mit Σ = {,, c}, V = {S, A, B, C} und folgenden Produktionsregeln () R = {S ABC, A A, B B, C cc c} () R 2 = {S Sc B c, B Bc c} Ist L(G i ) eine reguläre Sprche? Wenn j, geen Sie einen regulären Ausdruck n. Wenn nicht, egründen Sie dies kurz und geen sie eine (informle) Beschreiung der Sprche n. () + + c + () i j c j+i, i, j N, i + j >. Nein, DEA können nicht zählen. Die Intuition dfür ist, dss mn mit regulären Sprchen nicht zählen knn. Bld werden wir diese Intuition formlisieren.

3 Aufge 4 ( = 5 Punkte) () Geen Sie einen deterministischen endlichen Automten n, der die reguläre Sprche L = {w w (mod 3) w (mod 3)} erkennt. Hinweis: w x git n, wie oft x in w vorkommt, z.b. = 2. () Wie würden Sie einen deterministischen endlichen Automten konstruieren, der die reguläre Sprche L 2 = {w w (mod 27) w (mod 42)} erkennt? (c) Geen Sie eine nichtdeterministischen endlichen Automten n, der lle Wörter üer dem Alphet {, } erkennt, in denen sowohl ls uch ls Teilwort vorkommt. d g () e h c f i () Gleiche Idee wie in Teil (), er konstruiere sttt einem 3 3 Gitter ein Gitter., (c), h i j k l m,, n c d e f g Hinweis: lle nicht explizit ngegeenen Üergänge führen zu Zustnd o. o Aufge 5 ( + 2 = 3 Punkte) () Geen Sie die reguläre Sprche üer dem Alphet Σ = {, } n, die von dem unten geildeten Automten erknnt wird. Hinweis: lle nicht explizit ngegeenen Üergänge führen zu Zustnd e.

4 () Nutzen Sie die Potenzmengenkonstruktion us der Vorlesung, um den Automt in einen deterministischen endlichen Automten zu üerführen. c f g d e, () Der Automt erkennt genu die Wörter, die mit eginnen und mit enden. () c, g d, e, g e, f, g e f, g e, g, Aufge 6 ( = 4 Punkte) In dieser Aufge geht es drum, einen Fehler in einem Beweis zu finden, zu verstehen und zu eheen. Theorem. 9 ist irrtionl. Beweis. Durch Widerspruch; nehme n, dss 9 rtionl sei. Dnn müssen gnze Zhlen p, q existieren, so dss q, pq = 9 gilt, und p und q teilerfremd sind. Wegen pq = 9 gilt p 2 q 2 = 9 und deshl p 2 = 9q 2. Weil q 2 eine gnze Zhl ist, ist p 2 ein Vielfches von 9, und dmit ist p ein Vielfches von 9. Also gilt p = 9k für eine Gnzzhl k. Mit 9q 2 = p 2 und p = 9k ergit sich 9q 2 = (9k) 2 = 8k 2, lso q 2 = 9k 2. Weil k 2 gnzzhlig ist, ist q 2 ein Vielfches von 9, und dmit ist q eenso ein Vielfches von 9. Also sind p und q Vielfche von 9. Dies ist er ein Widerspruch dzu, dss p und q teilerfremd is uf ± sind. Deshl ist 9 irrtionl. () Dieser Beweis ist offensichtlich flsch, d 9 = 3 nicht irrtionl ist. Wo genu ist der Beweis flsch und wieso?

5 () Der nloge Beweis, um zu zeigen, dss 2 irrtionl ist, stimmt. Ergänzen Sie den Beweis für 2 so, dss klr wird, welche Eigenschft von 2 im Gegenstz zu 9 wichtig ist, dmit der Beweis korrekt ist. (c) Formulieren Sie mit ihrem Wissen us Teilufge () ds oige Theorem für eine llgemeinere Mengen von Zhlen { n...}, so dss der Beweis stimmt. () Mn knn drus, dss p 2 ein Vielfches von 9 ist nicht folgern, dss uch p ein Vielfches von 9 ist (und nlog für q), wähle z.b. p = 3. () Aus der Ttsche, dss p 2 ein Vielfches von 2 ist knn mn folgern, dss uch p ein Vielfches von 2 ist. D p gnzzhlig ist, enthält die Primfktorzerlegung von p 2 jeden Fktor us der Primfktorzerlegung von p doppelt. Enthält lso die Primfktorzerlegung von p 2 eine 2, so muss uch die Primfktorzerlegung von p eine 2 enthlten. Für 9 gilt ds nicht, d die Primfktorzerlegung von p 2 z.b. genu zweiml den Primfktor 3 enthlten knn. Dnn wird p zwr von 3, er nicht von 9 geteilt. (c) Die Argumenttion us Teilufge () funktioniert, solnge n = pq gilt für teilerfremde, jeweils qudrtfreie 2 p, q. Ds gilt insesondere wenn n selst qudrtfrei oder sogr prim ist. Aufge 7 ( = 6 Punkte) Der eenso genile, wie uch vergessliche Wissenschftler und Superösewicht Doktor Met ist im Bufieer. Der Huptzugng zu seinem unterirdischen Geheimlor soll von einer unüerwindren Sthltür geschützt werden, die sich nur durch Einge eines gültigen Pssworts öffnen lässt. Bei einer flschen Einge wird der Eindringling stttdessen durch eine Flltür im Boden den Hien vorgeworfen. D sich Doktor Met, ufgrund seiner Vergesslichkeit, nur schlecht n Psswörter erinnern knn, ht er die Tür so eingestellt, dss Sie jedes Wort us einer zuvor festgelegten formlen Sprche L üer einem endlichen Alphet Σ kzeptiert. Dieses - sicherheitstechnisch frgwürdige, er für Doktor Met sehr prktische - Verfhren soll intern durch einen deterministischen endlichen Automten relisiert werden. D Sie ls Doktor Mets neuer Sicherheitsexperte eingestellt worden sind, sollen Sie ihm ei einigen letzten Konfigurtionen helfen: () Knn der Öffnungsmechnismus der Flltür für jede formle Sprche L durch einen deterministischen endlichen Automten relisiert werden? Wrum? () Sie hen sich mit Doktor Met uf eine geeignete Sprche L geeignet. Leider ht einer ihrer Bureiter, nmentlich Ingo N. Kompetenz, ds Schloss flsch verut. Die Kontrolleinheit der Tür ekommt ds Psswort genu umgedreht zur Üerprüfung. D die Bureiten ereits weit fortgeschritten sind, euftrgt Doktor Met Sie, sich ntürlich erst nchdem Sie Herrn Kompetenz den Hien vorgeworfen hen um eine Lösung des Prolems zu emühen. Wie könnten Sie den Automten mit möglichst wenigen Änderungen umuen, sodss er dennoch die gleiche Psswortmenge erkennt? Wieso funktioniert Ihr Anstz? Ist Ihr Automt deterministisch oder nichtdeterministisch? Begründen Sie! 2 Eine Zhl heißt qudrtfrei, wenn sie von keiner Qudrtzhl ußer geteilt wird.

6 (c) Doktor Met möchte einige Mitreiter unuffällig verschwinden lssen. Dfür ht er die Psswörter, die sie normlerweise eingeen, studiert und Muster 3 drin gefunden. Er euftrgt sie nun, die Kontrolleinheit so umzuuen, dss gerde die Muster der Leute, die er loswerden möchte von der Kontrolleinheit gelehnt werden. Der Automt drf lso nur noch eine Teilmenge der lten Sprche L kzeptieren. Können Sie den Automten für jedes Muster entsprechend umuen? Begründen Sie Ihre Antwort! () Nein. Dfür muss L regulär sein. () Sei A = {Q, Σ, δ, s, F } ein deterministischer Automt, der L kzeptiert. Konstruiere NEA A = {Q, Σ, δ, s, F } wie folgt: Q = Q {s } mit s Q, Σ = Σ Für jedes Σ und lle q, q 2 Q, wenn δ(q, ) = q 2, dnn δ(q 2, ) = q. Folglich werden lle Zustndsüergänge umgedreht. So knn es zu nichtdeterministischen Üergängen kommen. Der Strtzustnd von A wird der kzeptierende Zustnd von A : F = s s ist der Strtzustnd von A mit q(s, ɛ) = f für lle f F. Es git lso ɛ-üergänge. Dieser NEA knn ntürlich mit der Potenzmengenkonstruktion in einen DEA üerführt werden. (c) Nein. Denn die Sprche, die durch die Muster eschrieen wird, muss nicht regulär sein. Zum Beispiel könnten Muster der Form { i i i N }, lso eine Teilmenge der regulären Sprche + + ist, von einem DEA nicht erknnt werden knn. 3 Muster sind elieige Mengen von Wörtern üer dem Alphet Σ.

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