2 Trigonometrische Formeln

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1 Mthemtische Probleme, SS 015 Donnerstg 7.5 $Id: trig.tex,v /05/19 17:1:13 hk Exp $ $Id: convex.tex,v /05/18 11:15:36 hk Exp $ Trigonometrische Formeln.3 Spezielle Werte der trigonometrischen Funktionen In der letzten Sitzung htten wir begonnen spezielle Werte der trigonometrischen Funktionen zu berechnen, konkret htten wir sin(π/3) 3/, cos(π/3) 1/ und tn(π/3) 3 eingesehen. Nun kommen wir zu einem Winkel von 45. Genuso wie sich die Werte des Winkels π/3 durch etrchtung eines gleichseitigen Dreiecks ergben, müssen wir diesml ein gleichseitiges Viereck untersuchen. Gegeben sei ein Qudrt D der Seitenlänge > 0. Dnn ziehen wir die Digonle und betrchten D ds rechtwinklige Dreieck. D dieses Dreieck bei gleichschenklig ist, sind die beiden Winkel bei und nch ufgbe (9.) gleich, etw. Es folgt π/, b lso ist π/4. Mit dem Stz Pythgors 1.Stz 1 folgt für die Länge der Digonle im Qudrt uch, lso. Dmit können wir unsere gesuchten trigonometrischen Werte in blesen und es ergeben sich sin π 4 1 1, cos π 4 1, tn π 4 1. Winkel von 36, lso π/5, sind etws komplizierter, dher stellen wir diese erst einml zurück und schuen uns 30 n. Genuso wie π/3 mit einem gleichseitigen Dreieck zu tun htte und π/4 entsprechend mit einem Qudrt, werden wir für π/6 ein gleichseitiges Sechseck betrchten und beginnen dher mit einer Vorbemerkung über gleichseitige n-ecke. In 1.6 htten wir ein konvexes n-eck für eine ntürliche Zhl n 3 ls ein Tupel 1... n betrchtet bei dem die Punkte 1,..., n den Rnd des n-ecks ufeinnderfolgend im Gegenuhrzeigersinn umlufen. Dieser Rnd setzt sich dnn us den n Knten 1, 3,..., n 1 zusmmen, und mn nennt gleichseitig wenn diese lle dieselbe Länge hben, wenn lso : 1 n 1 gilt. Die Zhl heißt dnn die Kntenlänge des gleichseitigen n-ecks. Ein gleichseitiges n-eck 8-1

2 Mthemtische Probleme, SS 015 Donnerstg 7.5 muss nicht symmetrisch sein, zum eispiel muss ein gleichseitiges Viereck noch kein Qudrt sein, es knn sich uch um ein Prllelogrm hndeln. D b Wir wollen uns kurz überlegen ds ein gleichseitiges Viereck D ein Prllelogrm ist. ezeichne hierzu die Kntenlänge des Vierecks und sei der Winkel des Vierecks bei und b : D. Der osinusstz 1.Stz 4 liefert dnn b (1 cos ) 4 sin (/), lso ist b sin(/). Die Dreiecke D und D sind kongruent, lso ht unser Viereck uch bei den Winkel. Dmit schneidet die Gerde die beiden Seiten und D beide im Winkel, lso sind und D prllel. nlog sind uch D und prllel, wir hben lso ein Prllelogrm. Durch die Kntenlänge und den Winkel ist ds gleichseitige Viereck bis uf Kongruenz festgelegt. Ein gleichseitiges Viereck, und erst recht ein gleichseitiges n-ecke, muss lso nicht symmetrisch, dies ist nur im Dreiecksfll n 3 so. Die symmetrischen gleichseitigen n-ecke nennen wir regulär. Definition.1 (Reguläre n-ecke) Sei n N mit n 3. Ein konvexes n-eck heißt dnn regulär wenn es gleichseitig ist und lle seine Innenwinkel gleich sind. Hben wir ein reguläres n-eck mit Innenwinkel, so ist n die Summe ller Innenwinkel lso liefert 1.Lemm uch n (n )π, d.h. n π. n ls eine Übungsufgbe werden sie zeigen ds ein gleichseitiges n-eck genu dnn regulär ist wenn es einen Umkreis besitzt, wenn es lso einen Kreis gibt der lle Eckpunkte des n-ecks enthält. 8-

3 Mthemtische Probleme, SS 015 Donnerstg 7.5 Nch dieser Vorbemerkung kommen wir nun zu den Werten der trigonometrischen Funktionen für den Winkel π/6. Ntürlich könnten wir uch einfch die Hlbierungsformeln des vorigen bschnitts uf den schon erledigten Winkel π/3 nwenden, wir wollen uns hier ber eine direkte geometrische Herleitung nschuen. Wir strten mit einem regulären Seckseck der Kntenlänge > 0. Zeichne den Umkreis des Sechsecks mit Mittelpunkt M und Rdius R > 0. Die 360 bei M werden in sechs gleiche Teile zerlegt und somit ht unser eingezeichnetes Dreieck M bei M den Winkel π/6 π/3. Der Innenwinkel des Sechsecks ist nch unserer obigen Formel gleich 4π/6 π/3. Weiter ist ds Dreieck M kongruent zu M, und insbesondere sind die Winkel dieser Dreiecke bei gleich, d.h. M ist die Winkelhlbierende des Innenwinkels unseres Sechsecks bei. Insbesondere ht ds Dreieck M bei den Winkel / π/3, d.h. lle Winkel in diesem Dreieck sind gleich. Dmit ist M ein gleichseitiges Dreieck und insbesondere ist R, d.h. Umkreisrdius und Kntenlänge sind gleich. In diesem gleichseitigen Dreieck bilden wir nun die Höhe durch und wie schon früher gesehen ist diese gleich h ( 3/). D weiter die Höhe uch gleich der Winkelhlbierenden von M bei ist, erhlten wir ein bei P rechtwinkliges Dreieck MP mit Winkel / π/6 bei. Lesen wir die Werte der trigonometrischen Funktionen in diesem Dreieck b, so ergeben sich M R h P sin π 6 cos π 6 tn π 6 / 1, h 1 3, / h 1 3. Wie schon erwähnt knn mn diese Werte uch rechnerisch uf die schon behndelten Werte zurückführen, entweder über die Hlbierungsformel sin π 6 1 cos π und nlog für osinus und Tngens, oder etws rffinierter sin π ( π 6 sin π ) sin π 3 cos π 3 cos π sin π 3 cos π 3 1. Den Winkel π/5 36 werden wir im nächsten bschnitt behndeln, rwrtungsgemäß hängt dieser eng mit dem regulären Fünfeck zusmmen. Zuvor wollen wir uns ber 8-3

4 Mthemtische Probleme, SS 015 Donnerstg 7.5 noch eine interessnte Methode zur erechnung von Tngens- beziehungsweise rcustngenswerten nschuen. tn φ m n m φ n Sind m, n N und 0 < φ < π/ ein Winkel, so ist genu dnn tn φ m/n wenn es ein rechtwinkliges Dreieck gibt in dem φ ls Winkel mit nkthete n und Gegenkthete m uftucht. Die Impliktion von rechts nch links ist dbei klr. Ist umgekehrt tn φ m/n, so gibt es nch 1.Stz 9 ein Dreieck mit n, Winkel φ bei und rechten Winkel bei. Die nkthete dieses Dreiecks bei φ ist dnn n und die Gegenkthete ergibt sich ls n tn φ m. Sttt tn φ m/n können wir gleichwertig uch rctn(m/n) φ sgen. etrchte nun die folgende Figur D E F Die einzelnen Kästchen sind dbei Qudrte der Kntenlänge 1. Ds rechtwinklige Dreieck D gibt rctn(1/) und ds rechtwinklige Dreieck E liefert rctn(1/3). Nun betrchten wir ds Dreieck. Der Winkel φ bei in diesem Dreieck setzt sich us und zusmmen, lso φ + rctn 1 + rctn 1 3. Die Seitenlängen in diesem Dreieck lesen wir mit dem Stz des Pythgors 1.Stz 1 in den rechtwinkligen Dreiecken D, F und E b, und erhlten 5 und

5 Mthemtische Probleme, SS 015 Donnerstg 7.5 n diesen Gleichungen können wir zwei Dinge blesen, zum einen ist + 10, lso ht nch 1.Korollr 3 in einen rechten Winkel. lterntiv knn mn dies uch sehen d die beiden Dreiecke D und F kongruent sind. Weiter folgt tn φ 5/ 5 1, lso ist φ π/4. uch dies knn mn uch uf ndere Weise einsehen, d bei gleichschenklig ist, sind die Winkel bei und nch ufgbe (4.) gleich, müssen lso π/4 sein. Dmit hben wir rctn 1 + rctn 1 3 π 4 eingesehen. Diese Methode ist huptsächlich dzu gedcht derrtige Identitäten zu finden, ht mn erst einml eine solche Vermutung ufgestellt, so ist es leicht diese einfch mit dem dditionstheorem zu verifizieren, in diesem eispiel etw durch tn ( rctn 1 + rctn 1 3 ) Ds Fünfeck und der goldene Schnitt 1 tn π 4. Wir werden im folgenden den Wert cos(π/5) mit einer direkten geometrischen Methode bestimmen. Wir htten bereits bemerkt ds dieser Wert mit dem regulären Fünfeck zusmmenhängt und will mn diesen Zusmmenhng direkt formulieren, so tucht der sogennnte goldene Schnitt uf. Wir sgen ds eine Strecke im goldenen Schnitt geteilt wird wenn ds Verhältnis der gesmten Strecke +b zum größeren Teilstück gleich dem Verhältnis des großen Teilstücks zum Kleineren ist. Sind die Längen der beiden Teilstrecken lso > b > 0, so soll b + b gelten. Dieses Verhältnis wird dnn mit dem Symbol φ : /b > 0 bezeichnet, und knn leicht usgerechnet werden. Die definierende Gleichung ist φ b + b b 1 + b φ, lso hben wir φ φ + 1. Dies ist eine qudrtische Gleichung für φ mit den beiden Lösungen 1/ ± 1/4 + 1 (1 ± 5)/, lso ist wegen φ > 0 φ , Soll lso eine Strecke der Länge l > 0 im goldenen Schnitt ls l + b mit > b > 0 zerlegt werden, so ist φb und somit l + b (1 + φ)b, lso sind b l 1 + φ l l 0, l 8-5

6 Mthemtische Probleme, SS 015 Donnerstg 7.5 und 5 1 φb l 0, l. Dmit können wir jetzt zur etrchtung des regulären Fünfecks kommen. Gegeben sei ein reguläres Fünfeck der Kntenlänge > 0 und Ecken 0,..., 4. Wir htten und bereits im vorigen bschnitt überlegt ds der Innenwinkel unseres Fünfecks gleich d 3π/5 ist. Der Mittelpunkt M des Fünfecks ht von llen Ecken denselben bstnd R > 0 und der Kreis mit Mittelpunkt M und Rdius R ist der Umkreis des Fünfecks. ls Digonlen im 1 Fünfeck bezeichnet mn die fünf Verbindungsstrecken nicht benchtbrter Ecken, diese hben lle dieselbe Länge d > 0. Um d und R in Termen d von zu berechnen, bestimmen wir zunächst einml einige weitere Winkel in unserem Fünfeck. 0 M Ds Dreieck 0 1 ist bei 1 gleichschenklig, lso sind seine Winkel bei 0 und gleich, etw. Dnn ist 3 4 π + 3π 5 +, lso hben wir π/5. Weiter ht ds Dreick 3 0 dnn bei den Winkel gegeben ls π/5 und dies ist ebenso der Winkel dieses Dreiecks bei 3. Nun verlängern wir die Seiten 0 1 und 3 nch oben zu einem Schnittpunkt. Ds enstehende Dreieck 1 ht bei 1 den Winkel π π/5 und bei ist ebenflls der Winkel π ( + ) π/5. Dmit stimmen die Dreiecke 3 0 und 1 in zwei Winkeln und einer Seite überein sind lso nch 1.Stz 9 kongruent, und insbesondere ist d. Nun betrchten wir ds Dreieck 0, und in diesem ist der Winkel bei gleich + 3π/5 und der bei 0 wr. Im Dreieck 1 0 htten wir bei 1 ebenflls den Winkel und bei 0 den Winkel, lso sind die Dreiecke 0 und 1 0 ähnlich. Nch 1.Stz 10 sind uch die Verhältnisse entsprechender Seiten dieser beiden Dreiecke gleich, lso insbesondere + d d d, und dies bedeutet ds d und im Verhältnis des goldenen Schnitts stehen. Dmit sind die Digonlen im Fünfeck ls d φ gegeben. Dmit sind im Dreieck 0 1 lle 8-6

7 Mthemtische Probleme, SS 015 Donnerstg 7.5 Seitenlängen beknnt und der osinusstz 1.Stz 4 liefert + d d cos π ( φ φ cos π ) 5 und dies bedeutet cos π 5 1 φ Die Werte von Sinus und osinus bestimmen wir dnn rechnerisch, wegen ist zunächst und somit Schließlich ist d.h. 1 + tn π 5 1 cos π 5 cos π sin π 5 1 π cos sin π (3 5) (3 + 5) (3 5) 6 5, tn π Konvexgeometrie In diesem Kpitel beschäftigen wir uns mit konvexen Körpern im Rum. Eine Menge R n heißt konvex wenn mit je zwei Punkten x, y uch die Verbindungsstrecke [x, y] wieder in liegt, oder ls Formel geschrieben (x, y ) (0 t 1) : (1 t)x + ty. Der Durchschnitt einer Fmilie ( i ) i I konvexer Mengen ist wieder konvex, denn sind x, y i I i und 0 t 1, so gilt für jedes i I ufgrund der Konvexität von i uch (1 t)x + ty i, d.h. es ist (1 t)x + ty i I i. Dmit gibt es für jede Teilmenge R n eine kleinste konvexe Menge die enthält, nämlich die sogennnte konvexe Hülle von definiert ls co() : { R n R n ist konvex mit }. 8-7

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