Geometrie I. Tobias Langer Tobias Langer Geometrie I / 59

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Geometrie I. Tobias Langer Tobias Langer Geometrie I / 59"

Transkript

1 Geometrie I Tobias Langer Tobias Langer Geometrie I / 59

2 1 Schulgeometrie Punkte & Geraden Dreieck Kreis Polygon 2 Schnitt von Geraden und Strecken 3 Punkt in Polygon Tobias Langer Geometrie I / 59

3 4 Pick s Theorem 5 CCW 6 Konvexe Hülle Tobias Langer Geometrie I / 59

4 Schulgeometrie Definition - Geometrie Geometrie (Erdmaß, Landmessung) ist ein Teilgebiet der Mathematik. Man versteht darunter unter anderem die zwei- und dreidimensionale euklid sche Elementargeometrie, bekannt aus dem Schulunterricht. Diese befasst sich unter anderem mit Punkten, Geraden, Ebenen, Abständen, Winkeln etc. Tobias Langer Geometrie I / 59

5 Punkte & Geraden 3 A C 2 B 1 φ Tobias Langer Geometrie I / 59

6 Punkte & Geraden Geraden: Unendlich lange, gerade Linie Bestimmbar durch 2 Punkte Geradengleichung f (x) = mx + t mit m = y 2 y 1 x 2 x 1 = tan(ϕ) Abstand von 2 Punkten: d = (X 2 X 1 ) 2 + (Y 2 Y 1 ) 2 Tobias Langer Geometrie I / 59

7 Darstellung Punkt / Gerade Punkt: Speicherung als Integer bzw. Gleitkommazahl je nach Aufgabe Zusammenfassen der Koordinaten in struct, Klasse Gerade: Je nach Anforderung, Steigung + y-verschiebung oder 2 Punkte Tobias Langer Geometrie I / 59

8 Dreieck Tobias Langer Geometrie I / 59

9 Dreieck Summe der Innenwinkel: = 180 Flächeninhalt: A = 1 2 h g Kosinussatz: a 2 = b 2 + c 2 2bc cos(α) b 2 = a 2 + c 2 2ac cos(β) c 2 = a 2 + b 2 2ab cos(γ) Sinussatz: a sin(α) = b = sin(β) c sin(γ) Tobias Langer Geometrie I / 59

10 Dreieck Tobias Langer Geometrie I / 59

11 Dreieck Sonderfall rechtwinkliges Dreieck: Satz des Pythagoras: a 2 + b 2 = c 2 sin(α) = a b cos(α) = c b tan(α) = sin(α) cos(α) = a c Tobias Langer Geometrie I / 59

12 Dreieck Wird unter Polygone behandelt =) Tobias Langer Geometrie I / 59

13 Kreis Tobias Langer Geometrie I / 59

14 Kreis Mittelpunkt M und Radius r, jeder Punkt ist von M um r entfernt Definiert durch die Kreiszahl π = 3, Umfang: U = 2πr Fläche: A = πr 2 Kreisgleichung: (x x M ) 2 + (y y M ) 2 = r 2 Punkt liegt im Kreis, wenn gilt: d(p,pm) < bzw. <= r Tobias Langer Geometrie I / 59

15 Darstellung Kreis Darstellung eines Kreises: Struct / Klasse speichern Mittelpunkt als Punkt (vgl. Punkte) & Radius als Länge (double). Hinweis zu Pi (für Hallo Welt ): Benutzen der entsprechenden Konstanten aus den Math Libraries Berechnen durch arctan2(y,x), mit y 0, x = 0 Tobias Langer Geometrie I / 59

16 Polygon Tobias Langer Geometrie I / 59

17 Polygon Verbindung von mindestens 3 unabhängigen Punkten Polygon ist konvex, wenn jeder Innenwinkel <= 180 Man kann von jedem Punkt jeden anderen Punkt sehen Sternförmig, wenn von einem Punkt alle anderen sichtbar Tobias Langer Geometrie I / 59

18 Darstellung von Polygonen Als Feld von Punkten: Darstellung der Punkte in Array A 0...n Punkt A[i] ist benachbart mit A[i + 1] (0 <= i < n) Punkt A[0] benachbart mit A[n] Als Feld von Linien: Feld von Structs mit Anfangs- / Endkoordinate Redundanz, aber effizientere Algorithmen Tobias Langer Geometrie I / 59

19 1 Schulgeometrie 2 Schnitt von Geraden und Strecken Schnitt Gerade - Gerade Abstand Punkt - Gerade Abstand Punkt - Strecke 3 Punkt in Polygon Tobias Langer Geometrie I / 59

20 4 Pick s Theorem 5 CCW 6 Konvexe Hülle Tobias Langer Geometrie I / 59

21 Schnitt Gerade - Gerade Tobias Langer Geometrie I / 59

22 Schnitt Gerade - Gerade In welchem Punkt schneiden sich 2 Geraden? Gleichungen der Geraden: f (x) = mx + t g(x) = kx + l Gleichsetzen der Funktionsgleichungen: mx + t = kx + l x = l t m k Tobias Langer Geometrie I / 59

23 Schnitt Gerade - Gerade Einsetzen in f (x) oder g(x) und y berechnen. Wenn nicht lösbar verlaufen g und f parallel Tobias Langer Geometrie I / 59

24 Abstand Punkt - Gerade E b Q a P Tobias Langer Geometrie I / 59

25 Abstand Punkt - Gerade Wie groß is der minimale Abstand des Punktes P zur Geraden g? Aufstellen einer Geraden h durch P, senkrecht zu g mit m h = 1 m g folgt: h(x) = 1 m g x + t P einsetzen und nach t auflösen (wie Gerade - Gerade) h g ist Q, Länge PQ ist minimaler Abstand Tobias Langer Geometrie I / 59

26 Abstand Punkt - Strecke Wie groß ist der minimale Abstand eins Punktes P zur Strecke s? Zwei mögliche Fälle: P liegt im Bereich zwischen den Endpunkten P liegt nicht in diesem Bereich Ansatz: Bilde 2 Senkrechten durch die Endpunkte der Strecke Punkt liegt zwischen den Senkrechten? Verfahren wie bei Abstand Punkt - Gerade Punkt liegt außerhalb? Abstand D ist min { D(AP), D(BP) } Tobias Langer Geometrie I / 59

27 1 Schulgeometrie 2 Schnitt von Geraden und Strecken 3 Punkt in Polygon Formaler Algorithmus Beispiel Sonderfälle Tobias Langer Geometrie I / 59

28 4 Pick s Theorem 5 CCW 6 Konvexe Hülle Tobias Langer Geometrie I / 59

29 Fragestellung - Idee Fragestellung Liegt der Punkt P in dem Polygon Q? Idee / Ansatz Der Punkt P schießt eine Gerade. Mit der Anzahl der gekreuzten Linien lässt sich bestimmen, ob P in Q liegt oder nicht. Tobias Langer Geometrie I / 59

30 Punkt in Polygon Liegt der Punkt P innerhalb des Polygons Q Wähle Punkt A außerhalb des Polygons Bestimme Strecke AP und zähle, wie oft sie geschnitten wird Gerade: Außerhalb Ungerade: Innerhalb Tobias Langer Geometrie I / 59

31 Punkt in Polygon - Beispiel 3 P 2 1 A Tobias Langer Geometrie I / 59

32 Punkt in Polygon - Beispiel A 1 2 P Tobias Langer Geometrie I / 59

33 Punkt in Polygon - Sonderfälle Zu Beachten: Sonderfälle P liegt auf einer der Strecken AP schneidet einen Eckpunkt P liegt auf Strecke: Vorab überprüfen, ob P Element einer Strecke AP schneidet Eckpunkt: Neues A wählen Aber! Für konvexe Polygone: Das geht besser! (frei nach Prof. Philippsen) Tobias Langer Geometrie I / 59

34 1 Schulgeometrie 2 Schnitt von Geraden und Strecken 3 Punkt in Polygon Tobias Langer Geometrie I / 59

35 4 Pick s Theorem Anwendung Beispiel 5 CCW 6 Konvexe Hülle Tobias Langer Geometrie I / 59

36 Fragestellung - Idee Fragestellung Wie berechnet man die Fläche eines Polynoms mit ganzzahligen Koordinaten? Idee Ich hab da mal was im Hallo Welt Seminar über Pick s Theorem gehört... Tobias Langer Geometrie I / 59

37 Pick s Theorem Voraussetzung: Ganzzahlige Koordinaten (vgl. Rechenpapier) Keine Löcher im Polygon Seien: A die Fläche des Polygon i die Anzahl der Gitterpunkte im Polygon b die Anzahl der Gitterpunkte auf dem Rand Dann ist laut Pick s Theorem: A = i + b 2 1 Tobias Langer Geometrie I / 59

38 Tobias Langer Geometrie I / 59

39 1 Schulgeometrie 2 Schnitt von Geraden und Strecken 3 Punkt in Polygon Tobias Langer Geometrie I / 59

40 4 Pick s Theorem 5 CCW Beispiel Implementierung Anwendung 6 Konvexe Hülle Tobias Langer Geometrie I / 59

41 Fragestellung / Idee Fragestellung Wie liegen P 1, P 2 und P 3 zueinander? Idee Vergleich der Steigungen, 3 Möglichkeiten: Im Uhrzeigersinn, return -1 Gegen den Uhrzeigersinn, return 1 Auf einer Linie, return 0 Tobias Langer Geometrie I / 59

42 CCW Beispiel α β γ Tobias Langer Geometrie I / 59

43 CCW - Implementierung i n t ccw ( POINT a, POINT b, POINT c ) { i n t d i a g o n a l e 1 = ( b. x a. x ) ( c. y a. y ) ; i n t d i a g o n a l e 2 = ( b. y a. y ) ( c. x a. x ) ; i n t r e s u l t = d i a g o n a l e 1 d i a g o n a l e 2 ; i f ( r e s u l t > 0 ) return 1 ; e l s e i f ( r e s u l t < 0 ) return 1; e l s e return 0 ; } Tobias Langer Geometrie I / 59

44 CCW - Anwendung Wie bereits vorweggenommen: Lösung für Punkt in Polygon für konvexe Polygone Vergleiche das Ergebnis von ccw(a,b,p), ccw(b,c,p), ccw(c,a,p) Wenn gleich: Punkt liegt im Polygon Tobias Langer Geometrie I / 59

45 1 Schulgeometrie 2 Schnitt von Geraden und Strecken 3 Punkt in Polygon Tobias Langer Geometrie I / 59

46 4 Pick s Theorem 5 CCW 6 Konvexe Hülle Gift Wrapping / Jarvi s March Beispiel Grahams Algorithmus Verbesserung Tobias Langer Geometrie I / 59

47 Definition Konvexe Hülle Definition Konvexe Hülle ist die natürliche Grenze einer Punktmenge Somit kleinstes Polygon in oder auf dem alle Punkte liegen Tobias Langer Geometrie I / 59

48 Gift Wrapping / Jarvi s March Idee Punkte als Nägel auf einem Holzbrett Schnur von äußerstem Nagel um alle Nägel herum spannen Ergebnis ist die konvexe Hülle der Nägel Tobias Langer Geometrie I / 59

49 Gift Wrapping / Jarvi s March Formaler Ansatz: Wähle Punkt mit kleinstem y und x als aktuellen Punkt (immer auf Hülle) Suche Punkt mit kleinstem Winkel zur Horizontalen zum aktuellen Punkt Bilde Strecke zwischen aktuellem Punkt und neuem Punkt Setze den neuen Punkt als aktuellen Punkt Wiederhole 2-4 bis der Startknoten gleich dem aktuellen Punkt Tobias Langer Geometrie I / 59

50 Zeitanalyse Gift Wrapping Alle Punkte n müssen für jeden Punkt der Hülle h durchlaufen werden Daraus folgt O(n*h) Im Worstcase ist n = h und somit O(n 2 ) Im Bestcase jedoch ist h = 3 und somit O(n)! Tobias Langer Geometrie I / 59

51 Gift Wrapping / Jarvi s March Tobias Langer Geometrie I / 59

52 Grahams Algorithmus Idee Sortiere die Punkte nach ihrem Winkel, den sie mit dem Startpunkt und der Horizontalen haben. Anschließend sucht man sich mit CCW die Punkte heraus, die nicht im Uhrzeigersinn liegen und nimmt sie aus der Hülle. Tobias Langer Geometrie I / 59

53 Grahams Algorithmus Formal: Wähle einen Punkt, der garantiert Element der konvexen Hülle ist Sortiere die Punkte nach aufsteigenden Winkeln zum Startknoten und bilde daraus ein Polygon. Punkte mit gleichem Winkel: Näheren verwerfen Laufe das Polygon gegen den Uhrzeigersinn ab und eleminiere Punkte, wenn sie im Uhrzeigersinn sind. Tobias Langer Geometrie I / 59

54 Grahams Algorithmus Schritt 1: Die ersten 3 Knoten werden markiert Tobias Langer Geometrie I / 59

55 Grahams Algorithmus Schritt 1: Die ersten 3 Knoten werden markiert Schritt 2: Die Knoten liegen gegen den Uhrzeigersinn, markiere nächste Knoten Tobias Langer Geometrie I / 59

56 Grahams Algorithmus Schritt 1: Die ersten 3 Knoten werden markiert Schritt 2: Die Knoten liegen gegen den Uhrzeigersinn, markiere nächste Knoten Schritt 3: Die Knoten liegen im Uhrzeigersinn, lösche C Tobias Langer Geometrie I / 59

57 Grahams Alogrithmus Implementierung 1 i n t grahamscan ( POINT pointsarray, i n t nmbpoints ) { i n t minx = p o i n t s A r r a y [ 0 ]. x ; i n t miny = p o i n t s A r r a y [ 0 ]. y ; i n t i n d e x = 0 ; for ( i n t i = 0 ; i < nmbpoints ; i++ ) { i f ( p o i n t s A r r a y [ i ]. y < p o i n t s A r r a y [ i n d e x ]. y ) i n d e x = i ; e l s e i f ( p o i n t s A r r a y [ i ]. y == p o i n t s A r r a y [ i n d e x ]. y ) i f ( p o i n t s A r r a y [ i ]. x < p o i n t s A r r a y [ i n d e x ]. x ) i n d e x = i ; } i n t tmp = p o i n t s A r r a y [ i n d e x ] ; p o i n t s A r r a y [ i n d e x ] = p o i n t s A r r a y [ 0 ] ; p o i n t s A r r a y [ 0 ] = tmp ; sortangle ( &pointsarray, nmbpoints ) ; s t a c k<point> h u l l ; h u l l. push ( p o i n t s A r r a y [ 0 ] ) ; h u l l. push ( p o i n t s A r r a y [ 1 ] ) ; h u l l. push ( p o i n t s A r r a y [ 2 ] ) ; Tobias Langer Geometrie I / 59

58 Implementierung 2 for ( i n t i = 3 ; i < nmbpoints ; i++ ) { w h i l e ( 1 == ccw ( p o i n t s A r r a y [ 0 ], p o i n t s A r r a y [ 1 ], h u l l. top ( ) ) ) { h u l l. pop ( ) ; } h u l l. push ( p o i n t s A r r a y [ i ] ) ; } i n t h u l l A r r a y = ( i n t ) m a l l o c ( s i z e o f ( i n t ) h u l l. s i z e ( ) ) ; f o r ( i n t i = 0 ; i < h u l l. s i z e ( ) ; i++ ) { h u l l A r r a y [ i ] = h u l l. top ( ) ; h u l l. pop ( ) ; } r e t u r n h u l l A r r a y ; } Tobias Langer Geometrie I / 59

59 Verbesserung Berechnung der Hilfsfunktion Theta anstelle von Winkeln Mittels y y+ x lässt sich der Winkel schneller berechnen. Innere Elimination Ermittle 4 Punkte, die sicher Element der konvexen Hülle sind Entferne alle Punkte, die innerhalb dieses Vierecks liegen Tobias Langer Geometrie I / 59

60 Implementierung Theta f l o a t t h e t a ( POINT p1, POINT p2 ) { f l o a t dx, dy, absx, absy, f a c t o r ; dx = p2. x p1. x ; dy = p2. y p1. y ; absx = abs ( dx ) ; absy = abs ( dy ) ; i f ( dx == 0 && dy == 0 ) f a c t o r = 0 ; e l s e f a c t o r = dy / ( absx + absy ) ; i f ( dx < 0 ) f a c t o r = 2 f a c t o r ; e l s e i f ( dy < 0 ) f a c t o r = 4 + f a c t o r ; return 90.0 f a c t o r ; } Tobias Langer Geometrie I / 59

61 Literatur Introduction to Algorithms - Second Edition - Cormen, Leiserson, Rivest, Stein Geometrie 1 Vortrag Markus Götze Geometrie Vortrag Simon Kuhnle Geometrie Vortrag Andreas Schuh Tobias Langer Geometrie I / 59

Geometrie I. Sebastian Redinger Informatik 2 Programmiersysteme Martensstraße Erlangen

Geometrie I. Sebastian Redinger Informatik 2 Programmiersysteme Martensstraße Erlangen Geometrie I Sebastian Redinger 01.07.2015 Informatik 2 Programmiersysteme Martensstraße 3 91058 Erlangen Gliederung Grundlagen CCW Polygone Picks Theorem Konvexe Hülle - Graham Scan - Jarvis March 2 Gliederung

Mehr

July 04, Geometrie I. Hallo Welt! für Fortgeschrittene. Daniel Uebler

July 04, Geometrie I. Hallo Welt! für Fortgeschrittene. Daniel Uebler July 04, 2012 Geometrie I Hallo Welt! für Fortgeschrittene Daniel Uebler Einleitung Einleitung Algorithmische Geometrie Die algorithmische Geometrie ist der Zweig der Informatik, der Algorithmen zum Lösen

Mehr

Trigonometrie. bekannte Zusammenhänge. 4-Streckensatz: groß/klein = groß/klein. Zusammenhänge im allgemeinen Dreieck:

Trigonometrie. bekannte Zusammenhänge. 4-Streckensatz: groß/klein = groß/klein. Zusammenhänge im allgemeinen Dreieck: Trigonometrie bekannte Zusammenhänge 4-Streckensatz: groß/klein = groß/klein Zusammenhänge im allgemeinen Dreieck: Summe zweier Seiten größer als dritte Seitenlänge: a + b > c Innenwinkelsumme: Summe der

Mehr

Hallo Welt für Fortgeschrittene. Geometrie I. Lukas Batz. Informatik 2 Programmiersysteme Martensstraße Erlangen

Hallo Welt für Fortgeschrittene. Geometrie I. Lukas Batz. Informatik 2 Programmiersysteme Martensstraße Erlangen Hallo Welt für Fortgeschrittene Geometrie I Lukas Batz Informatik 2 Programmiersysteme Martensstraße 3 91058 Erlangen Gliederung Grundlagen Vektoren Geradengleichungen Skalar- und Kreuzprodukt Abstand

Mehr

3. Mathematikschulaufgabe

3. Mathematikschulaufgabe Arbeitszeit 40min 1.0 Gegeben sind die Punkte A (-I1) und B (6I-1), sowie die Gerade g mit der Gleichung y = 0,5x + 3. Führe die folgenden Berechnungen jeweils auf zwei Stellen gerundet aus. 1.1 Berechne

Mehr

Grundwissen 10. Überblick: Gradmaß rπ Länge eines Bogens zum Mittelpunktswinkels α: b = α

Grundwissen 10. Überblick: Gradmaß rπ Länge eines Bogens zum Mittelpunktswinkels α: b = α Grundwissen 0. Berechnungen an Kreis und Kugel a) Bogenmaß Beispiel: Gegeben ist ein Winkel α=50 ; dann gilt: b = b = π 50 0,8766 r r 360 Die (reelle) Zahl ist geeignet, die Größe eines Winkels anzugeben.

Mehr

Aufgaben zur Übung der Anwendung von GeoGebra

Aufgaben zur Übung der Anwendung von GeoGebra Aufgabe 1 Aufgaben zur Übung der Anwendung von GeoGebra Konstruieren Sie ein Quadrat ABCD mit der Seitenlänge AB = 6,4 cm. Aufgabe 2 Konstruieren Sie ein Dreieck ABC mit den Seitenlängen AB = c = 6,4 cm,

Mehr

(x 1. Vektoren. g: x = p + r u. p r (u1. x 2. u 2. p 2

(x 1. Vektoren. g: x = p + r u. p r (u1. x 2. u 2. p 2 Vektoren Mit der Vektorrechnung werden oft geometrische Probleme gelöst. Wenn irgendwelche Aufgabenstellungen geometrisch darstellbar sind, z.b. Flugbahnen oder Abstandsberechnungen, dann können sie mit

Mehr

entspricht der Länge des Vektorpfeils. Im R 2 : x =

entspricht der Länge des Vektorpfeils. Im R 2 : x = Norm (oder Betrag) eines Vektors im R n entspricht der Länge des Vektorpfeils. ( ) Im R : x = x = x + x nach Pythagoras. Allgemein im R n : x x = x + x +... + x n. Beispiele ( ) =, ( 4 ) = 5, =, 4 = 0.

Mehr

mentor Lernhilfe: Mathematik 10. Klasse Baumann

mentor Lernhilfe: Mathematik 10. Klasse Baumann mentor Lernhilfe: Mathematik 10. Klasse Geometrie: Winkelfunktionen, Trigonometrie, Additionstheoreme, Vektorrechnung von Rolf Baumann 1. Auflage mentor Lernhilfe: Mathematik 10. Klasse Baumann schnell

Mehr

Kapitel VI. Euklidische Geometrie

Kapitel VI. Euklidische Geometrie Kapitel VI. Euklidische Geometrie 1 Abstände und Lote Wiederholung aus Kapitel IV. Wir versehen R n mit dem Standard Skalarprodukt x 1 y 1.,. := x 1 y 1 +... + x n y n x n y n Es gilt für u, v, w R n und

Mehr

11 Üben X Affine Funktionen 1.01

11 Üben X Affine Funktionen 1.01 Üben X Aine Funktionen.0 Zeichne die Graphen zu olgenden Funktionsgleichungen! + + d c b a Augabenkarte von MUED Lösung X Aine Funktionen.0 + + d c b a Üben X Aine Funktionen.0 Bestimme die Funktionsgleichung

Mehr

Aufgaben des MSG-Zirkels 10b Schuljahr 2007/2008

Aufgaben des MSG-Zirkels 10b Schuljahr 2007/2008 Aufgaben des MSG-Zirkels 10b Schuljahr 2007/2008 Alexander Bobenko und Ivan Izmestiev Technische Universität Berlin 1 Hausaufgaben vom 12.09.2007 Zahlentheorie 1 Aufgabe 1.1 Berechne die (quadratischen)

Mehr

Tag der Mathematik 2007

Tag der Mathematik 2007 Tag der Mathematik 2007 Gruppenwettbewerb Einzelwettbewerb Speed-Wettbewerb Lösungen Allgemeine Hinweise: Als Hilfsmittel dürfen nur Schreibzeug, Geodreieck und Zirkel benutzt werden. Taschenrechner sind

Mehr

Analytische Geometrie

Analytische Geometrie Analytische Geometrie Übungsaufgaben Punkte, Vektoren, Geradengleichungen Gymnasium Klasse 0 Alexander Schwarz www.mathe-aufgaben.com März 04 Aufgabe : Gegeben sind die Punkte O(0/0/0), A(6/6/0), B(/9/0),

Mehr

Realschule Abschlussprüfung

Realschule Abschlussprüfung Realschule Abschlussprüfung Annegret Sonntag 4. Januar 2010 Inhaltsverzeichnis 1 Strategie zur Berechnung von ebenen Figuren (Trigonometrie) 3 1.1 Skizze.................................................

Mehr

min km/h

min km/h Proportionalität 1. Gegeben sind die folgenden Zuordnungen: 1) x - 3-1 0 0,5 4 y 9 3 0-1,5-6 -1 y : x - 3-3 ) km/h 30 45 60 70 85 100 min 45 30,5 13,5 min km/h 1350 1350 1350 3) s -,5 3,3 7, 8 9,1 4) t

Mehr

Lösungen V.1. Pfeile bedeuten ist auch ein. (Lambacher-Schweizer Geometrie 2, S. 150)

Lösungen V.1. Pfeile bedeuten ist auch ein. (Lambacher-Schweizer Geometrie 2, S. 150) Lösungen V.1 I: Trapez (zwei parallele Seiten; keine Symmetrie) II: gleichschenkliges Trapez (zwei parallele Seiten, die anderen beiden gleich lang; achsensymmetrisch) III: Drachen(viereck) (jeweils zwei

Mehr

1. Algebra 1.1 Terme Man schreibt für einen Term T, der von den Variablen t und m abhängt: m (ausgesprochen: T von t und m)

1. Algebra 1.1 Terme Man schreibt für einen Term T, der von den Variablen t und m abhängt: m (ausgesprochen: T von t und m) Grundwissen Mathematik 7. Klasse 1. Algebra 1.1 Terme Man schreibt für einen Term T, der von den Variablen t und m abhängt: Ttm (, ) = ( t 5+ 6) 20+ m (ausgesprochen: T von t und m) Ein Term besteht aus

Mehr

Raumgeometrie - gerade Pyramide

Raumgeometrie - gerade Pyramide 1.0 Das Quadrat ABCD mit der Seitenlänge 7 cm ist Grundfläche einer geraden Pyramide ABCDS mit der Höhe h = 8 cm. S ist die Pyramidenspitze. 1.1 Fertige ein Schrägbild der Pyramide ABCDS an. 1.2 Berechne

Mehr

Hurra, Hurra, die Feuerwehr ist da oder: Schulgeometrie ausnahmsweise realitätsnahe

Hurra, Hurra, die Feuerwehr ist da oder: Schulgeometrie ausnahmsweise realitätsnahe Hurra, Hurra, die Feuerwehr ist da oder: Schulgeometrie ausnahmsweise realitätsnahe Markus Buchtele markus.buchtele buchtele@uni-klu.ac.at http://www www.mathematik.uni-kl.de/~ kl.de/~mamaeusch/ http://www

Mehr

Nachhilfe-Kurs Mathematik Klasse 13 Freie Waldorfschule Mitte April 2008

Nachhilfe-Kurs Mathematik Klasse 13 Freie Waldorfschule Mitte April 2008 Nachhilfe-Kurs Mathematik Klasse 13 Freie Waldorfschule Mitte April 8 Zusammenfassung IC Il Corso Advanzato I. Besondere Punkte, Geraden und Ebenen 1. Besondere Ebenen Koordinatenebenen: Wie in dem konkretes

Mehr

Aufgaben zu sin, cos und tan im rechtwinkligen Dreieck

Aufgaben zu sin, cos und tan im rechtwinkligen Dreieck Aufgaben zu sin, cos und tan im rechtwinkligen Dreieck 1) Eine Leiter ist 3m von einer Wand entfernt. Die Leiter ist 5m lang. In welcher Höhe ist die Leiter an die Wand gelehnt und welchen Neigungswinkel

Mehr

Sekundarschulabschluss für Erwachsene

Sekundarschulabschluss für Erwachsene SAE Sekundarschulabschluss für Erwachsene Name: Nummer: Geometrie A 2011 Totalzeit: 60 Minuten Hilfsmittel: Nichtprogrammierbarer Taschenrechner und Geometriewerkzeug Maximal erreichbare Punktzahl: 60

Mehr

In der Zeichnung unten sind α und β, β und γ, γ und δ, δ und α Nebenwinkel. Scheitelwinkel sind α und γ oder β und δ.

In der Zeichnung unten sind α und β, β und γ, γ und δ, δ und α Nebenwinkel. Scheitelwinkel sind α und γ oder β und δ. Entdeckungen an Geraden- und Doppelkreuzungen Schneiden sich zwei Geraden, so entstehen vier Winkel mit Scheitel im Schnittpunkt. Jeweils zwei gleichgroße Winkel liegen sich dabei gegenüber man nennt diese

Mehr

Mathematik-Lexikon. Abszisse Die x-koordinate eines Punktes -> Ordinate

Mathematik-Lexikon. Abszisse Die x-koordinate eines Punktes -> Ordinate Mathematik-Lexikon HM00 Abszisse Die x-koordinate eines Punktes -> Ordinate Aufstellen von Funktionstermen Gesucht: Ganzrationale Funktion n-ten Grades: ƒ(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + a n- x n- +... +

Mehr

D C. Man unterscheidet in der Geometrie zwischen Körpern, Flächen, Linien und Punkten.

D C. Man unterscheidet in der Geometrie zwischen Körpern, Flächen, Linien und Punkten. V. Körper, Flächen und Punkte ================================================================= 5.1 Körper H G E F D C A B Man unterscheidet in der Geometrie zwischen Körpern, Flächen, Linien und Punkten.

Mehr

Brückenkurs Mathematik

Brückenkurs Mathematik Brückenkurs Mathematik 6.10. - 17.10. Vorlesung 3 Geometrie Doris Bohnet Universität Hamburg - Department Mathematik Mi 8.10.2008 1 Geometrie des Dreiecks 2 Vektoren Länge eines Vektors Skalarprodukt Kreuzprodukt

Mehr

Ein Halbkreis im Viertelkreis

Ein Halbkreis im Viertelkreis 1 Ein Halbkreis im Viertelkreis ätselaufgabe aus mathsoftpuzzle bbildung 1 zeigt den Kreis k 1 mit dem adius r = 1 und einen Viertelkreisbogen k mit dem adius =. Im Punkt D liegt die Tangente g 1 am Kreis

Mehr

6. Mathematik Olympiade 2. Stufe (Kreisolympiade) Klasse 12 Saison 1966/1967 Aufgaben und Lösungen

6. Mathematik Olympiade 2. Stufe (Kreisolympiade) Klasse 12 Saison 1966/1967 Aufgaben und Lösungen 6. Mathematik Olympiade 2. Stufe (Kreisolympiade) Klasse 12 Saison 1966/1967 Aufgaben und Lösungen 1 OJM 6. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Kreisolympiade) Klasse 12 Aufgaben Hinweis: Der Lösungsweg mit

Mehr

1.4 Steigung und Steigungsdreieck einer linearen Funktion

1.4 Steigung und Steigungsdreieck einer linearen Funktion Werner Zeyen 1. Auflage, 2013 ISBN: 978-3-86249-250-3 Mathe mit GeoGebra 7/8 Dreiecke, Vierecke, Lineare Funktionen und Statistik Arbeitsheft mit CD RS-MA-GEGE2 1.4 Steigung und Steigungsdreieck einer

Mehr

d 2 b 2 c 2 d 3 b 3 c 3 , D a 1 d 1 c 1 v 3 Definiton (Verbindungsvektor): Zwei Punkte A(a 1 a 2 a 3 ) und B(b 1 b 2 b 3 ) legen den Vektor b 1 a 1

d 2 b 2 c 2 d 3 b 3 c 3 , D a 1 d 1 c 1 v 3 Definiton (Verbindungsvektor): Zwei Punkte A(a 1 a 2 a 3 ) und B(b 1 b 2 b 3 ) legen den Vektor b 1 a 1 2008/2009 Das Wichtigste in Kürze Klasse 3 Lineare Gleichungssysteme und Determinanten Definiton (Lineare Gleichungssysteme: Lineare Gleichungssysteme löst man entweder mit dem Gauß-Algorithmus oder nach

Mehr

4. Mathematikschulaufgabe

4. Mathematikschulaufgabe .0 Berechne folgende Terme:.. x + 4 = x =. (y x) (x + y) =.0 Schreibe ohne Klammern und vereinfache soweit wie möglich:. (x + ) (x 4) =. (0,4x + y) (0,4x y) + (y) =. Ermittle den Extremwert durch Termumformung.

Mehr

Das Mathematikabitur. Abiturvorbereitung Geometrie. Autor: Claus Deser Abiturvorbereitung Mathematik 1

Das Mathematikabitur. Abiturvorbereitung Geometrie. Autor: Claus Deser Abiturvorbereitung Mathematik 1 Das Mathematikabitur Abiturvorbereitung Geometrie Autor: Claus Deser Abiturvorbereitung Mathematik 1 Gliederung Was sind Vektoren/ ein Vektorraum? Wie misst man Abstände und Winkel? Welche geometrischen

Mehr

Geometrie-Dossier Kreis 2

Geometrie-Dossier Kreis 2 Geometrie-Dossier Kreis 2 Name: Inhalt: Konstruktion im Kreis (mit Tangenten, Sekanten, Passanten und Sehnen) Grundaufgaben Verwendung: Dieses Geometriedossier orientiert sich am Unterricht und liefert

Mehr

6. Algorithmen der Computer-Geometrie

6. Algorithmen der Computer-Geometrie 6. Algorithmen der Computer-Geometrie 1. Einführung 2. Schnitt von zwei Strecken 3. Punkt-in-Polygon-Test 4. Schnitt orthogonaler Strecken 5. Punkteinschlussproblem Geo-Informationssysteme 146 6.1 Computer-Geometrie

Mehr

Aufgaben. zu Inhalten der 5. Klasse

Aufgaben. zu Inhalten der 5. Klasse Aufgaben zu Inhalten der 5. Klasse Universität Klagenfurt, Institut für Didaktik der Mathematik (AECC-M) September 2010 Zahlbereiche Es gibt Gleichungen, die (1) in Z, nicht aber in N, (2) in Q, nicht

Mehr

Informationsblatt für den Einstieg ins 2. Mathematikjahr AHS Kursleiter: Manfred Gurtner

Informationsblatt für den Einstieg ins 2. Mathematikjahr AHS Kursleiter: Manfred Gurtner Informationsblatt für den Einstieg ins 2. Mathematikjahr AHS Kursleiter: Manfred Gurtner Stoff für den Einstufungstest Mathematik in das 2. Jahr AHS 1) Gleichungen/ Gleichungssysteme/ Terme Lineare Gleichungen

Mehr

WS 2010/ Januar Mathematisches Institut der Universität München Prof. Dr. Rudolf Fritsch

WS 2010/ Januar Mathematisches Institut der Universität München Prof. Dr. Rudolf Fritsch Mathematisches Institut der Universität München Prof. Dr. Rudolf Fritsch WS 2010/2011 14. Januar 2011 Geometrie mit Übungen Übungsblatt 9, Musterlösungen Aufgabe 33. Es werden Kreise in der Euklidischen

Mehr

Wie lautet die Gleichung der Geraden, durch die beiden Punkte A(4/1) und B(-5/8)?

Wie lautet die Gleichung der Geraden, durch die beiden Punkte A(4/1) und B(-5/8)? Übungsbeispiel / 2 Gerade durch 2 Punkte Wie lautet die Gleichung der Geraden, durch die beiden Punkte A(4/) und B(-5/8)? Maturavorbereitung 8. Klasse ACDCA 999 Vektorrechnung Übungsbeispiel 2 / 2 Gerade

Mehr

Berechnung von Strecken und Winkeln. Hier alle Beispiele aus Teil 5 und 6. als Aufgabensammlung. Datei Nr. 64120. Stand 22.

Berechnung von Strecken und Winkeln. Hier alle Beispiele aus Teil 5 und 6. als Aufgabensammlung. Datei Nr. 64120. Stand 22. Vektorgeometrie ganz einfach Aufgabensammlung Berechnung von Strecken und Winkeln Hier alle Beispiele aus Teil 5 und 6 als Aufgabensammlung. Datei Nr. 640 Stand. März 0 INTERNETBIBLITHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

Mehr

Direkt und indirekt proportionale Größen

Direkt und indirekt proportionale Größen 8.1 Grundwissen Mathematik Algebra Klasse 8 Direkt und indirekt proportionale Größen Direkte Proportionalität x und y sind direkt proportional, wenn zum doppelten, dreifachen,, n-fachen Wert für x der

Mehr

Themenbereich 1: Proportionalitätszuordnungen. Proportionale Zuordnungen. y bzw. Umgekehrt proportionale Zuordnungen. 6000g

Themenbereich 1: Proportionalitätszuordnungen. Proportionale Zuordnungen. y bzw. Umgekehrt proportionale Zuordnungen. 6000g Themenbereich : Proportionalitätszuordnungen Benzinmenge in Abhängigkeit von dem Preis: Proportionale Zuordnungen Wenn eine Größe verdoppelt wird, führt dies zur Verdoppelung der Anderen Die Zuordnungsvorschrift

Mehr

Vektorgeometrie - Teil 1

Vektorgeometrie - Teil 1 Vektorgeometrie - Teil 1 MNprofil - Mittelstufe KZN Ronald Balestra CH - 8046 Zürich www.ronaldbalestra.ch Name: Vorname: 14. März 2016 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung & die analytische Darstellung der

Mehr

2. Die Satzgruppe des Pythagoras

2. Die Satzgruppe des Pythagoras Grundwissen Mathematik 9. Klasse Seite von 17 1.4 Rechnen mit reellen Zahlen a) Multiplizieren und Dividieren von reellen Zahlen + Es gilt: a b = a b mit ab R, 0 Beispiele: 18 = 36 = 6 14 14 7 = = a a

Mehr

Trigonometrische Funktionen

Trigonometrische Funktionen Trigonometrische Funktionen Rainer Hauser September 013 1 Einleitung 1.1 Der Begriff Funktion Eine Funktion ordnet jedem Element m 1 einer Menge M 1 ein Element m einer Menge M zu. Man schreibt dafür f:

Mehr

Formelsammlung Analytische Geometrie

Formelsammlung Analytische Geometrie Formelsammlung Analytische Geometrie http://www.fersch.de Klemens Fersch 6. August 6 Inhaltsverzeichnis 6 Analytische Geometrie 6. Vektorrechung in der Ebene......................................... 6..

Mehr

13. Klasse TOP 10 Grundwissen 13 Geradengleichungen 01

13. Klasse TOP 10 Grundwissen 13 Geradengleichungen 01 . Klasse TOP 0 Grundwissen Geradengleichungen 0 Punkt-Richtungs-Form Geraden sind gegeben durch einen Aufpunkt A (mit Ortsvektor a) auf der Geraden und einen Richtungsvektor u: x = a + λ u, λ IR. (Interpretation:

Mehr

Grundregeln der Perspektive und ihre elementargeometrische Herleitung

Grundregeln der Perspektive und ihre elementargeometrische Herleitung Vortrag zu Mathematik, Geometrie und Perspektive von Prof. Dr. Bodo Pareigis am 15.10.2007 im Vorlesungszyklus Naturwissenschaften und Mathematische Wissenschaften im Rahmen des Seniorenstudiums der LMU.

Mehr

Basistext Geometrie Grundschule. Eine Strecke bezeichnet man einer direkte Verbindung zwischen zwei Punkten:

Basistext Geometrie Grundschule. Eine Strecke bezeichnet man einer direkte Verbindung zwischen zwei Punkten: Basistext Geometrie Grundschule Geometrische Figuren Strecke Eine Strecke bezeichnet man einer direkte Verbindung zwischen zwei Punkten: Gerade Eine Gerade ist eine Strecke ohne Endpunkte. Die Gerade geht

Mehr

Demo: Mathe-CD. Prüfungsaufgaben Mündliches Abitur. Analysis. Teilbereich 1: Ganzrationale Funktionen 1. März 2002

Demo: Mathe-CD. Prüfungsaufgaben Mündliches Abitur. Analysis. Teilbereich 1: Ganzrationale Funktionen 1. März 2002 Prüfungsaufgaben Mündliches Abitur Analysis Teilbereich : Ganzrationale Funktionen Hier nur Aufgaben als Demo Datei Nr. 9 März 00 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK Vorwort Die in dieser Reihe von

Mehr

1. Vereinfache wie im Beispiel: 3. Vereinfache wie im Beispiel: 4. Schreibe ohne Wurzel wie im Beispiel:

1. Vereinfache wie im Beispiel: 3. Vereinfache wie im Beispiel: 4. Schreibe ohne Wurzel wie im Beispiel: 1. Zahlenmengen Wissensgrundlage Aufgabenbeispiele Gib die jeweils kleinstmögliche Zahlenmenge an, welche die Zahl enthält? R Q Q oder All diejenigen Zahlen, die sich nicht mehr durch Brüche darstellen

Mehr

3. Mathematikschulaufgabe

3. Mathematikschulaufgabe Klasse 0 / II.0 Die Raute ABCD mit den Diagonalen AC = e und BD = f ist die Grundfläche einer schiefen Pyramide ABCDS. Die Spitze S liegt senkrecht über dem Punkt D der Grundfläche. Es gilt: e = 4 cm;

Mehr

Ergänzungsprüfung. zum Erwerb der Fachhochschulreife (nichttechnische Ausbildungsrichtung)

Ergänzungsprüfung. zum Erwerb der Fachhochschulreife (nichttechnische Ausbildungsrichtung) Ergänzungsprüfung zum Erwerb der Fachhochschulreife 2005 Prüfungsfach: Mathematik (nichttechnische Ausbildungsrichtung) Prüfungstag: Donnerstag, 16. Juni 2005 Prüfungsdauer: 09:00-12:00 Uhr Hilfsmittel:

Mehr

Sollten sich (Flüchtigkeits )Fehler eingeschlichen haben, bitte ich um eine kurze Nachricht an hans

Sollten sich (Flüchtigkeits )Fehler eingeschlichen haben, bitte ich um eine kurze Nachricht an hans Sollten sich (Flüchtigkeits )Fehler eingeschlichen haben, bitte ich um eine kurze Nachricht an hans josef.coenen@web.de Abitour Analytische Geometrie Leistungskurs Aufgaben 1. Welche Lagebeziehungen zwischen

Mehr

Herzlich willkommen zur Demo der mathepower.de Aufgabensammlung

Herzlich willkommen zur Demo der mathepower.de Aufgabensammlung Herzlich willkommen zur der Um sich schnell innerhalb der ca. 350.000 Mathematikaufgaben zu orientieren, benutzen Sie unbedingt das Lesezeichen Ihres Acrobat Readers: Das Icon finden Sie in der links stehenden

Mehr

Berufsreifprüfung Mathematik

Berufsreifprüfung Mathematik BRP Mathematik VHS Floridsdorf 08.10.2011 Seite 1/3 Berufsreifprüfung Mathematik Volkshochschule Floridsdorf / Herbsttermin 2011 1. Ein Brückenbogen besteht aus zwei Parabeln zweiter Ordnung (siehe Skizze).

Mehr

Propädeutikum Mathematik

Propädeutikum Mathematik Propädeutikum Mathematik Sommersemester 2016 Carsten Krupp BBA Seite 1 Literaturhinweise Cramer, E., Neslehova, J.: Vorkurs Mathematik, Springer, 2004 Piehler, Sippel, Pfeiffer: Mathematik zum Studieneinstieg,

Mehr

4. Mathematik Olympiade 3. Stufe (Bezirksolympiade) Klasse 8 Saison 1964/1965 Aufgaben und Lösungen

4. Mathematik Olympiade 3. Stufe (Bezirksolympiade) Klasse 8 Saison 1964/1965 Aufgaben und Lösungen 4. athematik Olympiade 3. Stufe (Bezirksolympiade) Klasse 8 Saison 1964/1965 Aufgaben und Lösungen 1 OJ 4. athematik-olympiade 3. Stufe (Bezirksolympiade) Klasse 8 Aufgaben Hinweis: Der Lösungsweg mit

Mehr

Trigonometrie und Planimetrie

Trigonometrie und Planimetrie Trigonometrie und Planimetrie Hinweis: Die Aufgaben sind in 3 Gruppen gegliedert (G): Grundlagen, Basiswissen einfache Aufgaben (F): Fortgeschritten mittelschwere Aufgaben (E): Experten schwere Aufgaben

Mehr

Abiturprüfung an den allgemein bildenden Gymnasien. Musteraufgaben 2017 Hilfsmittelfreier Teil Seite 1-2. = 0. (2 VP) e

Abiturprüfung an den allgemein bildenden Gymnasien. Musteraufgaben 2017 Hilfsmittelfreier Teil Seite 1-2. = 0. (2 VP) e MINISTERIUM FÜR KULTUS, JUGEND UND SPORT Abiturprüfung an den allgemein bildenden Gymnasien Prüfungsfach: M a t h e m a t i k Musteraufgaben 2017 Hilfsmittelfreier Teil Seite 1-2 1. Bilden Sie die erste

Mehr

Tag 6 - Montag, Aufgaben und Lösungen Differentialrechnung und Anwendungen

Tag 6 - Montag, Aufgaben und Lösungen Differentialrechnung und Anwendungen Hochschule für Technik, Wirtschaft und Kultur Leipzig Vorkurs Mathematik Themen: Tag 6 - Montag, 9.9. - Aufgaben und Lösungen Differentialrechnung und Anwendungen Differentiationsregeln der Grundfunktionen

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 0 Baden-Württemberg (ohne CAS) Pflichtteil Aufgaben Aufgabe : ( VP) Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit f() = ( sin() + 7) 5. Aufgabe : ( VP) Berechnen Sie eine Stammfunktion

Mehr

Lk Mathematik 12 Analytische Geometrie Arbeitsblatt A.1

Lk Mathematik 12 Analytische Geometrie Arbeitsblatt A.1 Lk Mathematik 2 Analytische Geometrie Arbeitsblatt A.. Die Grundäche eines Spielplatzes liegt in der x - -Ebene. Auf ihm steht eine innen begehbare, senkrechte, quadratische Pyramide aus Holz mit den Eckpunkten

Mehr

Mathematik II Frühlingsemester 2015 Kap. 9: Funktionen von mehreren Variablen 9.1 Einführung

Mathematik II Frühlingsemester 2015 Kap. 9: Funktionen von mehreren Variablen 9.1 Einführung Mathematik II Frühlingsemester 2015 Kap 9: Funktionen von mehreren Variablen 91 Einführung wwwmathethzch/education/bachelor/lectures/fs2015/other/mathematik2 biol Prof Dr Erich Walter Farkas http://wwwmathethzch/

Mehr

Institut für Mathematik Geometrie und Lineare Algebra J. Schönenberger-Deuel

Institut für Mathematik Geometrie und Lineare Algebra J. Schönenberger-Deuel Lösungen Übung 7 Aufgabe 1. Skizze (mit zusätzlichen Punkten): Die Figur F wird begrenzt durch die Strecken AB und BC und den Kreisbogen CA auf l. Wir werden die Bilder von AB, BC und CA unter der Inversion

Mehr

α π r² Achtung: Das Grundwissen steht im Lehrplan! 1. Kreis und Kugel

α π r² Achtung: Das Grundwissen steht im Lehrplan! 1. Kreis und Kugel Achtung: Das Grundwissen steht im Lehrplan! Tipps zum Grundwissen Mathematik Jahrgangsstufe 10 Folgende Begriffe und Aufgaben solltest Du nach der 10. Klasse kennen und können: (Falls Du Lücken entdeckst,

Mehr

Maturitätsprüfung Mathematik

Maturitätsprüfung Mathematik Maturitätsprüfung 007 Mathematik Klasse 4bN Kantonsschule Solothurn Mathematisch-naturwissenschaftliches Maturitätsprofil Name: Note: Hinweise zur Bearbeitung der Prüfung: Zur Lösung der Aufgaben stehen

Mehr

Urs Wyder, 4057 Basel Funktionen. f x x x x 2

Urs Wyder, 4057 Basel Funktionen. f x x x x 2 Urs Wyder, 4057 Basel Urs.Wyder@edubs.ch Funktionen f 3 ( ) = + f ( ) = sin(4 ) Inhaltsverzeichnis DEFINITION DES FUNKTIONSBEGRIFFS...3. NOTATION...3. STETIGKEIT...3.3 ABSCHNITTSWEISE DEFINIERTE FUNKTIONEN...4

Mehr

WF Mathematik: 1. Grundbegriffe der Geometrie

WF Mathematik: 1. Grundbegriffe der Geometrie WF Mathematik: 1. Grundbegriffe der Geometrie Geometrie setzt sich aus den beiden griechischen Wörtern geo (Erde) und metrein (messen) zusammen, bedeutet ursprünglich Erdvermessen. Alle Gegenstände unseres

Mehr

Behörde für Bildung und Sport Abitur 2008 Lehrermaterialien zum Grundkurs Mathematik

Behörde für Bildung und Sport Abitur 2008 Lehrermaterialien zum Grundkurs Mathematik Abitur 008 LA / AG II. Abenteuerspielplatz Der Gemeinderat beschlie t, einen eher langweiligen Spielplatz zu einem Abenteuerspielplatz umzugestalten. Das Motto lautet Auf hoher See. Daher soll ein Piratenschiff

Mehr

Mathematik. Abiturprüfung 2014. Prüfungsteil A. Arbeitszeit: 90 Minuten. Bei der Bearbeitung der Aufgaben dürfen keine Hilfsmittel verwendet werden.

Mathematik. Abiturprüfung 2014. Prüfungsteil A. Arbeitszeit: 90 Minuten. Bei der Bearbeitung der Aufgaben dürfen keine Hilfsmittel verwendet werden. Mathematik Abiturprüfung 2014 Prüfungsteil A Arbeitszeit: 90 Minuten Bei der Bearbeitung der Aufgaben dürfen keine Hilfsmittel verwendet werden. Zu den Themengebieten Analysis, Stochastik und Geometrie

Mehr

Aufgaben zu geometrischen Grundbegriffen 1

Aufgaben zu geometrischen Grundbegriffen 1 Aufgaben zu geometrischen Grundbegriffen 1 Punkt, Gerade, Strecke und Strahl 1. Gib alle Buchstaben an, mit denen ein Punkt bezeichnet wird. A 2. Schreibe verschiedene Redewendungen auf, in denen das Wort

Mehr

Geometrie. Homepage zur Veranstaltung: Lehre Geometrie

Geometrie. Homepage zur Veranstaltung:  Lehre Geometrie Geometrie 4.1 Geometrie Homepage zur Veranstaltung: http://www.juergen-roth.de Lehre Geometrie Geometrie 4.2 Inhaltsverzeichnis Geometrie 1 Axiome der Elementargeometrie 2 Kongruenzabbildungen 3 Längen-,

Mehr

Mathematik für das Ingenieurstudium

Mathematik für das Ingenieurstudium Mathematik für das Ingenieurstudium von Martin Stämpfle, Jürgen Koch 2., aktual. Aufl. Hanser München 2012 Verlag C.H. Beck im Internet: www.beck.de ISBN 978 3 446 43232 1 Zu Inhaltsverzeichnis schnell

Mehr

Geometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi HS 1

Geometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi HS 1 Geometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi 10-12 HS 1 Benötigte Materialien: Geometrieheft DIN-A-4 blanco weiß, quadratisches Faltpapier/Zettelblock, rundes Faltpapier; Zirkel, Geometriedreieck, Klebstoff, Schere

Mehr

Station A * * 1-4 ca. 16 min

Station A * * 1-4 ca. 16 min Station A * * 1-4 ca. 16 min Mit einem 80 m langen Zaun soll an einer Hauswand ein Rechteck eingezäunt werden. Wie lang müssen die Seiten des Rechtecks gewählt werden, damit es einen möglichst großen Flächeninhalt

Mehr

Stufen- und Wechselwinkel sind genau dann gleich groß, wenn die Geraden g und h parallel sind.

Stufen- und Wechselwinkel sind genau dann gleich groß, wenn die Geraden g und h parallel sind. 1 Sätze über Winkel Geradenkreuzung: Zwei Geraden, die sich in einem Punkt schneiden, nennt man eine Geradenkreuzung. α α Nebeneinander liegende Winkel heißen Nebenwinkel, sie β ergeben zusammen stets

Mehr

Trigonometrie - Sinussatz, Kosinussatz

Trigonometrie - Sinussatz, Kosinussatz Gymnasium / Realschule Trigonometrie - Sinussatz, Kosinussatz Klasse 10 1. Gemäß nebenstehender Zeichnung sind die Stücke AB = c, α und β gegeben. Stelle eine Gleichung für die Strecke AD = x in Abhängigkeit

Mehr

Lösungen der 1. Lektion

Lösungen der 1. Lektion Lektionen der Vektorrechnung in Aufgaben Lösungen Schickt mir bei Entdeckung eines Fehlers oder Unklarheiten bitte eine e-mail! Lösungen der 1. Lektion Es ist hier unerheblich, wie Vektoren definiert werden.

Mehr

I. Symmetrie. II. Grundkonstruktionen

I. Symmetrie. II. Grundkonstruktionen I. Symmetrie Achsensymmetrie Zwei Figuren, die bezüglich einer Achse symmetrisch zueinander sind, nennt man achsensymmetrisch. Punktsymmetrie Zwei Figuren, die bei einer Halbdrehung um einen Punkt ineinander

Mehr

Propädeutikum Mathematik

Propädeutikum Mathematik Propädeutikum Mathematik Wintersemester 2016/2017 Prof. Dr. Dieter Leitmann Abteilung WI WiSe 2016/17 Seite 1 Literaturhinweise Cramer, E., Neslehova, J.: Vorkurs Mathematik, Springer, 2004 Piehler, Sippel,

Mehr

2.5. Aufgaben zu Dreieckskonstruktionen

2.5. Aufgaben zu Dreieckskonstruktionen 2.5. Aufgaben zu Dreieckskonstruktionen Aufgabe 1 Zeichne das Dreieck AC mit A( 1 2), (5 0) und C(3 6) und konstruiere seinen Umkreis. Gib den Radius und den Mittelpunkt des Umkreises an. Aufgabe 2 Konstruiere

Mehr

Zusammenfassung Mathematik 2012 Claudia Fabricius

Zusammenfassung Mathematik 2012 Claudia Fabricius Zusammenfassung Mathematik Claudia Fabricius Funktion: Eine Funktion f ordnet jedem Element x einer Definitionsmenge D genau ein Element y eines Wertebereiches W zu. Polynom: f(x = a n x n + a n- x n-

Mehr

K2 MATHEMATIK KLAUSUR. Aufgabe PT WTA WTGS Darst. Gesamtpunktzahl Punkte (max) 28 15 15 2 60 Punkte Notenpunkte

K2 MATHEMATIK KLAUSUR. Aufgabe PT WTA WTGS Darst. Gesamtpunktzahl Punkte (max) 28 15 15 2 60 Punkte Notenpunkte K2 MATHEMATIK KLAUSUR 26.2.24 Aufgabe PT WTA WTGS Darst. Gesamtpunktzahl Punkte (max 28 5 5 2 6 Punkte Notenpunkte PT 2 3 4 5 6 7 8 9 P. (max 2 2 2 4 5 3 3 4 3 Punkte WT Ana A.a b A.c Summe P. (max 7 5

Mehr

3. Erhaltungsgrößen und die Newton schen Axiome

3. Erhaltungsgrößen und die Newton schen Axiome Übungen zur T1: Theoretische Mechanik, SoSe13 Prof. Dr. Dieter Lüst Theresienstr. 37, Zi. 45 Dr. James Gray James.Gray@physik.uni-muenchen.de 3. Erhaltungsgrößen und die Newton schen Axiome Übung 3.1:

Mehr

Geradengleichungen. Anna Heynkes. 21.9.2005, Aachen

Geradengleichungen. Anna Heynkes. 21.9.2005, Aachen Geradengleichungen Anna Heynkes 21.9.2005, Aachen Wegen des Überspringens einer Jahrgangsstufe habe ich den Mathematik- Unterricht verpasst, in dem die Geradengleichungen behandelt wurden. Deshalb musste

Mehr

GW Mathematik 5. Klasse

GW Mathematik 5. Klasse Begriffe zur Gliederung von Termen Term Rechenart a heißt b heißt a + b (Summe) Addition 1. Summand 2. Summand a b (Differenz) Subtraktion Minuend Subtrahend a b ( Produkt) Multiplikation 1. Faktor 2.

Mehr

gebrochene Zahl gekürzt mit 9 sind erweitert mit 8 sind

gebrochene Zahl gekürzt mit 9 sind erweitert mit 8 sind Vorbereitungsaufgaben Mathematik. Bruchrechnung.. Grundlagen: gebrochene Zahl gemeiner Bruch Zähler Nenner Dezimalbruch Ganze, Zehntel Hundertstel Tausendstel Kürzen: Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl

Mehr

Minimalziele Mathematik

Minimalziele Mathematik Jahrgang 5 o Kopfrechnen, Kleines Einmaleins o Runden und Überschlagrechnen o Schriftliche Grundrechenarten in den Natürlichen Zahlen (ganzzahliger Divisor, ganzzahliger Faktor) o Umwandeln von Größen

Mehr

Grundlagen der Geometrie

Grundlagen der Geometrie Grundlagen der Geometrie Vorlesungsausarbeitung zum WS 2010/11 von Prof. Dr. K. Fritzsche ii Inhalt 0 Grundlagen der Schulgeometrie 1 I Die Elemente : Inzidenz und Anordnung 9 1. Die deduktive Methode

Mehr

F u n k t i o n e n Quadratische Funktionen

F u n k t i o n e n Quadratische Funktionen F u n k t i o n e n Quadratische Funktionen Eine Parabolantenne bündelt Radio- und Mikrowellen in einem Brennpunkt. Dort wird die Strahlung detektiert. Die Form einer Parabolantenne entsteht durch die

Mehr

Welche Lagen können zwei Geraden (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen kann eine Gerade bezüglich einer Ebene im Raum einnehmen?

Welche Lagen können zwei Geraden (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen kann eine Gerade bezüglich einer Ebene im Raum einnehmen? Welche Lagen können zwei Geraden (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen können zwei Ebenen (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen kann eine Gerade bezüglich einer Ebene im Raum einnehmen? Wie heiÿt

Mehr

Geometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi 10-12 HS 1

Geometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi 10-12 HS 1 Geometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi 10-12 HS 1 Benötigte Materialien: Geometrieheft DIN-A-4 blanco weiß, quadratisches Faltpapier/Zettelblock, rundes Faltpapier; Zirkel, Geometriedreieck, Klebstoff, Schere

Mehr

Direkte Proportionalität. Zwei einander zugeordnete Größen und sind (direkt) proportional, wenn

Direkte Proportionalität. Zwei einander zugeordnete Größen und sind (direkt) proportional, wenn M 8.1 Direkte Proportionalität Zwei einander zugeordnete Größen und sind (direkt) proportional, wenn zum -fachen Wert von der -fache Wert von gehört. der Quotient für alle Wertepaare gleich ist. ( Quotientengleichheit

Mehr

Berufsmaturitätsprüfung 2009 Mathematik

Berufsmaturitätsprüfung 2009 Mathematik GIBB Gewerblich-Industrielle Berufsschule Bern Berufsmaturitätsschule Berufsmaturitätsprüfung 2009 Mathematik Zeit: 180 Minuten Hilfsmittel: Formel- und Tabellensammlung ohne gelöste Beispiele, Taschenrechner

Mehr

Gymnasium Liestal Maturitätsprüfungen 2006

Gymnasium Liestal Maturitätsprüfungen 2006 Bemerkungen: - Die Prüfungsdauer beträgt 4 Stunden - Beginnen Sie jede Aufgabe mit einem neuen Blatt - Die Arbeit mit dem Taschenrechner muss dokumentiert sein Hilfsmittel: - CAS-Taschenrechner mit Anleitung

Mehr

3 Geometrisches Beweisen

3 Geometrisches Beweisen 22 3 Geometrisches Beweisen 3.1 Axiome Durch empirische Untersuchungen werden immer wieder Gesetzmäßigkeiten gefunden, die man versucht durch logische Schlüsse zu begründen. Irgendwann am Ende einer Schlusskette

Mehr

Geometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi HS 1

Geometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi HS 1 Geometrie Modul 4b WS 2015/16 Mi 10-12 HS 1 Benötigte Materialien: Geometrieheft DIN-A-4 blanco weiß, quadratisches Faltpapier/Zettelblock, rundes Faltpapier; Zirkel, Geometriedreieck, Klebstoff, Schere

Mehr