Lösung des Hedging-Problems mittels Stochastischer Dynamischer Optimierung

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1 Lösung des Hedging-Problems mittels Stochastischer Dynamischer Optimierung Ausarbeitung zum Vortrag im Seminar Stochastische Dynamische Optimierung vom Datum : Verfasser: Martin Schymalla Betreuer : Prof. Dr. Grüne

2 Inhaltsverzeichnis 1 Finanzmathematische Grundlagen Grundlegende Definitionen Kapitalmarkt Das Hedging-Problem Problemstellung Modellierung Beispiel: Duplikation von Optionen Das Hedging-Problem als Stochastisches Dynamisches Optimierungsproblem Stochastisches dynamisches Kontrollsystem Stochastisches dynamisches Optimierungsproblem Lösung des Hedging-Problems Bellman sches Optimalitätsprinzip Analytische Berechnung des ersten Schrittes Numerische Lösung der Bellman-Gleichung Literaturverzeichnis II I

3 1 Finanzmathematische Grundlagen 1.1 Grundlegende Definitionen Definition Eine Option ist das Recht, zu einem festen Zeitpunkt (europäische Option) oder bis zu einem festen Zeitpunkt (amerikanische Option), einen vorher festgelegten Basiswert zu einem vorher festgelegten Basispreis zu kaufen (Call-Option) oder zu verkaufen (Put-Option). Dieser feste Zeitpunkt heißt Laufzeitende. In dieser Arbeit werden nur europäische Optionen behandelt Definition Ein Portfolio heißt selbstfinanzierend, wenn zwischen der Investition in t = 0 und der Auszahlung in t = T kein Kapital aus dem Portfolio entnommen bzw. in das Portfolio investiert wird. Notationen In dieser Arbeit werden folgende Notationen verwendet: X: Basispreis der Option T: Laufzeitende der Option S t : Kurs des Basiswertes zum Zeitpunkt t B t : Kurs der Anleihe zum Zeitpunkt t t : Anzahl der Aktien, die der Investor in t hält. Θ t : Anzahl der Anleihen, die der Investor in t hält. r: Risikoloser Zinssatz füer eine Periode V t : Vermögen des Investors zum Zeitpunkt t Bemerkung Der Käufer einer Option hat das Recht, aber nicht die Pflicht, die Option auszuüben. Handelt er rational, was in dieser Arbeit immer angenommen wird, so wird er den Call (den Put) genau dann ausüben, wenn der Kurs des Basiswerts zum Laufzeitende größer (kleiner) als der Ausübungspreis der Option ist. Der Kauf eines Calls setzt also auf steigende Kurse, der Kauf eines Puts auf fallende Kurse Definition Verkauft ein Investor Wertpapiere ohne sie zu besitzen, so tätigt er einen Leerverkauf. 1

4 1.1.5 Bemerkung Faktisch wird bei einem Leerverkauf das entsprechende Wertpapier zunächst ausgeliehen, dann verkauft und schließlich wieder zurückgekauft und dem Gläubiger ausgehändigt. Es handelt sich daher um eine Spekulation auf fallende Kurse, da man in diesem Fall das Wertpapier billiger zurückkaufen kann als man es vorher verkauft hat. Auch Optionen können analog leer verkauft werden. Zur Vereinfachung wird in dieser Arbeit immer davon ausgegangen, dass Leerverkäufe möglich sind und keine Leihgebühren gezahlt werden müssen Definition Die Funktion P C X (S T ) := max(s T X, 0) = (S T X) + heißt Payoff-Funktion einer europäischen Call-Option mit Basispreis X und Laufzeitende T, die Funktion P P X (S T ) := max(x S T, 0) = (X S T ) + heißt Payoff-Funktion einer europäischen Put-Option mit Basispreis X und Laufzeitende T. Im Folgenden wird die Payoff-Funktion einer europäischen Option (Call oder Put) mit P X (S T ) bezeichnet, da die Aussagen, die in dieser Arbeit getroffen werden, unabhängig davon sind, ob es sich um einen Call oder einen Put handelt. 1.2 Kapitalmarkt Im Folgenden soll der Kapitalmarkt, auf dem diese Arbeit basiert, näher eingegrenzt werden Definition Der betrachtete Kapitalmarkt ist durch folgende Merkmale gekennzeichnet: 1. Der Kapitalmarkt ist diskret, das heißt Handel findet nur zu diskreten Zeitpunkten statt. 2. Es existiert genau ein Basiswert S, dessen Kurs für ein gegebenes S 0 durch S t+1 = (1 + Z t )S t (1.1) beschrieben wird, wobei die Zufallsvariablen Z t stochastisch unabhängig voneinander un identisch verteilt sind. 2

5 3. Es existiert genau ein risikoloser Zinssatz r > 0 und damit genau eine risikolose Anlage B, für die gilt. B t+1 = (1 + r)b t (1.2) 4. Es wird keine Dividende auf den Basiswert gezahlt. 5. Der Kapitalmarkt ist arbitragefrei, liquide und friktionslos, d.h. es gibt keine Transaktionskosten usw. 6. Der Kapitalmarkt ist risikoneutral. 7. Der Basiswert ist beliebig teilbar und Leerverkäufe sind erlaubt Bemerkungen Die Beschreibung des Kurses durch (1.1) wird in [1] beim Portfoliooptimierungsproblem genauer beschrieben. (1.2) gestattet auch den Fall, dass ein Kredit aufgenommen wird. B t gibt dann den aktuellen Schuldenstand an. Die Begriffe Arbitragefreiheit und Risikoneutralität werden im Folgenden definiert. Die Annahme der identischen Verteilung der Zufallsvariablen Z t ist nicht zwingend notwendig. Hier wird sie aber, wie in [1], zur Vereinfachung getroffen Definition Ein Kapitalmarkt, in dem es keinen sofortigen risikolosen Gewinn gibt, heißt arbitragefrei. Dies ist äquivalent dazu, dass es keine Portfolios Π 1, Π 2 gibt, für die es Zeitpunkte t 1 < t 2 gibt mit Π 1 t 1 < Π 2 t 1 (1.3) und Π 1 t 2 Π 2 t 2 (1.4) und (1.4) sicher ist. Gibt es solche Portfolios, dann kann der Investor in t 1 das Portfolio Π 2 (leer) verkaufen und das Portfolio Π 1 kaufen und macht dadurch einen sofortigen Gewinn, da er sofort mehr Kapital besitzt und sich auch in t 2 nicht schlechter stellt. 3

6 1.2.4 Definition Ein Kapitalmarkt mit einem risikolosen Zinssatz r heißt risikoneutral, wenn für jede Anlage Π im Zeitpunkt t für jedes T > t gilt. E[Π T ] = (1 + r) T t Π t (1.5) Lemma Für einen risikoneutralen Kapitalmarkt mit risikolosem Zinssatz r gilt: E[Z t ] = r (1.6) Beweis Aus (1.1) und (1.5) folgt: (1 + r)s t = E[S t+1 ] = E[(1 + Z t )S t ] = (1 + E[Z t ])S t Daraus folgt die Behauptung. 2 Das Hedging-Problem 2.1 Problemstellung Zum Zeitpunkt t = 0 wird eine europäische Call- oder Put-Option (z.b. auf eine Aktie) leer verkauft. Die Optionsprämie wird in ein Portfolio bestehend aus 0 Aktien und Θ 0 Bonds investiert. Zu den diskreten Zeitpunkten t = 1,..., T 1 wird das Portfolio umgeschichtet. Für den festverzinslichen Bond gilt der risikolose Zinssatz r, also B t+1 = (1 + r)b t (2.1) mit B 0 > 0 und r > 0. Für den Kurs des Basiswerts S = (S t ) gilt wie beim Portfoliooptimierungsproblem in [1]: S t+1 = (1 + Z t )S t. (2.2) (Z t ) ist hierbei eine Folge unabhängiger identisch verteilter Zufallsvariablen. Die Optionsprämie entspricht dem Startvermögen V 0 des Investors. Es wird in den Basiswert S und den Bond B investiert. Es ist daher V t = t S t + Θ t B t 4

7 2.1.1 Lemma Für t = 0,..., T 1 gilt: V t+1 = (1 + r)v t + t (Z t r)s t. (2.4) Ferner gilt für t = 0,..., T : Beweis t 1 V t = (1 + r) t V 0 + (1 + r) t n 1 n (Z n r)s n. (2.5) n=0 V t+1 = t S t+1 + Θ t B t+1 = t (S t + Z t S t ) + Θ t (1 + r)b t = t S t + Θ t B t + Z t S t t + rθ t B t = (1 + r)v t + t (Z t r)s t Damit ist (2.4) bewiesen. (2.5) erhält man durch iteratives Anwenden von (2.4), womit die Behauptung insgesamt gezeigt ist. Der Investor möchte seine Optionsverpflichtung durch eine selbstfinanzierende Handelsstrategie absichern und sein Risiko minimieren. 2.2 Modellierung Eine wichtige Frage der Modellierung ist zunächst die Frage wie das Risiko, das der Investor minimieren will, definiert sein soll Definition Das zu minimierende Risiko ist definiert als E[(P X (S T ) V T ) 2 ] Bemerkungen Es wird also das Quadrat der erwartete Differenz zwischen Auszahlungsverpflichtung und Vermögen in t = T minimiert. Dies hat zur Folge, dass eine Abweichung des Vermögens nach oben und nach unten gleichgewichtet sind. Diese Risikodefinition ist daher ökonomisch fragwürdig, hat aber die strikte Konvexität der Zielfunktion bezüglich der Kontrolle zur Folge, was mathematisch betrachtet vorteilhaft ist. Die Entscheidungsvariablen sind die Variablen t, die die Umschichtung des Vermögens nach Lemma eindeutig definieren. Zusätzlich soll das Risiko auch bezüglich der Optionsprämie V 0 minimiert werden, womit das Optionsbewertungsproblem mit gelöst wird. 5

8 2.3 Beispiel: Duplikation von Optionen In einfachen Fällen lässt sich das Risiko vollständig eliminieren und die Optimallösung kann analytisch berechnet werden. Dies ist dann der Fall, wenn man die Optionen durch Kauf/Verkauf des Basiswerts und einer risikolosen Anlage duplizieren kann. Das bedeutet, dass man eine Option leer verkauft und dann so in den Basiswert bzw. den Bond investiert bzw. desinvestierst, dass das Risiko am Laufzeitende null ist. In einem Finanzmarkt, der erfüllt, gebe es einen Bond B und eine Aktie S sowie eine europäische Call-Option auf diese Aktie. Der Basispreis X der Call-Option sei 100. Am Laufzeitende T seien zwei Kapitalmarktszenarien möglich. Kapitalmarktszenario 1: B T = 110, S T = 120, C(S T, T ) = 20 Kapitalmarktszenario 2: B T = 110, S T = 80, C(S T, T ) = 0 Das Auszahlungsprofil der Call-Option wird durch eine Anzahl Θ von Anleihen und eine Anzahl von Aktien nachgebildet. Ziel ist es das Risiko vollständig zu eliminieren. Es handelt sich um ein 1-Perioden- Modell. Umschichtungen im Portfolio werden daher nicht betrachtet und sind auch nicht notwendig. Daher ist folgendes lineares Gleichungssystem zu lösen: 110Θ = Θ + 80 = 0 Die Lösung des Systems ist (Θ, ) = ( 4 11, 1 ), 2 das heißt das Auszahlungsprofil der Call-Option kann durch den (Leer)verkauf von 4 Bonds und den Kauf von 1 Aktien nachgebildet werden. Analog lässt sich eine 11 2 solche Duplikationsstrategie für einen Put berechnen. Die wichtigen Voraussetzungen aus 1.2.1, die hier eingegangen sind, sind die Möglichkeit des Leerverkaufs und die beliebige Teilbarkeit von Aktie und Bond. Zwei weitere Voraussetzungen sind allerdings wichtig. Erstens wird implizit vorausgesetzt, dass die Optionsprämie so groß ist, dass der Investor dieses Portfolio wirklich realisieren kann. Zweitens lässt sich die Option nur dann duplizieren, wenn das obige lineare Gleichungssystem lösbar ist, wenn es also nicht mehr Zustände als handelbare Anlagen gibt. Da dies i.a. nicht der Fall ist, müssen andere Verfahren zur Lösung des Hedging- Problems gesucht werden. Dies motiviert den Ansatz, das Problem als stochastisches dynamisches Optimierungsproblem zu betrachten. 6

9 3 Das Hedging-Problem als stochastisches dynamisches Optimierungsproblem Ziel dieses Abschnitts ist es, dass vorgestellte Problem als stochastisches dynamisches Optimierungsproblem zu formulieren. Zunächst muss dafür ein stochastisches dynamisches Kontrollsystem definiert werden. 3.1 Stochastisches Dynamisches Kontrollsystem Definition Ein zeitdiskretes stochastisches Kontrollsystem ist gegeben durch eine Abbildung f : R n U R m R n, (x, u, z) f(x, u, z). Hierbei ist x R n der Zustand, u U R l der Kontrollwert und z R m der stochastische Einfluss. Für einen Anfangswert x 0, eine Folge von Zufallsvariablen (Z t ) t N0 und einen bezüglich der Σ-Algebra des Urbildraums dieser Zufallsvariablen messbaren Kontrollprozess u = (u t ) t N0 wird eine Lösung X t für t > 0 induktiv definiert durch X 0 = x 0, X t+1 = f(x t, u t, Z t ) Kontrollvariablen Als Kontrollvariablen werden zunächst nur die Variablen t betrachtet. Wegen (2.4) definieren diese Variablen eindeutig die Umschichtungsentscheidung des Investors in jeder Periode, da die Annahme getroffen wurde, dass in keiner Periode Kapital aus dem Portfolio entnommen wird oder in das Portfolio investiert wird Zustandsvariablen Der Zustand des Systems zum Zeitpunkt t wird beschrieben durch das Vermögen V t und dem Kurs S t des Basiswerts. ( Zur ) besseren Übersichtlichkeit wird der Zustand S im Folgenden nicht als Vektor, sondern als (S, V ) geschrieben. V Übergangsfunktion Es gelten (2.1) und (2.2). Daraus folgt: ( ) (1 + Z)S f (S, V,, Z) = (1 + r)v + (Z r)s (3.1) 7

10 3.2 Stochastisches dynamisches Optimierungsproblem Definition Gegeben sei ein stochastisches Kontrollsystem gemäß Definition mit Lösung X t = X t (x 0, u ), eine laufende Ertragsfunktion l : R n U R, ein Diskontfaktor β (0, 1] und eine End-Ertragsfunktion L : R n R. Das stochastische dynamische Optimierungsproblem auf dem endlichen Zeithorizont 0, 1,..., T lautet dann Minimiere J T (x 0, u) := E β t l(x t, u t ) + β T L(X T ) ] [T 1 t=0 Die Definition der Zielfunktion steht für das Hedging-Problem noch aus Zielfunktion Nach ist der Ausdruck E[(P X (S T ) V T ) 2 ] zu minimieren. Offensichtlich hängt die Zielfunktion nur von dem Endzustand und der Option X ab, die aber als gegeben angenommen wird. Daher sind die laufenden Kosten l 0, der Diskontfaktor β = 1 und die Endkosten L (S, V ) = (P X (S) V ) 2. Fur die Untersuchungen im Folgekapitel benötigen wir noch die optimalen Wertefunktionen Definition Gegeben sei ein stochastisches dynamisches Optimierungsproblem der Form mit T N 0 Die optimalen Wertefunktionen R T : R n R sind definiert als R T (x 0 ) := sup u U x0 J T (x 0, u) Bemerkungen 1. Die optimalen Wertefunktionen ordnen also jedem Anfangswert den mit zulässigen Kontrollprozessen maximal erreichbaren Zielfunktionswert zu. 2. Zulässigkeit des Kontrollprozesses u bedeutet, dass u t als Funktion von X 0,..., X t dargestellt werden kann. Genaueres hierzu ist in [1] (Kapitel 2) zu lesen. 8

11 4 Lösung des Hedging-Problems 4.1 Bellman sches Optimalitätsprinzip Das Hedging-Problem wird mit den Methoden zur Lösung von stochastischen dynamischen Optimierungsproblemen aus [1] gelöst. Theoretische Grundlage dieses Vorgehens bildet das Bellman sche Optimialitätsprinzip Satz Die optimalen Wertefunktionen R 0,..., R T Zustände x R n die Gleichung erfüllen für alle t = 1,..., T und alle R t (x) = inf T t E [l (x, ) + βr t 1 (f (x,, Z T t )], (4.1) wobei R 0 (x) = L(x) den Endkosten entspricht. Der Beweis dieses Satzes und eine Version für Probleme auf unendlichem Horizont ist in Kapitel 4 in [1] zu finden. Der Index der Zufallsvariablen Z ist notwendig, falls diese nicht identisch verteilt sind. Nach gilt bei dem vorliegenden Problem l 0, β = 1 und L(S, V ) = (P X (S) V ) 2. Daher wird die Bellman-Gleichung für das Hedging-Problem zu R t (S, V ) = inf T t E [R t 1 (f ((S, V ), T t, Z T t ))] (4.2) Verfahren der dynamischen Programmierung Das Bellman sche Optimalitätsprinzip liefert ein Verfahren, mit dem stochastische dynamische Optimierungsprobleme gelöst werden können. Dies ist das Verfahren der dynamischen Programmierung. Es besteht darin, zunächst die optimalen Wertefunktionen R 0,..., R T mit Hilfe von (4.2) induktiv zu berechnen. R 1 (S, V ) sagt dann aus, wie hoch das minimale erwartete Risiko ist, wenn sich das System im Zustand (S, V ) befindet und noch ein Zeitschritt auszuführen ist. Die Optimierung geschieht dann bezüglich der Kontrolle T 1. Bezüglich der Kontrollen handelt es sich also um eine Rückwärtsinduktion. Sind alle optimalen Wertefunktionen und optimalen Feedbacks berechnet, so kann man nun vom gegebenen Startzustand (S 0, V 0 ) eine optimal gesteuerte Lösung des Kontrollsystems erzeugen. Alternativ lassen sich die optimalen Feedbacks auch erst an dieser Stelle mittels Online-Optimierung errechnen, was numerisch vorteilhaft ist. Beim Hedging-Problem wird auch V 0 als Variable 9

12 betrachtet, so dass nach Berechnung der optimalen Wertefunktionen die letzte optimale Wertefunktion R T (S 0, V 0 ) bezüglich V 0 minimiert wird. Da S 0 gegeben ist, handelt es sich um eine eindimensionale Minimierung einer stückweise affinen Funktion. Diese Problem kann durch Abfragen der Funktionswerte in den Gitterpunkten gelöst werden. Ein Problem beim Verfahren der dynamischen Programmierung ist, dass für R t 1 im Allgemeinen keine geschlossene Formel vorliegt und R t 1 (S, V ) daher immer nur für endlich viele Zustände berechnet werden kann. Es ist aber nicht bekannt, für welche Zustände R t 1 (S, V ) bei der Berechnung von R t in (4.2) benötigt wird. Daher müssen die optimalen Wertefunktionen approximiert werden. Hierfür wird zunächst ein Gitter bzgl. des Zustands (S, V ) erzeugt. In jedem Gitterpunkt wird die optimale Wertefunktion R t (S, V ) berechnet. Jeder Punkt, der nicht auf dem Gitter liegt, wird nun durch 2 n Gitterpunkte begrenzt. Diese definieren eindeutig eine affin-multilineare Funktion auf dem Gebiet, das sie eingrenzen. Dadurch ist das approximierende R t eindeutig definiert und kann als ein Vektor gespeichert werden. Näheres zu dieser Approximation ist in [1] in Kapitel 5 zu lesen. 4.2 Analytische Berechnung des ersten Schrittes Nach (4.2) ist im ersten Schritt folgendes Minimierungsproblem zu lösen: R 1 (S T 1, V T 1 ) = inf T 1 E [R 0 (f ((S T 1, V T 1 ),, Z))] (4.3) Setzt man R 0 und f ein, so ergibt sich Es ist R 1 (S T 1, V T 1 ) = inf T 1 E [ (P X (S T ) V T ) 2] (4.4) R 1 (S T 1, V T 1 ) = inf T 1 E [ (P X (S T ) V T ) 2] = inf T 1 E [ (P X (S T ) (1 + r)v T 1 (Z T 1 r) T 1 S T 1 ) 2] = inf T 1 E [ P X (S T ) 2 2(1 + r)v T 1 P X (S T ) 2(Z T 1 r) T 1 S T 1 P X (S T ) + 2(1 + r)(z T 1 r) T 1 S T 1 V T 1 ] + (Z T 1 r) 2 2 T 1ST (1 + r) 2 VT

13 ( = inf E [ P X (S T ) 2] 2(1 + r)v T 1 E [ P X (S T ) ] T 1 2E [ (Z T 1 r)p X (S T ) ] T 1 S T 1 + 2(1 + r) ( E[Z T 1 ] r ) T 1 S T 1 V T 1 + E [ (Z T 1 r) 2] ) 2 T 1ST (1 + r) 2 VT 2 1 Wegen der geforderten Risikoneutralität des Kapitalmarktes gilt nach Lemma 1.2.5: E[Z T 1 ] = r Damit ergibt sich: ( R 1 (S T 1, V T 1 ) = inf E [ P X (S T ) 2] 2(1 + r)v T 1 E [ P X (S T ) ] T 1 2E [ (Z T 1 r)p X (S T ) ] T 1 S T 1 + E [ (Z T 1 r) 2] ) 2 T 1ST (1 + r) 2 VT 2 1 =: inf T 1 R 1 ( T 1 ) Leitet man die zu minimierende Funktion R 1 ( T 1 ) zweimal nach T 1 ab, so ergibt sich: R 1( T 1 ) = 2E [ (Z T 1 r) 2] S 2 T 1 Hierbei ist wichtig, dass der Kurs des Basiswerts und damit die Payoff-Funktion der Option nicht von der Kontrolle T 1 abhängt. Ist die diskrete Zufallsvariable Z T 1 nicht deterministisch, so gibt es wenigstens einen Zustand ω 0, für den Z T 1 (ω 0 ) r und damit (Z T 1 (ω 0 ) r) 2 > 0 gilt. Da (Z T 1 (ω) r) 2 0 für alle Zustände ω gilt, folgt: und damit E [ (Z T 1 r) 2] > 0 R 1( T 1 ) > 0 für jede Kontrolle T 1. Daher ist R 1 strikt konvex bezüglich T 1, so dass R 1( T 1 ) = 2 T 1 E [ (Z T 1 r) 2] S 2 T 1 2E [ (Z T 1 r)p X (S T ) ] S T 1 = 0 notwendig und hinreichend für ein Minimum ist. Als Optimallösung errechnet sich T 1 = E[ (Z T 1 r)p X (S T ) ] E [ (Z T 1 r) 2] S T 1 11

14 4.2.1 Bemerkungen Die optimale Kontrolle lässt sich also im letzten Zeitschritt analytisch für jeden Zustand (S, V ) berechnen. Da dieses Problem für alle Zustände auf dem erzeugten Gitter (vgl. 4.3) gelöst wird, zeichnen die Indizes an S und V keine besonderen Zustände aus. Sie verdeutlichen lediglich, dass die berechnete optimale Wertefunktion R 1 (S T 1, V T 1 ) das minimale Risiko liefert, wenn sich das System zum Zeitpunkt T 1 im Zustand (S T 1, V T 1 ) befindet. Aus (4.2) folgt, dass für alle Zustände (S, V ) und für t = 1,..., T gilt: R t (S, V ) = inf T t E [ R t 1 (f(s, V,, Z T t )) ] = inf T t E [ R t 1 (S + Z T t S, (1 + r)v + T t (Z T t r)s) ] (4.5) Bei der letzten Gleichung wurde (2.4) benutzt. Auf diese Art kann man dann alle Wertefunktionen berechnen Bemerkung Um dieses Problem analytisch (wie im ersten Schritt) zu lösen, muss man R t 1 als Funktion von T t darstellen. Da aber nur Auswertungen von der Funktion an endlich vielen Stellen vorliegen, werden die Probleme (4.5) numerisch gelöst. 4.3 Numerische Lösung der Bellman-Gleichung Ziel dieses Abschnitts ist es, (4.5) numerisch zu lösen Wie bereits in Bemerkung erwähnt, kann die Bellman-Gleichung (4.5) nur im ersten Schritt analytisch gelöst werden. Daher soll im Folgenden eine Möglichkeit aufgezeigt werden, das Minimierungsproblem (4.5) numerisch zu lösen. Wie im Abschnitt 4.2 schon gezeigt wurde, ist die im ersten Schritt zu minimierende Risikofunktion R 1 strikt konvex. Daher liegt es nahe, diese Eigenschaft auch bei den zu minimierenden Funktionen in den anderen Schritten zu vermuten Satz Die Funktionen R t ( T t ) = E [ R t 1 (S + Z T t S, (1 + r)v + T t (Z T t r)s) ] sind strikt konvex bezüglich der Variablen T t für alle Zustände (S, V ) und für alle t = 1,..., T. 12

15 Beweis Der Beweis wird per Induktion geführt. Induktionsanfang: Es ist bereits gezeigt, dass R 1 strikt konvex bezüglich T 1 ist. Die Risiko im ersten Schritt ist R 1 (S, V ) = E [ P X (S T ) V T ) 2]. Wird V T durch t 1 V t = (1 + r) t V 0 + (1 + r) t n 1 n (Z n r)s n. (2.5) n=0 ersetzt, so ist zu erkennen, dass R 1 (S, V ) auch bezüglich T 2,..., 0 strikt konvex ist. Induktionsschritt t 1 t: Sei R t 1 (S T t+1, V T t+1 ) strikt konvex bezüglich Es ist R t (S T t, V T t ) = E [ R t 1 (S T t+1, V T t+1 ) ]. Da der Erwartungswert für diskrete Verteilungen eine Konvexkombination darstellt, ist auch R t (S T t, V T t ) strikt konvex bezüglich T t. Damit ist die Behauptung bewiesen. Weiterhin wird noch ein Resultat aus der Optionsbewertungstheorie benötigt. Dieses besagt, dass die Anzahl an Basiswerten, die für die Duplikation der Option nötig ist, für einen Call im Intervall [0, 1] und für einen Put im Intervall [ 1, 0] liegen. Daher lassen sich die Kontrollen auch in kompakte Intervalle einschließen. Es ist allerdings sinnvoll, diese Intervalle größer zu wählen, da nicht a priori klar ist, dass die Methode der dynamischen Programmierung wirklich Kontrollen aus [0, 1] bzw. aus [ 1, 0] liefert. Insgesamt ist (4.5) also eine eindimensionale Minimierung einer bezüglich der Entscheidungsvariablen strikt konvexen Funktion auf einem kompakten Intervall. Daher können Methoden der eindimensionalen konvexen Minimierung wie z.b. die Golden- Section-Search zur Anwendung kommen. Näheres zu dieser Methode findet sich in [2] in Kapitel 8. 13

16 Literatur [1] Stochastische Dynamische Optimierung, Vorlesungsskript, Lars Grüne, 2007 [2] Vergleich numerischer Berechnungsmethoden für Optionswerte und Handelsstrategien, Diplomarbeit, Martin Egerer, 2006 II

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