Lösung des Hedging-Problems mittels Stochastischer Dynamischer Optimierung

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Lösung des Hedging-Problems mittels Stochastischer Dynamischer Optimierung"

Transkript

1 Lösung des Hedging-Problems mittels Stochastischer Dynamischer Optimierung Ausarbeitung zum Vortrag im Seminar Stochastische Dynamische Optimierung vom Datum : Verfasser: Martin Schymalla Betreuer : Prof. Dr. Grüne

2 Inhaltsverzeichnis 1 Finanzmathematische Grundlagen Grundlegende Definitionen Kapitalmarkt Das Hedging-Problem Problemstellung Modellierung Beispiel: Duplikation von Optionen Das Hedging-Problem als Stochastisches Dynamisches Optimierungsproblem Stochastisches dynamisches Kontrollsystem Stochastisches dynamisches Optimierungsproblem Lösung des Hedging-Problems Bellman sches Optimalitätsprinzip Analytische Berechnung des ersten Schrittes Numerische Lösung der Bellman-Gleichung Literaturverzeichnis II I

3 1 Finanzmathematische Grundlagen 1.1 Grundlegende Definitionen Definition Eine Option ist das Recht, zu einem festen Zeitpunkt (europäische Option) oder bis zu einem festen Zeitpunkt (amerikanische Option), einen vorher festgelegten Basiswert zu einem vorher festgelegten Basispreis zu kaufen (Call-Option) oder zu verkaufen (Put-Option). Dieser feste Zeitpunkt heißt Laufzeitende. In dieser Arbeit werden nur europäische Optionen behandelt Definition Ein Portfolio heißt selbstfinanzierend, wenn zwischen der Investition in t = 0 und der Auszahlung in t = T kein Kapital aus dem Portfolio entnommen bzw. in das Portfolio investiert wird. Notationen In dieser Arbeit werden folgende Notationen verwendet: X: Basispreis der Option T: Laufzeitende der Option S t : Kurs des Basiswertes zum Zeitpunkt t B t : Kurs der Anleihe zum Zeitpunkt t t : Anzahl der Aktien, die der Investor in t hält. Θ t : Anzahl der Anleihen, die der Investor in t hält. r: Risikoloser Zinssatz füer eine Periode V t : Vermögen des Investors zum Zeitpunkt t Bemerkung Der Käufer einer Option hat das Recht, aber nicht die Pflicht, die Option auszuüben. Handelt er rational, was in dieser Arbeit immer angenommen wird, so wird er den Call (den Put) genau dann ausüben, wenn der Kurs des Basiswerts zum Laufzeitende größer (kleiner) als der Ausübungspreis der Option ist. Der Kauf eines Calls setzt also auf steigende Kurse, der Kauf eines Puts auf fallende Kurse Definition Verkauft ein Investor Wertpapiere ohne sie zu besitzen, so tätigt er einen Leerverkauf. 1

4 1.1.5 Bemerkung Faktisch wird bei einem Leerverkauf das entsprechende Wertpapier zunächst ausgeliehen, dann verkauft und schließlich wieder zurückgekauft und dem Gläubiger ausgehändigt. Es handelt sich daher um eine Spekulation auf fallende Kurse, da man in diesem Fall das Wertpapier billiger zurückkaufen kann als man es vorher verkauft hat. Auch Optionen können analog leer verkauft werden. Zur Vereinfachung wird in dieser Arbeit immer davon ausgegangen, dass Leerverkäufe möglich sind und keine Leihgebühren gezahlt werden müssen Definition Die Funktion P C X (S T ) := max(s T X, 0) = (S T X) + heißt Payoff-Funktion einer europäischen Call-Option mit Basispreis X und Laufzeitende T, die Funktion P P X (S T ) := max(x S T, 0) = (X S T ) + heißt Payoff-Funktion einer europäischen Put-Option mit Basispreis X und Laufzeitende T. Im Folgenden wird die Payoff-Funktion einer europäischen Option (Call oder Put) mit P X (S T ) bezeichnet, da die Aussagen, die in dieser Arbeit getroffen werden, unabhängig davon sind, ob es sich um einen Call oder einen Put handelt. 1.2 Kapitalmarkt Im Folgenden soll der Kapitalmarkt, auf dem diese Arbeit basiert, näher eingegrenzt werden Definition Der betrachtete Kapitalmarkt ist durch folgende Merkmale gekennzeichnet: 1. Der Kapitalmarkt ist diskret, das heißt Handel findet nur zu diskreten Zeitpunkten statt. 2. Es existiert genau ein Basiswert S, dessen Kurs für ein gegebenes S 0 durch S t+1 = (1 + Z t )S t (1.1) beschrieben wird, wobei die Zufallsvariablen Z t stochastisch unabhängig voneinander un identisch verteilt sind. 2

5 3. Es existiert genau ein risikoloser Zinssatz r > 0 und damit genau eine risikolose Anlage B, für die gilt. B t+1 = (1 + r)b t (1.2) 4. Es wird keine Dividende auf den Basiswert gezahlt. 5. Der Kapitalmarkt ist arbitragefrei, liquide und friktionslos, d.h. es gibt keine Transaktionskosten usw. 6. Der Kapitalmarkt ist risikoneutral. 7. Der Basiswert ist beliebig teilbar und Leerverkäufe sind erlaubt Bemerkungen Die Beschreibung des Kurses durch (1.1) wird in [1] beim Portfoliooptimierungsproblem genauer beschrieben. (1.2) gestattet auch den Fall, dass ein Kredit aufgenommen wird. B t gibt dann den aktuellen Schuldenstand an. Die Begriffe Arbitragefreiheit und Risikoneutralität werden im Folgenden definiert. Die Annahme der identischen Verteilung der Zufallsvariablen Z t ist nicht zwingend notwendig. Hier wird sie aber, wie in [1], zur Vereinfachung getroffen Definition Ein Kapitalmarkt, in dem es keinen sofortigen risikolosen Gewinn gibt, heißt arbitragefrei. Dies ist äquivalent dazu, dass es keine Portfolios Π 1, Π 2 gibt, für die es Zeitpunkte t 1 < t 2 gibt mit Π 1 t 1 < Π 2 t 1 (1.3) und Π 1 t 2 Π 2 t 2 (1.4) und (1.4) sicher ist. Gibt es solche Portfolios, dann kann der Investor in t 1 das Portfolio Π 2 (leer) verkaufen und das Portfolio Π 1 kaufen und macht dadurch einen sofortigen Gewinn, da er sofort mehr Kapital besitzt und sich auch in t 2 nicht schlechter stellt. 3

6 1.2.4 Definition Ein Kapitalmarkt mit einem risikolosen Zinssatz r heißt risikoneutral, wenn für jede Anlage Π im Zeitpunkt t für jedes T > t gilt. E[Π T ] = (1 + r) T t Π t (1.5) Lemma Für einen risikoneutralen Kapitalmarkt mit risikolosem Zinssatz r gilt: E[Z t ] = r (1.6) Beweis Aus (1.1) und (1.5) folgt: (1 + r)s t = E[S t+1 ] = E[(1 + Z t )S t ] = (1 + E[Z t ])S t Daraus folgt die Behauptung. 2 Das Hedging-Problem 2.1 Problemstellung Zum Zeitpunkt t = 0 wird eine europäische Call- oder Put-Option (z.b. auf eine Aktie) leer verkauft. Die Optionsprämie wird in ein Portfolio bestehend aus 0 Aktien und Θ 0 Bonds investiert. Zu den diskreten Zeitpunkten t = 1,..., T 1 wird das Portfolio umgeschichtet. Für den festverzinslichen Bond gilt der risikolose Zinssatz r, also B t+1 = (1 + r)b t (2.1) mit B 0 > 0 und r > 0. Für den Kurs des Basiswerts S = (S t ) gilt wie beim Portfoliooptimierungsproblem in [1]: S t+1 = (1 + Z t )S t. (2.2) (Z t ) ist hierbei eine Folge unabhängiger identisch verteilter Zufallsvariablen. Die Optionsprämie entspricht dem Startvermögen V 0 des Investors. Es wird in den Basiswert S und den Bond B investiert. Es ist daher V t = t S t + Θ t B t 4

7 2.1.1 Lemma Für t = 0,..., T 1 gilt: V t+1 = (1 + r)v t + t (Z t r)s t. (2.4) Ferner gilt für t = 0,..., T : Beweis t 1 V t = (1 + r) t V 0 + (1 + r) t n 1 n (Z n r)s n. (2.5) n=0 V t+1 = t S t+1 + Θ t B t+1 = t (S t + Z t S t ) + Θ t (1 + r)b t = t S t + Θ t B t + Z t S t t + rθ t B t = (1 + r)v t + t (Z t r)s t Damit ist (2.4) bewiesen. (2.5) erhält man durch iteratives Anwenden von (2.4), womit die Behauptung insgesamt gezeigt ist. Der Investor möchte seine Optionsverpflichtung durch eine selbstfinanzierende Handelsstrategie absichern und sein Risiko minimieren. 2.2 Modellierung Eine wichtige Frage der Modellierung ist zunächst die Frage wie das Risiko, das der Investor minimieren will, definiert sein soll Definition Das zu minimierende Risiko ist definiert als E[(P X (S T ) V T ) 2 ] Bemerkungen Es wird also das Quadrat der erwartete Differenz zwischen Auszahlungsverpflichtung und Vermögen in t = T minimiert. Dies hat zur Folge, dass eine Abweichung des Vermögens nach oben und nach unten gleichgewichtet sind. Diese Risikodefinition ist daher ökonomisch fragwürdig, hat aber die strikte Konvexität der Zielfunktion bezüglich der Kontrolle zur Folge, was mathematisch betrachtet vorteilhaft ist. Die Entscheidungsvariablen sind die Variablen t, die die Umschichtung des Vermögens nach Lemma eindeutig definieren. Zusätzlich soll das Risiko auch bezüglich der Optionsprämie V 0 minimiert werden, womit das Optionsbewertungsproblem mit gelöst wird. 5

8 2.3 Beispiel: Duplikation von Optionen In einfachen Fällen lässt sich das Risiko vollständig eliminieren und die Optimallösung kann analytisch berechnet werden. Dies ist dann der Fall, wenn man die Optionen durch Kauf/Verkauf des Basiswerts und einer risikolosen Anlage duplizieren kann. Das bedeutet, dass man eine Option leer verkauft und dann so in den Basiswert bzw. den Bond investiert bzw. desinvestierst, dass das Risiko am Laufzeitende null ist. In einem Finanzmarkt, der erfüllt, gebe es einen Bond B und eine Aktie S sowie eine europäische Call-Option auf diese Aktie. Der Basispreis X der Call-Option sei 100. Am Laufzeitende T seien zwei Kapitalmarktszenarien möglich. Kapitalmarktszenario 1: B T = 110, S T = 120, C(S T, T ) = 20 Kapitalmarktszenario 2: B T = 110, S T = 80, C(S T, T ) = 0 Das Auszahlungsprofil der Call-Option wird durch eine Anzahl Θ von Anleihen und eine Anzahl von Aktien nachgebildet. Ziel ist es das Risiko vollständig zu eliminieren. Es handelt sich um ein 1-Perioden- Modell. Umschichtungen im Portfolio werden daher nicht betrachtet und sind auch nicht notwendig. Daher ist folgendes lineares Gleichungssystem zu lösen: 110Θ = Θ + 80 = 0 Die Lösung des Systems ist (Θ, ) = ( 4 11, 1 ), 2 das heißt das Auszahlungsprofil der Call-Option kann durch den (Leer)verkauf von 4 Bonds und den Kauf von 1 Aktien nachgebildet werden. Analog lässt sich eine 11 2 solche Duplikationsstrategie für einen Put berechnen. Die wichtigen Voraussetzungen aus 1.2.1, die hier eingegangen sind, sind die Möglichkeit des Leerverkaufs und die beliebige Teilbarkeit von Aktie und Bond. Zwei weitere Voraussetzungen sind allerdings wichtig. Erstens wird implizit vorausgesetzt, dass die Optionsprämie so groß ist, dass der Investor dieses Portfolio wirklich realisieren kann. Zweitens lässt sich die Option nur dann duplizieren, wenn das obige lineare Gleichungssystem lösbar ist, wenn es also nicht mehr Zustände als handelbare Anlagen gibt. Da dies i.a. nicht der Fall ist, müssen andere Verfahren zur Lösung des Hedging- Problems gesucht werden. Dies motiviert den Ansatz, das Problem als stochastisches dynamisches Optimierungsproblem zu betrachten. 6

9 3 Das Hedging-Problem als stochastisches dynamisches Optimierungsproblem Ziel dieses Abschnitts ist es, dass vorgestellte Problem als stochastisches dynamisches Optimierungsproblem zu formulieren. Zunächst muss dafür ein stochastisches dynamisches Kontrollsystem definiert werden. 3.1 Stochastisches Dynamisches Kontrollsystem Definition Ein zeitdiskretes stochastisches Kontrollsystem ist gegeben durch eine Abbildung f : R n U R m R n, (x, u, z) f(x, u, z). Hierbei ist x R n der Zustand, u U R l der Kontrollwert und z R m der stochastische Einfluss. Für einen Anfangswert x 0, eine Folge von Zufallsvariablen (Z t ) t N0 und einen bezüglich der Σ-Algebra des Urbildraums dieser Zufallsvariablen messbaren Kontrollprozess u = (u t ) t N0 wird eine Lösung X t für t > 0 induktiv definiert durch X 0 = x 0, X t+1 = f(x t, u t, Z t ) Kontrollvariablen Als Kontrollvariablen werden zunächst nur die Variablen t betrachtet. Wegen (2.4) definieren diese Variablen eindeutig die Umschichtungsentscheidung des Investors in jeder Periode, da die Annahme getroffen wurde, dass in keiner Periode Kapital aus dem Portfolio entnommen wird oder in das Portfolio investiert wird Zustandsvariablen Der Zustand des Systems zum Zeitpunkt t wird beschrieben durch das Vermögen V t und dem Kurs S t des Basiswerts. ( Zur ) besseren Übersichtlichkeit wird der Zustand S im Folgenden nicht als Vektor, sondern als (S, V ) geschrieben. V Übergangsfunktion Es gelten (2.1) und (2.2). Daraus folgt: ( ) (1 + Z)S f (S, V,, Z) = (1 + r)v + (Z r)s (3.1) 7

10 3.2 Stochastisches dynamisches Optimierungsproblem Definition Gegeben sei ein stochastisches Kontrollsystem gemäß Definition mit Lösung X t = X t (x 0, u ), eine laufende Ertragsfunktion l : R n U R, ein Diskontfaktor β (0, 1] und eine End-Ertragsfunktion L : R n R. Das stochastische dynamische Optimierungsproblem auf dem endlichen Zeithorizont 0, 1,..., T lautet dann Minimiere J T (x 0, u) := E β t l(x t, u t ) + β T L(X T ) ] [T 1 t=0 Die Definition der Zielfunktion steht für das Hedging-Problem noch aus Zielfunktion Nach ist der Ausdruck E[(P X (S T ) V T ) 2 ] zu minimieren. Offensichtlich hängt die Zielfunktion nur von dem Endzustand und der Option X ab, die aber als gegeben angenommen wird. Daher sind die laufenden Kosten l 0, der Diskontfaktor β = 1 und die Endkosten L (S, V ) = (P X (S) V ) 2. Fur die Untersuchungen im Folgekapitel benötigen wir noch die optimalen Wertefunktionen Definition Gegeben sei ein stochastisches dynamisches Optimierungsproblem der Form mit T N 0 Die optimalen Wertefunktionen R T : R n R sind definiert als R T (x 0 ) := sup u U x0 J T (x 0, u) Bemerkungen 1. Die optimalen Wertefunktionen ordnen also jedem Anfangswert den mit zulässigen Kontrollprozessen maximal erreichbaren Zielfunktionswert zu. 2. Zulässigkeit des Kontrollprozesses u bedeutet, dass u t als Funktion von X 0,..., X t dargestellt werden kann. Genaueres hierzu ist in [1] (Kapitel 2) zu lesen. 8

11 4 Lösung des Hedging-Problems 4.1 Bellman sches Optimalitätsprinzip Das Hedging-Problem wird mit den Methoden zur Lösung von stochastischen dynamischen Optimierungsproblemen aus [1] gelöst. Theoretische Grundlage dieses Vorgehens bildet das Bellman sche Optimialitätsprinzip Satz Die optimalen Wertefunktionen R 0,..., R T Zustände x R n die Gleichung erfüllen für alle t = 1,..., T und alle R t (x) = inf T t E [l (x, ) + βr t 1 (f (x,, Z T t )], (4.1) wobei R 0 (x) = L(x) den Endkosten entspricht. Der Beweis dieses Satzes und eine Version für Probleme auf unendlichem Horizont ist in Kapitel 4 in [1] zu finden. Der Index der Zufallsvariablen Z ist notwendig, falls diese nicht identisch verteilt sind. Nach gilt bei dem vorliegenden Problem l 0, β = 1 und L(S, V ) = (P X (S) V ) 2. Daher wird die Bellman-Gleichung für das Hedging-Problem zu R t (S, V ) = inf T t E [R t 1 (f ((S, V ), T t, Z T t ))] (4.2) Verfahren der dynamischen Programmierung Das Bellman sche Optimalitätsprinzip liefert ein Verfahren, mit dem stochastische dynamische Optimierungsprobleme gelöst werden können. Dies ist das Verfahren der dynamischen Programmierung. Es besteht darin, zunächst die optimalen Wertefunktionen R 0,..., R T mit Hilfe von (4.2) induktiv zu berechnen. R 1 (S, V ) sagt dann aus, wie hoch das minimale erwartete Risiko ist, wenn sich das System im Zustand (S, V ) befindet und noch ein Zeitschritt auszuführen ist. Die Optimierung geschieht dann bezüglich der Kontrolle T 1. Bezüglich der Kontrollen handelt es sich also um eine Rückwärtsinduktion. Sind alle optimalen Wertefunktionen und optimalen Feedbacks berechnet, so kann man nun vom gegebenen Startzustand (S 0, V 0 ) eine optimal gesteuerte Lösung des Kontrollsystems erzeugen. Alternativ lassen sich die optimalen Feedbacks auch erst an dieser Stelle mittels Online-Optimierung errechnen, was numerisch vorteilhaft ist. Beim Hedging-Problem wird auch V 0 als Variable 9

12 betrachtet, so dass nach Berechnung der optimalen Wertefunktionen die letzte optimale Wertefunktion R T (S 0, V 0 ) bezüglich V 0 minimiert wird. Da S 0 gegeben ist, handelt es sich um eine eindimensionale Minimierung einer stückweise affinen Funktion. Diese Problem kann durch Abfragen der Funktionswerte in den Gitterpunkten gelöst werden. Ein Problem beim Verfahren der dynamischen Programmierung ist, dass für R t 1 im Allgemeinen keine geschlossene Formel vorliegt und R t 1 (S, V ) daher immer nur für endlich viele Zustände berechnet werden kann. Es ist aber nicht bekannt, für welche Zustände R t 1 (S, V ) bei der Berechnung von R t in (4.2) benötigt wird. Daher müssen die optimalen Wertefunktionen approximiert werden. Hierfür wird zunächst ein Gitter bzgl. des Zustands (S, V ) erzeugt. In jedem Gitterpunkt wird die optimale Wertefunktion R t (S, V ) berechnet. Jeder Punkt, der nicht auf dem Gitter liegt, wird nun durch 2 n Gitterpunkte begrenzt. Diese definieren eindeutig eine affin-multilineare Funktion auf dem Gebiet, das sie eingrenzen. Dadurch ist das approximierende R t eindeutig definiert und kann als ein Vektor gespeichert werden. Näheres zu dieser Approximation ist in [1] in Kapitel 5 zu lesen. 4.2 Analytische Berechnung des ersten Schrittes Nach (4.2) ist im ersten Schritt folgendes Minimierungsproblem zu lösen: R 1 (S T 1, V T 1 ) = inf T 1 E [R 0 (f ((S T 1, V T 1 ),, Z))] (4.3) Setzt man R 0 und f ein, so ergibt sich Es ist R 1 (S T 1, V T 1 ) = inf T 1 E [ (P X (S T ) V T ) 2] (4.4) R 1 (S T 1, V T 1 ) = inf T 1 E [ (P X (S T ) V T ) 2] = inf T 1 E [ (P X (S T ) (1 + r)v T 1 (Z T 1 r) T 1 S T 1 ) 2] = inf T 1 E [ P X (S T ) 2 2(1 + r)v T 1 P X (S T ) 2(Z T 1 r) T 1 S T 1 P X (S T ) + 2(1 + r)(z T 1 r) T 1 S T 1 V T 1 ] + (Z T 1 r) 2 2 T 1ST (1 + r) 2 VT

13 ( = inf E [ P X (S T ) 2] 2(1 + r)v T 1 E [ P X (S T ) ] T 1 2E [ (Z T 1 r)p X (S T ) ] T 1 S T 1 + 2(1 + r) ( E[Z T 1 ] r ) T 1 S T 1 V T 1 + E [ (Z T 1 r) 2] ) 2 T 1ST (1 + r) 2 VT 2 1 Wegen der geforderten Risikoneutralität des Kapitalmarktes gilt nach Lemma 1.2.5: E[Z T 1 ] = r Damit ergibt sich: ( R 1 (S T 1, V T 1 ) = inf E [ P X (S T ) 2] 2(1 + r)v T 1 E [ P X (S T ) ] T 1 2E [ (Z T 1 r)p X (S T ) ] T 1 S T 1 + E [ (Z T 1 r) 2] ) 2 T 1ST (1 + r) 2 VT 2 1 =: inf T 1 R 1 ( T 1 ) Leitet man die zu minimierende Funktion R 1 ( T 1 ) zweimal nach T 1 ab, so ergibt sich: R 1( T 1 ) = 2E [ (Z T 1 r) 2] S 2 T 1 Hierbei ist wichtig, dass der Kurs des Basiswerts und damit die Payoff-Funktion der Option nicht von der Kontrolle T 1 abhängt. Ist die diskrete Zufallsvariable Z T 1 nicht deterministisch, so gibt es wenigstens einen Zustand ω 0, für den Z T 1 (ω 0 ) r und damit (Z T 1 (ω 0 ) r) 2 > 0 gilt. Da (Z T 1 (ω) r) 2 0 für alle Zustände ω gilt, folgt: und damit E [ (Z T 1 r) 2] > 0 R 1( T 1 ) > 0 für jede Kontrolle T 1. Daher ist R 1 strikt konvex bezüglich T 1, so dass R 1( T 1 ) = 2 T 1 E [ (Z T 1 r) 2] S 2 T 1 2E [ (Z T 1 r)p X (S T ) ] S T 1 = 0 notwendig und hinreichend für ein Minimum ist. Als Optimallösung errechnet sich T 1 = E[ (Z T 1 r)p X (S T ) ] E [ (Z T 1 r) 2] S T 1 11

14 4.2.1 Bemerkungen Die optimale Kontrolle lässt sich also im letzten Zeitschritt analytisch für jeden Zustand (S, V ) berechnen. Da dieses Problem für alle Zustände auf dem erzeugten Gitter (vgl. 4.3) gelöst wird, zeichnen die Indizes an S und V keine besonderen Zustände aus. Sie verdeutlichen lediglich, dass die berechnete optimale Wertefunktion R 1 (S T 1, V T 1 ) das minimale Risiko liefert, wenn sich das System zum Zeitpunkt T 1 im Zustand (S T 1, V T 1 ) befindet. Aus (4.2) folgt, dass für alle Zustände (S, V ) und für t = 1,..., T gilt: R t (S, V ) = inf T t E [ R t 1 (f(s, V,, Z T t )) ] = inf T t E [ R t 1 (S + Z T t S, (1 + r)v + T t (Z T t r)s) ] (4.5) Bei der letzten Gleichung wurde (2.4) benutzt. Auf diese Art kann man dann alle Wertefunktionen berechnen Bemerkung Um dieses Problem analytisch (wie im ersten Schritt) zu lösen, muss man R t 1 als Funktion von T t darstellen. Da aber nur Auswertungen von der Funktion an endlich vielen Stellen vorliegen, werden die Probleme (4.5) numerisch gelöst. 4.3 Numerische Lösung der Bellman-Gleichung Ziel dieses Abschnitts ist es, (4.5) numerisch zu lösen Wie bereits in Bemerkung erwähnt, kann die Bellman-Gleichung (4.5) nur im ersten Schritt analytisch gelöst werden. Daher soll im Folgenden eine Möglichkeit aufgezeigt werden, das Minimierungsproblem (4.5) numerisch zu lösen. Wie im Abschnitt 4.2 schon gezeigt wurde, ist die im ersten Schritt zu minimierende Risikofunktion R 1 strikt konvex. Daher liegt es nahe, diese Eigenschaft auch bei den zu minimierenden Funktionen in den anderen Schritten zu vermuten Satz Die Funktionen R t ( T t ) = E [ R t 1 (S + Z T t S, (1 + r)v + T t (Z T t r)s) ] sind strikt konvex bezüglich der Variablen T t für alle Zustände (S, V ) und für alle t = 1,..., T. 12

15 Beweis Der Beweis wird per Induktion geführt. Induktionsanfang: Es ist bereits gezeigt, dass R 1 strikt konvex bezüglich T 1 ist. Die Risiko im ersten Schritt ist R 1 (S, V ) = E [ P X (S T ) V T ) 2]. Wird V T durch t 1 V t = (1 + r) t V 0 + (1 + r) t n 1 n (Z n r)s n. (2.5) n=0 ersetzt, so ist zu erkennen, dass R 1 (S, V ) auch bezüglich T 2,..., 0 strikt konvex ist. Induktionsschritt t 1 t: Sei R t 1 (S T t+1, V T t+1 ) strikt konvex bezüglich Es ist R t (S T t, V T t ) = E [ R t 1 (S T t+1, V T t+1 ) ]. Da der Erwartungswert für diskrete Verteilungen eine Konvexkombination darstellt, ist auch R t (S T t, V T t ) strikt konvex bezüglich T t. Damit ist die Behauptung bewiesen. Weiterhin wird noch ein Resultat aus der Optionsbewertungstheorie benötigt. Dieses besagt, dass die Anzahl an Basiswerten, die für die Duplikation der Option nötig ist, für einen Call im Intervall [0, 1] und für einen Put im Intervall [ 1, 0] liegen. Daher lassen sich die Kontrollen auch in kompakte Intervalle einschließen. Es ist allerdings sinnvoll, diese Intervalle größer zu wählen, da nicht a priori klar ist, dass die Methode der dynamischen Programmierung wirklich Kontrollen aus [0, 1] bzw. aus [ 1, 0] liefert. Insgesamt ist (4.5) also eine eindimensionale Minimierung einer bezüglich der Entscheidungsvariablen strikt konvexen Funktion auf einem kompakten Intervall. Daher können Methoden der eindimensionalen konvexen Minimierung wie z.b. die Golden- Section-Search zur Anwendung kommen. Näheres zu dieser Methode findet sich in [2] in Kapitel 8. 13

16 Literatur [1] Stochastische Dynamische Optimierung, Vorlesungsskript, Lars Grüne, 2007 [2] Vergleich numerischer Berechnungsmethoden für Optionswerte und Handelsstrategien, Diplomarbeit, Martin Egerer, 2006 II

Finanzmathematik - Wintersemester 2007/08. http://code.google.com/p/mitgetexed/

Finanzmathematik - Wintersemester 2007/08. http://code.google.com/p/mitgetexed/ Finanzmathematik - Wintersemester 2007/08 http://code.google.com/p/mitgetexed/ Stand: 4. November 2007 Inhaltsverzeichnis 1 Motivation und erste Begriffe 2 2 Endliche Finanzmärkte 4 3 Das Cox-Ross-Rubinstein-Modell

Mehr

Bewertung von europäischen und amerikanischen Optionen

Bewertung von europäischen und amerikanischen Optionen Bewertung von europäischen und amerikanischen en 1. Vortrag - Einführung Technische Universität Berlin Institut für Mathematik 8. November 2007 Inhaltsverzeichnis 1 Definitionen amerikanische / europäische

Mehr

Amerikanischen Optionen

Amerikanischen Optionen Die Bewertung von Amerikanischen Optionen im Mehrperiodenmodell Universität-Gesamthochschule Paderborn Fachbereich 17 Seminar Finanzmathematik SS 2001 Referentin: Christiane Becker-Funke Dozent: Prof.

Mehr

Optimalitätskriterien

Optimalitätskriterien Kapitel 4 Optimalitätskriterien Als Optimalitätskriterien bezeichnet man notwendige oder hinreichende Bedingungen dafür, dass ein x 0 Ω R n Lösung eines Optimierungsproblems ist. Diese Kriterien besitzen

Mehr

Finanzmarktökonometrie: Einführung in die Optionsbewertung Sommersemester 2013

Finanzmarktökonometrie: Einführung in die Optionsbewertung Sommersemester 2013 Finanzmarktökonometrie: Einführung in die Optionsbewertung Sommersemester 2013 Walter Sanddorf-Köhle Foliensatz Nr. 3 1 / 46 Ein Einperiodenmodell Beispiel 5 Betrachtet wird nun ein Wertpapiermarkt mit

Mehr

34 5. FINANZMATHEMATIK

34 5. FINANZMATHEMATIK 34 5. FINANZMATHEMATIK 5. Finanzmathematik 5.1. Ein einführendes Beispiel Betrachten wir eine ganz einfache Situation. Wir haben einen Markt, wo es nur erlaubt ist, heute und in einem Monat zu handeln.

Mehr

Einleitung. Das Ein-Perioden-Modell ist das einfachste. von derivaten Finanzinstrumenten (hier: Optionen) zu erklären.

Einleitung. Das Ein-Perioden-Modell ist das einfachste. von derivaten Finanzinstrumenten (hier: Optionen) zu erklären. Einleitung Das Ein-Perioden-Modell ist das einfachste Modell, um die Idee der Preisgebung von derivaten Finanzinstrumenten (hier: Optionen) zu erklären. naive Idee der Optionspreisbestimmung: Erwartungswertprinzip

Mehr

Derivatebewertung im Binomialmodell

Derivatebewertung im Binomialmodell Derivatebewertung im Binomialmodell Roland Stamm 27. Juni 2013 Roland Stamm 1 / 24 Agenda 1 Einleitung 2 Binomialmodell mit einer Periode 3 Binomialmodell mit mehreren Perioden 4 Kritische Würdigung und

Mehr

Finanzmathematik Bachelorarbeit aus Mathematische Modelle in den Naturwissenschaften im WS 2010

Finanzmathematik Bachelorarbeit aus Mathematische Modelle in den Naturwissenschaften im WS 2010 Finanzmathematik Bachelorarbeit aus Mathematische Modelle in den Naturwissenschaften im WS 2010 Harald Hinterleitner (0755828) und Christof Schöffl (0686939) 28. März 2010 Inhaltsverzeichnis 1 Ein-Perioden-Wertpapiermärkte

Mehr

DIPLOMARBEIT. Vergleich numerischer Berechnungsmethoden für Optionswerte und Handelsstrategien

DIPLOMARBEIT. Vergleich numerischer Berechnungsmethoden für Optionswerte und Handelsstrategien UNIVERSITÄT BAYREUTH FAKULTÄT FÜR MATHEMATIK UND PHYSIK Lehrstuhl für Mathematik V DIPLOMARBEIT Vergleich numerischer Berechnungsmethoden für Optionswerte und Handelsstrategien eingereicht von: Martin

Mehr

Bestimmung einer ersten

Bestimmung einer ersten Kapitel 6 Bestimmung einer ersten zulässigen Basislösung Ein Problem, was man für die Durchführung der Simplexmethode lösen muss, ist die Bestimmung einer ersten zulässigen Basislösung. Wie gut das geht,

Mehr

Derivate und Bewertung

Derivate und Bewertung . Dr. Daniel Sommer Marie-Curie-Str. 0 6049 Frankfurt am Main Klausur Derivate und Bewertung.......... Wintersemester 006/07 Klausur Derivate und Bewertung Wintersemester 006/07 Aufgabe 1: Statische Optionsstrategien

Mehr

Irrfahrten. Und ihre Bedeutung in der Finanzmathematik

Irrfahrten. Und ihre Bedeutung in der Finanzmathematik Irrfahrten Und ihre Bedeutung in der Finanzmathematik Alexander Hahn, 04.11.2008 Überblick Ziele der Finanzmathematik Grundsätzliches zu Finanzmarkt, Aktien, Optionen Problemstellung in der Praxis Der

Mehr

Das Black-Scholes Marktmodell

Das Black-Scholes Marktmodell Das Black-Scholes Marktmodell Andreas Eichler Institut für Finanzmathematik Johannes Kepler Universität Linz 8. April 2011 1 / 14 Gliederung 1 Einleitung Fortgeschrittene Finanzmathematik einfach erklärt

Mehr

Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen

Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen Kapitel 2 Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen In diesem Abschnitt sollen im wesentlichen Verfahren zur Bestimmung des Minimums von nichtglatten Funktionen in einer Variablen im Detail vorgestellt

Mehr

4. Dynamische Optimierung

4. Dynamische Optimierung 4. Dynamische Optimierung Allgemeine Form dynamischer Optimierungsprobleme 4. Dynamische Optimierung Die dynamische Optimierung (DO) betrachtet Entscheidungsprobleme als eine Folge voneinander abhängiger

Mehr

Seminar Finanzmathematik

Seminar Finanzmathematik Seminar Finanzmathematik Simulationen zur Black-Scholes Formel Seite 1 von 24 Zufallszahlen am Computer 3 Gleichverteilte Zufallszahlen 3 Weitere Verteilungen 3 Quadratische Verteilung 4 Normalverteilung

Mehr

III Stochastische Analysis und Finanzmathematik

III Stochastische Analysis und Finanzmathematik III Stochastische Analysis und Finanzmathematik Ziel dieses Kapitels ist es, eine Einführung in die stochastischen Grundlagen von Finanzmärkten zu geben. Es werden zunächst Modelle in diskreter Zeit behandelt,

Mehr

3. Grundlagen der Linearen Programmierung

3. Grundlagen der Linearen Programmierung 3. Grundlagen der linearen Programmierung Inhalt 3. Grundlagen der Linearen Programmierung Lineares Programm Grafische Lösung linearer Programme Normalform Geometrie linearer Programme Basislösungen Operations

Mehr

Bewertung von Forwards, Futures und Optionen

Bewertung von Forwards, Futures und Optionen Bewertung von Forwards, Futures und Optionen Olaf Leidinger 24. Juni 2009 Olaf Leidinger Futures und Optionen 2 24. Juni 2009 1 / 19 Überblick 1 Kurze Wiederholung Anleihen, Terminkontrakte 2 Ein einfaches

Mehr

Money out of nothing? - Prinzipien und Grundlagen der Finanzmathematik

Money out of nothing? - Prinzipien und Grundlagen der Finanzmathematik Money out of nothing? - Prinzipien und Grundlagen der Finanzmathematik Francesca Biagini Mathematisches Institut, LMU biagini@math.lmu.de Münchner Wissenschaftstage im Jahr der Mathematik 21. Oktober 28

Mehr

Notationen. Burkhard Weiss Futures & Optionen Folie 2

Notationen. Burkhard Weiss Futures & Optionen Folie 2 Optionspreismodelle Notationen S t : X: T: t: S T : r: C: P: c: p: s: aktueller Aktienkurs Ausübungspreis (Rest-)laufzeit der Option Bewertungszeitpunkt Aktienkurs bei Verfall risikofreier Zinssatz Preis

Mehr

Was kosten Garantien?

Was kosten Garantien? Alternative Zinsgarantien in der Lebensversicherung, Köln, 1. Juni 2012 Was kosten Garantien? Prof. Dr. Ralf Korn Technische Universität Kaiserslautern, Fachbereich Mathematik EI-QFM und Fraunhofer ITWM

Mehr

9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83

9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83 9.. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83 Die Grundfrage bei der Anwendung des Satzes über implizite Funktionen betrifft immer die folgende Situation: Wir haben eine Funktion f : V W und eine Stelle x

Mehr

Aktien, D Derivate, A Arbitrage Kursverläufe des DAX: Tagesgang 5.1.2011-1a -

Aktien, D Derivate, A Arbitrage Kursverläufe des DAX: Tagesgang 5.1.2011-1a - : Eine Einführung in die moderne Finanzmathematik Prof. Dr. Dietmar Pfeifer Institut für Mathematik chwerpunkt Versicherungs- und Finanzmathematik Kursverläufe des DA: agesgang 5.1.2011-1a - Kursverläufe

Mehr

Teil II Optimierung. Peter Buchholz 2016. Modellgestützte Analyse und Optimierung Kap. 9 Einführung Optimierung

Teil II Optimierung. Peter Buchholz 2016. Modellgestützte Analyse und Optimierung Kap. 9 Einführung Optimierung Teil II Optimierung Gliederung 9 Einführung, Klassifizierung und Grundlagen 10 Lineare Optimierung 11 Ganzzahlige und kombinatorische Optimierung 12 Dynamische Optimierung Literatur: zu 10-12: Neumann,

Mehr

Vorbemerkungen zur Optionsscheinbewertung

Vorbemerkungen zur Optionsscheinbewertung Vorbeerkungen zur Optionsscheinbewertung Matthias Groncki 24. Septeber 2009 Einleitung Wir wollen uns it den Grundlagen der Optionsscheinbewertung beschäftigen. Dazu stellen wir als erstes einige Vorraussetzungen

Mehr

Optionen. Vertiefungsstudium Finanzwirtschaft SS 2001 Prof. Dr. Mark Wahrenburg

Optionen. Vertiefungsstudium Finanzwirtschaft SS 2001 Prof. Dr. Mark Wahrenburg Optionen Vertiefungsstudium Finanzwirtschaft SS 2001 Prof. Dr. Mark Wahrenburg 1 Übersicht Der Optionsvertrag Pay Offs / Financial Engineering Wertgrenzen Put-Call-Paritätsbedingung Bewertung von Optionen

Mehr

Optionsbewertung. Christof Heuer und Fabian Lenz. 2. Februar 2009

Optionsbewertung. Christof Heuer und Fabian Lenz. 2. Februar 2009 nach Black-Scholes mit sprüngen 2. Februar 2009 nach Black-Scholes mit sprüngen Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung Optionsarten Modellannahmen 2 Aktienmodell Beispiele für e ohne Sprung 3 nach Black-Scholes

Mehr

Bericht zur Prüfung im Oktober 2004 über Finanzmathematik (Grundwissen)

Bericht zur Prüfung im Oktober 2004 über Finanzmathematik (Grundwissen) Bericht zur Prüfung im Oktober 2004 über Finanzmathematik (Grundwissen) Peter Albrecht (Mannheim) Die Prüfung des Jahres 2004 im Bereich Finanzmathematik (Grundwissen) wurde am 09. Oktober 2004 mit diesmal

Mehr

Teil II. Nichtlineare Optimierung

Teil II. Nichtlineare Optimierung Teil II Nichtlineare Optimierung 60 Kapitel 1 Einleitung In diesem Abschnitt wird die Optimierung von Funktionen min {f(x)} x Ω betrachtet, wobei Ω R n eine abgeschlossene Menge und f : Ω R eine gegebene

Mehr

Mengensysteme, Wahrscheinlichkeitsmaße

Mengensysteme, Wahrscheinlichkeitsmaße Kapitel 1 Mengensysteme, Wahrscheinlichkeitsmaße Der Großteil der folgenden fundamentalen Begriffe sind schon aus der Vorlesung Stochastische Modellbildung bekannt: Definition 1.1 Eine Familie A von Teilmengen

Mehr

Seminar Finanzmathematik

Seminar Finanzmathematik Seminar Finanzmathematik Simulationen zur Black-Scholes Formel von Christian Schmitz Übersicht Zufallszahlen am Computer Optionspreis als Erwartungswert Aktienkurse simulieren Black-Scholes Formel Theorie

Mehr

Entscheidungsbäume. Definition Entscheidungsbaum. Frage: Gibt es einen Sortieralgorithmus mit o(n log n) Vergleichen?

Entscheidungsbäume. Definition Entscheidungsbaum. Frage: Gibt es einen Sortieralgorithmus mit o(n log n) Vergleichen? Entscheidungsbäume Frage: Gibt es einen Sortieralgorithmus mit o(n log n) Vergleichen? Definition Entscheidungsbaum Sei T ein Binärbaum und A = {a 1,..., a n } eine zu sortierenden Menge. T ist ein Entscheidungsbaum

Mehr

Projekt Finanzmathematik: Derivative und strukturierte Finanzprodukte

Projekt Finanzmathematik: Derivative und strukturierte Finanzprodukte : Derivative und strukturierte Finanzprodukte Institut für Finanzmathematik Johannes Kepler Universität Linz 10. Jänner 2008 Wesentliche Fragen Was sind Derivate? Was sind strukturierte Finanzprodukte

Mehr

Lösungen zu den Übungsaufgaben aus Kapitel 5

Lösungen zu den Übungsaufgaben aus Kapitel 5 Lösungen zu den Übungsaufgaben aus Kapitel 5 Ü5.1: Die entsprechende Bellman sche Funktionalgleichung kann angegeben werden als: Vct (, ) = max qt D { r rt t ( min{ q t, c} ) min{ q t, c} Vc ( min{ q t,

Mehr

Angewandte Stochastik

Angewandte Stochastik Angewandte Stochastik Dr. C.J. Luchsinger 16 Crash Course Optionen: Pricing & Hedging in diskreter Zeit Literatur Kapitel 16 * Uszczapowski: Kapitel 2, 3, 6 * Pliska: Kapitel 1.4 * Lamberton & Lapeyre:

Mehr

Optionen, Futures und andere Derivate Das Übungsbuch. John C. Hull

Optionen, Futures und andere Derivate Das Übungsbuch. John C. Hull Optionen, Futures und andere Derivate Das Übungsbuch 9., aktualisierte Aulage John C. Hull Fachliche Betreuung der deutschen Übersetzung durch Dr. Wolfgang Mader und Dr. Marc Wagner Praktische Fragestellungen

Mehr

Dynamische Optimierung. Kapitel 4. Dynamische Optimierung. Peter Becker (H-BRS) Operations Research II Wintersemester 2014/15 160 / 206

Dynamische Optimierung. Kapitel 4. Dynamische Optimierung. Peter Becker (H-BRS) Operations Research II Wintersemester 2014/15 160 / 206 Kapitel 4 Dynamische Optimierung Peter Becker (H-BRS) Operations Research II Wintersemester 2014/15 160 / 206 Inhalt Inhalt 4 Dynamische Optimierung Allgemeiner Ansatz und Beispiele Stochastische dynamische

Mehr

Wichtige Begriffe in der Finanzmathematik

Wichtige Begriffe in der Finanzmathematik Wichtige Begriffe in der Finanzmathematik Forward: Kontrakt, ein Finanzgut zu einem fest vereinbarten Zeitpunkt bzw. innerhalb eines Zeitraums zu einem vereinbarten Erfüllungspreis zu kaufen bzw. verkaufen.

Mehr

Ausarbeitung des Seminarvortrags zum Thema

Ausarbeitung des Seminarvortrags zum Thema Ausarbeitung des Seminarvortrags zum Thema Anlagepreisbewegung zum Seminar Finanzmathematische Modelle und Simulationen bei Raphael Kruse und Prof. Dr. Wolf-Jürgen Beyn von Imke Meyer im W9/10 Anlagepreisbewegung

Mehr

Optionspreisbestimmung nach Cox-Ross-Rubinstein

Optionspreisbestimmung nach Cox-Ross-Rubinstein Optionspreisbestimmung nach Cox-Ross-Rubinstein Michael Beer 8. Mai 000 Inhaltsverzeichnis Einführung und Problembeschreibung. Was sind Optionen?.............................. Modellspezifikation..............................3

Mehr

Numerische Methoden der Finanzmathematik

Numerische Methoden der Finanzmathematik Numerische Methoden der Finanzmathematik Lars Grüne Mathematisches Institut Fakultät für Mathematik und Physik Universität Bayreuth 95440 Bayreuth lars.gruene@uni-bayreuth.de www.math.uni-bayreuth.de/

Mehr

Numerische Methoden der Finanzmathematik

Numerische Methoden der Finanzmathematik Numerische Methoden der Finanzmathematik Lars Grüne Mathematisches Institut Fakultät für Mathematik und Physik Universität Bayreuth 95440 Bayreuth lars.gruene@uni-bayreuth.de www.math.uni-bayreuth.de/

Mehr

Finanzmathematik. Absichern und Bewerten von Optionen. Arnold Janssen / Klaus Janßen

Finanzmathematik. Absichern und Bewerten von Optionen. Arnold Janssen / Klaus Janßen Finanzmathematik Absichern und Bewerten von Optionen Arnold Janssen / Klaus Janßen Universität Düsseldorf 27.09.2012 Rohstoffe, Devisen, Aktien, Kredite,... haben Preise, die im Laufe der Zeit zufällig

Mehr

Codierungstheorie Rudolf Scharlau, SoSe 2006 9

Codierungstheorie Rudolf Scharlau, SoSe 2006 9 Codierungstheorie Rudolf Scharlau, SoSe 2006 9 2 Optimale Codes Optimalität bezieht sich auf eine gegebene Quelle, d.h. eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf den Symbolen s 1,..., s q des Quellalphabets

Mehr

3.2 Black-Scholes Analyse

3.2 Black-Scholes Analyse 3.. BLACK-SCHOLES ANALYSE 39 3. Black-Scholes Analyse Allgemeine Vorüberlegungen Eine Aktie ist eine Anlage ähnlich einem Kredit. Der Anleger bekommt eine Verzinsung, da Kapital ein Arbeitsfaktor ist.

Mehr

Definition 3.1: Ein Differentialgleichungssystem 1. Ordnung

Definition 3.1: Ein Differentialgleichungssystem 1. Ordnung Kapitel 3 Dynamische Systeme Definition 31: Ein Differentialgleichungssystem 1 Ordnung = f(t, y) ; y R N ; f : R R N R N heißt namisches System auf dem Phasenraum R N Der Parameter t wird die Zeit genannt

Mehr

Matr.-Nr.: Name: Vorname: Aufgabe 1 2 3 4 Summe

Matr.-Nr.: Name: Vorname: Aufgabe 1 2 3 4 Summe FernUniversität in Hagen Fakultät für Wirtschaftswissenschaft Matr.-Nr.: Name: Vorname: Klausur: Finanz- und bankwirtschaftliche Modelle (32521) Prüfer: Univ.-Prof. Dr. Michael Bitz Termin: 23. September

Mehr

Anlagestrategien mit Hebelprodukten. Optionsscheine und Turbos bzw. Knock-out Produkte. Investitionsstrategie bei stark schwankenden Märkten

Anlagestrategien mit Hebelprodukten. Optionsscheine und Turbos bzw. Knock-out Produkte. Investitionsstrategie bei stark schwankenden Märkten Anlagestrategien mit Hebelprodukten Hebelprodukte sind Derivate, die wie der Name schon beinhaltet gehebelt, also überproportional auf Veränderungen des zugrunde liegenden Wertes reagieren. Mit Hebelprodukten

Mehr

Mertonscher Firmenwertansatz zur Modellierung von Kreditrisiken

Mertonscher Firmenwertansatz zur Modellierung von Kreditrisiken Mertonscher Firmenwertansatz zur Modellierung von Kreditrisiken Seminararbeit von Marleen Laakmann 2. Mai 2010 Einleitung Zur Messung und Steuerung von Kreditrisiken gibt es eine Reihe von Methoden und

Mehr

17. Penalty- und Barriere-Methoden

17. Penalty- und Barriere-Methoden H.J. Oberle Optimierung SoSe 01 17. Penalty- und Barriere-Methoden Penalty- und Barriere Methoden gehören zu den ältesten Ansätzen zur Lösung allgemeiner restringierter Optimierungsaufgaben. Die grundlegende

Mehr

Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema

Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema 2x 4 + x 3 + x + 3 div x 2 + x 1 = 2x 2 x + 3 (2x 4 + 2x 3 2x 2 ) x 3 + 2x 2 + x + 3 ( x

Mehr

Korrelationen, Portfoliotheorie von Markowitz, Capital Asset Pricing Model

Korrelationen, Portfoliotheorie von Markowitz, Capital Asset Pricing Model Korrelationen, Portfoliotheorie von Markowitz, Capital Asset Pricing Model Matthias Eltschka 13. November 2007 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 3 2 Vorbereitung 4 2.1 Diversifikation...........................

Mehr

OPERATIONS-RESEARCH (OR)

OPERATIONS-RESEARCH (OR) OPERATIONS-RESEARCH (OR) Man versteht darunter die Anwendung mathematischer Methoden und Modelle zur Vorbereitung optimaler Entscheidungen bei einem Unternehmen. Andere deutsche und englische Bezeichnungen:

Mehr

Internationale Finanzierung 6. Bewertung von Aktien

Internationale Finanzierung 6. Bewertung von Aktien Übersicht Kapitel 6: 6.1. Einführung 6.2. Aktienbewertung mittels Kennzahlen aus Rechnungswesen 6.3. Aktienbewertung unter Berücksichtigung der Wachstumschancen 6.4. Aktienbewertung mittels Dividenden

Mehr

Klausur zur Vorlesung Financial Engineering und Structured Finance

Klausur zur Vorlesung Financial Engineering und Structured Finance Universität Augsburg Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät Lehrstuhl für Finanz und Bankwirtschaft Klausur zur Vorlesung Financial Engineering und Structured Finance Prof. Dr. Marco Wilkens 6. Februar

Mehr

Quantitative BWL 2. Teil: Finanzwirtschaft

Quantitative BWL 2. Teil: Finanzwirtschaft Quantitative BWL 2. Teil: Finanzwirtschaft Mag. Tomáš Sedliačik Lehrstuhl für Finanzdienstleistungen Universität Wien 1 Themenübersicht 1. Portfoliotheorie und Portfoliomodelle i. Grundbegriffe: Rendite,

Mehr

Institut für Stochastik Prof. Dr. N. Bäuerle Dipl.-Math. S. Urban

Institut für Stochastik Prof. Dr. N. Bäuerle Dipl.-Math. S. Urban Institut für Stochastik Prof. Dr. N. Bäuerle Dipl.-Math. S. Urban Lösungsvorschlag 8. Übungsblatt zur Vorlesung Finanzmathematik I Aufgabe Hedging Amerikanischer Optionen Wir sind in einem arbitragefreien

Mehr

4. Auflage. Kapitel IX: Bubbles

4. Auflage. Kapitel IX: Bubbles Eine Einführung in die Theorie der Güter-, Arbeits- und Finanzmärkte Mohr Siebeck c Kapitel IX: Bubbles Inhaltsverzeichnis Dieses Kapitel widmet sich Finanzmärkten, auf denen Finanzprodukte (Assets) gehandelt

Mehr

Data Mining: Einige Grundlagen aus der Stochastik

Data Mining: Einige Grundlagen aus der Stochastik Data Mining: Einige Grundlagen aus der Stochastik Hagen Knaf Studiengang Angewandte Mathematik Hochschule RheinMain 21. Oktober 2015 Vorwort Das vorliegende Skript enthält eine Zusammenfassung verschiedener

Mehr

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1 Vorlesung Funktionen/Abbildungen 1 1 Grundlagen Hinweis: In dieser Vorlesung werden Funktionen und Abbildungen synonym verwendet. In der Schule wird eine Funktion häufig als eindeutige Zuordnung definiert.

Mehr

Klausur zur Vorlesung Financial Engineering und Structured Finance

Klausur zur Vorlesung Financial Engineering und Structured Finance Universität Augsburg Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät Lehrstuhl für Finanz- und Bankwirtschaft Klausur zur Vorlesung Financial Engineering und Structured Finance Prof. Dr. Marco Wilkens 7. Februar

Mehr

Kevin Caldwell. 18.April 2012

Kevin Caldwell. 18.April 2012 im Rahmen des Proseminars Numerische Lineare Algebra von Prof.Dr.Sven Beuchler 18.April 2012 Gliederung 1 2 3 Mathematische Beschreibung von naturwissenschaftlich-technischen Problemstellungen führt häufig

Mehr

4. Versicherungsangebot

4. Versicherungsangebot 4. Versicherungsangebot Georg Nöldeke Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät, Universität Basel Versicherungsökonomie (FS 11) Versicherungsangebot 1 / 13 1. Einleitung 1.1 Hintergrund In einem grossen Teil

Mehr

Finanz- und Risikomanagement II

Finanz- und Risikomanagement II Finanz- und Risikomanagement II Fakultät Grundlagen März 2009 Fakultät Grundlagen Finanz- und Risikomanagement II Einperiodenmodell Marktmodell Bewertung von Derivaten Binomialbaum Bewertungen im Abhängigkeiten

Mehr

Aufgaben zur Vorlesung Finanzmanagement

Aufgaben zur Vorlesung Finanzmanagement Aufgaben zur Vorlesung Finanzmanagement B. rke FH Gelsenkirchen, Abteilung Bocholt February 4, 006 Aufgabenblatt: "Bewertung von Optionen" 1 Lösungshinweise 1 uropean Put Option Zeichnen Sie den einer

Mehr

5.1 Drei wichtige Beweistechniken... 55 5.2 Erklärungen zu den Beweistechniken... 56

5.1 Drei wichtige Beweistechniken... 55 5.2 Erklärungen zu den Beweistechniken... 56 5 Beweistechniken Übersicht 5.1 Drei wichtige Beweistechniken................................. 55 5. Erklärungen zu den Beweistechniken............................ 56 Dieses Kapitel ist den drei wichtigsten

Mehr

Rekursionen (Teschl/Teschl 8.1-8.2)

Rekursionen (Teschl/Teschl 8.1-8.2) Rekursionen (Teschl/Teschl 8.1-8.2) Eine Rekursion kter Ordnung für k N ist eine Folge x 1, x 2, x 3,... deniert durch eine Rekursionsvorschrift x n = f n (x n 1,..., x n k ) für n > k, d. h. jedes Folgenglied

Mehr

Matr.-Nr.: Name: Vorname: Aufgabe 1 2 3 4 Summe

Matr.-Nr.: Name: Vorname: Aufgabe 1 2 3 4 Summe FernUniversität in Hagen Fakultät für Wirtschaftswissenschaft Matr.-Nr.: Name: Vorname: Klausur: Finanz- und bankwirtschaftliche Modelle (32521) Prüfer: Univ.-Prof. Dr. Michael Bitz Termin: 20. März 2013

Mehr

Übung zu Forwards, Futures & Optionen

Übung zu Forwards, Futures & Optionen Übung zu Forwards, Futures & Optionen Vertiefungsstudium Finanzwirtschaft Dr. Eric Nowak SS 2001 Finanzwirtschaft Wahrenburg 15.05.01 1 Aufgabe 1: Forward auf Zerobond Wesentliche Eckpunkte des Forwardgeschäfts:

Mehr

Zur Bewertung von Derivaten Eine Einführung

Zur Bewertung von Derivaten Eine Einführung Zur Bewertung von Derivaten Eine Einführung Dr. Volkert Paulsen 17. September 2009 Im wesentlichen unternimmt man auf Finanzmärkten eine Zweiteilung in Basis- und derivative Finanzgüter. Ein Anteil an

Mehr

Optionen, Futures und andere Derivate

Optionen, Futures und andere Derivate John C. Hull Optionen, Futures und andere Derivate Das Übungsbuch 8., aktualisierte Auflage Fachliche Betreuung der deutschen Übersetzung durch Dr. Wolfgang Mader und Dr. Marc Wagner Higher Education München

Mehr

Hochschule Rhein-Main. Sommersemester 2015

Hochschule Rhein-Main. Sommersemester 2015 n Vorlesung Hochschule Rhein-Main Sommersemester 2015 Dr. Roland Stamm 18. Mai 2015 n Erinnerung Eine Option ist das Recht (aber nicht die Verpflichtung) ein Produkt S in der Zukunft zu einem heute festgelegten

Mehr

Nicht-rekombinierbare Binomialbäume und ihre Anwendung in der Finanzmathematik Betreuer: Lars Grüne

Nicht-rekombinierbare Binomialbäume und ihre Anwendung in der Finanzmathematik Betreuer: Lars Grüne Nicht-rekombinierbare Binomialbäume und ihre Anwendung in der Finanzmathematik Betreuer: Lars Grüne Michaela Baumann Universität Bayreuth Dornbirn, 12. März 2015 Motivation Ein Kunde möchte bei einer Bank

Mehr

Martingale. Kapitel 6. 6.1 Martingale in diskreter Zeit. 6.1.1 Definition und Beispiele

Martingale. Kapitel 6. 6.1 Martingale in diskreter Zeit. 6.1.1 Definition und Beispiele Kapitel 6 Martingale In der Statistik modellieren Martingale z.b. Glücksspiele oder Handelsstrategien in Finanzmärkten und sind ein grundlegendes Hilfsmittel für die statistische Inferenz stochastischer

Mehr

Zugelassenes Hilfsmittel: nicht programmierbarer Taschenrechner.

Zugelassenes Hilfsmittel: nicht programmierbarer Taschenrechner. Bachelor-Kursprüfung Kapitalmarkttheorie Schwerpunktmodul Finanzmärkte 6 Kreditpunkte WS 2014/15 23.2.2015 Prof. Dr. Lutz Arnold Bitte gut leserlich ausfüllen: Name: Vorname: Matr.-nr.: Wird vom Prüfer

Mehr

3. Zusammenhang. 22 Andreas Gathmann

3. Zusammenhang. 22 Andreas Gathmann 22 Andreas Gathmann 3. Zusammenhang Eine der anschaulichsten Eigenschaften eines topologischen Raumes ist wahrscheinlich, ob er zusammenhängend ist oder aus mehreren Teilen besteht. Wir wollen dieses Konzept

Mehr

(Lineare) stochastische Optimierung

(Lineare) stochastische Optimierung (Lineare) stochastische Optimierung Bsp: Aus zwei Sorten Rohöl wird Benzin und Heizöl erzeugt. Die Produktivität sowie der Mindestbedarf (pro Woche) und die Kosten sind in folgender Tabelle angegeben:

Mehr

Kurzbeschreibung. Eingaben zur Berechnung. Das Optionspreismodell. Mit dem Eurex-OptionMaster können Sie

Kurzbeschreibung. Eingaben zur Berechnung. Das Optionspreismodell. Mit dem Eurex-OptionMaster können Sie Kurzbeschreibung Mit dem Eurex-OptionMaster können Sie - theoretische Optionspreise - Optionskennzahlen ( Griechen ) und - implizite Volatilitäten von Optionen berechnen und die errechneten Preise bei

Mehr

Betreuer: Lars Grüne. Dornbirn, 12. März 2015

Betreuer: Lars Grüne. Dornbirn, 12. März 2015 Betreuer: Lars Grüne Universität Bayreuth Dornbirn, 12. März 2015 Motivation Hedging im diskretisierten Black-Scholes-Modell: Portfolio (solid), Bank (dashed) 110 120 130 140 150 160 170 Portfolio (solid),

Mehr

Optimieren unter Nebenbedingungen

Optimieren unter Nebenbedingungen Optimieren unter Nebenbedingungen Hier sucht man die lokalen Extrema einer Funktion f(x 1,, x n ) unter der Nebenbedingung dass g(x 1,, x n ) = 0 gilt Die Funktion f heißt Zielfunktion Beispiel: Gesucht

Mehr

Extrema von Funktionen in zwei Variablen

Extrema von Funktionen in zwei Variablen Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt Extrema von Funktionen in zwei Variablen Literatur: Gauglhofer, M. und Müller, H.: Mathematik für Ökonomen,

Mehr

Die Black-Scholes-Gleichung

Die Black-Scholes-Gleichung Die Black-Scholes-Gleichung Franziska Merk 22.06.2012 Outline Optionen 1 Optionen 2 3 Optionen Eine Kaufoption ist ein Recht, eine Aktie zu einem heute (t=0) festgelegten Preis E an einem zukünftigen Zeitpunkt

Mehr

Quantitative Finance

Quantitative Finance Kapitel 11 Quantitative Finance Josef Leydold c 2006 Mathematische Methoden XI Quantitative Finance 1 / 30 Lernziele für den Teil Quantitative Finance Die Welt der stetigen Zinsen (Renditen) Wichtige Finanzprodukte:

Mehr

SoSe 2004 Mareen Hofmann, Sonja Lange

SoSe 2004 Mareen Hofmann, Sonja Lange Einführung in die Finanzmathematik Grundlagen SoSe 2004 Mareen Hofmann, Sonja Lange Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Finanzmärkte und Instrumente 2 2.1 Finanzmärkte............................. 2 2.2

Mehr

0, v 6 = 2 2. 1, v 4 = 1. 2. span(v 1, v 5, v 6 ) = span(v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 ) 4. span(v 1, v 2, v 4 ) = span(v 2, v 3, v 5, v 6 )

0, v 6 = 2 2. 1, v 4 = 1. 2. span(v 1, v 5, v 6 ) = span(v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 ) 4. span(v 1, v 2, v 4 ) = span(v 2, v 3, v 5, v 6 ) Aufgabe 65. Ganz schön span(n)end. Gegeben sei folgende Menge M von 6 Vektoren v, v,..., v 6 R 4 aus Aufgabe P 6: M = v =, v =, v =, v 4 =, v 5 =, v 6 = Welche der folgenden Aussagen sind wahr? span(v,

Mehr

BONUS MALUS SYSTEME UND MARKOV KETTEN

BONUS MALUS SYSTEME UND MARKOV KETTEN Fakultät Mathematik und Naturwissenschaften, Fachrichtung Mathematik, Institut für Mathematische Stochastik BONUS MALUS SYSTEME UND MARKOV KETTEN Klaus D. Schmidt Ringvorlesung TU Dresden Fakultät MN,

Mehr

Informationsblatt Induktionsbeweis

Informationsblatt Induktionsbeweis Sommer 015 Informationsblatt Induktionsbeweis 31. März 015 Motivation Die vollständige Induktion ist ein wichtiges Beweisverfahren in der Informatik. Sie wird häufig dazu gebraucht, um mathematische Formeln

Mehr

Kurs 00091: Finanzierungs- und entscheidungstheoretische Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre

Kurs 00091: Finanzierungs- und entscheidungstheoretische Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre, Kurs 00091, KE 4, 5 und 6, WS 2009/2010 1 Kurs 00091: Finanzierungs- und entscheidungstheoretische Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre Lösungshinweise zur Einsendearbeit

Mehr

Absolute Stetigkeit von Maßen

Absolute Stetigkeit von Maßen Absolute Stetigkeit von Maßen Definition. Seien µ und ν Maße auf (X, Ω). Dann heißt ν absolut stetig bezüglich µ (kurz ν µ ), wenn für alle A Ω mit µ(a) = 0 auch gilt dass ν(a) = 0. Lemma. Sei ν ein endliches

Mehr

Flonia Lengu. Termingeschäfte: Futures und Optionen/Forwards/Futures: Terminkauf und -verkauf

Flonia Lengu. Termingeschäfte: Futures und Optionen/Forwards/Futures: Terminkauf und -verkauf Flonia Lengu Termingeschäfte: Futures und Optionen/Forwards/Futures: Terminkauf und -verkauf Gliederung 1. Einführung in derivative Finanzinstrumente 2. Futures und Optionen 3. Terminkauf und verkauf von

Mehr

Institut für Stochastik Prof. Dr. N. Bäuerle Dipl.-Math. S. Urban

Institut für Stochastik Prof. Dr. N. Bäuerle Dipl.-Math. S. Urban Institut für Stochastik Prof. r. N. Bäuerle ipl.-math. S. Urban Lösungsvorschlag 3. Übungsblatt zur Vorlesung Finanzmathematik I Aufgabe as endnutzenoptimale Aktienportfolio bei Exp-Nutzen Wir betrachten

Mehr

Musterlösung Übung 3

Musterlösung Übung 3 Musterlösung Übung 3 http://www.hoadley.net/options/ http://www.eeh.ee.ethz.ch/en/power/power-systems-laboratory/services 1. Optionsbewertung nach Black / Scholes a) Bewerten Sie eine Call-Option mit den

Mehr

Lineare Programmierung. Beispiel: Wahlkampf. Beispiel: Wahlkampf. Mathematische Schreibweise. Lineares Programm. Datenstrukturen & Algorithmen

Lineare Programmierung. Beispiel: Wahlkampf. Beispiel: Wahlkampf. Mathematische Schreibweise. Lineares Programm. Datenstrukturen & Algorithmen Datenstrukturen & Algorithmen Einführung Standard- und Schlupfformen Simplex Algorithmus Matthias Zwicker Universität Bern Frühling 2009 2 Beispiel: Wahlkampf Ziel: mit möglichst wenig Werbung eine gewisse

Mehr

Vorlesung Analysis I / Lehramt

Vorlesung Analysis I / Lehramt Vorlesung Analysis I / Lehramt TU Dortmund, Wintersemester 2012/ 13 Winfried Kaballo Die Vorlesung Analysis I für Lehramtsstudiengänge im Wintersemester 2012/13 an der TU Dortmund basiert auf meinem Buch

Mehr

Angewandte Stochastik

Angewandte Stochastik Angewandte Stochastik Dr. C.J. Luchsinger 17 Crash Course Brownsche Bewegung (stetige Zeit, stetiger Zustandsraum); Pricing & Hedging von Optionen in stetiger Zeit Literatur Kapitel 17 * Uszczapowski:

Mehr

3.2 Lineare Optimierung (Entscheidungen unter Sicherheit)

3.2 Lineare Optimierung (Entscheidungen unter Sicherheit) 3. Lineare Optimierung (Entscheidungen unter Sicherheit) Betrachtet wird hier der Fall Θ = (bzw. die Situation u(a, ϑ) bzw. l(a,ϑ) konstant in ϑ Θ für alle a A). Da hier keine Unsicherheit über die Umweltzustände

Mehr

LP-Modelle zu Arbitrage-Detektion und Optionsbewertung

LP-Modelle zu Arbitrage-Detektion und Optionsbewertung FernUniversität in Hagen Fakultät für Mathematik und Informatik Schriftliche Präsentation im Zusatzstudiengang Master im Fach Mathematik Methoden und Modelle zum Thema: LP-Modelle zu Arbitrage-Detektion

Mehr

Musterlösung Übung 2

Musterlösung Übung 2 Musterlösung Übung 2 http://www.hoadley.net/options/ http://www.eeh.ee.ethz.ch/en/power/power-systems-laboratory/services 1. Optionsbewertung nach Black / Scholes a) Bewerten Sie eine Call-Option mit den

Mehr