{ } v = v r. v dv = G M. a dr = v dv. 1 2 v2 = G M + C 1. = 1 2 v 02 g R. e r. F (r) = G m M r 2. a = dv dt. = dv dr dr. dr v G M.

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Marielies Diefenbach
vor 6 Jahren
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1 Otsabhängige Käfte Bsp.: Rakete im Gavitationsfeld (g nicht const.) F () = G m M 2 Nu -Komp. a = dv dt e v = v = dv d d dt a d = v dv v dv = G M 1 2 v2 = G M C 1 = 1 2 v 0 (späte meh) (Abschuss vom Pol) 2 + C 1 = dv d v d 2 G M R = 1 2 v 02 g R { } M v 0 e h=-r R Ede Gaub E1 WS14/15 1

2 1 2 v2 = G M mit a(r) = g 1 2 v 2 = g R2 max = v 02 g R = G M R v 2 0 g R R 2 v 1 ( 0 2 R g ) v( max ) = 0 fü v 0 2 R g { } M v 0 e h=-r R Ede v 0 v 2 = 2 R g =11.2 km s Fluchtgeschwindigkeit (2.kosmische Geschwindigkeit) Kleinste Keisbahn ( Newton) v 1 2 R = G M R 2 v 1 = G M R 1. Kosmische Geschwindigkeit = g R = v 2 2 = 7.9 km s Gaub E1 WS14/15 2

3 m 0 m m T Newtons Sicht: Actio = Reactio! m ʹ 0 m v ʹ Gas Rakete v bezogen auf Edobefläche T t Gesamtimpuls (Rakete+Gas) im All Fü t< T dp dt = m d v dt + dm = dm ʹ v e = v ʹ v = const m d v dt = dm dt v e dv = v e dm m v(t) v(0) dv = v e m(t) Ausstoßgeschwindigkeit elativ zu Rakete Raketengleichung Tiebweks-Schub v(t) = v e (ln m t ln m 0 ) m(0) m ʹ d v ʹ dt + dm dt v + dm ʹ dt 0 1 m dm Nu z-richtung v ʹ = 0 bei Stat von de Ede: Viel Teibstoff schnell vebennen v(t) = v e ln m 0 m t v(t) = v e ln m 0 m T g t Gaub E1 WS14/15 3

4 Bsp.: 1. Stufe Satun V v e = 4 km } v(t) = 4, 4 km s g = 0 s m 0 = kg m T = kg v(t) = 3,4 km s T =100 s g = 9,81m / s 2 untehalb de Fluchtgeschwindigkeit Mehstufige Tägeaketen Apollo 11 Satun V lauch Gaub E1 WS14/15 4

5 2.7 Enegiesatz de Mechanik Abeit + Leistung Bahnkuve P 1 z x d = v dt F (t) y P 2 dw = F d W 1 2 = p 2 p 1 p 2 F d = p 1 Anmekung: Leistung: Bsp. Gleichfömige Keisbewegung: F d Abeit [W]= Nm = Joule x 2 x 1 Linienintegal F x dx + W = 0 fü F d P = dw = F v dt v = v e t ; y 2 y 1 F = F e F y dy + z 2 z 1 F z dz [P]= J s =Watt=W F d = 0 W = 0 Bsp.: Dehnabeit eine Fede von 0 x : W = F x d x x = D x ʹ dx ʹ 0 = 1 2 D x 2 Gaub E1 WS14/15 5

Konsevative Kaftfelde I z WI = P1 Fg P2 W II = P2 (t) II F d P2 d F d P1 P1 Wenn WI = WII = WIII = y x => Integal wegunabhängig Kaftfeld F () konsevativ Konsevatives Kaftfeld: P2 W I W II = P1 I

6 Konsevative Kaftfelde I z WI = P1 Fg P2 W II = P2 (t) II F d P2 d F d P1 P1 Wenn WI = WII = WIII = y x => Integal wegunabhängig Kaftfeld F () konsevativ Konsevatives Kaftfeld: P2 W I W II = P1 I P1 F d + F d P2 II P2 = P1 II F d + P1 F d = P2 I F d = 0 Die Abeit hängt nu von Stat- und Endpunkt, nicht vom Weg ab. Vektoanalysis: Stokes sche Satz konsevativ falls ot F = 0 Gaub E1 WS14/15 6

7 Bsp.: homogenes Kaftfeld z P z 2 2 II z 1 P 1 x 1 I x 2 Bsp.: zentales Kaftfeld x F = f () F = W I = W II = 0 0 F z P 2 P F d F z dz + 0 z 1 F d = 0 z 2 = 0 + F z dz z 1 Konsevatives Kaftfeld II P 2 P 2 F d 2 = F d + 0 P 1 1 F d = 0 konsevativ 1 = F d 2 I P 1 Gaub E1 WS14/15 7

8 Potentielle Enegie konsevatives Kaftfeld W = P 2 P 1 F d Def! = Ep (P 1 ) E p (P 2 ) = ΔE p F d v Bemekung: I. Vozeichen so gewählt, dass Abeit, die am Köpe am Köpe veichtet wid, dessen ehöht E p W P = P F d = E p (P) = Abeit die geleistet wid um P ins Unendliche zu bingen II. Nullpunkt wid oft so gewählt, dass E p ( ) = 0 Gaub E1 WS14/15 8

9 Bsp. Gavitationsfeld Nahe Edobefläche g = const. W = F d mit E p (0) = 0 E p (h) = m g h h = m g dz 0 = m g h = E p (0) E p (h) Geleistete Abeit hat zu Zunahme de E p gefüht Fü gösseen Entfenungsbeeich gilt das Gavitationsgesetz W = G M m 2 e d = G M m 2 d = G M m = E p () E p ( ) E p R m g R E p = G M m Gaub E1 WS14/15 9

10 Enegiesatz de Mechanik m t t 0 t t 0 F v dv dt ʹ v F = m d v dt dt ʹ = konsevatives Kaftfeld P P 0 dt ʹ = m F d v 1 v dv v 0 t t 0 F v dt ʹ = m = E p (P 0 ) E p (P) = W = m 2 v 2 1 m 2 v 02 t t 0 dv dt ʹ v dt ʹ Def.: E kin = m 2 v2 ΔE kin = W Die Zunahme de kinetischen Enegie eines Köpes ist gleich de an ihm geleisteten Abeit E = E p (P 0 ) + E kin (P 0 ) = E p (P)+ E kin (P) Im konsevativen Kaftfeld ist die Summe aus potentielle Enegie und kinetische Enegie konstant Gaub E1 WS14/15 10

11 Bsp: feie Fall v(h) = 0 E P (z) = ; z = h ; E P (0) = 0 z 0 E kin (z) = m 2 v2 m g dz = m g z = m 2 (g t)2 = m g (h z) weil1/2 g t 2 = (h z) E = E P (z) + E kin (z) = m g h Unabhängig von z! Gaub E1 WS14/15 11

12 P F (x, y) E P (x, y) F (x + Δx, y + Δy) P ʹ Δx Δ E P (x + Δx,y + Δy) Δy Potential Kaftfeld ΔE P = E P x Δx + E P y Δy + E P z Δz Dafü benötigte Abeit ΔW = F d = ΔE P F x Δx + F y Δy + F z Δz = E P x Δx + E P y Δy + E P z Δz Def.: Potential = Potentielle Enegie po Masse V() = G M E Bsp.: Gavitation => Schwekaft F () = gad(v )m F = E P x E P y E P z Nabla = gad(e P ) = E P Gaub E1 WS14/15 12

13 Bestimmung von G, Bsp: Gavitationswaage = 2 L F G Dehmoment des vedillten Fades Schema Gavitationswaage Gaub E1 WS14/15 13

14 Dehimpuls Ebene beliebig gekümmte Bahn L ω O (t) (t 2 ) ϕ Ebene von v ϕ v (t), v (t) p = m v und v weil v ϕ Def.: Dehimpuls In Polakoodinaten: L = m( ( v + v ϕ )) = = 2 ϕ L = ( p ) = m ( v ) L =, v m( v )+ m( v ϕ ) 0 weil v L = m 2 ϕ Keisbewegung: ϕ = ω ; v = v ϕ L = m 2 ω Gaub E1 WS14/15 14

15 Dehmoment: dl dt = d dt p + d p dt = Def: Dehmoment 0 weil v p d L dt = D = ( F ) Newton ( v p )+ ( p ) = ( F ) D.. F Fü zentale Kaftfelde F = f () ˆ e ist D = 0 L = const. bzgl. Kaftzentum Dehimpulsehaltung Zeitliche Veändeung des Dehimpulses ist gleich dem wikenden Dehmoment Gaub E1 WS14/15 15

16 Man Beachte: O 1 m L und D weden bzgl. eines festen Punktes O im Raum definiet θ v O 2 L 1 = 0 Geade Bewegung kann Dehimpuls haben bzgl. O 2 L 2 = m v sinθ 0 Analogie: Späte noch: v F p m E kin ϕ ω D L I E ot Gaub E1 WS14/15 16

17 Tycho Bahe Johannes Kepple Gaub E1 WS14/15 17

18 Planetenbewegung: Kepplegesetze (Basieend auf Beobachtung Tycho Bahes)) I. Planeten bewegen sich auf Ellipsen mit Sonne im Bennpunkt II. Fahstahl von Sonne zu Planet übescheitet in gleichen Zeiten gleiche Flächen P(t 1 ) A 1 P(t 2 + Δt) P(t 1 + Δt) S A 2 P(t2) III. Die Quadate de Umlaufzeiten de Planeten vehalten sich wie die 3. Potenzen ihe goßen Halbachsen T 1 2 T 2 2 = a 1 3 a 2 3 ode T i 2 a i 3 = const fü alle Planeten Gaub E1 WS14/15 18

19 Zum 2. Keppleschen Gesetz S (t + dt) da (t) h α ds p d s = v dt Bogen Sehne da = 1 2 v dt sinα 1 da 2 m L dt = 1 2 v sinα = 1 2 m p = + 1. Gesetz (planae Bahn) => Richtung L konst L = const Gaub E1 WS14/15 19

20 Newtons Analyse: Planetenbahnen!! Selbe Axiomatik!! Gavitation! Fallende Apfel aus L = const. F G () = f () ˆ e (Zentalkaft) aus Actio = Reactio F G ~ m 1 m 2 F G () = G m 1 m 2 f () ˆ e Mit Ellipse ~ Keis => m p w p 2 p = G m p m s f ( i ) Gaub 3. Kepple w 2 ~ T 2 ~ 3 f () ~ 2 F = G m p M S 2 E1 WS14/15 ˆ e Newtonsches Gavitationsgesetz G= 6, m 3 /kg s 2 20

21 Bestimmung von g: Mathematisches Pendel F t = m a t m g sinϕ = m l ϕ l (1 cosϕ) l ϕ v F t v F sinϕ = ϕ ϕ 3 sinϕ ϕ ϕ = g l ϕ 3! + ϕ5 5!... m g Lösung de DGL: ϕ(t ) = A sin g l t T = 2 π l g g Gaub E1 WS14/15 21

22 Genaue: l g E p = m g l (1 cosϕ ) ϕ 0 dϕ = dt = T sin ϕ cosϕ cosϕ mit sinα = 2 ϕ=0 T = 4 T(ϕ 0 ) = 2 π l g π 2 T 4 dα ; k = sin ϕ k 2 sin 2 α 2 l g ( ϕ ) E kin = m 2 v2 = m 2 l2 ϕ 2 Stat E = E kin + E p = m g l (1 cosϕ) + m 2 l2 ϕ 2 = E p0 = m g l (1 cosϕ 0 ) dϕ dt = 2 g (cosϕ cosϕ 0 ) l sin ϕ Bonstein ode Mathematica 10 o 20 o 30 o ϕ 0 Gaub E1 WS14/ T (ϕ 0 ) T 0

23 Gavitation Kugelschale da ds a α y x dx y dϕ Aufsicht Schnittfläche R ds da = y dϕ ds Keisscheibe de Dicke dx schneidet aus de Kugelschale de Dicke da das Volumenelement (Keising) ds ʹ m P X dv= y dϕ ds dx m ʹ ρ dv de P = G 2π 0 => dv KR = y ds dx dϕ = 2 π y ds dx Nebenübelegung: Keising in n Segmente dv unteteilen und Beitäge zu Ep aufaddieen: de PKR = dx de P = n G m ʹ ρ dv = G m ʹ dm KR n Gaub E1 WS14/15 23 da y = a sinα, ds = da / sinα

24 Gavitation Kugelschale da a α dx R ds 2 = y 2 + (R x) 2 = y 2 + x 2 + R2 2 R x a 2 y = a 2 + R 2 2 R x dx /d = / R dx / = d / R Keisscheibe de Dicke dx schneidet aus de Kugelschale de Dicke da das Volumenelement (Keising) ʹ m P X dm = ρ 2 π a da dx m ʹ dm de P = G +a dx E P = 2 π ρ G m ʹ a da E P = E P = G 2 π ρ a da m ʹ R m ʹ m R mit m = 4 π a 2 ρ da dv = 2 π y ds dx, y = asinα, ds=da/sinα dv = 2 π a dx da G x= a R a = R +a d = Masse de KS Gaub E1 WS14/15 24

25 Außehalb de Hohlkugel escheint die gesamte Masse konzentiet in O 0 E P a R Innehalb Hohlkugel: G m m ʹ a G m m ʹ R R innehalb de Kugel! F 0 F = 0 a F = G m m ʹ R 2 R = a R E Pi ~ d = 2 R = a+ R m ʹ m E Pi = G a F = gade P = 0 = const. R a! fü R < a Gaub E1 WS14/15 25

26 Gavimetie de Edobefläche 1 Gal = 1 cm/s² = 0,01 m/s²; also etwa ein Pomille de duchschnittlichen Edbeschleunigung von ca. 9,81 m/s² 10 m/s² = 1000 Gal, Gaub E1 WS14/15 26

27 Vaianten de Coulomb WW Gaub E1 WS14/15 27

28 Vaianten de Coulomb WW Siehe J.N. Isaelachvili, Intemolecula and Suface Foces with Applications to Colloidal and Biological Systems, Academic Pess 1985 Gaub E1 WS14/15 28

29 Bsp.: VdW-Potentiale ausgedehnte Köpe 2πydydξ dw = n B β [(d + ξ) 2 + y 2 ] 3 w AB = y =0ξ =0 dw = π n Bβ 6d 3 Nochmalige Integation => Potetial zwischen 2 Wänden W AB = π 2 n A n B β 1 12 d = H AB d 2 H AB typisch J Hamake Gaub Konstante E1 WS14/15 29

30 Van de Waals Wechselwikung hält den Gecko am Glas fest Gaub E1 WS14/15 30

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Kapitel 4 Energie und Arbeit Kapitel 4 negie und Abeit Kaftfelde Wenn wi jedem unkt des Raums eindeutig einen Kaft-Vekto zuodnen können, ehalten wi ein Kaftfeld F ( ) Häufig tauchen in de hysik Zental-Kaftfelde auf : F( ) f ( ) ˆ