Mathematische Randbemerkungen 5: Die Tripelproduktidentität von Jacobi. qz q z. n k

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1 Matheatsche Radbeeruge 5: De Trpelprodutdettät vo Jacob De Trpelprodutdettät vo Jacob besagt, dass + q ( + q)( + )( q) = q () bw. + q ( + )( + ) = q q ( q ) glt. Deses grudlegede Resultat aus der Theore der Theta-Futoe wurde uabhägg vo eader vo C.G. Jacob ud C.F. Gauß gefude. De Rehe ud Produte overgere für \ 0. Da wr us her cht für Frage der Aalyss teressere, fasse wr ud q cht als reelle oder oplexe Zahle soder als Ubestte auf. Ich habe de efachste Bewese der Tatsache, dass de Koeffete vo auf bede Sete vo () übereste, gesaelt ud öchte Folgede ee hoffetlch gut verstädlche Verso deser wohlbeate Resultate brge. q < ud { } E oft verwedeter Ausgagsput st der q bosche Lehrsat der For () + N N ( qx)( q x) ( q x) q x = 0 (3) Deser a folgederaße obatorsch gedeutet werde: Jeder Ter vo (3), der x ethält, etsteht be Ausultplere der le Sete, de a geau Fatore de Ter, der x ethält, auswählt. Das ergbt ee Sue vo a a a Tere der Gestalt q xq x q x t N a > a > > a. U e aschaulches Bld der Stuato u erhalte, odfere wr das Ferrer-Dagra der Partto { a,, a} vo a+ a + + a, de wr de erste Zele u Ehete, de wete u Ehete ud schleßlch de te Zele u Ehet ach ls verschebe. Außerde arere wr das erste Eleet eder Zele. We etwa = 4 ud a, a, a, a = 6,5,3, st, erhalte wr das Dagra { } { } 3 4

2 De arerte Eleete, also de erste Eleete eder Zele, blde ee Dagoale + Rchtug SO. Der le Tel des Dagras ethält Eleete ud der rechte Tel st + ee Partto λ = { a, a +,, a } vo a+ a + + a Tele, wovo eder N st. We a alle Auswahle { a,, a} t N a > a > > a durchläuft, erhält a auf der rechte Sete alle Parttoe λ Tele, wovo eder N st. Sot glt das grudlegede Lea De ereugede Futo st aller Parttoe λ Tele, wovo eder N st, q λ λ N. Deses Resultat st äquvalet t de q bosche Lehrsat der For (3). + Das Resultat, dass de ereugede Futo aller Parttoe Tele st, wo eder Tel st, a auch völlg uabhägg vo q bosche Lehrsat bewese werde. E solcher Bewes fdet sch.b. Buch Iteger Parttos vo George Adrews ud Ko Ersso. Deser Bewes soll her cht wederholt werde. Wr wolle deses Resultat als beat voraussete ud a Stelle des q bosche Lehrsates als Grudlage für alles Folgede asehe. Beerug Vo re logsche Stadput aus st es auf Grud des Leas atürlch rrelevat, welches der bede Resultate als Ausgagsput gewählt wrd ud we a deses bewest. Da de folgede Überleguge der Begrff der Parttoe ee beherrschede Rolle spelt, st es schöer, de parttoetheoretsche Iterpretato u wähle. Es wäre sehr schö, we der Ausgagsput eer Theore berets ee Hwes darauf gäbe, was egetlch hter der Theore stect ud welche Methode dabe ee Rolle spele. Das st leder ur sehr selte der Fall. Gerade be q bosche Lehrsat gbt es sehr vele verschedee Bewesethode, de weg Geesaete aufwese. Es schet so ählch we be de Eleetartelche der Phys u se, de auch fast alle eader ugewadelt werde öe ud sch cht auf e eges grudlegedes reduere lasse. Ee efache Folgerug deser Iterpretato st de Forel + = x. ( )( ) ( ) x qx q x 0 (4) De schrebt a de le Sete der Gestalt ( )( ) ( N N + x+ x + + qx+ q x + + q x+ q x + ), so st lar, dass der Koeffet vo x durch q λ über alle Parttoe λ Tele, λ wovo eder st, gegebe st.

3 Der efachste Bewes der Trpelprodutdettät, de berets Gauß ud Cauchy ate, beruht auf eer Modfato des q bosche Lehrsates (3): See, atürlche Zahle. Wr sete N +, x q. Da erhalte wr + + ( + q )( + q ) ( + q )( + )( + q) ( + q ) ( ) ( ) = q q q 0 = = = +. Nu ultplere wr bede Sete t q q q =. Das ergbt q q ( + q)( + q ) ( + q ) = q. = + (5) wel + + ( ) = st. Für, erhält a daraus (). Der Greübergag bedeutet dabe folgedes: Bede Sete vo (5) sd Polyoe ud daher sbesodere forale Poterehe q, dere Koeffete Polyoe ud, also Eleete vo [, ][[]] q, sd. E Greübergag f ( q) = a q f( q) = a q Berech der forale Poterehe bedeutet, dass für edes feste K e N exstert, so dass für alle N glt a = a für alle K. Aders ausgedrüct bedeutet das, dass K f( q) = f( q) + O( q + ) für alle N glt. Das st her lar, wel für, K+ ur ehr Tere q t > K dauoe. Geauso glt q q ( q)( q ) ( q ) K + = = + Oq ( q)( q ) ( q )( q)( q ) ( q ) ( q)( q )( q ) ( ). Beerug We a (3) t N geht, erhält a de Euler sche q Expoetalfuto q ( ) = ( + )( + )( + ) =. = 0 ( q) E q q Dabe bedeute ( ) + = ( + )( + q) ( + q ) ud ( + ) = ( + )( + q)( + q ). Aus der Defto folgt, dass E ( ) = ( + Eq ) ( ) glt. (6) 3

4 Auf deselbe Wese erhält a aus (4) e weteres q Aalogo der Expoetalfuto, älch e ( ) = =. ( )( q)( q ) 0 ( q) (7) Dese Resultate a a atürlch auch ohe Beugahe auf (3) oder (4) rechersch ablete. De schrebt a etwa wete Fall e ( ) = a, ( )( q)( q ) = 0 so erhält a aus ( e ) ( ) = eq ( ) durch Koeffeteverglech ( q ) a = a, woraus wege a 0 = alles folgt. Kobatorsch bedeutet (7), dass de ereugede Futo aller Parttoe t höchstes Tele durch = l ( q) gegebe st. Dagege bedeutet (6), we a x qx ersett, dass de ereugede Futo aller Parttoe verschedee Tele q + + l q ( q) = st. We wr (5) be feste t gehe, erhalte wr = + = ( q) q q q ( q)( q ). Sett a + q q f ( ) =, da glt f ( + ) = ( ). + + f = ( q) Dese Idettät a a auch ohe Kets der le Sete sofort dret verfere. De + + = = + + += ( q) q q q ( + q ) = ( q) = ( q) = ( q) f ( + ) f( ) = = q q q f( ). We a da t geht, erhält a weder de Trpelprodutdettät, wel q sch da f( ) = f(0) ( + ) ergbt ud wege (6) f (0) = ( + q ) st. Deser Bewes wurde vo Che, Hou ud Mu (arxv:ath. CO/05098) publert. 4

5 E weterer trcrecher Bewes vo George Adrews beütt ur de bede q Expoetalfutoe ud geht davo aus, dass a der q Expoetalfuto + q ( + q) = 0 ( q) de rechte Sete auch der Gestalt + + q + + = q q q 0 ( q) ( q) 0 ( )( ) + + schrebe a. Nu st ( q )( q ) = 0 für < 0, wel da e Fator 0 st. Daher öe wr de rechte Sete auch der Gestalt q ( q )( q ) ( q) schrebe. Für edes st aber weder aus der Forel für de q Expoetalfuto + + ( ) q 0 ( q) + ( ) ( q )( q ) = q. Also ergbt sch + + q ( ) q = q q 0 ( q) ( q) 0 ( q) + ( ) We wr her de Rehefolge der Suato äder ud beachte, dass + ( ) = st, erhalte wr q + = q 0 ( q) ( q) 0( q) oder + Eq ( ) = e q. ( q) We wr de q Expoetalfutoe weder als uedlches Produt schrebe, ergbt sch schleßlch de gesuchte Idettät. + ( q) ( + q) = q. ( + q ) 5

6 E aderer sehr elegater Bewes vo Adrews geht vo der le Sete vo () aus ud beechet dese t J( ). Da verfert a sofort, dass J( ) = qj( q) (8) glt. We wr J( ) ach Potee vo etwcel, erhalte wr ee Rehe der Gestalt + J( ) = a ( q) q. Koeffeteverglech lefert, dass a ( ) ( ) q = cost = a0 q st. Es ergbt sch also = 0 + J( ) a ( q) q. (9) De ostate Ter a ( q ) vo q 0 ( + q)( + ) erhält a, we a glech vele Tere, de ethalte aus ( q + q) ud aus ( + ) auswählt. Ma a ee solche Auswahl durch e Paar ( ab, ) t a = { a, a,, as}, wobe a > a > > a s st ud b= { b,, bs} t b > b > > b s 0 beschrebe. So e Paar a als Partto vo ( a + b) gedeutet werde. Ma a älch ede Partto uehrbar edeutg durch so e Paar ( ab, ) beschrebe. Das st wesetlche de sogeate Frobeus-Darstellug eer Partto. Dau betrachtet a be gegebeer Partto λ de SO-Dagoale Ferrer-Dagra. De Aahl der Eleete der Zele, de auf ud rechts vo der Dagoale lege, sd de a ud de Aahl der Eleete der Spalte, de uter der Dagoale lege, de b. a 5,,, b 3,, 0 λ = 5,3,3,. Zu Bespel etsprcht de Paar = { } = { } de Partto ( ) (0) Mestes lässt a dabe a de Pute der Dagoale weg ud schrebt. B. 4 0 agegebee Fall. Wr wolle das aber Hblc auf de spätere 3 0 Verallgeeeruge cht ache. a+ b λ Aus deser Zuordug st erschtlch, dass a0( q) = q = q = De lette Glechug st atürlch de wohlbeate Euler sche Forel für de ereugede + Futo der Parttoe, de sch auch aus für, ergbt. 6 λ st. ( q )

7 We wr (3) x durch ( qx) ersete, wolle wr de so etstehede Idettät + N N N N ( + q x )( + q x ) ( + x ) = q x = q x 0 0 N + folgederaße deute: () b q x t b b Be Ausreche der le Sete erhalte wr de Tere q x q x N b > b > > b 0. Her odfere wr das ougerte Ferrer-Dagra der Partto { b,, b } vo b+ b + + b (wo also de Zele ud Spalte vertauscht sd), de wr de erste Spalte u Ehete, de wete u Ehete ud schleßlch de te Spalte u 0 Ehet ach obe verschebe. We etwa = 4 ud { b, b, b3, b 4} = { 6,5,3,} st, erhalte wr das Dagra + Der obere Tel des Dagras ethält = Eleete ud der utere Tel st de Kougerte eer Partto λ = { b +, b +,, b } vo b + b + + b Tele, wovo eder N st. We wr alle Parttoe { b,, b } t N b > b > > b 0 betrachte, erhalte wr auf der rechte Sete alle Parttoe λ Tele, wovo eder N st. De ereugede Futo q λ über alle dese Parttoe st N N. Dat ergbt sch de rechte Sete vo (). λ Nu wolle wr de Idettät (5) obatorsch deute. Be feste t ergbt sch der Koeffet vo auf der le Sete vo (5) als Sue über alle Tere a+ a+ + as+ b+ b+ + bs q q, wobe a = { a, a,, a s + } t a > a > > a s + ud b= { b,, bs} t b > > b s 0st. Jede solche Paar ( ab, ) orde wr ach J.J. Sylvester ee graphsche Darstellug vo a + + a + b + + b Kugel u. s+ s 7

8 Ich öchte das a efache Bespele deostrere, aus welche der allgeee Fall erschtlch st. Se 0. a = 9,7,6, 4,3,,, b= 5,3,,0. Da st Wr wähle als Bespel { } { } = 3 ud s = 4. Der ugehörge Graph schaut da folgederaße aus: () De a Kugel werde horotal aufgetrage. Jedes a begt auf der SO-Dagoale. De Afagsput habe wr t geeechet. De adere Kugel sd t beechet. + Ls vo vertale Strch sd Spalte t sgesat Eleete Dreecsfor. Rechts vo vertale Strch werde uter de Dagoaleleete de Eleete der b aufgetrage. We a ur de Eleete rechts vo vertale (ud uter de horotale ) Strch betrachtet, so blde se das Ferrer-Dagra eer Partto + vo a+ + as+ + b+ + bs t + Tele ( wel de Aahl der Tele de Aahl der Kugel der erste Spalte rechts vo vertale Strch st, d.h. + + b + + = + ), wovo eder λ a st). I st (wel. Ugeehrt etsprcht eder solche Partto e Paar ( ab, ) der agegebee Art. Für = 0 erhalte wr de Frobeus- Darstellug. usere Fall st das de Partto λ = ( 6,5,5, 4, 4, 4, 4,,) Für < 0 erhalte wr ee aaloge Kostruto. Wr begüge us weder t ee Bespel: Se a = { 3 }, b= { 6, 4,0 }, also s = 3, =. + Wr platere über de horotale Strch = Eleete Dreecsfor. Über dese Pute begt ee SO-Dagoale, de über de horotale Strch ur vrtuell vorhade st (durch agedeutet). Uter deser Dagoale lege weder de b s ud uter de horotale Strch lege auf der Dagoale ud rechts davo de a s. 8

9 (3) I Quadrate rechts ute fde wr weder ee Partto vo + a+ + a + b s + + b s t Tele, wovo eder + st. De bede Kostrutoe schaue ur auf de erste Blc verschede aus. De we a vo postve u egatve Werte vo übergeht, wadert de Dagoale ach obe, Pute ud gbt es ur uter de horotale Strch ud Pute ur rechts vo vertale Strch. Isgesat sehe wr, dass der Koeffet vo gegebe st durch + + ( ) + ( + ) + q = q + +. Dat st de rechte Sete obatorsch gedeutet. Dese Deutug blebt atürlch auch rchtg, we wr t oder gege gehe. De Paare ( ab, ) öe ach eer Idee vo R. Borcherds, de Buch Cobatorcs vo Peter J. Caero sert wrd, Alehug a de Drac sche Theore der Eletroe auch folgederaße gedeutet werde: Ma betrachte lear ageordete Kästche, de durch de Zahle, +, beschrebe werde. E Zustad S se ee Telege deser Zahle. Ma a h als Vertelug vo Telche auf dese Kästche terpretere, wo ede Kästche höchstes e Telche legt. Der Zustad, wo edes cht postve, aber e postves Kästche e Telche ethält, heße Vauu. Se S e Zustad. Da versteht a uter der Eerge vo S de Zahl ES ( ) = > 0, S 0, S ud uter der Ladug vo S de Zahl LS ( ) = { > 0: S} { 0: S}. Jedes Telche, das ee postve Kästche legt, hat also de Ladug ud edes Loch ee cht-postve Kästche de Ladug. Jeder Zustad S t Ladug a durch e geordetes Paar ( ab, ) t = { } ud b { b b } a a, a,, a s + =,, s t a > a > > a + s ud b > b > > b s 0 beschrebe werde. Dabe sd de a de Postoe der postve Telche ud b de Postoe der chtpostve Löcher. Dat st berets der Zusaehag t der Sylvester sche Beschrebug gefude. 9

10 Es glt ES ( ) = a+ b. Für das Vauu V glt also EV ( ) = 0 ud LV ( ) = 0. Für edes hat der Zustad V, de de Telche de Kästche t + lege, de leste Eerge uter alle Zustäde t der Ladug. Se st für edes + gegebe durch EV ( ) = =. Ist also S e Zustad t Ladug 0, so erhält a aus V de Zustad S, de a de Telche a de Stelle + für = bs + s der Rehe ach a de Stelle a + s verschebt. Das erhöht de Wert der Eerge u a + + a s + +. Da verschebt a de dabe etstadee Löcher s+, s+,,0 suessve a de Stelle s b, b,, b s. Dabe erhöht sch de Eerge u de Wert b + + bs. Isgesat erhöht sch de Eerge u de Wert + s s + a+ + as+ + + b+ + bs = a+ + as+ + b+ + bs. Hat der Zustad S de Ladug 0, so verschebt a uerst de Löcher +,, 0,, s+ a de Stelle b, b,, bs ud da de eu etstadee Telche a de postve Stelle s+, s+,, der Rehe ach a de Stelle a,,. a s + Dabe + erhöht sch de Eerge weder u de Wert a+ + as+ + b+ + bs. Graphsch a a dese Verschebuge weder de Ferrer-Dagrae uorde, de de obge Darstelluge rechts ute stehe. A teressateste st atürlch der Grefall =, der auf de Trpelprodutdettät führt. Her uss a beachte, dass es cht-postve Tel ur edlch vele Löcher ud postve Tel ur edlch vele Telche gbt. 0