Demo-Text für Geradenspiegelungen INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK. FRIEDRICH W. BUCKEL.

Transkript

1 bbildungen Gerdenspiegelungen Teil 1 Vor llem für die Klssenstufen 6 und 7 gedcht Dtei Nr Stnd: 3. Oktober 2013 Demo-Text für FRIEDRIH W. UKEL INTERNETILIOTHEK FÜR SHULMTHEMTIK

2 11052 Gerdenspiegelungen 1 2 Vorwort Gerdenspiegelungen sind ein sehr wichtiges Hilfsmittel in der Geometrie. Zur Ergänzung werden im bschnitt 3.5 uch die Schrägspiegelungen besprochen. Diese werden im Unterricht nur selten besprochen. Zur Symmetrie von Vierecken findet mn sehr vieles im Text Dort gibt es zusätzliche Hinweise, wie uch Konstruktionsbeispiele und ein Übersichtsbltt über symmetrische Vierecke (Seite 38). Einige bbildungen wurden mit MtheGrfix Version 10 erstellt. Die zugehörigen Dteien werden unter der Dtei mgf zip im Ordner Mthegrfiken uf der Mthe-D zur Verfügung gestellt. Hier wird noch nicht besprochen, ds mn eine Doppelspiegelung (lso zwei ufeinnder folgende Gerdenspiegelungen) durch eine Drehung oder eine Verschiebung ersetzen knn. Dies wird im Text besprochen. Inhlt 1 Einführung 3 2 Konstruktion von Spiegelbildern Konstruktion von ildpunkten mit dem Geodreieck Konstruktion von ildpunkten mit dem Zirkel Konstruktion von ildgerden Fixgerden bei Gerdenspiegelungen 16 3 Suchen einer Spiegelungschse Wo liegt die Spiegelungschse von 2 Punkten? Ist eine Strecke D ds Spiegelbild einer Strecke? Welche Figuren sind zueinnder symmetrisch? Welche Figuren sind (in sich) symmetrisch? 20 Symmetrische Dreiecke 21 Demo-Text für Symmetrische Vierecke Schrägspiegelung und Schrägsymmetrie 24

3 11052 Gerdenspiegelungen 1 3 bbildung 1 zeigt ein Glsfenster, ds m Rnd n einer Stnge drehbr befestigt ist. Mn knn es um diese chse nch links drehen. uf dieses Fenster ist ein gelbes Dreieck ufgeklebt, ds mn dnn nch der Drehung ntürlich uch in die linken Endposition sehen knn. Mn schut dnn ber von hinten uf ds Dreieck. Diese Drehung ht zur Folge, dss sich der sogennnte Umlufsinn des Dreiecks ändert, wie mn in bb. 2 sieht. Im Urbild, lso im Dreieck, erfolgt der Umluf von über nch gegen den Uhrzeigersinn, im ilddreieck ''' erfolgt der Umluf von ' über ' nch ' im Uhrzeigersinn. 1 Einführung lle nderen Eigenschften der beiden Dreiecke sind gleich geblieben: Die Längen der Dreiecksseiten, die Größen der Dreieckswinkel und der Flächeninhlt hben sich bei dieser bbildung nicht verändert. Mn nennt die bbildung, die nch ''' bbildet, eine Gerdenspiegelung. Ds ht einen einfchen Grund, den mn ls Person selbst nchvollziehen knn: Mn stelle sich mit dem Rücken vor einen großen Spiegel. Dnn drehe mn sich um 180 O (wie oben ds Glsfenster). Drufhin schut mn in den Spiegel und sieht dort sein Spiegelbild. Dbei sind (wegen dieser Drehung) links und rechts vertuscht: Zwinkert mn mit dem rechten uge, dnn zwinkert im Spiegelbild ds linke; wenn mn sich gednklich in die Spiegelbildperson hinein versetzt. ' Es gibt eine beliebte Denkfrge hierzu: Wrum vertuscht der Spiegel links und rechts, ber nicht oben und unten? Die ntwort mg vielen verblüffend erscheinen: Die Vertuschung mchen wir, wenn wir uns wie geschildert mit dem Rücken vor den Spiegel stellen und uns dnn um 180 O drehen, dmit wir uns sehen können. Weil wir uns dbei um eine vertikle chse drehen, erscheinen dnn ntürlich links und rechts vertuscht. Wir könnten uch uf sportlichere Weise eine Drehung um eine horizontle chse usführen. Ds würde bedeuten, dss wir mit dem Rücken zum Spiegel stehen, uns dnn tief nch vorne beugen und einen Hndstnd mchen. Dnn können wir uch wieder in den Spiegel schuen (wenn er hinreichend groß ist). Dnn ber sehen wir uns uf dem Kopf stehend, und unser Kopf ist ntürlich unten, d. h. jetzt sind unten und oben vertuscht. Demo-Text für ' ' bb.1 bb.2

4 11052 Gerdenspiegelungen Konstruktion von Spiegelbildern 2.1 Konstruktion von ildpunkten mit dem Geodreieck Wenn mn sich wieder ds Drehungsmodell mit der Glsscheibe vor ugen hält, dnn knn mn folgender ussge zustimmen: 1. ei einer Spiegelung n einer Gerden, liegen Urbild und ildpunkt uf einer Senkrechten (Lotgerden) zur chse. 2. Punkt und ildpunkt hben von der chse denselben bstnd. Mn könnte es uch so formulieren: Die chse hlbiert die Verbindungsstrecke zwischen Urbild und ildpunkt. eispiel: Spiegelung eines Dreiecks n einer Gerden g: g Mn knn die gennnten Eigenschften nchvollziehen. ufgbe 1 Versuche nun selbst, ein Dreieck zu spiegeln. Nimm etw diese Vorlge (usgedruckt) oder selbst bgezeichnet (kein kriertes Ppier verwenden). uf der nächsten Seite erkläre ich dnn, wie mn es mchen knn. Doch zuerst bemühe dich selbst. g Demo-Text für ' ' '

5 11052 Gerdenspiegelungen 1 5 Lösung ufgbe 1: Mn knn mit einem Geodreieck gnz einfch eine Senkrechte zur Spiegelchse g zeichnen und dnn uch die bstände links blesen und rechts mrkieren. Hier ds Endergebnis: ' ' g Demo-Text für '

6 11052 Gerdenspiegelungen 1 6 ) Übungsbltt 1: Spiegelbilder im Gitternetz eintrgen Demo-Text für

7 11052 Gerdenspiegelungen 1 7 Lösungen Demo-Text für

8 11052 Gerdenspiegelungen Konstruktion von ildpunkten mit dem Zirkel Die Konstruktion durch nlegen eines Geodreiecks und bmessen der bstände ist eine gute Möglichkeit. Es gibt jedoch eine genuere Konstruktionsmethode, die jetzt vorgestellt wird. P S 2 S 1 k P' k 2 Konstruktionsbeschreibung: Gegeben sind der Punkt P (ds Urbild) und die chse, n der P zu spiegeln ist. Linke Konstruktion: Dreikreis-Figur 1. Zeichne um P einen Kreisbogen k, so dss er die chse in zwei (nicht zu eng beieinnder liegenden) Punkten S 1 und S 2 schneidet. 2. Zeichne dnn um beide Schnittpunkte je einen Kreisbogen (k 1 und k 2 ), beide mit dem gleichen Rdius wie schon k (grue dünne Linie). Diese schneiden sich zweiml, in P und in dem gesuchten ildpunkt P'. Rechte Konstruktion: Zweikreis-Figur 1. Wähle uf einen Mittelpunkt M 1 für einen Kreisbogen k 1 durch P und einen zweiten Mittelpunkt M 2 für einen zweiten Kreisbogen k 2 durch P. (Die beiden Rdien dürfen verschieden groß sein.) 2. Diese beiden Kreisbögen schneiden sich im ildpunkt P'. Diese Konstruktionen liefern den richtigen ildpunkt, ws mn erkennt, wenn mn eine solche Figur mit kompletten Kreisen zeichnet. Diese sogennnte Vierkreisfigur besteht us 4 Kreisen mit gleichen Rdien. Der erste Kreis wird um P eingezeichnet (gestrichelte Linien im Kreis). Rechts ergibt sich dnn der ildpunkt P. Mn erkennt, dss die links von der senkrechten chse eingezeichnete Teil durch Umklppen (Drehung im Rum) uf die rechte Hälfte fällt. Dies zeigt, dss die Drstellung zu einer Siegelung führt. Mn knn nun die unnötigen Linien weglssen und ht dnn die oben geschilderte Konstruktion. P P' Nun wird es wichtig, dss mn einige dieser Konstruktionen durchführt. k 1 Demo-Text für Drucke die Folgeseite us und übe dmit. P k 2 k 1 r M 1 M 2 P'

9 11052 Gerdenspiegelungen 1 9 Übungsbltt 2: Gerdenspiegelungen ) Konstruiere mit Zirkel und Linel die ildpunkte zu den eingezeichneten Punkten: b) Konstruiere mit Zirkel und Linel die Eckpunkte des ilddreiecks. Demo-Text für