Graphalgorithmen I Hallo Welt! für Fortgeschrittene
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- Kristin Frei
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1 Graphalgorithmen I Hallo Welt! für Fortgeschrittene Jens Wetzl (sijewetz@stud.informatik.uni-erlangen.de) 18. Mai 2009
2 Motivation Grundlagen Beschreibung von Objekten und deren Beziehungen zueinander Vielfältige Anwendungen: Straßennetze (z.b. kürzeste Wege) Elektrische Schaltkreise (z.b. Kurzschlüsse erkennen) Telekommunikationsnetzwerke (z.b. Zuverlässigkeit)... Schon im Vortrag zum Parsen einige Anwendungen: Unerreichbare Symbole einer Grammatik durch Tiefensuche vom Startsymbol aus Suche nach starken skomponenten, um Kettenregeln zu beseitigen Jens Wetzl Graphalgorithmen I 2 / 146
3 Übersicht Grundlagen 1 Grundlagen Datenstrukturen Umsetzung in Java 2 Breitensuche Tiefensuche Topologische Sortierung 3 skomponenten Jens Wetzl Graphalgorithmen I 3 / 146
4 Graphgrundlagen Grundlagen Datenstrukturen Umsetzung in Java Graph G = (V, E ) V : Menge von Knoten (engl. vertices) E: Menge von Kanten (engl. edges) Verschiedene Arten von Graphen: gerichtete/ungerichtete Graphen zyklische/azyklische Graphen gewichtete Graphen DAGs (directed acyclic graph) bipartite Graphen... Jens Wetzl Graphalgorithmen I 4 / 146
5 Ungerichtete Graphen Datenstrukturen Umsetzung in Java A C E B D F G = (V, E ) V = {A, B, C, D, E, F } E = {{A, B}, {A, D}, {B, D}, {C, D}, {D, E }, {E, F }} Jens Wetzl Graphalgorithmen I 5 / 146
6 Gerichtete Graphen Grundlagen Datenstrukturen Umsetzung in Java A C E B D F G = (V, E ) V = {A, B, C, D, E, F } E = {(A, B), (D, A), (B, D), (C, D), (D, E ), (F, E )} Jens Wetzl Graphalgorithmen I 6 / 146
7 Gewichtete Graphen Datenstrukturen Umsetzung in Java A 5 B C D Gewichtsfunktion c : E Z Ordnet jeder Kante ein Gewicht zu E 9 F Jens Wetzl Graphalgorithmen I 7 / 146
8 Datenstrukturen Umsetzung in Java Zyklische und azyklische Graphen zyklischer Graph azyklischer Graph Jens Wetzl Graphalgorithmen I 8 / 146
9 Datenstrukturen Umsetzung in Java Dünn und dicht besetzte Graphen dünn besetzter Graph sparse graph dicht besetzter Graph dense graph E V 2 E V 2 Jens Wetzl Graphalgorithmen I 9 / 146
10 (Einfache) Pfade Grundlagen Datenstrukturen Umsetzung in Java Ein Pfad von Knoten v 1 zu v n ist eine Folge von Knoten (v 1, v 2,..., v n ) mit {v i, v i+1 } E, i {1,..., n 1} In einem einfachen Pfad kommt jeder Knoten aus V höchstens einmal vor Jens Wetzl Graphalgorithmen I 10 / 146
11 (Einfache) Pfade Grundlagen Datenstrukturen Umsetzung in Java Ein Pfad von Knoten v 1 zu v n ist eine Folge von Knoten (v 1, v 2,..., v n ) mit {v i, v i+1 } E, i {1,..., n 1} In einem einfachen Pfad kommt jeder Knoten aus V höchstens einmal vor A C E B D F Pfad von D nach E: D ( A B D) E Einziger einfacher Pfad: D E Jens Wetzl Graphalgorithmen I 10 / 146
12 Weitere Grundlagen Datenstrukturen Umsetzung in Java Reflexive Kanten (self-loops): Grad eines Knoten: Notation: 2 0 ( ) Eingangsgrad Ausgangsgrad 1 2 Jens Wetzl Graphalgorithmen I 11 / 146
13 Datenstrukturen Umsetzung in Java Datenstrukturen zur Speicherung von Graphen Zwei Möglichkeiten (bsp. gerichteter ungewichteter Graph): Adjazenzmatrix: { V V -Matrix (a ij ) mit 1 falls (i, j) E a ij = 0 sonst Jens Wetzl Graphalgorithmen I 12 / 146
14 Datenstrukturen Umsetzung in Java Datenstrukturen zur Speicherung von Graphen Zwei Möglichkeiten (bsp. gerichteter ungewichteter Graph): Adjazenzmatrix: { V V -Matrix (a ij ) mit 1 falls (i, j) E a ij = 0 sonst Adjazenzlisten: für jeden Knoten wird eine Liste mit angrenzenden Knoten geführt Jens Wetzl Graphalgorithmen I 12 / 146
15 Adjazenzmatrix Grundlagen Datenstrukturen Umsetzung in Java A C E B D F A B C D E F A B C D E F Jens Wetzl Graphalgorithmen I 13 / 146
16 Adjazenzmatrix Grundlagen Datenstrukturen Umsetzung in Java A C E B D F A B C D E F A B C D E F Verwendung bei dicht besetzten Graphen Oder wenn (u, v) E? schnell beantwortet werden soll Speicherbedarf Θ( V 2 ) Jens Wetzl Graphalgorithmen I 13 / 146
17 Adjazenzlisten Grundlagen Datenstrukturen Umsetzung in Java A B A B B A D D C D C D D A B C E E F E F D E F Jens Wetzl Graphalgorithmen I 14 / 146
18 Adjazenzlisten Grundlagen Datenstrukturen Umsetzung in Java A B A B B A D D C D C D D A B C E E F E F D E F Verwendung bei dünn besetzten Graphen Viele Algorithmen nur mit Adjazenzlisten effizient implementierbar Speicherbedarf O( V + E ) Jens Wetzl Graphalgorithmen I 14 / 146
19 Datenstrukturen Umsetzung in Java Umsetzung in Java: Graph-Klasse class Graph { int numv, nume; ArrayList<Edge>[] adj; } Graph(int v) { numv = v; nume = 0; adj = new ArrayList[v]; for (int i = 0; i < v; i++) adj[i] = new ArrayList<Edge>(); } void insert(int start, int end /*, int weight */) { Edge e = new Edge(start, end /*, weight */); adj[start].add(e); //adj[end].add(e); // ungerichtet nume++; } Jens Wetzl Graphalgorithmen I 15 / 146
20 Datenstrukturen Umsetzung in Java Umsetzung in Java: Edge-Klasse class Edge { int from, to /*, weight*/; } Edge(int a, int b /*, int w */) { from = a; to = b; // weight = w; } Jens Wetzl Graphalgorithmen I 16 / 146
21 Übersicht Grundlagen Datenstrukturen Umsetzung in Java 1 Grundlagen Datenstrukturen Umsetzung in Java 2 Breitensuche Tiefensuche Topologische Sortierung 3 skomponenten } Fragen? Jens Wetzl Graphalgorithmen I 17 / 146
22 Breitensuche Grundlagen Breitensuche Tiefensuche Topologische Sortierung Gegeben: Graph G, Anfangsknoten s BFS ermittelt alle von s aus erreichbaren Knoten und bestimmt den kürzesten Weg (# Kanten) von s bestimmt einen Breitensuchbaum mit Wurzel s Grundlage für viele weitere Algorithmen (z.b. Prim und Dijkstra) Jens Wetzl Graphalgorithmen I 18 / 146
23 Breitensuche: Pseudocode Breitensuche Tiefensuche Topologische Sortierung BFS(G, s) : visited[s] TRUE, distance[s] 0 predecessor[s] 1 ENQUEUE (Q, s) Jens Wetzl Graphalgorithmen I 19 / 146
24 Breitensuche: Pseudocode Breitensuche Tiefensuche Topologische Sortierung BFS(G, s) : visited[s] TRUE, distance[s] 0 predecessor[s] 1 ENQUEUE (Q, s) while Q = do u DEQUEUE (Q) end while Jens Wetzl Graphalgorithmen I 19 / 146
25 Breitensuche: Pseudocode Breitensuche Tiefensuche Topologische Sortierung BFS(G, s) : visited[s] TRUE, distance[s] 0 predecessor[s] 1 ENQUEUE (Q, s) while Q = do u DEQUEUE (Q) for all v Adj[u] do if!visited[v] then visited[v] TRUE distance[v] distance[u] + 1 predecessor[v] u ENQUEUE (Q, v) end if end for end while Jens Wetzl Graphalgorithmen I 19 / 146
26 Breitensuche: Pseudocode Breitensuche Tiefensuche Topologische Sortierung BFS(G, s) : visited[s] TRUE, distance[s] 0 predecessor[s] 1 ENQUEUE (Q, s) while Q = do u DEQUEUE (Q) for all v Adj[u] do if!visited[v] then visited[v] TRUE distance[v] distance[u] + 1 predecessor[v] u ENQUEUE (Q, v) end if end for end while Aufwand O( V + E ) Jens Wetzl Graphalgorithmen I 19 / 146
27 Breitensuche: Animation Breitensuche Tiefensuche Topologische Sortierung Jens Wetzl Graphalgorithmen I 20 / 146
28 Breitensuche: Animation Breitensuche Tiefensuche Topologische Sortierung Jens Wetzl Graphalgorithmen I 21 / 146
29 Breitensuche: Animation Breitensuche Tiefensuche Topologische Sortierung Jens Wetzl Graphalgorithmen I 22 / 146
30 Breitensuche: Animation Breitensuche Tiefensuche Topologische Sortierung Jens Wetzl Graphalgorithmen I 23 / 146
31 Breitensuche: Animation Breitensuche Tiefensuche Topologische Sortierung Jens Wetzl Graphalgorithmen I 24 / 146
32 Breitensuche: Animation Breitensuche Tiefensuche Topologische Sortierung Jens Wetzl Graphalgorithmen I 25 / 146
33 Breitensuche: Animation Breitensuche Tiefensuche Topologische Sortierung Jens Wetzl Graphalgorithmen I 26 / 146
34 Breitensuche: Animation Breitensuche Tiefensuche Topologische Sortierung Jens Wetzl Graphalgorithmen I 27 / 146
35 Breitensuche: Animation Breitensuche Tiefensuche Topologische Sortierung Jens Wetzl Graphalgorithmen I 28 / 146
36 Breitensuche: Animation Breitensuche Tiefensuche Topologische Sortierung Jens Wetzl Graphalgorithmen I 29 / 146
37 Breitensuche: Animation Breitensuche Tiefensuche Topologische Sortierung Jens Wetzl Graphalgorithmen I 30 / 146
38 Breitensuche: Animation Breitensuche Tiefensuche Topologische Sortierung Jens Wetzl Graphalgorithmen I 31 / 146
39 Breitensuche: Animation Breitensuche Tiefensuche Topologische Sortierung Jens Wetzl Graphalgorithmen I 32 / 146
40 Breitensuche: Animation Breitensuche Tiefensuche Topologische Sortierung Jens Wetzl Graphalgorithmen I 33 / 146
41 Breitensuche: Animation Breitensuche Tiefensuche Topologische Sortierung Jens Wetzl Graphalgorithmen I 34 / 146
42 Tiefensuche Grundlagen Breitensuche Tiefensuche Topologische Sortierung Tiefensuche: ermittelt den Tiefensuchwald (bestehend aus Tiefensuchbäumen) eines Graphen weist jedem Knoten zwei timestamps zu: discovered[v]: wann wurde der Knoten entdeckt finished[v]: wann endete die Bearbeitung des Knoten ist Grundlage weiterer Algorithmen, z.b. topologische Sortierung und Bestimmung der starken skomponenten Jens Wetzl Graphalgorithmen I 35 / 146
43 Tiefensuche: Pseudocode (I) Breitensuche Tiefensuche Topologische Sortierung DFS(G ) : for all u V do visited[u] FALSE end for time 0 for all u V do if!visited[u] then predecessor[u] 1 DFS_VISIT (u) end if end for Jens Wetzl Graphalgorithmen I 36 / 146
44 Tiefensuche: Pseudocode (II) Breitensuche Tiefensuche Topologische Sortierung DFS_VISIT (u) : visited[u] TRUE time time + 1 discovered[u] time Jens Wetzl Graphalgorithmen I 37 / 146
45 Tiefensuche: Pseudocode (II) Breitensuche Tiefensuche Topologische Sortierung DFS_VISIT (u) : visited[u] TRUE time time + 1 discovered[u] time for all v Adj[u] do if!visited[v] then predecessor[v] u DFS_VISIT (v) end if end for Jens Wetzl Graphalgorithmen I 37 / 146
46 Tiefensuche: Pseudocode (II) Breitensuche Tiefensuche Topologische Sortierung DFS_VISIT (u) : visited[u] TRUE time time + 1 discovered[u] time for all v Adj[u] do if!visited[v] then predecessor[v] u DFS_VISIT (v) end if end for time time + 1 finished[u] time Jens Wetzl Graphalgorithmen I 37 / 146
47 Tiefensuche: Pseudocode (II) Breitensuche Tiefensuche Topologische Sortierung DFS_VISIT (u) : visited[u] TRUE time time + 1 discovered[u] time for all v Adj[u] do if!visited[v] then predecessor[v] u DFS_VISIT (v) end if end for time time + 1 finished[u] time Aufwand O( V + E ) Jens Wetzl Graphalgorithmen I 37 / 146
48 Tiefensuche: Animation Breitensuche Tiefensuche Topologische Sortierung Jens Wetzl Graphalgorithmen I 38 / 146
49 Tiefensuche: Animation Breitensuche Tiefensuche Topologische Sortierung Jens Wetzl Graphalgorithmen I 39 / 146
50 Tiefensuche: Animation Breitensuche Tiefensuche Topologische Sortierung Jens Wetzl Graphalgorithmen I 40 / 146
51 Tiefensuche: Animation Breitensuche Tiefensuche Topologische Sortierung Jens Wetzl Graphalgorithmen I 41 / 146
52 Tiefensuche: Animation Breitensuche Tiefensuche Topologische Sortierung Jens Wetzl Graphalgorithmen I 42 / 146
53 Tiefensuche: Animation Breitensuche Tiefensuche Topologische Sortierung Jens Wetzl Graphalgorithmen I 43 / 146
54 Tiefensuche: Animation Breitensuche Tiefensuche Topologische Sortierung Jens Wetzl Graphalgorithmen I 44 / 146
55 Tiefensuche: Animation Breitensuche Tiefensuche Topologische Sortierung Jens Wetzl Graphalgorithmen I 45 / 146
56 Tiefensuche: Animation Breitensuche Tiefensuche Topologische Sortierung Jens Wetzl Graphalgorithmen I 46 / 146
57 Tiefensuche: Animation Breitensuche Tiefensuche Topologische Sortierung Jens Wetzl Graphalgorithmen I 47 / 146
58 Tiefensuche: Animation Breitensuche Tiefensuche Topologische Sortierung Jens Wetzl Graphalgorithmen I 48 / 146
59 Tiefensuche: Animation Breitensuche Tiefensuche Topologische Sortierung Jens Wetzl Graphalgorithmen I 49 / 146
60 Tiefensuche: Animation Breitensuche Tiefensuche Topologische Sortierung Jens Wetzl Graphalgorithmen I 50 / 146
61 Tiefensuche: Animation Breitensuche Tiefensuche Topologische Sortierung Jens Wetzl Graphalgorithmen I 51 / 146
62 Tiefensuche: Animation Breitensuche Tiefensuche Topologische Sortierung Jens Wetzl Graphalgorithmen I 52 / 146
63 Tiefensuche: Animation Breitensuche Tiefensuche Topologische Sortierung Jens Wetzl Graphalgorithmen I 53 / 146
64 Tiefensuche in Java (I) Breitensuche Tiefensuche Topologische Sortierung class Main { static Graph g; static boolean[] visited; static int[] discovered, finished, predecessor; static int time = 0; } public static void main(string[] args) { // numv =... visited = new boolean[numv]; discovered = new int[numv]; finished = new int[numv]; predecessor = new int[numv]; g = new Graph(numV); g.insert(0, 1); //... dfs(); }... Jens Wetzl Graphalgorithmen I 54 / 146
65 Tiefensuche in Java (II) Breitensuche Tiefensuche Topologische Sortierung class Main {... } public static void dfs() { for (int i = 0; i < g.numv; i++) { visited[i] = false; predecessor[i] = -1; } for (int i = 0; i < g.numv; i++) { if (!visited[i]) { dfs_visit(i); } } }... Jens Wetzl Graphalgorithmen I 55 / 146
66 Tiefensuche in Java (III) Breitensuche Tiefensuche Topologische Sortierung class Main {... public static void dfs_visit(int vertex) { visited[vertex] = true; discovered[vertex] = ++time; for (Edge e: g.adj[vertex]) { int tovertex = e.from == vertex? e.to : e.from; if (!visited[tovertex]) { predecessor[tovertex] = vertex; dfs_visit(tovertex); } } finished[vertex] = ++time; } } Jens Wetzl Graphalgorithmen I 56 / 146
67 Topologische Sortierung Breitensuche Tiefensuche Topologische Sortierung Gegeben: Gerichteter, azyklischer Graph (DAG) Gesucht: Lineare Ordnung des Graphen Wenn (u, v) E, dann kommt u vor v in der Ordnung So eine Ordung heißt topologische Sortierung Nicht für jeden Graphen eindeutig Jens Wetzl Graphalgorithmen I 57 / 146
68 Beispiel Grundlagen Breitensuche Tiefensuche Topologische Sortierung undershorts socks shirt pants shoes tie socks undershorts pants shirt tie shoes Jens Wetzl Graphalgorithmen I 58 / 146
69 Breitensuche Tiefensuche Topologische Sortierung Topologische Sortierung: Algorithmus (informell) Anpassung des Tiefensuche-Algorithmus: Wenn ein Knoten abgearbeitet ist, füge ihn an den Anfang einer verketteten Liste ein Die Liste ist Rückgabewert des Algorithmus Jens Wetzl Graphalgorithmen I 59 / 146
70 Breitensuche Tiefensuche Topologische Sortierung Topologische Sortierung: Algorithmus (informell) Anpassung des Tiefensuche-Algorithmus: Wenn ein Knoten abgearbeitet ist, füge ihn an den Anfang einer verketteten Liste ein Die Liste ist Rückgabewert des Algorithmus Erläuterung: Knoten wird als abgearbeitet markiert er hat keine Nachfolger, die noch nicht abgearbeitet sind er hat keine Vorgänger, die schon abgearbeitet sind Jens Wetzl Graphalgorithmen I 59 / 146
71 Breitensuche Tiefensuche Topologische Sortierung Topologische Sortierung: Algorithmus (informell) Anpassung des Tiefensuche-Algorithmus: Wenn ein Knoten abgearbeitet ist, füge ihn an den Anfang einer verketteten Liste ein Die Liste ist Rückgabewert des Algorithmus Erläuterung: Knoten wird als abgearbeitet markiert er hat keine Nachfolger, die noch nicht abgearbeitet sind er hat keine Vorgänger, die schon abgearbeitet sind Aufwand O( V + E ) Jens Wetzl Graphalgorithmen I 59 / 146
72 Breitensuche Tiefensuche Topologische Sortierung Topologische Sortierung: Animation Jens Wetzl Graphalgorithmen I 60 / 146
73 Breitensuche Tiefensuche Topologische Sortierung Topologische Sortierung: Animation Jens Wetzl Graphalgorithmen I 61 / 146
74 Breitensuche Tiefensuche Topologische Sortierung Topologische Sortierung: Animation Jens Wetzl Graphalgorithmen I 62 / 146
75 Breitensuche Tiefensuche Topologische Sortierung Topologische Sortierung: Animation Jens Wetzl Graphalgorithmen I 63 / 146
76 Breitensuche Tiefensuche Topologische Sortierung Topologische Sortierung: Animation Jens Wetzl Graphalgorithmen I 64 / 146
77 Breitensuche Tiefensuche Topologische Sortierung Topologische Sortierung: Animation Jens Wetzl Graphalgorithmen I 65 / 146
78 Breitensuche Tiefensuche Topologische Sortierung Topologische Sortierung: Animation Jens Wetzl Graphalgorithmen I 66 / 146
79 Breitensuche Tiefensuche Topologische Sortierung Topologische Sortierung: Animation Jens Wetzl Graphalgorithmen I 67 / 146
80 Breitensuche Tiefensuche Topologische Sortierung Topologische Sortierung: Animation Jens Wetzl Graphalgorithmen I 68 / 146
81 Breitensuche Tiefensuche Topologische Sortierung Topologische Sortierung: Animation Jens Wetzl Graphalgorithmen I 69 / 146
82 Breitensuche Tiefensuche Topologische Sortierung Topologische Sortierung: Animation Jens Wetzl Graphalgorithmen I 70 / 146
83 Breitensuche Tiefensuche Topologische Sortierung Topologische Sortierung: Animation Jens Wetzl Graphalgorithmen I 71 / 146
84 Breitensuche Tiefensuche Topologische Sortierung Topologische Sortierung: Animation Jens Wetzl Graphalgorithmen I 72 / 146
85 Breitensuche Tiefensuche Topologische Sortierung Topologische Sortierung: Animation Jens Wetzl Graphalgorithmen I 73 / 146
86 Übersicht Grundlagen Breitensuche Tiefensuche Topologische Sortierung 1 Grundlagen Datenstrukturen Umsetzung in Java 2 Breitensuche Tiefensuche Topologische Sortierung 3 skomponenten } Fragen? Jens Wetzl Graphalgorithmen I 74 / 146
87 Grundlagen skomponenten A B A B C D C D E F E F nicht zusammenhängend zusammenhängend Jens Wetzl Graphalgorithmen I 75 / 146
88 skomponenten Starker / schwacher A B A B C D C D E F E F schwach zusammenhängend stark zusammenhängend Jens Wetzl Graphalgorithmen I 76 / 146
89 skomponenten Starker / schwacher (schwache) skomponenten starke skomponenten A B A B C D C D E F E F Jens Wetzl Graphalgorithmen I 77 / 146
90 k- Grundlagen skomponenten G heißt k-fach kantenzusammenhängend, wenn man k 1 beliebige Kanten entfernen kann und G dann immer noch zusammenhängend ist Jens Wetzl Graphalgorithmen I 78 / 146
91 k- Grundlagen skomponenten G heißt k-fach kantenzusammenhängend, wenn man k 1 beliebige Kanten entfernen kann und G dann immer noch zusammenhängend ist G heißt k-fach knotenzusammenhängend (oder k-zusammenhängend), wenn man k 1 beliebige Knoten entfernen kann und G dann immer noch zusammenhängend ist 2-zusammenhängender Graph Jens Wetzl Graphalgorithmen I 78 / 146
92 skomponenten Finden von skomponenten A B A B C D C D E F E F Tiefensuche Algorithmus von Kosaraju Jens Wetzl Graphalgorithmen I 79 / 146
93 skomponenten skomp. ungerichteter Graphen Idee: Beliebigen, noch nicht besuchten Knoten wählen und Tiefensuche durchführen Alle gefundenen Knoten + Startknoten bilden eine skomponente Solange durchführen, bis alle Knoten besucht wurden Jens Wetzl Graphalgorithmen I 80 / 146
94 skomponenten skomp. ungerichteter Graphen Idee: Beliebigen, noch nicht besuchten Knoten wählen und Tiefensuche durchführen Alle gefundenen Knoten + Startknoten bilden eine skomponente Solange durchführen, bis alle Knoten besucht wurden CC (G ) : for all u V do visited[u] FALSE end for cc_count 0 for all u V do if!visited[u] then CC_VISIT (u, cc_count) cc_count cc_count + 1 end if end for Jens Wetzl Graphalgorithmen I 80 / 146
95 skomponenten skomp. ungerichteter Graphen CC_VISIT (u, cc_count) : visited[u] TRUE cc[u] cc_count for all v Adj[u] do if!visited[v] then CC_VISIT (v, cc_count) end if end for Für Knoten i gibt cc[i] an, in welcher skomp. {0,..., #Komp 1} er ist. Jens Wetzl Graphalgorithmen I 81 / 146
96 skomponenten skomp. ungerichteter Graphen CC_VISIT (u, cc_count) : visited[u] TRUE cc[u] cc_count for all v Adj[u] do if!visited[v] then CC_VISIT (v, cc_count) end if end for Aufwand O( V + E ) Für Knoten i gibt cc[i] an, in welcher skomp. {0,..., #Komp 1} er ist. Jens Wetzl Graphalgorithmen I 81 / 146
97 skomponenten Starke skomp. gerichteter Graphen Transponierter Graph: G T = (V, E T ) E T = {(v, u) (u, v) E } Jens Wetzl Graphalgorithmen I 82 / 146
98 skomponenten Starke skomp. gerichteter Graphen Transponierter Graph: G T = (V, E T ) E T = {(v, u) (u, v) E } A B A B C D C D E F E F G G T Jens Wetzl Graphalgorithmen I 82 / 146
99 skomponenten Starke skomp. gerichteter Graphen Ausgangspunkt: G und G T haben die gleichen SCC u ist von v und v ist von u erreichbar in G v ist von u und u ist von v erreichbar in G T Jens Wetzl Graphalgorithmen I 83 / 146
100 skomponenten Starke skomp. gerichteter Graphen Ausgangspunkt: G und G T haben die gleichen SCC u ist von v und v ist von u erreichbar in G v ist von u und u ist von v erreichbar in G T Informeller Algorithmus: Erzeuge einen leeren Stapel S Führe eine DFS auf G durch. Sobald der rekursive Abstieg für einen Knoten v zurückkehrt, lege v auf S Jens Wetzl Graphalgorithmen I 83 / 146
101 skomponenten Starke skomp. gerichteter Graphen Ausgangspunkt: G und G T haben die gleichen SCC u ist von v und v ist von u erreichbar in G v ist von u und u ist von v erreichbar in G T Informeller Algorithmus: Erzeuge einen leeren Stapel S Führe eine DFS auf G durch. Sobald der rekursive Abstieg für einen Knoten v zurückkehrt, lege v auf S Erzeuge den transponierten Graphen G T Jens Wetzl Graphalgorithmen I 83 / 146
102 skomponenten Starke skomp. gerichteter Graphen Ausgangspunkt: G und G T haben die gleichen SCC u ist von v und v ist von u erreichbar in G v ist von u und u ist von v erreichbar in G T Informeller Algorithmus: Erzeuge einen leeren Stapel S Führe eine DFS auf G durch. Sobald der rekursive Abstieg für einen Knoten v zurückkehrt, lege v auf S Erzeuge den transponierten Graphen G T Solange noch Elemente auf S liegen: Entferne den obersten Knoten von S und führe für ihn DFS_VISIT auf G T durch. Alle noch nicht gefundenen erreichbaren Knoten gehören zur selben SCC. Entferne alle so gefundenen Knoten aus S Jens Wetzl Graphalgorithmen I 83 / 146
103 SCC: Beispiel Grundlagen skomponenten F C A B D E S A C E B D F Erzeuge einen leeren Stapel S Jens Wetzl Graphalgorithmen I 84 / 146
104 SCC: Beispiel Grundlagen skomponenten F C A B D E S A C E B D F Führe eine DFS auf G durch. Sobald der rekursive Abstieg für einen Knoten v zurückkehrt, lege v auf S Jens Wetzl Graphalgorithmen I 85 / 146
105 SCC: Beispiel Grundlagen skomponenten F C A B D E S A C E B D F Führe eine DFS auf G durch. Sobald der rekursive Abstieg für einen Knoten v zurückkehrt, lege v auf S Jens Wetzl Graphalgorithmen I 86 / 146
106 SCC: Beispiel Grundlagen skomponenten F C A B D E S A C E B D F Führe eine DFS auf G durch. Sobald der rekursive Abstieg für einen Knoten v zurückkehrt, lege v auf S Jens Wetzl Graphalgorithmen I 87 / 146
107 SCC: Beispiel Grundlagen skomponenten F C A B C D S E F Führe eine DFS auf G durch. Sobald der rekursive Abstieg für einen Knoten v zurückkehrt, lege v auf S Jens Wetzl Graphalgorithmen I 88 / 146
108 SCC: Beispiel Grundlagen skomponenten F C A B E S C E D F Führe eine DFS auf G durch. Sobald der rekursive Abstieg für einen Knoten v zurückkehrt, lege v auf S Jens Wetzl Graphalgorithmen I 88 / 146
109 SCC: Beispiel Grundlagen skomponenten F C A B D E S C E D F Führe eine DFS auf G durch. Sobald der rekursive Abstieg für einen Knoten v zurückkehrt, lege v auf S Jens Wetzl Graphalgorithmen I 88 / 146
110 SCC: Beispiel Grundlagen skomponenten F C B D E S A C E B D F Führe eine DFS auf G durch. Sobald der rekursive Abstieg für einen Knoten v zurückkehrt, lege v auf S Jens Wetzl Graphalgorithmen I 88 / 146
111 SCC: Beispiel Grundlagen skomponenten F C A B D E S A C E B D F Führe eine DFS auf G durch. Sobald der rekursive Abstieg für einen Knoten v zurückkehrt, lege v auf S Jens Wetzl Graphalgorithmen I 88 / 146
112 SCC: Beispiel Grundlagen skomponenten F C A B D E S A C E B D F Führe eine DFS auf G durch. Sobald der rekursive Abstieg für einen Knoten v zurückkehrt, lege v auf S Jens Wetzl Graphalgorithmen I 89 / 146
113 SCC: Beispiel Grundlagen skomponenten F C A B D E S A C E B D F Führe eine DFS auf G durch. Sobald der rekursive Abstieg für einen Knoten v zurückkehrt, lege v auf S Jens Wetzl Graphalgorithmen I 90 / 146
114 SCC: Beispiel Grundlagen skomponenten F C A B D E S A C E B D F Erzeuge den transponierten Graphen G T Jens Wetzl Graphalgorithmen I 91 / 146
115 SCC: Beispiel Grundlagen skomponenten F C A B D E S A C E B D F Entferne den obersten Knoten von S und führe für ihn DFS_VISIT auf G T durch. Alle noch nicht gefundenen erreichbaren Knoten gehören zur selben SCC. Entferne alle so gefundenen Knoten aus S Jens Wetzl Graphalgorithmen I 92 / 146
116 SCC: Beispiel Grundlagen skomponenten F C A B D E S A C E B D F Entferne den obersten Knoten von S und führe für ihn DFS_VISIT auf G T durch. Alle noch nicht gefundenen erreichbaren Knoten gehören zur selben SCC. Entferne alle so gefundenen Knoten aus S Jens Wetzl Graphalgorithmen I 93 / 146
117 SCC: Beispiel Grundlagen skomponenten F C A B D E S A C E B D F Entferne den obersten Knoten von S und führe für ihn DFS_VISIT auf G T durch. Alle noch nicht gefundenen erreichbaren Knoten gehören zur selben SCC. Entferne alle so gefundenen Knoten aus S Jens Wetzl Graphalgorithmen I 94 / 146
118 SCC: Beispiel Grundlagen skomponenten F C A B D E S A C E B D F Entferne den obersten Knoten von S und führe für ihn DFS_VISIT auf G T durch. Alle noch nicht gefundenen erreichbaren Knoten gehören zur selben SCC. Entferne alle so gefundenen Knoten aus S Jens Wetzl Graphalgorithmen I 95 / 146
119 SCC: Beispiel Grundlagen skomponenten F C A B D E S A C E B D F Entferne den obersten Knoten von S und führe für ihn DFS_VISIT auf G T durch. Alle noch nicht gefundenen erreichbaren Knoten gehören zur selben SCC. Entferne alle so gefundenen Knoten aus S Jens Wetzl Graphalgorithmen I 96 / 146
120 SCC: Beispiel Grundlagen skomponenten F C A B D E S A C E B D F Entferne den obersten Knoten von S und führe für ihn DFS_VISIT auf G T durch. Alle noch nicht gefundenen erreichbaren Knoten gehören zur selben SCC. Entferne alle so gefundenen Knoten aus S Jens Wetzl Graphalgorithmen I 97 / 146
121 Brücken Grundlagen skomponenten A B C D G Gegeben: 1-fach kantenzusammenhängender Graph es gibt mindestens eine Kante, nach deren Entfernung der Graph nicht mehr zusammenhängend ist E F Solche Kanten nennt man Brücken Jens Wetzl Graphalgorithmen I 98 / 146
122 Brücken Grundlagen skomponenten A B B A C G C D D G E F E F Graph G DFS-Baum von G Jens Wetzl Graphalgorithmen I 99 / 146
123 Brücken: Idee zum Algorithmus skomponenten Berechne DFS-Wald von G und für jeden Knoten K seinen Abstand zur Wurzel d K Jens Wetzl Graphalgorithmen I 100 / 146
124 Brücken: Idee zum Algorithmus skomponenten Berechne DFS-Wald von G und für jeden Knoten K seinen Abstand zur Wurzel d K Gibt es für eine ausgehende Baumkante e (Baumkante zum Vaterknoten wird nicht betrachtet) eines Knotens A keine Möglichkeit, einen Knoten K mit d K d A zu erreichen (ohne e zu benutzen), dann ist e eine Brücke Jens Wetzl Graphalgorithmen I 100 / 146
125 Brücken: Idee zum Algorithmus skomponenten Berechne DFS-Wald von G und für jeden Knoten K seinen Abstand zur Wurzel d K Gibt es für eine ausgehende Baumkante e (Baumkante zum Vaterknoten wird nicht betrachtet) eines Knotens A keine Möglichkeit, einen Knoten K mit d K d A zu erreichen (ohne e zu benutzen), dann ist e eine Brücke Aufwand O( V + E ) Jens Wetzl Graphalgorithmen I 100 / 146
126 Brücken: Idee zum Algorithmus skomponenten Berechne DFS-Wald von G und für jeden Knoten K seinen Abstand zur Wurzel d K Gibt es für eine ausgehende Baumkante e (Baumkante zum Vaterknoten wird nicht betrachtet) eines Knotens A keine Möglichkeit, einen Knoten K mit d K d A zu erreichen (ohne e zu benutzen), dann ist e eine Brücke Aufwand O( V + E ) Jens Wetzl Graphalgorithmen I 101 / 146
127 Brücken: Idee zum Algorithmus skomponenten Berechne DFS-Wald von G und für jeden Knoten K seinen Abstand zur Wurzel d K Gibt es für eine ausgehende Baumkante e (Baumkante zum Vaterknoten wird nicht betrachtet) eines Knotens A keine Möglichkeit, einen Knoten K mit d K d A zu erreichen (ohne e zu benutzen), dann ist e eine Brücke Aufwand O( V + E ) Jens Wetzl Graphalgorithmen I 102 / 146
128 Brücken: Algorithmus skomponenten BRIDGES() : for all u V do depth[u] 1 end for for all u V do if depth[u] == 1 then BRIDGES_VISIT (u, 0, 1) end if end for Jens Wetzl Graphalgorithmen I 103 / 146
129 Brücken: Algorithmus skomponenten BRIDGES_VISIT (from, curdepth, parent) : low depth[u] curdepth for all to Adj[from] to <> parent do end for return low 5 Jens Wetzl Graphalgorithmen I 104 / 146
130 Brücken: Algorithmus skomponenten BRIDGES_VISIT (from, curdepth, parent) : low depth[u] curdepth for all to Adj[from] to <> parent do if depth[to] <> 1 then low MIN(low, depth[to]) else end if end for return low 5 Jens Wetzl Graphalgorithmen I 104 / 146
131 Brücken: Algorithmus skomponenten BRIDGES_VISIT (from, curdepth, parent) : low depth[u] curdepth for all to Adj[from] to <> parent do if depth[to] <> 1 then low MIN(low, depth[to]) else l BRIDGES_VISIT (to, curdepth + 1, from) if l > curdepth then // Brücke: from to end if low MIN(low, l) end if end for return low Jens Wetzl Graphalgorithmen I 104 / 146
132 Brücken: Animation Grundlagen skomponenten Jens Wetzl Graphalgorithmen I 105 / 146
133 Brücken: Animation Grundlagen skomponenten Jens Wetzl Graphalgorithmen I 106 / 146
134 Brücken: Animation Grundlagen skomponenten Jens Wetzl Graphalgorithmen I 107 / 146
135 Brücken: Animation Grundlagen skomponenten Jens Wetzl Graphalgorithmen I 108 / 146
136 Brücken: Animation Grundlagen skomponenten Jens Wetzl Graphalgorithmen I 109 / 146
137 Brücken: Animation Grundlagen skomponenten Jens Wetzl Graphalgorithmen I 110 / 146
138 Brücken: Animation Grundlagen skomponenten Jens Wetzl Graphalgorithmen I 111 / 146
139 Brücken: Animation Grundlagen skomponenten Jens Wetzl Graphalgorithmen I 112 / 146
140 Brücken: Animation Grundlagen skomponenten Jens Wetzl Graphalgorithmen I 113 / 146
141 Brücken: Animation Grundlagen skomponenten Jens Wetzl Graphalgorithmen I 114 / 146
142 Brücken: Animation Grundlagen skomponenten Jens Wetzl Graphalgorithmen I 115 / 146
143 Brücken: Animation Grundlagen skomponenten Jens Wetzl Graphalgorithmen I 116 / 146
144 Brücken: Animation Grundlagen skomponenten Jens Wetzl Graphalgorithmen I 117 / 146
145 Brücken: Animation Grundlagen skomponenten Jens Wetzl Graphalgorithmen I 118 / 146
146 Artikulationspunkte skomponenten B E A C D G F Analog zu Brücken: Gegeben: 1-fach knotenzusammenhängender Graph es gibt mindestens einen Knoten, nach dessen Entfernung der Graph nicht mehr zusammenhängend ist Solche Knoten nennt man Artikulationspunkte Jens Wetzl Graphalgorithmen I 119 / 146
147 Artikulationspunkte skomponenten A B E A C D G F B C D E G F Graph G DFS-Baum von G Jens Wetzl Graphalgorithmen I 120 / 146
148 skomponenten Artikulationspunkt: Idee zum Algorithmus Berechne DFS-Wald von G und für jeden Knoten K seinen Abstand zur Wurzel d K Jens Wetzl Graphalgorithmen I 121 / 146
149 skomponenten Artikulationspunkt: Idee zum Algorithmus Berechne DFS-Wald von G und für jeden Knoten K seinen Abstand zur Wurzel d K Für jeden Knoten A: Ist A Wurzel eines Tiefensuchbaums? ja A ist Artikulationspunkt, wenn er mehr als einen Nachfolgerknoten hat Jens Wetzl Graphalgorithmen I 121 / 146
150 skomponenten Artikulationspunkt: Idee zum Algorithmus Berechne DFS-Wald von G und für jeden Knoten K seinen Abstand zur Wurzel d K Für jeden Knoten A: Ist A Wurzel eines Tiefensuchbaums? ja A ist Artikulationspunkt, wenn er mehr als einen Nachfolgerknoten hat nein A ist Artikulationspunkt, wenn man von mindestens einem Nachfolger N von A (e = {A, N} E) keinen Knoten K erreichen kann mit d K < d A (ohne e zu benutzen) Jens Wetzl Graphalgorithmen I 121 / 146
151 skomponenten Artikulationspunkt: Idee zum Algorithmus Berechne DFS-Wald von G und für jeden Knoten K seinen Abstand zur Wurzel d K Für jeden Knoten A: Ist A Wurzel eines Tiefensuchbaums? ja A ist Artikulationspunkt, wenn er mehr als einen Nachfolgerknoten hat nein A ist Artikulationspunkt, wenn man von mindestens einem Nachfolger N von A (e = {A, N} E) keinen Knoten K erreichen kann mit d K < d A (ohne e zu benutzen) Aufwand O( V + E ) Jens Wetzl Graphalgorithmen I 121 / 146
152 Artikulationspunkte: Algorithmus skomponenten ARTICULATION_POINTS() : for all u V do depth[u] 1 end for for all u V do if depth[u] == 1 then AP_VISIT (u, 0, 1) end if end for Jens Wetzl Graphalgorithmen I 122 / 146
153 Artikulationspunkte: Algorithmus skomponenten ARTICULATION_POINTS() : for all u V do depth[u] 1 end for for all u V do if depth[u] == 1 then AP_VISIT (u, 0, 1) end if end for AP_VISIT (from, curdepth, parent) : low depth[u] curdepth children 0 ap FALSE Jens Wetzl Graphalgorithmen I 122 / 146
154 Artikulationspunkte: Algorithmus skomponenten for all to Adj[from] to <> parent do if depth[to] <> 1 then low MIN(low, depth[to]) else children children + 1 l AP_VISIT (to, curdepth + 1, from) if l >= curdepth then ap TRUE end if low MIN(low, l) end if end for return low Jens Wetzl Graphalgorithmen I 123 / 146
155 Artikulationspunkte: Algorithmus skomponenten for all to Adj[from] to <> parent do if depth[to] <> 1 then low MIN(low, depth[to]) else children children + 1 l AP_VISIT (to, curdepth + 1, from) if l >= curdepth then ap TRUE end if low MIN(low, l) end if end for if (ap curdepth > 0) (curdepth == 0 children > 1) then // from ist Artikulationspunkt end if return low Jens Wetzl Graphalgorithmen I 123 / 146
156 Artikulationspunkte: Animation skomponenten Jens Wetzl Graphalgorithmen I 124 / 146
157 Artikulationspunkte: Animation skomponenten Jens Wetzl Graphalgorithmen I 125 / 146
158 Artikulationspunkte: Animation skomponenten Jens Wetzl Graphalgorithmen I 126 / 146
159 Artikulationspunkte: Animation skomponenten Jens Wetzl Graphalgorithmen I 127 / 146
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170 Artikulationspunkte: Animation skomponenten Jens Wetzl Graphalgorithmen I 138 / 146
171 Artikulationspunkte: Animation skomponenten Jens Wetzl Graphalgorithmen I 139 / 146
172 Übersicht Grundlagen skomponenten 1 Grundlagen Datenstrukturen Umsetzung in Java 2 Breitensuche Tiefensuche Topologische Sortierung 3 skomponenten } Fragen? Jens Wetzl Graphalgorithmen I 140 / 146
173 Beispielprobleme: Spreadsheet (UVa 196) A1 B1 C1 A2 B2 C2 A3 B3 C Einfache Tabellenkalkulation mit (m n)-tabelle Einträge: Zahlen und Summenformeln (z.b. =A1+B3) Eingabe: =A1+B1+C =A2+B2+C2 =A1+A2 =B1+B2 =C1+C2 =D1+D2 Ausgabe: Jens Wetzl Graphalgorithmen I 141 / 146
174 Beispielprobleme: Playing with Wheels (UVa 10067) Jedes Rad kann per Knopfdruck nach rechts oder links gedreht werden, um eine neue Zahl zu erzeugen Gesucht: Mindestanzahl Knopfdrücke, um von einer Anfangs- zu einer Endzahl zu kommen Einige verbotene Zahlen dürfen nicht als Zwischenzustände auftreten Jens Wetzl Graphalgorithmen I 142 / 146
175 Beispielprobleme: Tourist Guide (UVa 10199) Ein rasender Stadtführer möchte wissen, wo sich alle Radarfallen der Stadt befinden. Blitzer sind strategisch aufgestellt an Orten, die man passieren muss, um von einer Zone der Stadt in eine andere zu kommen. Mit anderen Worten: Wenn man, um von A nach B zu kommen, einen Ort C passieren muss, dann ist am Ort C eine Radarfalle. Eingabe: ipanema copacabana copacabana sugarloaf ipanema sugarloaf maracana lapa sugarloaf maracana corcovado sugarloaf lapa corcovado Ausgabe: City map #1: 1 camera(s) found sugarloaf Jens Wetzl Graphalgorithmen I 143 / 146
176 Zusammenfassung 1 Grundlagen Datenstrukturen Umsetzung in Java 2 Breitensuche Tiefensuche Topologische Sortierung 3 skomponenten Jens Wetzl Graphalgorithmen I 144 / 146
177 Quellen Grundlagen Introduction to Algorithms, Second Edition Cormen, Leiserson, Rivest, Stein; MIT Press, 2001 Algorithms in Java, Third Edition, Part 5 Robert Sedgewick; Addison Wesley, 2003 Programming Challenges Skiena, Revilla; Springer, 2003 Graphalgorithmen I ( Hallo Welt! 2008) Simon Regnet Jens Wetzl Graphalgorithmen I 145 / 146
178 Danke für die Aufmerksamkeit! Viel Spaß beim Aufgaben-Lösen!
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