Signale und Systeme II

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1 TECHNISCHE FAKULTÄT DER CHRISTIAN-ALBRECHTS-UNIVERSITÄT ZU KIEL DIGITALE SIGNALVERARBEITUNG UND SYSTEMTHEORIE DSS Signale und Systeme II Modulklausur WS 2016/2017 Prüfer: Prof. Dr.-Ing. Gerhard Schmidt Datum: Name: Matrikelnummer: Erklärung der Kandidatin/des Kandidaten vor Beginn der Prüfung Hiermit bestätige ich, dass ich zur Prüfung angemeldet und zugelassen bin und dass ich prüfungsfähig bin. Ich nehme zur Kenntnis, dass der Termin für die Klausureinsicht vom Prüfungsamt ET&IT bekannt gegeben wird, sobald mein vorläufiges Prüfungsergebnis im QIS-Portal veröffentlicht wurde. Nach dem Einsichtnahmetermin kann ich meine endgültige Note im QIS-Portal abfragen. Bis zum Ende der Widerspruchsfrist des zweiten Prüfungszeitraums der CAU kann ich beim Prüfungsausschuss Widerspruch gegen dieses Prüfungsverfahren einlegen. Danach wird meine Note rechtskräftig. Korrektur Unterschrift: Aufgabe Punkte /31 /34 /35 Summe der Punkte: /100 Einsicht/Rückgabe Hiermit bestätige ich, dass ich die Korrektur der Klausur eingesehen habe und mit der auf diesem Deckblatt vermerkten Bewertung einverstanden bin. Die Klausurunterlagen verbleiben bei mir. Ein späterer Einspruch gegen die Korrektur und Benotung ist nicht mehr möglich. Kiel, den Unterschrift: Digitale Signalverarbeitung und Systemtheorie, Prof. Dr.-Ing. Gerhard Schmidt, Signale und Systeme II

2 Signale und Systeme II Modulklausur WS 2016/2017 Prüfer: Prof. Dr.-Ing. Gerhard Schmidt Datum: Zeit: 09:00 h 10:30 h (90 Minuten) Ort: CAP2 - Frederik-Paulsen-Hörsaal und CAP2 - Hörsaal H Hinweise Schreiben Sie auf jedes abzugebende Blatt deutlich Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer. Legen Sie Ihren Studentenausweis und Personalausweis zur Überprüfung bereit. Die Aufgaben dürfen erst bearbeitet werden, wenn alle Teilnehmer die Aufgabenstellungen erhalten haben. Während der Klausur werden nur Fragen zur Aufgabenstellung beantwortet. Verwenden Sie bitte für jede Aufgabe einen neuen mit Namen und Matrikelnummer versehenen Papierbogen. Zusätzliches Papier erhalten Sie auf Anfrage. Lösungswege müssen zur Vergabe der vollen Punktzahl immer nachvollziehbar und mit Begründung versehen sein. Sind Funktionen zu skizzieren, müssen grundsätzlich alle Achsen beschriftet werden. Verwenden Sie zum Schreiben weder Bleistift noch Rotstift. Beachten Sie, dass die Punkteverteilung in den Teilaufgaben nur vorläufig ist! Fünf Minuten und eine Minute vor Klausurende werden Ankündigungen gemacht. Wird das Ende der Bearbeitungszeit angesagt, darf nicht mehr geschrieben werden. Legen Sie am Ende der Klausur alle Lösungsbögen ineinander (so, wie sie ausgeteilt wurden) und geben Sie auch die Aufgabenblätter mit ab. Bevor alle Klausuren eingesammelt sind, darf weder der Sitzplatz verlassen noch geredet werden. Alle Hilfsmittel außer die Kommunikation mit anderen Personen sind erlaubt. Mobiltelefone sind auszuschalten. Laptops, Tablets und ähnliche Geräte sind nicht erlaubt, da sie als Kommunikationsmittel tauglich sind. Die Aufgaben und eine Lösung werden auf der Homepage der Vorlesung veröffentlicht. Dort werden ebenso Termin und Ort der Klausureinsicht bekanntgegeben. Signale und Systeme II II

3 Aufgabe 1 (31 Punkte) Aufgabe 1 (31 Punkte) Teil 1 Dieser Aufgabenteil kann unabhängig von Teil 2 gelöst werden. Betrachtet wird ein stochastisches Signal. Dabei handelt es sich um ein lineares Mustersignal mit zufälliger Verschiebung κ. u(t) = a (t κ) Die Verschiebung κ ist gleichverteilt im Bereich von κ [0, π/2]. (a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung F κ (κ) und die Wahrscheinlichkeits- (6 P) dichte f κ (κ) für die Annahme, dass es sich um einen stationären Prozess handelt. (b) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass κ im Bereich kleiner oder gleich π/4 liegt? (1 P) (c) Bestimmen Sie Erwartungswert und Varianz der Verschiebung κ. (2 P) (d) Bestimmen Sie { den Erwartungswert } und Varianz von u(t). (11 P) Hinweis : E v 2 (...) = x= x2 f v (x,...)dx Teil 2 Dieser Aufgabenteil kann unabhängig von Teil 1 gelöst werden. Gegeben seien das Signal ( ) x(t) = a cos(ω 0 t) + j sin(ω 0 t), welches mit mittelwertfreiem weißen Rauschen z(t) mit der Varianz σ 2 z additiv überlagert ist und das System H(jω) = 1 α + jω. Das Einganssignal v(t) setzt sich demnach folgendermaßen zusammen: Für das Ausganssignal y(t) gilt: v(t) = x(t) + z(t). y(t) = v(t) F 1{ } H(jω) (e) Bestimmen sie die Erwartungswerte der Signale x(t), z(t), v(t) und y(t). (8 P) Hinweis: Teilweise auch ohne Rechnung möglich. (f) Wie lässt sich der zeitliche Mittelwert eines deterministischen Signals w(t) anhand (3 P) des Spektrums W(jω) bestimmen? Erklären Sie anhand des Beispiels w(t) = cos(ω 0 t) den Unterschied zum ersten Moment. Signale und Systeme II 1

4 Aufgabe 2 (34 Punkte) Aufgabe 2 (34 Punkte) Teil 1 Dieser Aufgabenteil kann unabhängig von Teil 2 und 3 gelöst werden. Gegeben sei das folgende Blockschaltbild eines Modulators: K v 1 (t) v1 2 S (t) v(t) x(t) - y m (t) - v 2 (t) S 2 v 2 2 (t) b mit x(t) = A c cos(2πf c t). Zudem ist das Eingangssignal v(t) derart normiert, dass gilt: { } max v(t) = 1. (a) Bestimmen Sie das Ausgangssignal y m (t). (5 P) (b) Durch korrekte Wahl der Parameter K und b kann das gegebene System als Am- (5 P) plitudenmodulator verwendet werden. Wie müssen die Parameter gewählt werden, damit für die Amplitude ŷ m des modulierten Signals gilt: ŷ m = 1.6A c. Teil 2 Dieser Aufgabenteil kann unabhängig von Teil 1 und 3 gelöst werden. Es gelte im Folgenden: y m (t) = A c [ v(t)] cos (2πf c t). (1) Das Spektrum des Eingangssignals v(t) ist in folgender Abbildung dargestellt. Die Trägerfrequenz f c betrage 100 khz V (jω) ω in khz/2π Signale und Systeme II 2

5 Aufgabe 2 (34 Punkte) (c) Zeichnen Sie ein vereinfachtes Blockschaltbild gemäß Gleichung (1). (4 P) (d) Bestimmen und skizzieren Sie das Spektrum Y m (jω) des Signals y m (t). Normieren (6 P) Sie die Frequenz-Achse auf 2π (wie in obiger Abbildung dargestellt). Hinweis: V (jω) muss nicht berechnet bzw. als explizite Formel angegeben werden! Teil 3 Dieser Aufgabenteil kann unabhängig von Teil 1 und 2 gelöst werden. Das Eingangssignal sei nun mit: ( ) v(t) = sin 48000π s 1 t, gegeben und das Ausgangssignal weiterhin nach Gleichung 1 moduliert. Es gelte weiterhin f c = 100 khz. (e) Bestimmen Sie das Spektrum von y m (t) für dieses Eingangssignal und skizzieren Sie (6 P) den Betrag. Normieren Sie die Frequenz-Achse ebenfalls auf 2π. Hinweis: Ebenfalls keine aufwändigen Rechnungen notwendig. (f) Vergleich der AM mit anderen Modulationen: (i) Nennen Sie mindestens einen Nachteil der AM gegenüber anderer analoger Mo- (2 P) dulationsverfahren. (ii) Welche(s) Modulationsverfahren haben den/die genannten Nachteil(e) nicht? (2 P) Hinweis: Es wird hierbei angenommen, dass keine Trägerfrequenzfehler auftreten! (g) Ist die Trägerfrequenz nicht bekannt, bietet die AM einen Vorteil gegenüber anderen Verfahren, wenn das zu übertragende Signal v(t) wieder rekonstruiert werden soll. (i) Wie kann das amplitudenmodulierte Signal in diesem Fall demoduliert werden? (2 P) (ii) Welche Bauteile werden mindestens benötigt? (2 P) Signale und Systeme II 3

6 Aufgabe 3 (35 Punkte) Aufgabe 3 (35 Punkte) Gegeben sei ein Übertragungssystem gemäß des nachfolgenden Blockdiagramms. v 1 (n) H 1 u(n) H 3 y(n) v 2 (n) H 2 H ges Hierbei gelten für die Übertragungsfunktionen der Systeme H 1 und H 2 : H 1 (z) = z 1, H 2 (z) = z + 1. Das System H 3 sei beschrieben durch folgende Differenzengleichung: y(n) = u(n) y(n 1) + 1 y(n 2) 2 (a) Um was für ein System handelt es sich (Tiefpass, Hochpass, Bandpass) bei H 1 (z)? (4 P) Was für ein System stellt H 2 (z) dar? Begründen Sie Ihre Antworten. (b) Sind die Einzelsysteme H 1 (z), H 2 (z) und H 3 (z) kausal? Begründen Sie Ihre Antwort. (4 P) (c) Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion H 3 (z). (2 P) Von nun an gelte für die Übertragungsfunktionen der Systeme H 1 (z) und H 2 (z): Im Folgenden gelte zunächst α = 1. H 1 (z) = z α, z H 2 (z) = z + 1. z (d) Berechnen Sie die Übertragungsmatrix des Gesamtsystems H ges (z). Vereinfachen Sie (3 P) den Ausdruck so weit wie möglich. (e) Wie viele Eingänge und Ausgänge hat das Gesamtsystem H ges? Was ist die minimale (2 P) Anzahl der internen Zustände für dieses System? (f) Zeichnen Sie den zum Gesamtsystem H ges gehörigen Signalflussgraphen. (7 P) (g) Hat das System H ges einen direkten Durchgriff? Begründen Sie Ihre Antwort. (2 P) (h) Das System H ges soll nun im Zustandsraum mittels der Zustands- und Ausgangs- (6 P) Signale und Systeme II 4

7 Aufgabe 3 (35 Punkte) gleichung x(n + 1) = A x(n) + B v(n) y(n) = C x(n) + D v(n) beschrieben werden. Hierbei beschreibt v(n) die Eingänge, y(n) die Ausgänge und x(n) die inneren Zustände des Systems. Geben Sie dazu die Matrizen (bzw. Vektoren und Skalare) A, B, C und D an. Im Folgenden sei der Parameter α des Systems H 1 variabel. (i) Hat eine Änderung des Parameters α eine Auswirkung auf den direkten Durchgriff (2 P) des Gesamtsystems H ges? Erklären Sie wie sich der Durchgriff in Abhängigkeit von α verändert. (j) Hat eine Änderung des Parameters α eine Auswirkung auf die Art (Bandpass, Hoch- (3 P) pass, Tiefpass) des Systems H 1? Erklären Sie wie sich das System H 1 in Abhängigkeit von α verändert. Signale und Systeme II 5