Signale und Systeme II

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1 TECHNISCHE FAKULTÄT DER CHRISTIAN-ALBRECHTS-UNIVERSITÄT ZU KIEL DIGITALE SIGNALVERARBEITUNG UND SYSTEMTHEORIE DSS Signale und Systeme II Modulklausur WS 2015/2016 Prüfer: Prof. Dr.-Ing. Gerhard Schmidt Datum: Name: Matrikelnummer: Erklärung der Kandidatin/des Kandidaten vor Beginn der Prüfung Hiermit bestätige ich, dass ich zur Prüfung angemeldet und zugelassen bin und dass ich prüfungsfähig bin. Ich nehme zur Kenntnis, dass der Termin für die Klausureinsicht vom Prüfungsamt ET&IT bekannt gegeben wird, sobald mein vorläufiges Prüfungsergebnis im QIS-Portal veröffentlicht wurde. Nach dem Einsichtnahmetermin kann ich meine endgültige Note im QIS-Portal abfragen. Bis zum Ende der Widerspruchsfrist des zweiten Prüfungszeitraums der CAU kann ich beim Prüfungsausschuss Widerspruch gegen dieses Prüfungsverfahren einlegen. Danach wird meine Note rechtskräftig. Korrektur Unterschrift: Aufgabe Punkte /39 /28 /33 Summe der Punkte: /100 Einsicht/Rückgabe Hiermit bestätige ich, dass ich die Korrektur der Klausur eingesehen habe und mit der auf diesem Deckblatt vermerkten Bewertung einverstanden bin. Die Klausurunterlagen verbleiben bei mir. Ein späterer Einspruch gegen die Korrektur und Benotung ist nicht mehr möglich. Kiel, den Unterschrift: Digitale Signalverarbeitung und Systemtheorie, Prof. Dr.-Ing. Gerhard Schmidt, Signale und Systeme II

2 Signale und Systeme II Modulklausur WS 2015/2016 Prüfer: Prof. Dr.-Ing. Gerhard Schmidt Datum: Zeit: 09:00 h 10:30 h (90 Minuten) Ort: LS13 - R.52 und LS13 - R.8 Hinweise Schreiben Sie auf jedes abzugebende Blatt deutlich Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer. Legen Sie Ihren Studentenausweis und Personalausweis zur Überprüfung bereit. Die Aufgaben dürfen erst bearbeitet werden, wenn alle Teilnehmer die Aufgabenstellungen erhalten haben. Während der Klausur werden nur Fragen zur Aufgabenstellung beantwortet. Verwenden Sie bitte für jede Aufgabe einen neuen mit Namen und Matrikelnummer versehenen Papierbogen. Zusätzliches Papier erhalten Sie auf Anfrage. Lösungswege müssen zur Vergabe der vollen Punktzahl immer nachvollziehbar und mit Begründung versehen sein. Sind Funktionen zu skizzieren, müssen grundsätzlich alle Achsen beschriftet werden. Verwenden Sie zum Schreiben weder Bleistift noch Rotstift. Beachten Sie, dass die Punkteverteilung in den Teilaufgaben nur vorläufig ist! Fünf Minuten und eine Minute vor Klausurende werden Ankündigungen gemacht. Wird das Ende der Bearbeitungszeit angesagt, darf nicht mehr geschrieben werden. Legen Sie am Ende der Klausur alle Lösungsbögen ineinander (so, wie sie ausgeteilt wurden) und geben Sie auch die Aufgabenblätter mit ab. Bevor alle Klausuren eingesammelt sind, darf weder der Sitzplatz verlassen noch geredet werden. Alle Hilfsmittel außer die Kommunikation mit anderen Personen sind erlaubt. Mobiltelefone sind auszuschalten. Laptops, Tablets und ähnliche Geräte sind nicht erlaubt, da sie als Kommunikationsmittel tauglich sind. Die Aufgaben und eine Lösung werden auf der Homepage der Vorlesung veröffentlicht. Dort werden ebenso Termin und Ort der Klausureinsicht bekanntgegeben. Signale und Systeme II II

3 Aufgabe 1 (39 Punkte) Aufgabe 1 (39 Punkte) Bei v(n) handelt es sich um einen ergodischen Zufallsprozess mit statistisch unabhängigen Werten, welcher folgende Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f v (v) besitzt: 1 4 f v (v) 1 3 v (a) Handelt es sich bei v(n) um einen stationären Zufallsprozess? Begründen Sie Ihre (2 P) Antwort! (b) Bestimmen Sie (6 P) (i) den Mittelwert m v, (ii) die Varianz σ 2 v und (iii) den quadratischen Mittelwert m (2) v des Zufallsprozesses v(n). (c) Bestimmen und skizzieren Sie das Leistungsdichtespektrum S vv jω ) von v(n). Skiz- (7 P) zieren Sie S vv jω ) im Bereich von π Ω 3π. Beschriften Sie alle Achsen! Die Summe von v(n) und des deterministischen Signals x(n) = cos(πn) soll als Eingang, des im folgenden dargestellten Systems, dienen. x(n) v(n) w(n) z 1 y(n) (d) Bestimmen Sie den Erwartungswert E{w(n)} von w(n). (3 P) (e) Ist der Prozess w(n) stationär? Begründen Sie Ihre Antwort! (2 P) (f) Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion H(z) = Y W (z). Zeichnen Sie zusätzlich das (6 P) Pol-Nullstellen-Diagramm. Um welche Art von Filter handelt es sich wahrscheinlich bei H(z) (Tiefpass, Hochpass, Bandpass, Allpass)? Begründen Sie Ihre Antwort! Signale und Systeme II 1

4 Aufgabe 1 (39 Punkte) (g) Bestimmen Sie y(n) als Funktion von v(n). Ist das Signal y(n) stationär? Begründen (4 P) Sie Ihre Antwort! Von nun an soll das Leistungsdichtespektrum des Signals w(n) wie folgt definiert sein: S ww jω ) = 1 4 Ω (h) Bestimmen Sie das Leistungsdichtespektrum S yy jω ) am Ausgang des Systems. (4 P) Gehen Sie nun davon aus, dass x(n) = sin(πn) dem deterministischen Signal x(n) entspricht. (i) Bestimmen Sie den Erwartungswert E{w(n)} des neuen Summensignals w(n) = (3 P) v(n) + x(n). (j) Ist der neue Summenprozess w(n) stationär? Begründen Sie Ihre Antwort! (2 P) Signale und Systeme II 2

5 Aufgabe 2 (28 Punkte) Aufgabe 2 (28 Punkte) Gegeben sei der unten dargestellte Signalflussgraph eines Systems. v(t) j y 1 (t) H H (jω) v 1 (t) Wobei es sich bei H H (jω) um einen Hilbert-Transformator handelt: j, 0 < ω H H (jω) = 0, ω = 0 j, ω < 0 (a) Geben Sie die Übertragungsfunktion H(jω) = Y 1 (jω)/v (jω) unter Verwendung von (4 P) H H (jω) an. (b) Skizzieren Sie die Übertragungsfunktion H(jω). Beschriften Sie alle Achsen! (4 P) (c) Gegeben sei ein reelles Signal mit folgendem Spektrum: V (jω) 1 ω A ω A ω Skizzieren sie die Spektren V 1 (jω), Y 1 (jω) im Bereich von 2ω A < ω < 2ω A. (7 P) Beschriften Sie alle Achsen! (d) Beantworten Sie folgende Fragen. Hinweis: Jede richtige Antwort gibt einen Punkt. (3 P) Jede falsche Antwort bedeutet einen Punkt Abzug. Es ist immer nur eine Antwort richtig. Sollten Sie insgesamt eine negative Anzahl von Punkten erreichen, wird diese Teilaufgabe mit 0 Punkten gewertet. Ist das Signal y 1 (t) reellwertig? ja nein Wie wird ein derartiges Signal genannt? Analytisches Signal Zweiseitenband-Signal Signale und Systeme II 3

6 Aufgabe 2 (28 Punkte) Signal in Kehrlage Wozu kann ein Solches System typischer Weise verwendet? Sprach-Grundfrequenzbestimmung Zweiseitenbandmodulation Einseitenbandmodulation Für weitere Betrachtungen wird folgende Erweiterung vorgenommen. u(t) j v 2 (t) y 2 (t) H H (jω) v 1 (t) e jω 0t Das Spektrum des Signals u(t) lässt sich wie folgt beschreiben. 1 ω U(jω) = ω 12, ω < ω g g 0, sonst (e) Skizzieren Sie das Spektrum U(jω) im Bereich von 2ω g < ω < 2ω g. Beschriften (4 P) Sie alle Achsen! (f) Skizzieren Sie das Spektrum der Signale v 2 (t) und y 2 (t) für ω 0 = ω g /2 im Bereich (6 P) von 2ω g < ω < 2ω g. Falls Sie den vorherigen Aufgabenteil nicht lösen konnten, benutzen Sie das folgende Spektrum: U x (jω) = { 1, ωg < ω < ω g, 0, sonst. Signale und Systeme II 4

7 Aufgabe 3 (33 Punkte) Aufgabe 3 (33 Punkte) Gegeben sei folgende Übertragungsfunktion H (z) = z z z z (a) Geben Sie die Pol- und Nullstellen von H(z) = Y V (z). Ist das System stabil? Begrün- (6 P) den Sie Ihre Antwort. (b) Bestimmen Sie die Differenzengleichung für y(n). (3 P) (c) Skizzieren Sie den Signalflussgraphen in der 2. Direktform. Kennzeichnen Sie auch (5 P) die Zustandsspeicher. (d) Bestimmen Sie aus der 2. Direktform und der Differenzengleichung die Matritzen (7 P) bzw. Vektoren und Skalare A, B, C und D der Zustandsraumdarstellung des Systems. x (n + 1) = Ax (n) + Bv (n) y (n) = Cx (n) + Dv (n) (e) Bestimmen Sie die Impulsantwort h 0 (n) = Z 1 {H(z)}. Gehen Sie dabei vom einem (5 P) kausalen System aus. Im weiteren Verlauf soll das folgende System im zugehörigen Zustandsraum betrachtet werden: [ ] [ ] 3 x(n + 1) = x(n) + v(n), [ ] y(n) = 1 1 x(n) + 3 v(n). (f) Geben Sie die Übertragungsfunktion H(z) an. (7 P) Signale und Systeme II 5

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