Datenstrukturen & Algorithmen Lösungen zu Blatt 8 FS 15

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Gertrud Albrecht
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1 Enösssc Tcnsc Hocscul Zürc Ecol polytcnqu ééral Zurc Poltcnco ral Zuro Fral Insttut o Tcnoloy at Zurc Insttut ür Tortsc Inormatk 22. Aprl 201 Ptr Wmayr Tobas Prör Tomas Tscar Datnstrukturn & Alortmn Lösunn zu Blatt 8 FS 1 Lösun 8.1 Dynamsc Prorammrun: Optmal Platzrun von Wnrärn. a) Scon ür n = 3 Wnrär kann n solcs Bspl konstrurt wrn, z.b. mt n mölcn Postonn 1 = 0, 2 = 1, 3 = 2 un nm Mnstabstan von D = 2. Außrm nrn wr rzltn Enrntn als 1 = 2, 2 = 3 un 3 = 2. D bscrbn Gry-Strat platzrt n Wnra au r Poston 2. Da r jwl Abstan zu n Postonn 1 un 3 klnr als D st, könnn kn wtrn Wnrär platzrt wrn un Enrausbut bträt nau 3. Optmal wär abr Wal r Postonn 1 un 3 mt nr Enrausbut von = 4. b) Dnton r DP-Tabll: Wr vrwnn n nmnsonal (!) Tabll T mt n Enträn. Dr Entra T [k] bscrbt maxmal prouzrbar Enr, wnn Wnrär nur au n Postonn 1,..., k platzrt wrn könnn. Brcnun ns Entras: Ist k < D ür n Poston k {1,..., n}, ann wr r Mnstabstan zwscn r k-tn un r rstmölcn Poston nct naltn, un s kann maxmal n Poston aus n rstn k mölcn wält wrn. D maxmal Enr wr ann prouzrt, wnn n Poston aus {1,..., k} mt maxmalr Enrausbut wält wr. Wr stzn T [1] := 1 un T [k] := max{t [k 1], k } ür all k > 1 mt k < D, (1) un mt sr Dnton st T [k] = max{ 1,..., k } ür all k mt k < D. Ist k D, ann bt s zw Mölcktn: Es wr n Wnra au Poston k platzrt. Wnn wr v k := max{ {1,..., k 1} : k D} (2) stzn, ann st v k r Inx r Poston lnks von k, am näcstn an k lt un n Mnstabstan D nält. Au n Postonn k mt v k < k < k könnn also kn Wnrär platzrt wrn, a r Mnstabstan zu k nct naltn wr. D maxmal prouzrbar Enr mt n Postonn 1,..., k bstt nun aus r Summ von k (Enrausbut r Poston k) un r maxmal prouzrbarn Enr, wnn nur Postonn aus {1,..., v k } vrwnt wrn. Es wr kn Wnra au Poston k platzrt. In sm Fall st mt n Postonn 1,..., k maxmal prouzrbar Enr nauso ross w maxmal prouzrbar Enr mt n Postonn 1,..., k 1.

2 Für all k mt k D stzn wr also v k := max{ {1,..., k 1} : k D} (3) T [k] := max{t [k 1], k + T [v k ]}. (4) Brcnunsrnol: Da n Tabllnntra nur von Enträn mt klnrm Inx abänt, könnn Enträ T [k] ür austns k brcnt wrn. Analo könnn Wrt v k ür austns k brcnt wrn. Auslsn r Lösun: D Lösun stt am En m Entra T [n]. c) En sorält Implmntrun s obn Vrarns bnött nur Zt Θ(n), wnn v k nct n jm Scrtt nav brcnt wr. Es st klar, ass v k nur ür k mt k D brcnt wrn muss. Für as rst solc k kann v k w n obr Forml brcnt wrn. Für all wtrn k wssn wr, ass v k 1 brts brcnt wur, un s lt v k = max{ {1,..., k 1} : k D} = max{ {v k 1,..., k 1} : k D}. () Zur Brcnun von v k aus v k 1 kann also ntal v k = v k 1 stzt un sr Inx so lan um 1 röt wrn, bs vk +1 > k D lt. Au s Art könnn all v k n Zt Θ(n) brcnt wrn. Da Lauzt zur Brcnun ns nzlnn Entras T [k] nur konstant st, bträt Gsamtlauzt Θ(n). ) Wr ülln zunäcst samt Tabll aus un spcrn auc all Wrt von v k. En optmal Postonrun von Wnrärn kann nun urc Rückvrolun r Wrt n r Tabll w olt rrct wrn. Wr stzn ntal k = n un wroln olnn Scrtt, solan k 1 st. Falls k D un k + T [v k ] T [k 1] st, ann b Poston k aus un stz k := v k. Falls k D un k + T [v k ] < T [k 1] st, ann wr mr Enr prouzrt, wnn Poston k nct bnutzt wr. In sm Fall wr ncts ausbn, un k := k 1 stzt. Falls k < D st, ann kann nur n nzs Wnra au n Postonn 1,..., k platzrt wrn. In sm Fall wr Poston {1,..., k} mt maxmalr Enrausbut ausbn, un r Alortmus trmnrt. D Lauzt ss Vrarns st wtrn Θ(n). Lösun 8.2 Branc-an-Boun. a) Man bact zunäcst, ass n r Vorlsun aussclsslc zt wur, w Brancun-Boun au Maxmrunsproblm anwnt wrn kann, wr au sm Blatt an n Mnmrunsproblm btractn. Dar muss zu nr Lösun auc kn obr, sonrn n untr Scrank anbn wrn. J Tllösun wr urc n Paar (In, Out) mt In, Out V un In Out = bscrbn. Dab s In Mn all rjnn Knotn, ntv n omnrn Mn aunommn wrn solln, un Out Mn all rjnn Knotn, ntv nct n omnrn Mn aunommn wrn solln. En Knotn sst omnrt, alls r slbst n In lt or nn Nacbarn n In bstzt. Wr nrn δ v als 2

3 Anzal Knotn, zusätzlc omnrt wrn, wnn wr v auc noc n In aunmn (δ v zält also auc v mt, alls sr noc nct omnrt st). Natürlc st δ v = 0 ür all v In, a s Knotn ja brts Tl r omnrnn Mn sn. Sn aussrm δ max = max v V \Out δ v maxmal Anzal von Knotn, wr mt nm Knotn aus V \Out omnrn könnn, un D Mn allr noc nct omnrtn Knotn. Um all Knotn n D zu omnrn, bnötn wr also mnstns D /δ max zusätzlc Knotn. Ausn von r bnn Tllösun raltn wr amt In + D /δ max als untr Scrank ür Gröss nr omnrnn Mn. Wr vrbssrn s Scrank wtr, nm wr s au stztn, alls n nct omnrtr Knotn von übraupt knm Knotn n V \Out omnrt wrn kann. Dann st unsr Tllösun onunslos un sollt nct wtr vrolt wrn. b) Wr wäln jwls nn Knotn v V \(In Out), r mölcst vl nu Knotn omnrt, ür n also δ v = δ max lt. Wr on, ass s Hurstk unsr Suc mölcst scnll zum Zl brnt. c) Dr Entscunsbaum st w olt aus. D Rnol r Scrtt st jwls mt Nummrn n Kästcn anbn. Es wrn nssamt 8 Vrzwunn (Branc) urcürt, bs n optmal Lösun mt r Knotn unn wr. Unsr Lösun st In = {,, }. Wr könnn abbrcn, sobal wr s Lösun unn abn, a all vrblbnn untrn Scrankn ct rössr als 2 sn, s also kn Lösun mt wnr als 3 Knotn bn kann. 3

4 1 boun: 9/4 = 2.2 boun: 1 + 4/2 = 3 2 boun: 9/4 = boun: 1 + /3 = 2. 6 boun: 9/4 = 2.2 boun: 1 + /2 = 3. 4 boun: 9/3 = 3 boun: 1 + /2 = 3. 4

5 boun: 1 + /3 = 2. 6 boun: 1 + /3 = 2. 6 boun: 2 + 2/2 = boun: 1 + /3 = boun: 2 + 2/2 = 3 uppr boun: 3 All lowr bouns ür noc nct xpanrtn Blättr sn auc mr als 2 s könnn all abscnttn wrn. Ds Lösun st n Optmum. boun: 1 + /2 = 3. boun: 2 + 2/1 = 4

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