Mittlere-Reife-Prüfung 2007 Mathematik I Aufgabe B2

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Bella Schmitt
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1 Seite Seite 2 Mittlere-Reife-Prüfung 2007 Mathematik I Aufgabe B2 Aufgabe B2. Der Punkt A 2 2 ist gemeinsamer Eckpunkt von Rauten A B n C n D n. Die Eckpunkte B n 3 liegen auf dem Hyperbelast k mit der Gleichung y 3 G R + R. Die Punkte C n liegen auf der Geraden g mit der Gleichung y G R R. Aufgabe B2. 3 Punkte Zeichnen Sie den Hyperbelast k für > 0 sowie die Rauten A B C D für 2 und A B 2 C 2 D 2 für 6 in ein Koordinatensystem. Für die Zeichnung: Längeneinheit cm; 4 8; 8 y 7 Aufgabe B2.2 3 Punkte Bestimmen Sie durch Rechnung die Definitionsmenge für die Abszissen der Punkte B n, sodass Rauten A B n C n D n entstehen. Aufgabe B2.3 3 Punkte Berechnen Sie die Innenwinkelmaße der Raute A B C D. Auf zwei Stellen nach dem Komma runden. Aufgabe B2.4 4 Punkte Ermitteln Sie rechnerisch die Koordinaten der Punkte D n in Abhängigkeit von der Abszisse der Punkte B n. Bestimmen Sie sodann die Gleichung des Trägergraphen h der Eckpunkte D n. [Teilergebnis: D n 3 ] Aufgabe B2.5 4 Punkte Unter den Rauten A B n C n D n gibt es ein Quadrat A B 0 C 0 D 0. Zeichnen Sie das Quadrat A B 0 C 0 D 0 in das Koordinatensystem zu 2. ein. Berechnen Sie sodann die Koordinaten der Eckpunkte B 0, C 0 und D 0. Lösung Aufgabe B2. Der Punkt A 2 2 ist gemeinsamer Eckpunkt von Rauten A B n C n D n. Die Eckpunkte B n 3 liegen auf dem Hyperbelast k mit der Gleichung y 3 G R + R. Die Punkte C n liegen auf der Geraden g mit der Gleichung y G R R. Aufgabe B2. 3 Punkte Zeichnen Sie den Hyperbelast k für > 0 sowie die Rauten A B C D für 2 und A B 2 C 2 D 2 für 6 in ein Koordinatensystem. Für die Zeichnung: Längeneinheit cm; 4 8; 8 y 7 Lösung zu Aufgabe B2. Skizze Gegeben: A 2 2 B n 3 liegen auf dem Hyperbelast k : y 3 C n liegen auf g : y

Seite 3 http://www.realschulrep.de/ Seite 4 Erläuterung: Einzeichnen Zuerst wird der Hyperbelast k eingezeichnet Wertetabelle hilfreich. Dann werden A 2 2, B 2 2, 5 und die Gerade g eingezeichnet.

2 Seite 3 Seite 4 Erläuterung: Einzeichnen Zuerst wird der Hyperbelast k eingezeichnet Wertetabelle hilfreich. Dann werden A 2 2, B 2 2, 5 und die Gerade g eingezeichnet. A wird mit B verbunden. Mit dem Zirkel wird ein Bogen um B mit dem Radius A B gezeichnet. Der Schnittpunkt dieses Bogens mit der Geraden g ist C. D erhält man durch Spiegelung von B an der Geraden g. Die Punkte werden zur Raute A B C D verbunden. Raute A B 2 C 2 D 2 analog. Aufgabe B2.2 3 Punkte Bestimmen Sie durch Rechnung die Definitionsmenge für die Abszissen der Punkte B n, sodass Rauten A B n C n D n entstehen. Lösung zu Aufgabe B2.2 Definitionsmenge für Abszissen bestimmter Punkte Die Punkte B n sind die Schnittpunkte der Diagonalen B n D n mit der Hyperbel k. Es entstehen keine Rauten A B n C n D n mehr, wenn A, B n und D n auf einer Geraden l liegen.

3 Seite 5 Seite 6 m l m l Erläuterung: Geradengleichung Mit dem Punkt A 2 2 und der Steigung m l kann mit Hilfe der Punkt- Steigungs-Form y m l A + y A die Gleichung für l berechnet werden. l : l : y m l A + y A y l : y 4 Erläuterung: Gleichsetzen Um die -Werte der Schnittpunkte B n Gleichungen von l und k gleichgesetzt. von l und k zu berechnen, werden die Erläuterung: Mitternachtsformel - Lösungsformel für quadratische Gleichungen Deshalb wird zuerst eine Gleichung für diese Gerade l gesucht. Erläuterung: Senkrechte Strecken In jeder Raute gilt, dass die beiden Diagonalen senkrecht aufeinander stehen. Nun gilt, dass das Produkt der Steigungen der beiden Diagonalen - ergibt, also: m l m g m l m g a 2 + b + c 0,2 b ± b 2 4 a c 2 a,2 3 ± ,2 3 ± 2 2 3, , 79 3, 79 ist nicht in der Grundmenge enthalten. D { > 0, 79}

4 Seite 7 Seite 8 Aufgabe B2.3 3 Punkte Berechnen Sie die Innenwinkelmaße der Raute A B C D. Auf zwei Stellen nach dem Komma runden. Erläuterung: Richtungsvektor A C ist der Richtungsvektor von g. Lösung zu Aufgabe B2.3 Innenwinkel eines Dreiecks Gegeben: A 2 2, B 2 2, 5 und A C Richtungsvektor von g und A C ein- Man berechnet zuerst den Winkel ϕ B A C, den die Vektoren A B schließen A B 2, 5 2 0, 5 Der -Wert des Richtungsvektors einer Geraden ist, der y-wert des Richtungsvektors ist die Steigung der Geraden. 4 0,5 4 cos ϕ 0, , 5 3, 5 cos ϕ , , 25 2 ϕ 52, 3 B A D 2 52, 3 04, 26 Erläuterung: Winkel zwischen zwei Vektoren cos ϕ Den Winkel α zwischen zwei Vektoren u und v cos α Beispiel: cos α cos α u v u v 0 u , v α cos 5 63, 43 A B A C A B A C berechnet man mit der Formel: D C B 04, 26 C B A , 26 2 A D C 75, 74 Aufgabe B2.4 4 Punkte 75, 74 Ermitteln Sie rechnerisch die Koordinaten der Punkte D n in Abhängigkeit von der Abszisse der Punkte B n. Bestimmen Sie sodann die Gleichung des Trägergraphen h der Eckpunkte D n. [Teilergebnis: D n 3 ] Lösung zu Aufgabe B2.4 Koordinaten von Punkten ermitteln Die Punkte D n entstehen durch Spiegelung der Punkte B n an der Ursprungsgerade g. Gegeben: B n 3

5 Seite 9 Seite 0 Erläuterung: Spiegelung + 3 : 3 Der Winkel von 90 in der Spiegelungsmatri ist das Doppelte des 45 -Winkels, den die Spiegelungsgerade mit der -Achse einschließt. Allgemein: Ist α der Winkel, den die Spiegelungsgerade mit der -Achse einschließt, so lautet die entsprechende Spiegelungsmatri: cos 2α sin 2α sin 2α cos 2α cos 90 sin 90 y sin 90 cos 90 0 y Erläuterung: Matrizenmultiplikation a b a + b y c d y c + d y + 3 Kehrbruch Erläuterung: Potenzregeln, Kehrbruch Es gilt immer: Um nach aufzulösen, wird auf beiden Seiten der Gleichung der Kehrbruch angewendet. 3 + y 3 + h : y 3 + y D n 3 Trägergraphen / Ortskurve bestimmen Gegeben: D n 3 in Abhängigkeit von der Abszisse der Punkte B n Gesucht: Trägergraph h : y? Aufgabe B2.5 4 Punkte Unter den Rauten A B n C n D n gibt es ein Quadrat A B 0 C 0 D 0. Zeichnen Sie das Quadrat A B 0 C 0 D 0 in das Koordinatensystem zu 2. ein. Berechnen Sie sodann die Koordinaten der Eckpunkte B 0, C 0 und D 0. Lösung zu Aufgabe B2.5 Skizze Quadrat A B 0 C 0 D 0 einzeichnen: Erläuterung: Trägergraphen Die -Koordinate 3 von D n wird nach aufgelöst. Anschließend wird der Term in die y-koordinate von D n eingesetzt. 3 +

6 Seite Erläuterung: Einzeichnen Seite 2 Die Seiten im Quadrat stehen senkrecht aufeinander, somit auch A B n und A D n. In einem Quadrat schließt die Diagonale mit der Seitenlinie einen 45 -Winkel ein. B 0 A C 0 45 wird zuerst eingezeichnet. Der Scheitel dieses Winkels schneidet die Hyperbel k in B 0. Jetzt kann das Quadrat mit der Seitenlänge A B 0 vervollständigt werden. Erläuterung: Senkrechte Strecken, Senkrechte Vektoren, Skalarprodukt Wenn zwei Vektoren aufeinander senkrecht stehen, dann ist das Skalarprodukt der beiden Vektoren gleich 0. A B n A D n 0 A B n 3 3 D n entstehen. 3 A D n , da die Punkte D n durch Spiegelung der Punkte B n an g : y Erläuterung: Skalarprodukt Das Skalarprodukt zweier Vektoren a dargestellt: a a b a 2 b b 2 a b + a 2 b 2 a a 2 und b b b 2 wird wie folgt Koordinaten von Punkten ermitteln

7 Powered by TCPDF Seite 3 Erläuterung: Mitternachtsformel - Lösungsformel für quadratische Gleichungen a 2 + b + c 0,2 b ± b 2 4 a c 2 a,2 2 ± ,2 2 ± ist nicht in der Grundmenge enthalten. ist die Abszisse der Punkte B n. B B C 0 hat den gleichen -Wert wie B 0 und den y-wert y. C D 0 hat den gleichen -Wert wie A und den gleichen y-wert wie C 0. D 0 2 3

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3. Mathematikschulaufgabe Arbeitszeit 40min 1.0 Gegeben sind die Punkte A (-I1) und B (6I-1), sowie die Gerade g mit der Gleichung y = 0,5x + 3. Führe die folgenden Berechnungen jeweils auf zwei Stellen gerundet aus. 1.1 Berechne