Asymptotische Stochastik (SS 2010) Übungsblatt 1 P X. 0, n.

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1 Insttut für Stochastk PD. Dr. Deter Kadelka Danel Gentner Asymptotsche Stochastk (SS 2) Übungsblatt Aufgabe (Arten von Konvergenz reeller Zufallsvarablen und deren Zusammenhänge) Es seen X,, n N reelle Zufallsvarablen. Zegen Se de engezechneten Zusammenhänge, d.h. zegen Se de Implkaton be ncht durchgestrchenen Pfelen und nden Se Gegenbespele für durchgestrchene Pfele: f.s. L p P d Lösung: Betrachte (Ω, A, P) : ([, ], B([, ]), λ [,] ) und : n [, n ), X :. Dann glt X f.s., jedoch E X p n p. Des lefert auch en Gegenbespel, weshalb aus Konvergenz n Wahrschenlchket ncht de Konvergenz n L p folgt, denn es st für ϵ > P( X > ϵ) n, n. En Gegenbespel weshalb aus Konvergenz n L p ncht fast schere Konvergenz folgt, lefert : [j 2 k,(j+) 2 k ] für n j + 2 k, j < 2 k, k N und X :. Her glt E X p 2 k, ( < p < ) und also X n L p. Oenschtlch konvergert jedoch nrgendwo punktwese. Des lefert auch en Gegenbespel, weshalb aus Konvergenz n Wahrschenlchket ncht fast-schere Konvergenz folgt, denn es st P( X > ϵ) 2 k, n. Es konvergere nun X fast scher. Dann folgt P(sup X k X > ϵ), n, k n

2 und wegen { X > ϵ} {sup k n X k X > ϵ} de Konvergenz n Wahrschenlchket. Konvergert statt dessen X n L p für en p >, so lefert für ϵ > de Markov-Unglechung P( X > ϵ) E X p ϵ p, de Konvergenz n Wahrschenlchket. Gelte nun X P n X. Es glt für t R, ϵ > de Inkluson {X t ϵ} { X ϵ} { t} (Fallunterschedung nach ), was dann für de Vertelungsfunktonen F (t ϵ) P( X ϵ) + F n (t) nach sch zeht. De Konvergenz n Wahrschenlchket mplzert Analog mplzert de Inkluson F (t ϵ) lm nf F n(t). (Fallunterschedung nach X) dann { t} { X ϵ} {X t + ϵ} lm sup F n (t) F (t + ϵ). Für t C(F ) lefert ϵ nun lm F n (t) F (t), und damt D X. Für en Gegenbespel, weshalb de umgekehrte Implkaton unzulässg st, se X 2 δ + 2 δ und : X. Trvalerwese D X, jedoch glt für < ϵ < dann P( X ϵ) P( ϵ), n. Aufgabe 2 (Satz von Polya) Seen X, X, X 2,... Zufallsvarablen mt zugehörgen Vertelungsfunktonen F, F, F 2,... F se stetg. Zegen Se: X D n X sup F n (x) F (x), n. x R Lösung: De Implkaton von rechts nach lnks st trval. Gelte also X D n X, was wegen der Stetgket von F de punktwese Konvergenz F n (x) F (x), x R, nach sch zeht. Um de Glechmäÿgket deser Konvergenz nachzuwesen, se ϵ >. Wr wählen en N N so, dass < ϵ. Da F stetg st, exsteren (ncht notwendg endeutg bestmmte) N Stellen t k mt F (t k ) k, k,..., N. N

3 Da es sch her nur um endlch vele Stellen handelt, können wr en n N wählen mt F n (t k ) F (t k ) ϵ, k,..., N, n n. Se nun x R belebg. Dann glt entweder < x t, t N x < oder es gbt en k mt t k x t k+. Wr behandeln nur den letzten Fall, de beden ersten behandelt man völlg analog. Gelte also t k x t k+ für en k. Dann folgt auf Grund der Monotone der jewelgen Funktonen F n (x) F (x) F n (t k ) F (t k+ ) F n (t k ) F (t k ) + F (t k ) F (t k+ ) ϵ N, n n F n (x) F (x) F n (t k+ ) F (t k ) F n (t k+ ) F (t k+ ) + F (t k+ ) F (t k ) ϵ + N, n n. Es folgt sup F n (x) F (x) ϵ + x R N 2ϵ. Aufgabe 3 (Exponentalvertelung als schwacher Grenzwert) Seen X, X 2,... U(, ) u..v. Zufallsvarablen. Zegen Se: (a) n mn j n X j D Exp(), (b) n( max j n X j ) D Exp(). Seen nun Y, Y 2,... u..v. Zufallsvarablen mt nverterbarer Vertelungsfunkton F. Zegen Se (c) n( F (max j n Y j )) D Exp(). Lösung: (a) Es glt für < x < n P(n mn j n X j x) P( j n : X j x/n) P(X j > x/n, j,..., n) P(X > x/n) n ( P(X x/n)) n ( x n )n e x, n. Es st klar, dass dese Konvergenz dann auch für alle x [, ) glt. (b) Es glt für < x < n P(n( max j n X j) x) P( max j n X j x/n) P( max j n X j < x/n) P(X < x/n) n ( x/n) n e x, n. Es st klar, dass dese Konvergenz dann auch für alle x [, ) glt.

4 (c) Es glt für x R P(n( F ( max j n Y j)) x) P(F ( max j n X j) x/n) P(F ( max j n X j) < x/n) P( max j n X j < F ( x/n)) P(X < F ( x/n)) n (F (F ( x/n))) n ( x/n) n e x, n. Aufgabe 4 (Schwache Konvergenz als Werkzeug) De Euler Mascheron Konstante γ wrd we folgt denert γ : lm k k ln(n) ( x ) dx, x Se spelt n verschedensten Berechen der Zahlentheore und Analyss ene Rolle. Interessanterwese st ncht enmal bekannt, ob γ ratonal st. Zel deser Aufgabe st es zu zegen, dass [ exp( e x )]dx γ. Zegen Se dazu zunächst, dass für u..v. X, X 2,... Exp() Zufallsvarablen glt, dass max X j ln(n) D X, j n wobe X de Vertelungsfunkton G : R R, x exp( e x ) bestzt, und setzen Se dese Informaton gewnnbrngend en. Im Weteren wrd es nützlch sen, zu zegen, dass ( ), n N. Betrachten Se dazu de erzeugende Funkton der lnken Sete f(x) : ( n x )( ), bzw. deren Abletung. Lösung: Zunächst glt P(X (n) ln n x) P(max{X,, } x + ln n) P(X x + ln n, {,..., n}) ( e (x+ln n) ) n ( e x n )n e e x. Das Integral kann also we folgt geschreben werden: [ exp( e x )]dx lm P(X (n) ln n > x)dx.

5 Her st P(X (n) ln n > x) ( e x n )n, monoton fallend n n, weshalb wr we folgt nach oben abschätzen können: P(X (n) ln n > x) ( e x ) e x, Nun st e x dx <, weshalb wr den Satz von der domnerten Konvergenz verwenden können, um Lmes und Integraton zu vertauschen: [ exp( e x )]dx lm P(X (n) ln n > x)dx lm E[X (n) ln n]. Den Erwartungswert berechnen wr we folgt: E[X (n) ] P(X (n) > x)dx P(X,..., x)dx ( e x ) dx ( n )( ) e x dx ( ). P(X (n) x)dx ( e x ) n dx Wr bewesen m Folgenden, dass dese Rehe glech n st. De erzeugende Funkton der obgen Rehe st ( n x f(x) : )( ), und für deren Abletung ergbt sch f (x) ( ) x x x Integraton von bs x lefert und also f(x) f() x Zusammenfassend erhalten wr ( n )( x) + ( x) + ( x) ( x) n. ( x)2 2 ( x) ( x)n n f() n. [ exp( e x )]dx lm [ ( x)n ( x) n, ] ln n γ.

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