2 Zufallsvariable und Verteilungen

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1 Zufallsvarable und Vertelungen 7 Zufallsvarable und Vertelungen Wr wollen uns jetzt mt Zufallsexpermenten beschäftgen, deren Ausgänge durch (reelle) Zahlen beschreben werden können, oder be denen man jedem enzelnen Versuchsausgang ene enzelne Zahl zuordnen kann. Bespelswese st jedes möglche Ergebns bem Ausspelen enes Würfels n endeutger Wese durch de Augenzahl bestmmt. Dasselbe glt für de Anzahl defekter Stücke n ener Warenleferung oder den Bohrloch-Durchmesser enes Werkstücks. Alle dese Größen hängen natürlch vom Zufall, genauer vom Ergebns des Zufallsexperments, ab. Man nennt se deshalb auch Zufallsvarable. Betrachten wr enen Stchprobenraum Ω, ene Eregnsalgebra Σ über Ω und ene Wahrschenlchket P auf Σ. Dann versteht man unter ener Zufallsvarablen X ene Funkton X: Ω, für welche de Mengen für alle x, also Eregnsse snd. { ω Ω X( ω) x} Σ Gewöhnlch werden Zufallsvarablen durch Großbuchstaben, etwa X, Y, Z symbolsert. Schrebt man also X für de Augenzahl enes Würfels, dann kann man das Eregns De Augenzahl des ausgespelten Würfels beträgt 4 kurz durch X = 4 ausdrücken, das Eregns De Augenzahl st größer oder glech 3 durch X 3, usw. Entsprechend schrebt man für de Wahrschenlchketen der genannten Eregnsse kurz P(X = 4) bzw. P(X 3). Allgemen kann also ene Zufallsvarable bestmmte Werte oder Wertebereche mt bestmmten Wahrschenlchketen annehmen. Zufallsvarable können n den velfältgsten Formen auftreten, hr Werteberech kann aus endlch velen Werten, abzählbar unendlch oder überabzählbar unendlch velen Werten bestehen. Für de Praxs werden wr daher zwschen dskreten und stetgen Zufallsvarablen unterscheden. Ene Zufallsvarable heßt dskret, wenn se nur endlch oder abzählbar unendlch vele Zahlenwerte annehmen kann. Dagegen kann ene stetge Zufallsvarable jeden Wert (nnerhalb enes bestmmten Intervalls) annehmen. Dementsprechend sprcht man auch von dskreten bzw. stetgen Vertelungen, welche m Folgenden genauer betrachten werden.. Dskrete Vertelungen Allgemen st ene dskrete Zufallsvarable X dadurch defnert, dass se nur bestmmte vorgegebene (höchstens abzählbar vele) Werte x, x, x 3,... mt postven Wahrschenlchketen P(X = x ) = p, P(X = x ) = p, P(X = x 3 ) = p 3,... annmmt. De Wahrschenlchketen p snd dabe ncht negatv und hre Summe ergbt, also p, p, usw. sowe p + p +... =. De durch

2 Zufallsvarable und Vertelungen 8 p x = x f (x) = P(X = x) = sonst erklärte Funkton f heßt Wahrschenlchketsfunkton der Zufallsvarablen X. Ferner nennt man de Funkton F (x) = P(X x) = x x also de Wahrschenlchket dafür, dass de Varable X rgendenen Wert annmmt, der klener oder glech x st de Vertelungsfunkton von X. Zufallsvarable können als theoretsches Gegenstück zu den Merkmalen der deskrptven Statstk angesehen werden. Zwschen der Wahrschenlchketsfunkton und der Vertelungsfunkton ener Zufallsvarablen X besteht dann derselbe Zusammenhang, we er für de relatve Häufgket und relatve Summenhäufgket enes Merkmals glt. Bespel: Bezechnet X de Augenzahl bem Würfeln, dann bestzt de Zufallsvarable X de möglchen Werte x =,, 3, 4, 5 und 6 mt den Wahrschenlchketen bzw. f() = P(X = ) = /6, f() = = f(6) = /6 F() = P(X ) = /6, F() = P(X ) = /6,..., F(6) = P(X 6) =. De Wahrschenlchketsfunkton f(x) und de Vertelungsfunkton F(x) snd n der folgenden Abbldung dargestellt. p Wahrschenlchketsfunkton f(x) (lnks) und Vertelungsfunkton F(x) (rechts) von X Durch de Wahrschenlchkets- bzw. Vertelungsfunkton st ene Zufallsvarable vollständg bestmmt. Oft genügt aber auch, we be der Beschrebung von Stchproben durch Lage- und Streuungsmaße, ene gröbere Charakterserung durch geegnete Maßzahlen. Von desen snd der Mttelwert sowe de Varanz wohl am bedeutsamsten. Der Mttelwert µ (oder auch Erwartungswert E(X)) ener dskreten Zufallsvarablen X mt den möglchen Werten x, x, x 3,... und der Wahrschenlchketsfunkton f st gegeben durch µ = E (X) = x f (x ) und stellt das theoretsche Gegenstück zum arthmetschen Mttel ener emprschen Vertelung dar. Analog st de Varanz σ (oder auch Var(X)) defnert durch σ = Var(X) = (x µ ) f (x ) = E(X µ ).

3 Zufallsvarable und Vertelungen 9 Für de Varanz glt nach dem so genannten Verschebungssatz auch de für das praktsche Rechnen zweckmäßge Formel σ = E(X ) µ. De Wurzel aus der Varanz bezechnet man weder als de Standardabwechung σ. Für das Würfeln bespelswese glt E(X) = ( ) /6 = 3,5, Var(X) = E(X ) µ = ( ) /6 3,5 = 5,7,5 =,9. Somt beträgt de theoretsch erwartete Augenzahl µ = 3,5 und hre Standardabwechung σ =,7. Ganz allgemen gelten für den Erwartungswert und de Varanz von Zufallsvarablen folgende Rechenregeln: E(X + Y) = E(X) + E(Y) E(aX + b) = ae(x) + b für a, b E(XY) = E(X) E(Y), falls X und Y unabhängg snd Var(aX + b) = a Var(X) für a, b Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y), falls X und Y unabhängg snd Mt Hlfe deser Regeln lässt sch z.b. der oben genannte Verschebungssatz enfach bewesen, denn mt µ = E(X) glt σ = E(X µ ) = E(X µ X + µ ) = E(X ) µ E(X) + µ = E(X ) µ.. Stetge Vertelungen Vele Zufallsexpermente lassen sch nur unvollständg durch dskrete Zufallsvarable beschreben. Bespelswese kann man bezüglch des Merkmals Körpergröße ener erwachsenen Person ene Entelung n klen, mttel bzw. groß " treffen und desen Eregnssen gewsse Größenndzes, etwa, bzw. zuordnen. Man hätte damt de Körpergröße durch ene dskrete Zufallsvarable mt dre möglchen Werten allerdngs nur sehr grob beschreben. Daran ändert auch ene Verfenerung der Entelung m Prnzp nchts, denn de Körpergröße st von stetger Natur, d.h., se kann jeden belebgen Wert enes bestmmten Intervalls annehmen. Es st daher nahelegend, se durch ene entsprechende Zufallsvarable X zu beschreben, für de alle Werte des betrachteten Intervalls auch möglche Werte darstellen. Das Eregns 75 < X < 8 bespelswese bedeutet, dass X rgendenen Wert aus dem Intervall (75, 8) annmmt. Das Eregns X = 8 hngegen besagt, dass de Varable X den Wert 8 exakt annmmt, und bestzt m Fall ener stetgen Zufallsvarablen stets de Wahrschenlchket. Wr können n desem Fall nur für Eregnsse, de dadurch charaktersert snd, dass X n en vorgegebenes Intervall fällt, ene postve Wahrschenlchket angeben.

4 Zufallsvarable und Vertelungen An de Stelle der Wahrschenlchketsfunkton ener dskreten Zufallsvarablen trtt nun de so genannte Wahrschenlchketsdchte (oder kurz Dchte) f der stetgen Varablen X. Dabe ordnet de Funkton f jedem Wert x ene Zahl f(x) derart zu, dass zu belebg vorgegebenen Werten a und b für de Wahrschenlchket P(a < X < b) glt P(a X b) f (x) dx < < =. De Wahrschenlchket des Eregnsses a < X < b kann also durch de Fläche ausgedrückt werden, de von der Kurve der Wahrschenlchketsdchte und der x-achse zwschen x = a und x = b engeschlossen st (vgl. nachstehende Abbldung). De Zufallsvarable X wrd als stetge Zufallsvarable bezechnet und wr sprechen von ener stetgen Vertelung der Varablen X. b a Jede stetge Zufallsvarable X bestzt ene Vertelungsfunkton F, welche analog zum dskreten Fall defnert st durch wobe f de Dchte der Varablen X bezechnet. F(x) = P(X x) = f (t) dt, Zwschen der Vertelungsfunkton F und der Dchtefunkton f ener stetgen Zufallsvarablen X besteht der folgende Zusammenhang: b P(a < X < b) = f (x) dx = F(b) F(a), a wobe auf der lnken Sete der Glechung ebenso P(a X < b), P(a < X b) oder P (a X b) stehen kann. Mathematsch gesprochen st de Vertelungsfunkton F ene Stammfunkton von f und daher de Dchte f de Abletung von F. Im Zusammenhang mt der Interpretaton der Wahrschenlchketsdchte f se betont, dass de Werte von f ncht als Wahrschenlchketen angesehen werden können; f muss zwar größer glech aber keneswegs überall klener als sen. Wahrschenlchketen werden ledglch durch Flächen unter der Dchtekurve f dargestellt. Offenschtlch st de Gesamtfläche unter der Dchtekurve von f glech, der Wahrschenlchket des scheren Eregnsses: x

5 Zufallsvarable und Vertelungen f (x) dx =. We m dskreten Fall können auch stetge Vertelungen durch hren Mttelwert bzw. Erwartungswert und hre Varanz beschreben werden. Dabe st der Erwartungswert E(X) ener stetgen Zufallsvarablen X mt der Dchtefunkton f defnert durch und de Varanz Var(X) erhält man gemäß µ = E(X) = x f (x) dx, σ = Var(X) = (x µ ) f (x) dx = x f (x) dx µ wobe sch das zuletzt angeführte Integral weder aus dem Verschebungssatz ergbt. Sämtlche m vorhergehenden Abschntt für dskrete Zufallsvarable angegebenen Rechenregeln für das Rechnen mt Erwartungswerten und Varanzen gelten auch m stetgen Fall. Bespel: Es se X ene stetge Varable mt der Dchtefunkton f(x) = x für x (und f(x) = sonst). Offenschtlch st f ene stetge und damt ntegrerbare Funkton mt f(x) und f (x) dx = x dx = x =, und für de Vertelungsfunkton glt F(x) = für x <, F(x) = x für x und F(x) = für x > (sehe Abbldung). Für den Erwartungswert µ und de Varanz σ von X berechnet man x f (x) dx x dx, µ = = = σ = x f (x) dx µ = x dx =. 9 8

6 Zufallsvarable und Vertelungen Neben Erwartungswert und Varanz stellen auch de Quantle wchtge Kenngrößen ener Vertelung dar. Allgemen versteht man unter dem p-quantl x p ener Zufallsvarablen X für enen Wert von p mt < p < jene Zahl, für de glt F(x p ) = P(X x p ) = p. De Wahrschenlchket dafür, dass de Zufallsvarable X Werte unterhalb von x p annmmt, st also glech p. Für p =,5 erhält man den Medan, der mt glecher Wahrschenlchket (nämlch,5) über- bzw. unterschrtten wrd, für p =,5 bzw. p =,75 nennt man de entsprechenden Quantle auch unteres bzw. oberes Quartl. Bespel: In obgem Bespel ergbt sch für das p-quantl allgemen p p p F(x ) = x = p x = p, also nsbesondere für den Medan x,5 = / =, 7. Ene grundlegende Aussage über de Vertelung der Werte ener belebgen Zufallsvarablen macht de folgende Unglechung von Tschebyscheff: Se X ene Zufallsvarable mt Erwartungswert µ = E(X) und Varanz σ = Var(X), dann glt σ P( X µ > ε) für jedes ε >, ε d.h., dass X nur mt klener Wahrschenlchket Werte annmmt, de wet vom Mttelwert µ entfernt snd. Bewes (für ene stetge Zufallsvarable X): Für belebges ε > glt σ = (x µ ) f (x)dx µ ε (x ) f (x)dx (x ) f (x)dx µ + µ µ ε ε f (x)dx + = ε µ > ε µ+ε P( X ), µ+ε f (x)dx woraus de behauptete Unglechung unmttelbar folgt. De Bedeutung deser Unglechung legt darn, dass Se de Abwechung der Varablen X vom Mttel µ nur n Abhänggket von der Varanz σ angbt, und unabhängg von der spezellen Form der Vertelung st. Setzt man ε = kσ, so erhält man de Unglechung n der Form P( X µ > k σ) für jedes k >. k Das bedeutet z.b. für k =, dass P( X µ > σ) /4 st, und für k = 3 glt P( X µ > 3σ) /9, d.h., zumndest 8/9 aller Werte ener belebgen Vertelung legen nnerhalb der 3σ- Grenzen um den Mttelwert.