Konzept diskreter Zufallsvariablen

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1 Statistik 1 für SoziologInnen Konzept diskreter Zufallsvariablen Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec

2 Beispiel: Zufallsvariable 3 Münzen werden unabhängig voneinander geworfen. Jede Münze kann entweder Kopf oder Zahl zeigen. Man ist nur an der Zahl der Köpfe interessiert. Elementarereignis Wahrscheinlichkeit KKK 1/8 KKZ 1/8 KZK 1/8 ZKK 1/8 KZZ 1/8 ZKZ 1/8 ZZK 1/8 ZZZ 1/8 2 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable

3 Beispiel: Zufallsvariable 3 Münzen werden unabhängig voneinander geworfen. Jede Münze kann entweder Kopf oder Zahl zeigen. Man ist nur an der Zahl der Köpfe interessiert. Anzahl Kopf Elementarereignis Wahrscheinlichkeit KKK 3 1/8 KKZ 2 1/8 KZK 2 1/8 ZKK 2 1/8 KZZ 1 1/8 ZKZ 1 1/8 ZZK 1 1/8 ZZZ 0 1/8 3 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable

4 Beispiel: Zufallsvariable Jedem Elementarereignis wird eine Zahl zugeordnet (Anzahl der beobachteten Köpfe) Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten einer Zahl ergibt sich durch Summation der Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse, die mit dieser Zahl verknüpft sind: Anzahl Kopf Wahrscheinlichkeit 1/8 3/8 3/8 1/8 4 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable

5 Diskrete Zufallsvariable (Random Variable) Eine Variable X, die jedem möglichen Ereignis e E eines Zufallsexperimentes eine Zahl X(e) zuordnet, wird als Zufallsvariable bezeichnet. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen X ergibt sich durch die Zuordnung der Wahrscheinlichkeiten von allen durch X definierten Ereignissen. 5 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable

6 Beispiel aus Buch von Agresti General Social Survey Question: What do you think is the ideal number of children for a family to have? Ideal Number Relative Frequency 0,01 0,03 0,60 0,23 0,12 0,01 6 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable

7 Beispiel aus Buch von Agresti If you randomly pick out a person from the USpopulation the probability of each allowed answer will follow the above table. Ideal Number Probability 0,01 0,03 0,60 0,23 0,12 0,01 7 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable

8 Wahrscheinlichkeitsfunktion Die Funktion f(x), die jeder Zahl x die Wahrscheinlichkeit P(X=x) zuordnet, heißt Wahrscheinlichkeitsfunktion der diskreten Zufallsvariablen X: f(x) = P(X = x) Seien x 1, x 2,..., x i,... die Realisationsmöglichkeiten der diskreten Zufallsvariablen X, so wird die Wahrscheinlichkeitsfunktion oft kurz als p i geschrieben: f(x i ) = P(X = x i ) = p i i=1, 2,... 8 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable

9 Beispiel: Zufallsvariable Jedem Elementarereignis wird eine Zahl zugeordnet (Anzahl der beobachteten Köpfe) Anzahl Kopf Wahrscheinlichkeit P{X=2} = 3/8 P{X 2} = 1 - P{X > 2} = 1/8 + 3/8 + 3/8 = 1-1/8 =7/8 P{0 < X 1} = 3/8 1/8 3/8 3/8 1/8 P{X > 1} = 1 - P{X 1} = 3/8 + 1/8 = 1-1/8-3/8 = 4/8 9 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable

10 Verteilungsfunktion Um die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen X zu definieren, genügt es Ereignissen des Typs {X x} Wahrscheinlichkeiten zuzuordnen. Daraus lassen sich bereits für alle anderen durch X definierten Ereignisse die Wahrscheinlichkeiten ermitteln. Die Funktion F(x), die jedem x die Wahrscheinlichkeit P(X x) zuordnet nennt man die theoretische Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen X: F(x) = P(X x) 10 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable

11 Beispiel: Münzwurf Anzahl Kopf X Wahrscheinlichkeitsfunktion 1/8 3/8 3/8 1/8 P(X=x) Verteilungsfunktion F(x) = P(X x) 1/8 4/8 7/8 8/8 F(0) = P{X 0} = 1/8 F(1) = P{X 1} = 4/8 F(2) = P{X 2} = 7/8 F(3) = P{X 3} = 8/8 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 Verteilungsfunktion Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable

12 Beispiel Probability P(X = x) Ideal Number of Children 0,70 0,60 0,50 0,40 0,30 0,20 0,10 0, P(2 X 3) = 0,60 + 0,23 = 0,83 P(X 3) = 0,87 P(X 1) = 0,04 P(2 X 3) = P(X 3) P(X 1) = 0,87 0,04 = 0,83 Ideal Number of Children X Probability P(X = x) Probability F(x) = P(X x) 0 0,01 0,01 1 0,03 0,04 2 0,60 0,64 3 0,23 0,87 4 0,12 0,99 5 0,01 1,00 Wir können aus der theoretischen Verteilungsfunktion die Wahrscheinlichkeit für beliebige Ereignisse berechnen. 12 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable

13 Sprachliche Formulierungen Für eine diskrete Zufallsvariable, die nur ganzzahlige Werte annehmen kann, sind folgende Aussagen äquivalent: X größer 2 X>2 bzw. X 3 X zumindest 3 X 3 X ist 3 oder mehr X 3 X ist nicht kleiner als 3 Nicht(X<3)= X 3 Ebenfalls äquivalent sind die folgenden Aussagen: X ist kleiner als 2 X<2 bzw. X 1 X ist höchstens 1 X 1 X ist 1 oder kleiner X 1 X ist nicht größer als 1 Nicht(X>1)= X 1 13 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable

14 Eigenschaften der Verteilungsfunktion F(x) nimmt nur Werte zwischen 0 und 1 an, d.h. es gilt: 0 F(x) 1 bzw. da F(x) = P(X x) 0 P(X x) 1 F(x) steigt für wachsendes x monoton an x 1 < x 2 F(x 1 ) F(x 2 ) F(x) 1 für x F(x) 0 für x - 14 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable

15 f(x) F(x) im diskreten Fall Zwischen der Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x) und der Verteilungsfunktion F(x) gelten im Fall der diskreten Zufallsvariable X mit den Realisationsmöglichkeiten x 1, x 2,..., x i,...: Fx) ( fx ( i ) Die Differenz zweier xi x aufeinanderfolgender Werte F(x i ) - F(x i-1 ) = f(x i ) der Verteilungsfunktion ist die Wahrscheinlichkeit des größeren Wertes bestimmt F(x i ) = P(X x i ) = = P(X < x i ) + P(X = x i ) = = F(x i-1 ) + P(X = x i ) 15 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable

16 Erwartungswert Sei X eine diskrete Zufallsvariable mit den Realisationsmöglichkeiten x i und der zugehörigen Wahrscheinlichkeitsfunktion p i =P(X=x i ), i=1,2,... Dann heißt E(X) der Erwartungswert von X. EX ( ) i xp i i Gewichtete Summe der Merkmalsausprägungen, wobei die Gewichte die Wahrscheinlichkeiten sind. 16 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable

17 Varianz einer ZV Misst die theoretisch zu erwartende Schwankung eines zufälligen Phänomens V(X) E(X²) E(X)² V(X) [x E(X)]²p(x ) i i i Analoge Eigenschaften wie bei der empirischen Varianz Y a bx V(Y) b²v(x) 17 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable

18 Beispiel aus Buch von Agresti Ideal Number of Children X Probability P(X = x) E(X) E(X²) 0 0,01 0,00 0,00 1 0,03 0,03 0,03 2 0,60 1,20 2,40 3 0,23 0,69 2,07 4 0,12 0,48 1,92 5 0,01 0,05 0,25 2,45 6,67 Erwartungswert E(X): 2,45 Varianz V(X): = 6,67 2,45² = 0,6675 EX ( ) xp i i i Standardabweichung: 0,8170 V(X) E(X²) E(X)² 18 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable

19 Varianz beim Roulette (Varianz.XLS) Unterschiedliche Strategien haben den selben Erwartungswert aber eine verschiedene Varianz! 19 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable

20 Varianz beim Roulette (Varianz.XLS) 250 Drücken Sie F Simulation Spiel auf Dutzend Simulation Spiel auf 1 Zahl Theorie 20 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable

21 Beispiel Würfelwurf Wir betrachten einen idealen (unverfälschten) Würfel, welcher folgende Wahrscheinlichkeitsfunktion besitzt: Augenzahl Probability E(X) E(X²) 1 0,1667 0,1667 0, ,1667 0,3333 0, ,1667 0,5000 1, ,1667 0,6667 2, ,1667 0,8333 4, ,1667 1,0000 6,0000 1,0000 3,5 15,1667 EX ( ) xp i i i Erwartungswert 3,5 Varianz 2,9167 Standardabweichung 1,7078 V(X) E(X²) E(X)² 21 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable

22 Arithm. Mittel versus Erwartungswert 22 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable

23 Inferenzstatistisches Prinzip In der Inferenzstatistik (schließenden Statistik) versucht man durch den systematischen Vergleich von empirischen Häufigkeitsverteilungen mit hypothetischen theoretischen Modellen Schlussfolgerungen über den datengenerierenden Prozess ziehen zu können. Dieser Vergleich kann auf verschiedenen Ebenen erfolgen: Vergleich der theoretischen und der empirischen Verteilung (z.b. Säulendiagramm empirischer Häufigkeiten versus Wahrscheinlichkeitsfunktion) Vergleich von Maßzahlen (z.b. Mittelwert versus Erwartungswert) 23 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable

24 Beispiel: Diskrete Zufallsvariable Bei einem Wissenstest muss ein Kandidat bei jeder Frage ein Zuordnungsproblem der folgenden Art lösen: 1) Erste Türkenbelagerung 2) Schlacht von Hastings 3) Entdeckung Amerikas a) 1066 b) 1492 c) 1529 Der Ereignisraum kann wie folgt dargestellt werden: a b c a c b b a c b c a c a b c b a Die Anzahl der richtigen Antworten bei dieser Frage ist, da die korrekte Lösung (c a b) lautet, wie folgt: Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable

25 Beispiel: Diskrete Zufallsvariable Geht man davon aus, dass ein Kandidat die Fragen rein nach dem Zufallsprinzip beantwortet (jede der 6 möglichen Antwortmuster mit gleicher Wahrscheinlichkeit wählt), ergibt sich für die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Anzahl richtigen Antworten folgende Tabelle: Anzahl richtige Antworten Wahrscheinlichkeit /6 3/6 0 1/6 25 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable

26 Beispiel: Diskrete Zufallsvariable Stellt man den Kandidaten wiederholt eine Problemstellung des obigen Typs, kann man wohl davon ausgehen, dass der Kandidat im Mittel pro Problem eine richtige Antwort treffen wird: x i p i x i p i 0 2/ /6 3/6 EX ( ) xp i i i 3 1/6 3/6 Summe 1 1 Dieses gewogene Mittel ist der Erwartungswert der Zufallsvariable. 26 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable

27 Anwendung beim Zuordnungstest In 3 Schulklassen (A, B, C) mit je 30 Schülern wird der zuvor beschriebene Zuordnungstest durchgeführt: Korrekt Prob Theorie A B C 0 2/ / / Erwartungswert bei zufälligem Antwortverhalten (Theorie) 1 richtige Lösung pro Schüler Berechnung der empirischen Mittelwerte pro Klasse: Mittelwert in Klasse(A): 10/30 = 1/3 Mittelwert in Klasse B: 27/30 = 9/10 Mittelwert in Klasse C: 66/30 = 2,2 1 x n Theorie: Verteilung beim Raten nach dem reinen Zufallsprinzip 27 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable k i 1 n x i i k i 1 h x i i

28 Vergleich empirische theoretische Verteilung Theorie A Theorie B Theorie C Gruppe A: deutlich schlechter als blindes Raten Gruppe B: entspricht blindem Raten Gruppe C: deutlich besser als blindes Raten 28 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable

29 Eigenschaften des Erwartungswertes Linearität: Additivität: 29 E(aX b) ae(x) b E(X Y) E(X) E(Y) Der Erwartungswert einer Summe ist die Summe der Erwartungswerte Beachte : E(X X) E(2X) aber X X 2X Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable

30 Zufallsvariable Augenzahl beim Würfelwurf Augenzahl (X) P(X=x) x.p(x=x) 1 0,167 0, ,167 0, ,167 0, ,167 0, ,167 0, ,167 1,000 3,5 E(X) = 3,5 30 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable

31 Zufallsvariable Doppelte Augenzahl (2X) Augenzahl (2X) P(X=x) x.p(x=x) 2 0,167 0, ,167 0, ,167 1, ,167 1, ,167 1, ,167 2,000 7 E(X) = 3,5 E(2X) = 2*3,5=7 31 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable

32 Summe Augenzahl von 2 Würfen 32 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable

33 Zufallsvariable X+X Summe Augenzahl von 2 Würfen ,028 0,028 0,028 0,028 0,028 0, ,028 0,028 0,028 0,028 0,028 0, ,028 0,028 0,028 0,028 0,028 0, ,028 0,028 0,028 0,028 0,028 0, ,028 0,028 0,028 0,028 0,028 0, ,028 0,028 0,028 0,028 0,028 0,028 z.b.: P(X+X=7)=6/36 1/36 = 0, Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable

34 Zufallsvariable X+X Augenzahl Y=X+X P(Y=y) y.p(y=y) 2 0,028 0, ,056 0, ,083 0, ,111 0, ,139 0, ,167 1, ,139 1, ,111 1, ,083 0, ,056 0, ,028 0,333 7,000 0,180 0,160 0,140 0,120 0,100 0,080 0,060 0,040 0,020 0,000 P(Y=y) E(X) = 3,5 E(2X) = 2*3,5 = 7 E(X+X) = E(2X) = 7 34 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable

35 Eigenschaften der Varianz einer ZV V(X) E(X²) E(X)² In Bezug auf lineare Transformationen gilt analog wie bei der empirischen Varianz: Y a bx V(Y) b²v(x) In Bezug auf die Summe/Differenz gilt, für zwei unabhängige Zufallsvariablen X und Y: V(X Y) V(X) V(Y) V(X Y) V(X) V(Y) Allgemein gilt: V(X Y) V(X) V(Y) 2Cov(X,Y) 35 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable

36 Anwendungsbeispiel Im Zuge einer Erhebung wurden Haushalte in einer Stadt nach der Anzahl der im Haushalt benutzten KFZ befragt. Anzahl der benutzten KFZ Relative Häufigkeit % 40% 20% 10% Sie wählen aus der obigen Population rein zufällig einen Haushalt aus und X sei die Zufallsvariable Anzahl der KFZ in einem zufällig ausgewählten Haushalt. Berechne Erwartungswert und Varianz für die diskrete Zufallsvariable X! Angenommen Sie ziehen aus der obigen Population eine Zufallsstichprobe von 5 unabhängigen Haushalten. Wie groß sind der Erwartungswert und die Varianz für die Gesamtsumme der Anzahl der KFZ, die von den 5 ausgewählten Haushalten genutzt werden? 36 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable

37 Lösung Anzahl KFZ rel Häufigkeit E(X) X² E(X²) 0 30% % 0,4 1 0,4 2 20% 0,4 4 0,8 3 10% 0,3 9 0,9 100% 1,1 2,1 Varianz 0,89 Erwartungswert bei 1 Person 1,1 Varianz bei einer Person 0,89 Erwartungswert bei 5 Personen 5,5 Varianz bei 5 Personen 4,45 wegen Unabhängigkeit Vorgehen: zuerst berechnen wir E(X) und V(X); dann wenden wir an, dass der Erwartungswert einer Summe gleich der Summe der Erwartungswerte ist. Bei der Varianz gilt das nur, wenn die Beobachtungen statistisch unabhängig sind! 37 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable