Kapitel 9: Geometrische Summe und ein Mischmodell

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1 Kapitel 9: Geometrische Summe ud ei Mischmodell Dr. Dakwart Vogel Ui Esse WS 2009/10 1

2 Die Summeformel der geometrische Reihe q 1 + q+ q q =, 0, q> 0, 1 1 q Bemerkuge 1. Mit Hilfe des -Zeiches schreibe wir kompakter k= 0 2. Ist q>1, so schreibe wir de Bruch um i 1 3. Ist q<1, so kovergiert q + 0 für ud daher 4. Ist q> 1, 1 so divergiert für ud daher q k q = 1 q q 1. 1 q 1 q q + 1 q + 1. q 1. q q Ui Esse WS 2009/10 2

3 Beweis der Summeformel Beweisidee Nee das Ergebis s, subtrahiere s vo qs ud löse die erhaltee Gleichug ach s auf. Fertig. Ui Esse WS 2009/10 3

4 Beispiel 1: Medikametespiegel (1) Ei Patiet immt 100 mg eies Wirkstoffes ei. Alle vier Stude werde 25 % des Stoffes ausgeschiede ud 100 mg eu zugeführt. Aufgabe Etwickle eie Rekursiosgleichug für de Medikametespiegel. s Ui Esse WS 2009/10 4

5 Beispiel 1: Medikametespiegel (2) Ei Patiet immt 100 mg eies Wirkstoffes ei. Alle vier Stude werde 25 % des Stoffes ausgeschiede ud 100 mg eu zugeführt. Ergebis s = 100 s = 0, 75s + 100, 0. Aufgabe Etwirf ei Arbeitsblatt für ei Tabellekalkulatiosprogramm zur Darstellug der Etwicklug des Medikametespiegels. Ui Esse WS 2009/10 5

6 Beispiel 1: Medikametespiegel (3) Excel-Arbeitsblatt Frage des Arztes 1. Ist der Medikametespiegel lagfristig stabil? 2. Wie köte ma ei Niveau vo 250 mg (statt 400 mg) erreiche? 3. Ka ma das stabile Niveau scheller erreiche? 4. Allgemei: Welche Effekt hat eie Veräderug der Afagsdosis ud der regelmäßige Dosis? Exploratio Ui Esse WS 2009/10 6

7 Beispiel 1: Medikametespiegel (4) Theoretisch Drei Parameter sid im Spiel die Afagsdosis der Abkligfaktor q s 0 die regelmäßige Dosis d User Modell berücksichtigt ur idirekt, wie oft das Medikamet eigeomme wird (Periodedauer). Allgemeie Rekursio s+ 1 = qs+ d, 0. Beachte: Der Rekursiosterm ist liear. Er kombiiert geometrisches Wachstum ( iq ) mit arithmetischem Wachstum ( + d ). Ui Esse WS 2009/10 7

8 Beispiel 1: Medikametespiegel (5) Aufgabe Etwickle eie Fuktiosgleichug für die allgemeie Rekursio s+ 1 = qs+ d, 0 Ui Esse WS 2009/10 8

9 Beispiel 1: Medikametespiegel (6) Ergebis 1 q s= s0q + d, 0. 1 q Aufgabe a) Wie hoch muss die Dosis d sei, damit der Medikametespiegel vo Begi a fix ist? b) Bei welcher Dosis d strebt der Medikametespiegel gege eie feste Wert? Ui Esse WS 2009/10 9

10 Beispiel 1: Medikametespiegel (7) Lösug a) s1= s0 sq 0 + d= s0 Deutug: d kompesiert de zuvor ausgeschaltete Teil des Wirkstoffes. b) Ei Blick auf de Term 1 q s0q + d 1 q vo s zeigt, dass q< 1 sei muss. d Da strebt q 0 ud s. 1 q Der Grezwert ist i der Tat Fixpukt der Rekursio: d dq+ d( 1 q) d q+ d= = 1 q 1 q 1 q. Ui Esse WS 2009/10 10

11 Beispiel 1: Medikametespiegel (8) s Wird der Fuktiosterm vo geeiget umgestellt, so ka ma ihm alles ablese. Aufgabe Fide diese Umformug! Hiweis: Brige de Term i die Form a+ bq ( ab, fest) 0 s q + d 1 q 1 q Ui Esse WS 2009/10 11

12 Beispiel 1: Medikametespiegel (9) Der Darstellug s = a+ bq d d mit a= ud b= a 1 0 q 1 q lese wir ab: d 1. Der Grezwert ist stetsa=. ( 1 q q<1) 2. s ähert sich a d vo obe, we a0> ist 1 q d vo ute, we a0< ist. 1 q d 3. s ist fix, we a0= ist. 1 q Demostratio Ui Esse WS 2009/10 12

13 Beispiel 1: Medikametespiegel (10) Wie werde Fixpukte berechet? Bedigug für Fixpukte: a a + 1 =. Aufgabe: Bestimme de Fixpukt der Zahlefolge mit der Rekursio a+ = qa + d 1. Ui Esse WS 2009/10 13

14 Beispiel 1: Medikametespiegel (11) Aufgabe: Bestimme de Fixpukt der Zahlefolge mit der Rekursio Lösug x sei der gesuchte Fixpukt. Es gilt d a+ = a x= qx+ d x= 1 q Bemerkug a + = qa + d Die Folge erreicht de Fixpukt x icht, kommt ihm aber beliebig ahe (er ist Grezwert). Ausahme: a = x 2. Die Lage vo x wird allei durch q ud d bestimmt. 3. Ist q bekat, so ka der Arzt de gewüschte Medikametespiegel x bereche. 0 Ui Esse WS 2009/10 14

15 Beispiel 2: Ratezahlug (1) Aufgabe: Jemad immt eie Kredit über 1000 auf ud zahlt ih rateweise zurück. mtl. Rate R=50 Jahreszissatz p=6 Etwickle eie Formel für die Restschuld ach Moate. Tipp: Deke rekursiv. K Ui Esse WS 2009/10 15

16 Beispiel 2: Ratezahlug (2) Die Date: K0= 1000, R= 50, p= 6 p K Lösug: K = K+ R 100 p 12 = qk R, q= Fuktiosgleichug: Die Rekursio ist vo der Form a+ 1 = qa+ d. Daher gilt q 1 K= K0q R. q 1 Für die Berechug der Etwicklug der Restschuld ist ei Tabellekalkulatiosprogramm Mittel der Wahl. Ui Esse WS 2009/10 16

17 Beispiel 2: Ratezahlug (3) Welche Bedeutug hat hier der Fixpukt? R K+ = K x= qx R x= q 1 1. Iterpretatio: Für R= 50, p= 6 gilt (uabhägig vo der Kredithöhe K0): x= ( 6 = = ) 1 0, K 0< K sikt. K 0= K =K 0 ist fix ( ). K 0> K steigt (Schuldefalle). Ui Esse WS 2009/10 17

18 Beispiel 3: Epidemie (1) Aufgabe: Zu Begi eies bestimmte Tages, ee wir ih de Tag 0, seie 1000 Mesche ifiziert. Zu Begi des ächste Tages seie es c 0 Ifizierte mehr, zu Begi des folgede Tages seie es weitere mehr usw. I Beschreibe die Azahl der Ifizierte zu Begi des - te Tages rekursiv. c 1 Ui Esse WS 2009/10 18

19 Beispiel 3: Epidemie (2) Aufgabe: Zu Begi eies bestimmte Tages, ee wir ih de Tag 0, seie 1000 Mesche ifiziert. Zu Begi des ächste Tages seie es c 0 Ifizierte mehr, zu Begi des folgede Tages seie es weitere mehr usw. Lösug I Zugehörige Fuktiosgleichug: I = I + c + c Nimmt ma a, dass die Zahl der Neuifizierte proportioal der Zahl der bereits Ifizierte ist, so gilt ud somit = 1000, I = I + c, 0 c = c q c 1 0 c 1 (geometrisches Wachstum) q 1 I= I0+ c0. q 1 Ui Esse WS 2009/10 19

20 Beispiel 3: Epidemie (3) Aufgabe Brige die Fuktiosgleichug q 1 I= I0+ c0 q 1 i die Form I = a+ bq. Vorteil? Ui Esse WS 2009/10 20

21 Beispiel 4: Erdölreserve der Welt (1) Täglicher Verbrauch i Mio. Barrel Jahre ach 1995 V_ 0 70,1 1 71,7 2 73,4 3 74,1 4 75,7 5 76,7 6 77,4 7 78,1 8 79,7 9 82, , ,0 Wir versuche ei Modell der Form v + = qv + d 1 oder q 1 v= v0q + d, q> 0, 1. q 1 Gesucht sid geeigete Parameterwerte für v0, qd,. Dies erledige wir graphisch mit der Methode der kleiste Quadrate. 2 Ergebis: r k miimal, we v0= 70, 4 q= 1,009 d= 0,6 Ui Esse WS 2009/10 21

22 Beispiel 4: Erdölreserve der Welt (2) Wie lage reiche die Erdölreserve? Wir verwede user eues (besseres?) Modell: Rekursiv: r = r 0,365 v Fuktioal: r = r0 0,365 ( v12+ v v + 11) wobei 1 k= 0 d 12q 1 d vk = v0+ q q 1 q 1 q 1 Ui Esse WS 2009/10 22

23 Beispiel 4: Erdölreserve der Welt (3) 1200 Erdölvorrat Vorrat i Mrd. Barrel Azahl der Jahre ach 2007 Ui Esse WS 2009/10 23

24 Frohe Weihachte! Ui Esse WS 2009/10 24