Zusammenfassung. 2.7 Eigenwerte und Eigenvektoren 53. in 2.1: Lösung eines linearen Gleichungssystems

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1 7 Eigenwerte und Eigenvektoren 53 Zusammenfassung in : Lösung eines linearen Gleichungssystems Formalisierung: a x + a x + + a n x n b a x + a x + + a n x n b a m x + a m x + + a mn x n b m A x b Lösungsmethode: Gauß-Verfahren wesentliche (theoretische) Aussage: Satz 6 in : Konzepte des linearen Unterraumes, linearer Unabhängigkeit, Basis, Dimension Dimensionsformel: dim L(A ) n rg(a) (Satz 6) allgemeine Lösung linearer Gleichungssysteme: Satz 7 allg Lösung allg Lösung homogenes System + spezielle Lösung inhomogenes System in 3, 4: Rechnen mit Matrizen, und Determinanten insbesondere inverse Matrix: Sätze 34, 43(vi) Berechnung der inversen Matrix zentrale Aussage zur Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme: Satz 45 in 5: lineare Abbildungen und Matrizen Abbildungen f : R n R m, A m n-matrix, f : x x x n f( x) f ( x) f m ( x) A x Matrizen a a n a m a mn x x n f linear f(λ x+µ y) λf( x)+µf( y) A(λ x + µ y) λa x + µa y A linear f A ( x) A x linear A m n-matrix n a k x k k n a mk x k Es gilt auch die Umkehrung (Satz 53), dh für jede lineare Abbildung g existiert (genau) eine Matrix A g mit g( x) A g x ( g( e ) g( e n ) ) x, g linear A g m n-matrix, g( x) A g x k Verkettung g f Satz 55 zugehörige Matrix A g f A g A f

2 54 Lineare Algebra 3 3 x x + 3x Beispiele : (i) sei A A x 4 4 x x + 4x { f (x f A ( x), x ) x + 3x f (x, x ) x + 3x f (x, x ) x + 4x f (x, x ) x + 4x g (x (ii) sei g( x), x, x 3 ) 7x + 3x x 3, g linear: g (x, x, x 3 ) x + x g (λx g(λ x + µ y) + µy, λx + µy, λx 3 + µy 3 ) g (λx + µy, λx + µy, λx 3 + µy 3 ) 7(λx + µy ) + 3(λx + µy ) λx 3 µy 3 λg( x) + µg( y) λx µy + λx + µy g( e ) g 7, g( e ) g ( 3, g( e ) 3 ) g A g ( g( e ) g( e ) g( e 3 ) ) 7 3 7x + 3x g( x) x x x x + x A g x (iii) ϕ : R n R n, ϕ( x) a x, a > x 3 Stauchung/Streckung ϕ(λ x + µ y) a(λ x + µ y) λ(a x) + µ(a y) λϕ( x) + µϕ( y) ϕ linear, a A ϕ ( g( e ) g( e n ) ) a a I a A id a (iv) ψ : R n R n, ψ( x) x + b, b R n fest Translation/Verschiebung um b ψ linear?, dh ψ(λ x + µ y)? λψ( x) + µψ( y) für alle λ, µ R? ψ(λ x + µ y) λ x + µ y + b? λ( x + b) + µ( y + b) λψ( x) + µψ( y) b? (λ + µ) b für alle λ, µ R nur richtig für b, dh (nicht-triviale) Translationen sind nicht linear! in 6: spezielle lineare Abbildungen mit invertierbaren zugehörigen Matrizen Koordinatentransformation spezielle Koordinatensysteme/Basen: Orthogonalbasen, -matrizen, Orthonormalbasen wichtig: Satz 65 & Folgerung 66 Koordinaten-Umrechnungen zu neuer Basis (Transformation): Substitutions- und Transformationsformel, (Transformations-)Satz 69 Beispiele: Drehung um θ > in R, R 3, Spiegelung im R in 7: Eigenwerte und -vektoren, Eigenräume A x λ x Nullstellen von det(a λi) ermitteln invariante Räume unter Abbildung/Matrix A, Fixpunkte, -räume : A x x (λ )

3 55 3 Folgen und Reihen 3 Zahlenfolgen Definition 3 Eine reelle Zahlenfolge (a j ) j ist eine Abbildung natürlicher Zahlen in die reellen Zahlen Eine komplexe Zahlenfolge (z j ) j ist eine Abbildung natürlicher Zahlen in die komplexen Zahlen Beispiele : (i) a n a + nd, n N, a, d C a n+ a n d, n N arithmetische Folge (ii) a n a q n, n N, a C, q a n+ qa n a geometrische Folge a n+ a n q, n N (iii) a n ( ) n b n, b n (oder b n ), n N alternierende Folge Definition 3 Eine reelle oder komplexe Folge (a n ) n heißt beschränkt, falls es eine Konstante K > gibt, so dass a n K für alle n N gilt Bemerkung : Für Folgen in R auch sinnvoll: (a n ) n beschränkt nach unten K R n N : a n K (a n ) n beschränkt nach oben K R n N : a n K (a n ) n beschränkt (a n ) n beschränkt nach unten und oben K, K R n N : K a n K Grenzwertbegriff : Motivation a n a, a, a 3, lim n a n n, 5, 333, 5, «n 9 n 9, 6, 87, 644,, a 3487,, a 66 3, n n, 44, 44, 44,, a5 8, nx k nx k k k(k + ) nx ( ) k k k, 5, 833,, a 99,, a 587,, a 7485, a 9788, div 5, 667, 75, 8,, a 99,, 5, 833, 583,, a 646,, a 669, ln i n i,, i,, i, div i n n i, 5, 333i, 5, i,

4 56 3 Folgen und Reihen Definition 33 Eine reelle oder komplexe Folge (a n ) n heißt konvergent, wenn es eine reelle oder komplexe Zahl a mit folgender Eigenschaft gibt: Für jedes > existiert eine natürliche Zahl n (), so dass für all n n () gilt: a a n < Dann heißt a Grenzwert bzw Limes von (a n ) n, geschrieben als lim a n a n alternative Schreibweise: a n n a oder a n a für n Bemerkung : In jeder -Umgebung U (a) (a, a + ) R bzw U (a) {z C : z a < } um den Grenzwert liegen fast alle dh alle bis auf endlich viele Glieder der Folge in C: a a j [Re (a a j )] + [Im (a a j )] Beispiele : (a) a j a für j j (konstante Folge) > j () : j j j () : a j a a a < (b) a j j (Idee: a j ) Sei >, setzen: j () [ ] + j () > a j a j j j () <, j j () (c) a j + ( )j (Idee: a j ) j Sei >, suchen j () so, dass für j j () gilt: a j + ( )j j j < [ ] Setzen wie in (b) j () +, > Bemerkung : Es kommt nicht darauf an, bestes (dh kleinstes) j () anzugeben! Sei zb a j + j + j (Idee: a j ) [ ] Für > setzen wir wie in (b) und (c) j () +, so dass für j j () gilt: a j + j + j + j + j < j j () < j () > j j () < j () > Satz 34 (i) Ist eine Folge konvergent, so ist ihr Grenzwert eindeutig bestimmt (ii) Jede konvergente Folge ist beschränkt

5 3 Zahlenfolgen 57 B e w e i s : zu (i): indirekt Annahme: z, z R/C, setzen : z z 3 > lim z j z, lim z j z mit z z, dh z z > lim z j z j () j j () : z j z < lim z j z j () j j () : z j z < j () : max {j (), j ()} j j () : z j z + z j z < 3 z z Andererseits ist für alle j N : z z z z j + z j z, dh z z j () j j () : z z z z j + z j z < }{{} 3 z z Annahme falsch! > zu (ii): Sei lim z j z, setzen j j () j j : z j z z z Sei D : max { z, z,, z j, z + } { max { z, z,, z j }, j,, j } z j D z j z j z + z z +, j j D z 5 Lemma 35 (z n ) n C konvergent (Re z n ) n R und (Im z n) n R konvergent B e w e i s : Vorbemerkung: ( a + b ) ( a b ) a j Re (z j z), b j Im (z j z) a + b ab a + b, a, b R ( ) Re z j Re z + Im z j Im z z j z Re z j Re z + Im z j Im z z z j < für j j () Re z j Re z < Im z j Im z <, j j () { (Re zj ) konvergent, Re z j Re z (Im z j ) konvergent, Im z j Im z (Re z j) j konv a > j () j j () : Re z j a < (Im z j ) j konv b > j () j j () : Im z j b < Setzen z : a + ib, j () : max{j (), j ()} z z j Re z j a + Im z j b <, j j () Bemerkung : Es reicht (eigentlich) aus, reelle Folgen zu betrachten