Lösung zu: Bau einer Windkraftanlage, Aufgabe: Windkraft Ina Dorothea Kleinehollenhorst und Olga Hartmann. Lösungsvorschläge

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1 Ina Dorothea Kleinehollenhorst und Olga Hartann Lösungsvorschläge 1. Einflussfaktoren welche die Windlast auf eine Windkraftanlage beeinflussen sind zu Beispiel: a. Standort der WKA & Ugebung b. Höhe c. For des Bauwerks Weiterhin handelt es sich u eine Flächenlast, welche sich senkrecht zur vo Wind angegriffenen Fläche auswirkt. Sie lässt sich soit aus der angeströten Fläche al den vorherrschenden Winddruck berechnen. Dabei ist zu beachten, dass sich sowohl der Winddruck, wie auch die Größe der angeströten Fläche je nach For der WKA it zunehender Höhe ändert.. Die Berechnungen sollen vorerst nur a Tur der WKA erfolgen. Dieser kann zur Vereinfachung zunächst als Zylinder betrachtet werden. Nun üssen einige Annahen zu Aussehen des Turs geacht werden. Es kann z.bsp. angenoen werden, dass der Tur alleine 160 hoch ist. Mit den Rotorblättern erreicht er eine axiale Höhe von 00. Da die tatsächliche For eines Windkraftturs eine Kegelstupf entspricht, kann der Durchesser unten zu Beispiel als 16 und oben als 8 angenoen werden. Nit an einen Zylinder an, so kann der Durchesser zu Beispiel über die gesate Länge als das Mittel d=(8+16)/=1 angenoen werden. Unsere Berechnungen erfolgen it konstante Winddruck auf ganzer Höhe des Tures und unter der Annahe der Zylinderfor. Tatsächlich nit der Durchesser des Tures von unten nach oben ab. Da jedoch der Winddruck von unten nach oben zunit, kann an vereinfacht davon ausgehen, dass ein Ausgleich stattfindet. Zu beachten ist, dass der Wind, der auf die angeströte Hälfte des Bauwerks trifft, nicht an allen Stellen gleichstark ist. Der Geschwindigkeitsdruck in Hessen liegt bei 0,3 /². Dieser axiale Winddruck q=0,3/² wird nur auf de Scheitelpunkt der angeströten Fläche erreicht. Zu

2 Ina Dorothea Kleinehollenhorst und Olga Hartann den Rändern hin nit dieser Druck ab, da ein Teil aufgrund der Krüung abgelenkt wird. Die Windlast lässt sich als Fläche über de Halbkreis bestien. U diese Fläche zu berechnen uss eine Annäherung der Windlast ithilfe atheatischer Mittel erfolgen. Dafür sollte die Verteilung der Windlast durch einen Graphen wiedergegeben werden. Diese Veranschaulichung ist auf verschiedene Weisen öglich, zu Beispiel durch eine Parabel zweiten Grades, eine Funktion vierten Grades oder eine Ellipsenhälfte, wobei letzteres die sinnvollste Wahl darstellt. Erstellen der verschiedenen Graphen: Der Kreis, der den Turquerschnitt wiedergeben soll, lässt sich einfach ithilfe des Tools Kreis it Mittelpunkt durch Punkt in GeoGebra erstellen, da uns der Radius von 6 bereits bekannt ist. Die Kreisfunktion wird uns angezeigt c:x²+y²=36 Die verschiedenen Annäherungen verlaufen dabei alle durch den Punkt (0/6.3), da i Nullpunkt der axiale Winddruck von 0,3/² herrscht. Dieser Druck wird soit als Länge dargestellt. Die Parabel kann durch zwei Methoden erstellt werden. Entweder nutzt an die Parabelgleichung f(x)=ax²+bx+c und die 3 uns bekannten Punkte (( 6/0), (0/6.3), (6/0)) oder an nutzt GeoGebra. Hierbei hilft die Eingabe Trendpoly it den gewünschten Punkten und de Grad. Lösung: h(x)= 0.18x² Es kann ebenfalls eine Veranschaulichung ithilfe einer Funktion vierten Grades erfolgen. Hierbei kann an ithilfe von GeoGebra verschiedene Funktionen ausprobieren. Eine Funktion kann ebenfalls ithilfe des Befehls Trendpoly erstellt werden. Hierbei ist ein gewisses heruprobieren von Nöten. Zusätzliche Punkte können erstellt und verschoben werden. Ein Beispiel ist: f(x)= x⁴ x³ 0.087x² U die Ellipse zu eritteln ist es hilfreich ihren Mittelpunkt in (0/0) zu legen. Anschließend kann die Mittelpunktsgleichung der Ellipse angewandt werden: x²/a²+y²/b²=1. Dabei stellen a und a die Schnittpunkte it der x Achse und b und b die Schnittpunkte der Ellipse it der y Achse dar. A soll in unsere Fall 6 sein und b=6,3, woit sich leicht folgende For ergibt: f : x² 36 + y² 40 = 1

3 Ina Dorothea Kleinehollenhorst und Olga Hartann Vergleicht an die verschiedenen Annäherungen, so erkennt an, dass z.bsp. eine Siulation ithilfe einer Parabel zweiten Grades keine adäquate Lösung bringen wird. Nur die Daten i Intervall von [,] könnten brauchbare Werte darstellen. Dabei wird jedoch zu viel vernachlässigt. Die Funktion vierten Grades erhöht das Intervall der brauchbaren Daten auf ungefähr [ 3.5,3.5]. Dies stellt bereits eine bessere Annäherung dar. Zude lässt sich arguentieren, dass der Winddruck zu Rand der angeströten Fläche hin ier geringer wird und soit öglicherweise vernachlässigt werden kann.

4 Ina Dorothea Kleinehollenhorst und Olga Hartann Eine Ellipse hingegen spiegelt die Druckverteilung a besten wider. Sie uss nicht auf ein brauchbares Intervall beschränkt werden und geht sogar zu Rand in den Kreis über, was eine Druck von 0 entspricht. Wählt an die Ellipse als Annäherung, so lässt sich der Druck der wirkt durch die Differenz zwischen der Fläche des Halbkreises und der Fläche der Ellipsenhälfte berechnen. Bei konstante Druck auf ganzer Höhe erfolgt für die Differenz :

5 Ina Dorothea Kleinehollenhorst und Olga Hartann Flächeninhalt Ellipsenhälfte: A E/ = ab = 6 6, 3 ² : = 18, 96 = 59, 6 Flächeninhalt Halbkreis: A K/ = r² = 6 6 ² = 18 = 56, 6 4 Die Differenz ergibt dann: A E/ A K/ = 3, 0 Für den ganzen Tur ergibt sich soit: Q = 3, = 483, 5 (Hierbei ist zu beachten, dass die horizontalen Werte als /² angenoen werden.) Diese Last lässt sich i folgenden noch in Kilogra uwandeln: N = kg = 0, 1 s² 0kg 9, 8 1 s² it k g 48300N 9,81/s² = 4955, 86 Ns² = 4955, 86 kg = Ns² Soit wirken fast 50 Tonnen auf den Tur der WKA, allein durch den Wind. 3. Möchte an eine exaktere Berechnung durchführen, so uss an den Tur als Kegelstupf ansehen und annehen, dass der Wind it steigender Höhe zunit. Daten des Turs: Durchesser unten: 16, Durchesser oben: 8 Daten des Windes: In einer Höhe von 10: 0,3/². In einer Höhe von 160: 1,5/² Der Druck nit it steigender Höhe zu. Diese Zunahe kann als konstant angenoen und soit durch eine lineare Funktion wiedergegeben werden. Die Funktion lässt sich durch die Punkte F(1,5/160) und B(0,3/10) bestien: f (x) = x + n = 17, 1x + ( 30, 68) Für die Berechnung können verschiedene Scheiben des Turs betrachtet werden (z.bsp. oben, itte, unten). Für diese Scheiben wird der Winddruck berechnet und ein Mittel gebildet.

6 Ina Dorothea Kleinehollenhorst und Olga Hartann Scheibe oben: Höhe: 160, Durchesser: 8, Druck: 1,5/² (s.o.) Hierbei ist eine Annäherung eine Ellipse erneut sinnvoll: Sie geht durch die Punkte ( 4/0), (0/5,5) und (4/0). Soit ist a=4 und b=5,5. Es ergibt sich: e : x² a² + y² b² = x² 16 + y² 30,5 = 1 Die Last auf die Scheibe lässt sich durch die Differenz der Flächen berechnen: Fläche Halbkreis: A K/ = r² = 4 4 ² = 5, 13 Fläche Ellipsenhälfte: A E/ = ab = = 34, 6 5 Die Differenz der Flächen ergibt dann einen Druck von 9,43 / Scheibe Mitte: Höhe: 80, Durchesser: 1 (Die Außenkante des Turs lässt sich it a (x) = 40x + 30 darstellen. Gebildet als lineare Funktion durch die Punkte (8/0), (4/160) bzw. it GeoGebra), Druck it f(x) berechnet: 80 = 17, 1x + ( 30, 68) x = 0, 87 ² Für die Ellipse gilt soit e : x² a² + y² b² = x² 36 + y² 47,0 = 1 Für die Last bestien wir nun erneut die Fläche: Fläche Halbkreis: A K/ = r² = 6 6 ² = 56, 55 Fläche Ellipsenhälfte: A E/ = ab = 41, = 64, 5 7 Soit ergibt sich eine Differenz von 8,/ Scheibe unten: Hierbei nehe ich die Scheibe in 10 Höhe: Höhe: 10, Durchesser: 15,5 (Berechnung s.o.), Druck: ist bereits bekannt it 0,3/².

7 Ina Dorothea Kleinehollenhorst und Olga Hartann Für die Ellipse gilt soit e : x² a² + y² b² = x² 60,06 + y² 65,13 = 1 Für die Last bestien wir nun erneut die Fläche: Fläche Halbkreis: A K/ = r² = 7, 75 7, 75 ² = 94, 35 Fläche Ellipsenhälfte: A E/ = ab = 6, 54 = 98, 4 Soit ergibt sich eine Differenz von 3,89/ it a=7,75 und b=8,07 Als Durchschnitt für den gesaten Tur ergibt sich soit: Q = 9,43/ + 8,/ + 3,89/ 3 Dies bedeutet in Kilogra: N = kg = 0, 1 s² 0kg 9, 8 1 s² 160 = 7, = 1147, 73 it k g = Ns² ,33N 9,81/s² = , 6 Ns² = , 6 kg Soit kot bei dieser Berechnung ein Gewicht von ca. 117 Tonnen herraus. Dies stellt einen Unterschied von 67 Tonnen zu unserer vorherigen Berechnung dar. Es lässt sich also erkennen, dass zusätzliche Werte oder exaktere Berechnungen zu deutlich anderen Ergebnissen führen können.

8 Ina Dorothea Kleinehollenhorst und Olga Hartann 4. Rotorblätter Da die Geoetrie der Rotorblätter sehr koplex ist können auch hier Vereinfachungen geacht werden. Wie zu Beginn angenoen ist der Tur it Rotorblätter ax. 00 hoch. Soit kann an zu Beispiel annehen dass ein Rotorblatt die Länge von 36 und die Nabe einen Durchesser von 4 hat. Die Rotorblätter werden frontal als Dreiecke veranschaulicht und sind it einer,6 langen Kante it der Nabe verbunden. U die Last zu berechnen bestien wir die Fläche der drei Rotorblätter und der Nabe: A = 1 g h 3 + r² = 1, ² = 146, 68² Den Winddruck nehen wir vereinfacht als konstanten Wert für eine Höhe von 160 an q=1,5/². Für die Last folgt: Q = 146, 68² 1, 5 /² = 0, 0 000N = 48, 13 kg 9,81/s² Soit koen noch ca. 0 bzw. Tonnen hinzu. Insgesat uss die WKA soit einer Last von 139t standhalten.

9 Ina Dorothea Kleinehollenhorst und Olga Hartann 5. Hier soll eine eigene Bewertung der Ergebnisse erfolgen. Je nach Annahen, die getroffen wurden, können sich diese Ergebnisse unterscheiden. Es lässt sich zu Beispielfolgern das der Tur starken Kräften standhalten uss. Dies bedeutet wiederu, dass das Fundaent, welches den Tur a Boden befestigt, assiv sein uss u den Tur vor de Ukippen zu bewahren. Für die Einschätzung der Ergebnisse, lässt sich insgesat festhalten, das Annahen getroffen wurden und vereinfachte Berechnungen erfolgten. Dies bedeutet, dass die Ergebnisse nicht exakt sein können, aber eine gute Annäherung darstellen. Aspekte, die evtl. zusätzlich noch betrachtet werden üssen sind z.bsp. auf welcher Höhe die WKA überhaupt gebaut wird. Wird sie bereits in einer Höhe von 00 aufgestellt, so ändert sich auch der Winddruck. Zude sind diese Berechnungen nur für norale Windverhältnisse erfolgt, jedoch uss eine WKA auch Stüren und windigen Böen standhalten. U dies zu bestien üsste it eine anderen, höheren Druckwert gerechnet werden und der Tur üsste wahrscheinlich auch einer höheren Last standhalten. Außerde wurde nur die Druckkraft betrachtet. Trifft jedoch Wind auf den Tur, so entsteht nicht nur eine Druckwirkung, sondern auch eine Sogkraft. Diese üsste ebenfalls berücksichtigt werden.