5 Die Gerade g 1 hat die Gleichung 6: y = 1 }

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Dieter Dieter
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1 Geraden Schülerbuchseite Die Gerade g 1 hat die Gleichung 6: = 1 }. Die Gerade g hat die Gleichung : = 1 }. Die Gerade g hat die Gleichung 1: =. Die Gerade g hat die Gleichung : =. Die Gerade g 5 hat die Gleichung : =. 6 Die Gerade g 1 hat die Gleichung = 1 }. Die Gerade g hat die Gleichung = }. Die Gerade g hat die Gleichung = 5 } 6. Die Gerade g hat die Gleichung =. Die Gerade g 5 hat die Gleichung = 5. Die Gerade g 6 hat die Gleichung = 1. Die Gerade g hat die Gleichung = 5. roter und grüner Graph: Ulf hat bei beiden Steigungsdreiecken den Zähler mit dem Nenner verwechselt. Richtig ist: roter Graph = ; grüner Graph = 1 blauer Graph: Die Steigung dieses Graphen ist negativ. Richtig ist: blauer Graph = lila Graph: Ulf hat die Steigung falsch abgelesen. Richtig ist: = 1. Lineare Funktionen Seite 00 Einstiegsaufgabe Æ Æ Æ Æ : Anzahl der Seiten : Preis in Preis in Seite 01 1 Kraftstoffmenge Kraftstoffpreis: proportionale Funktion, da der Quotient immer gleich ist. Wärmezufuhr Wassertemperatur: lineare Funktion mit der Gleichung = m + b, da das Wasser schon eine bestimmte Temperatur hat, bevor man es erhitzt ( = 0). Bahnkilometer Fahrpreis: proportionale Funktion, da der Quotient immer gleich ist. Das bedeutet, der Fahrpreis nimmt pro Kilometer immer um denselben Betrag zu. Länge einer Kerze Brenndauer: lineare Funktion mit der Gleichung = m + b, denn die Kerze hat zu Beginn ( = 0) eine bestimmte Länge. Arbeitsstunden Handwerkerrechnung: proportionale Funktion, wenn der Handwerker nur seine Arbeitsstunden abrechnet oder eine lineare Funktion mit der Gleichung = m + b, wenn der Handwerker eine Pauschale für seine Anfahrt in Rechnung stellt. Die Gerade g 1 gehört zur Gleichung G : = + 1. Die Gerade g gehört zur Gleichung G : = + 1. Die Gerade g gehört zur Gleichung G 1 : = 1 1. Die Gerade g gehört zur Gleichung G 6 : = 1. Die Gerade g 5 gehört zur Gleichung G : = Die Gerade g 6 gehört zur Gleichung G 5 : = Anzahl der Seiten

2 Geraden Schülerbuchseite 01 0 a) (0 1); ( 5) (0 1); ( ) c) (0 1); ( ) d) (0 1); ( 5) 5 Die Gerade g 1 hat die Gleichung = Die Gerade g hat die Gleichung = + 1. Die Gerade g hat die Gleichung = + 1. Die Gerade g hat die Gleichung = + 1. Die Gerade g 5 hat die Gleichung = + 1. Alle Geradengleichungen haben denselben Wert für b. Seite 0 e) (0 1); ( 0,5) f) (0 ); 1 Methode a) Je größer m ist, desto steiler ist die Gerade. Bei m = 0 verläuft die Gerade parallel zur -Achse. Wenn m negativ ist, fällt die Gerade. Der Wert für b zeigt den Schnittpunkt der Geraden mit der -Achse an. Er entspricht der -Koordinate des jeweiligen Punkts. 6 Jeweils zwei der Geraden sind senkrecht zueinander. Die Steigungen der senkrechten Geraden haben entgegen gesetzte Vorzeichen und Zähler und Nenner sind vertauscht. Gerade Geradengleichung -Wert für = 1,5 -Wert für = g 1 = 1 0 g = g = 1 g = + 1 g 5 = + g 6 = + 5 Die Geradengleichungen unterscheiden sich lediglich im Wert für den -Achsenabschnitt b. Vergleicht man -Werte zu einem bestimmten -Wert, so sieht man, dass sie sich um denselben Wert wie ihre -Achsenabschnitte b unterscheiden. 90

3 Geraden Schülerbuchseite 0 0 Die Steigung der Geraden ist m =. a) 1 ( 1) 1 A liegt auf der Geraden B liegt nicht auf der Geraden. c) 1,5 } 1 ( 10),5,5 C liegt auf der Geraden. d) } 5, } 5 ( 1),, D liegt nicht auf der Geraden. Seite 0 1 a) Die erste Tabelle ist richtig zugeordnet. Die beiden anderen Gleichungen müssen vertauscht werden. 15 a) = 1 zum Beispiel: = 1 + = = 9 P liegt nicht auf der Geraden, Q liegt auf der Geraden. 10 (1 ) ( ) (1,5 ) = nein nein ja = 6 ja nein ja = + nein ja nein 11 P; Q1; R; S c) zum Beispiel: 1 Die Gerade g 1 hat die Gleichung = 1 + 1,5. Die Gerade g hat die Gleichung = 1,5. Die Gerade g hat die Gleichung =,5. Die Gerade g hat die Gleichung = }

4 Geraden Schülerbuchseite a) 6 Die Gerade mit der größeren Steigung ist die Gerade, die steiler ist. Da } > }, ist die Gerade mit der Gleichung = } 1 steiler als die Gerade mit der Gleichung = } , Die Gerade mit der größeren Steigung ist die Gerade, die steiler ist. Da 5 } >, ist die Gerade mit der Gleichung = 5 1 steiler als die Gerade mit der Gleichung = 1. Zeichnet man für jede der beiden Geraden ein gleich langes Steigungsdreieck, so ist die Gerade mit der größeren Höhe des Dreiecks steiler als die andere Gerade. 1 Ale hat recht. Beispiele: g 1 : = ; g : = ; m 1 = 1; m = 1; damit ist 1 ( 1) = 1 g 1 : = + 5; g : = } 1 ; m 1 =, m = 1, damit ist 1 = 1 g 1 : = + 1; g : = 1 + ; m 1 =, m = 1 : ( ) 1 = 1 1, = + = 5 1 6,5 5, = 1 = a) = 1 5 = + c) = 1 d) = 1 e) = 5 Seite 0 0 a) Die Gerade verläuft parallel zur -Achse. z. B. P 1 ( 5 ); P ( 0,5 ); P (0 ); P (6 ); P 5 (15 ) 1 Die Gleichung der Geraden ist = 1. Die Gerade, die auf der -Achse liegt, hat die Gleichung = 0. Die Gerade, die auf der -Achse liegt, hat die Gleichung = 0. a) = = c) = + 5 d) = 1 e) = 5 f) = = 1,5 + 5 a) = + 6 = + 5 c) = + Seite 05 6 Um die Steigung m zu berechnen, setzt man b und den - und -Wert des angegebenen Punkts in die Gleichung = m + b ein und löst nach m auf. a) = = + c) = + 1 d) = Parallel bedeutet, dass die neue Gerade dieselbe Steigung hat wie die angegebene. Um den -Achsenabschnitt b zu berechnen, setzt man diese Steigung und den - und -Wert des angegebenen Punkts in die Gleichung = m + b der neuen Geraden ein und löst nach b auf. a) = 1,5 + = 0,5 c) = + 9

5 Geraden Schülerbuchseite 05 0 Ja, die Gerade, auf der alle drei Punkte liegen, hat die Geradengleichung = 0,5. 9 g: Steigung m = ; h: Steigung m = 1,5; i: Steigung m = ; j: Steigung m = 0 Aus dem Punkt P liest man direkt den Achsenabschnitt b ab. Um die Steigung m zu berechnen, setzt man b und den - und -Wert des angegebenen Punkts in die Gleichung = m + b der neuen Geraden ein und löst nach m auf. a) = + 1 = + 1 c) = + 1 a) = + 1 = + c) = 1 Die Steigungen haben denselben Wert, aber unterschiedliche Vorzeichen. Für die Gerade g beträgt die Steigung m = 1 5, für die Gerade h ist m = 5 1. Spiegelt man die Gerade g an der -Achse, so erhält man die Gerade h. Nein, denn die Gerade g hat die Steigung m = 0,5, die Gerade h hat die Steigung m = 0,5. a) = + 1 = +,5 c) = 1 0,5 d) = +,5 e) = } + Lösen durch Modellieren I Seite 06 Einstiegsaufgabe ÆÆ Lara benötigt noch Bei 9 Stundenlohn muss sie 11 Stunden arbeiten. Da sie täglich Stunden arbeitet, benötigt sie 1 Tage. Arbeitet sie 5 Tage in der Woche, hat sie nach Arbeitswochen das Geld für den Roller zusammen. ÆÆ Geht sie Stunden arbeiten, hat sie das Geld nach 16 Tagen zusammen. Seite 0 1 a) In fünf Jahren haben die Besucherzahlen um = Besucher zugenommen. Das sind pro Jahr etwa Besucher mehr. Im Jahr 015 sind also = , im Jahr 016 sind = Besucher und im Jahr 01 sind = Besucher zu erwarten. Statt Besucher pro Jahr mehr sind dann Besucher mehr zu erwarten. Im Jahr 01 kann man demnach mit = Besuchern rechnen. Realsituation: Wie viele Zentimeter brennt die Kerze in einer Stunde ab? Mathematisches Modell: Die Kerze war um 9 Uhr 1 cm lang. In drei Stunden sind,5 cm der Kerze abgebrannt. Lösungsansatz über eine Gleichung. Die Variable bezeichnet die Brenndauer, die Variable die Länge der Kerze. Die Uhrzeit 9:00 Uhr setzt man als Zeitpunkt = 0. Mathematische Ergebnisse: = 1 1,5 a) Um :00 Uhr ( = 1) war die Kerze 15,5 cm lang. Um 1:00 Uhr ( = ) wird die Kerze noch cm lang sein. Ursprünglich, d. h. um Uhr ( = ), war die Kerze 1 cm lang. c) Man berechnet, wann die Länge der Kerze = 0 cm beträgt. Dies ist nach 9 1 Stunden der Fall. In der Realität wird die Kerze jedoch nicht völlig abbrennen, weil der Docht in das geschmolzene Wachs fällt oder der Docht nicht bis ganz zum Ende reicht. Die Kerze wird deshalb eher nach 9 Stunden, also um 1:00 Uhr verlöschen. a) Tina muss für die = Fahrten 56 bezahlen, wenn sie keine BahnCard besitzt. Eine BahnCard lohnt sich, wenn reduzierter Fahrpreis + Preis der BahnCard < Nor malpreis. Das bedeutet kürzer: Damit sich eine BahnCard lohnt, muss der Betrag, den man mit ihr bei den gesamten Fahrten spart, mindestens dem Preis der BahnCard entsprechen. Mit der BahnCard 5 spart man 5 % von 56, also 0,5 56 = 11. Mit der BahnCard 50 spart man 50 % von 56, also 0,5 56 =. Mit der BahnCard 100 sind alle Fahrten umsonst, man spart also 56. Tina sollte also eine BahnCard 5 kaufen. Sie kostet 6 und Tina spart bei ihren Fahrten dafür 11, benötigt also insgesamt 5 weniger. Mit der BahnCard 50 würde sie für die Fahrten zwar sparen, sie müsste allerdings 55 für die Karte zahlen. 9

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