Dipl. - Ing. Frank Pitz Faustformeln für die Astronomie

Transkript

1 Vor ein paar Jahren hatte ich mal ein Experiment gemacht. Ich baute mir ein Regressionsanalyseprogramm in QuickBasic und fragte mich, ob es eine echte funktionelle Formel für Mondorbitale um Planeten gibt. Also gab ich in den 2 Eingabebereichen auf der X Achse die Entfernungen von Monde ein, und auf der YAchse die Geschwindigkeiten der Monde ein. Praxisbeispiele 1. Beispiel: Die Sonne Die wichtigsten bekannten Objekte die sich um die Sonne drehen sind: Merkur, Venus, Erde, Mars, Jupiter, Saturn, Uranus, Neptun und Pluto. Die Entfernungen zur Sonne (r), sowie die Umlaufzeiten (t), kann man sich im Internet besorgen. Die Objektbahnen sollte man sich ersatzweise kreisähnlich vorstellen. Damit sind die Bahnstrecken eines jeden Objektes mit s = 2 r π berechenbar. Aus s / t lässt sich so die Orbitalgeschwindigkeit errechen. Im vorliegenden 1. Beispiel habe ich für die oben bereits erwähnten 9 Objekte eine Tabelle erstellt, die Entfernung und Geschwindigkeiten wiedergeben. Diese Werte habe ich dann in einem Regressionsprogramm eingegeben. Was ist eine Regressionsanalyse? Gewöhnlich hat man Formeln, die je nach Parametern und Eingabevariable ein ergebnis fördern. Eine Regressionsanalyse ist der ungekehrte Weg. Aus Eingabewerten und Ergebnissen wird die Formel berechnet. oben Tab.1

2 Die X - Werte sind die Abstände [r] in km zum Mutterstern. Die Y Werte sind die Fluggeschwindigkeiten [v] in km/h um den Mutterstern. Hier (Abb.1) die Eingabe in ein Regressionsprogramm: Hier das benutze Programm in JavaScript:

3 Die genaueste Lösung der Regressionen wurde durch eine Expotentialregression ermittelt. (Abb.2) Was kann man aus der ermittelten Formel erkennen? Durch Umstellung und Vereinfachung des hohen Wertes in der Formel kann man schreiben: e 21 Y = --- Testet man diese Formel für die Erde mit x = km Entfernung, so ergibt die vereinfachten Formel einen Y-Wert von ,7 km/h. Das ziemlich genau!

4 Die Frage die sich nun stellt, wie sehen die Regressionsanalysen von den anderen Gestirnen aus und zwar solche, die mindestens einen Monde haben? Sind die Formeln ähnlich? Oder werden die Regressionsanalysen ganz andere Formeln ermitteln? Der einfachste Weg ist leider auch der Mühsamste. Für jeden Mond muss also dessen Bahngeschwindigkeit berechnet werden. Nun, ich habe es gemacht. Ich werde nachfolgend keine Mondnamen nennen, das wäre mir zuviel Tipparbeit. 2. Praxisbeispiel: Der Mars Der Mars hat 2 Monde. Die weiteren Regressionsanalysen werden mit Hilfe von Exceltabellen gelöst (Abb.3) a Auch diese Formel hat die gleiche Struktur, nur ein Wert anders. Vereinfachte Formel: r (s.o. im gelben Bereich) hier -1, gibt die Genauigkeit an, und ist nicht das gleiche r wie in den vereinfachten Formeln! Je näher das r an 1 reicht, umso genauer ist die Berechnung. e v = r = Abstand zum Mutterstern in km

5 3. Beispiel: Der Jupiter Wertetabelle Abb.4 Ergebnis Abb.5 Vereinfacht: e 17,51 v =

6 Gleiches habe ich mit Saturn, Uranus, Neptun und Pluto gemacht. Die hier aufgeführten Regressionsanalysen im Überblick. Abb.6 4. Beispiel: Saturn Vereinfacht: e 16,938 v = Abb.7 5. Beispiel: Uranus: Vereinfacht: e 13,68 v = Abb.8 6. Beispiel: Neptun Vereinfacht: e 16,09 v = Abb.9 7. Beispiel: Pluto Vereinfacht: e 11,31 v = Beispiel e 14,641 Erdmond (vereinfacht) v = Damit lässt sich erkennen, dass man die Umlaufgeschwindigkeiten [v] in km/h mit einer sehr einfachen Formel bestimmen kann. [r] in km ist stets der Radius vom Mutterstern aus. const 1 ist je Mutterstern anders. const 1 v = [1]

7 Die Gleichung [1] umgestellt: v² r = const 1 2 In const 1 muss sich die Masse des Muttersterns befinden. Doch die Frage ist, wie ist sie darin implementiert? Ich habe herumgetüftelt und so fand ich den Zusammenhang. const 1 = (m G) [2] Bekannt ist die Gravitationskonstante von G = 6, m³/(s² kg). Da die Untersuchungen in km und Stunden durchgeführt werden, ist die Gravitationskonstante entsprechend zu diesen Einheiten umzurechnen. Die Gravitationskraft ergibt sich aus F g = m G! m ist das Gewicht in kg. m³ km³ 3600² = s² kg 1000³ h² kg m³ km³ 6, = 8, s² kg h² kg 9. Beispiel Der Jupiter hat eine Konstante von e 17,51 (vgl. Abb. 5). Aus Gleichung 2 ergibt sich daraus m m = const 2 1 / G = e 35,02 / 8, = 1, kg Wikipedia gibt 1, kg an. Damit kann man Gleichung [2] in Gleichung [1] einsetzen und man erhält: v² r m = [3] G 10. Beispiel Der Saturnmond Pan umkreist den Saturn im Abstand von etwa km. Die mittlere Orbitalgeschwindigkeit beträgt etwa 16,89 km/s = 16, s = km/h. Dann würde der Saturn eine Masse von m = 60804² / 8, = 5, kg. Wikipedia gibt 5, kg an.

8 Ich wiederholte die gesamten Regressionsanalysen, allerdings mit anderen y Werten. Die X Werte beließ ich bei den Abständen zum Mutterstern. Die y Werte wurden mit den Zeitbedarfswerten [t] in Stunden für eine vollständige Umkreisung des Muttersterns ausgetauscht. 11. Ergebnisbeispiele 11.1 Sonne t(r) = e 19, Jupiter t(r) = e 15, Saturn t(r) = e 15, Neptun t(r) = e 14, Uranus t(r) = e 14, Mars t(r) = e 11, Pluto t(r) = e 9, Erdmond t(r) = e 12,80341 Die Umlaufzeit [t] in Stunden lässt sich mit einer einfachen Formel in Abhängigkeit zu [r] in km ebenfalls sehr einfach bestimmen. const 2 ist je Mutterstern anders. 11. Beispiel ()³ t = [2] const 2 Der Uranusmond Ariel umkreißt den Uranus in einem Abstand von etwa km. Nach den Regressionsanalysen ergab sich für Uranus ein const 2 von e 14, Damit braucht Ariel für eine Umkreisung: t = /2 / e 14,14412 = 60,104 Stunden. Das entspricht 2,504 Tagen. Wikipedia schreibt 2, Tagen

9 Als ich im Sommer 2012 im Iserlohner Wald radelte, machte ich Pause am Bismarkturm und setzte mich auf eine Parkbank. Da ich immer Notizblöcke, Taschenrechner und einen Stift dabei habe, rechnete ich weiter und fand weitere Formeln. Aber die Herleitungen habe ich nicht mehr, was überhaupt nicht wichtig ist. Gefunden hatte ich folgende Gleichungen, die hier direkt mit Zahlenbeispielen verdeutlichen möchte. Diese nachfolgenden Formeln sind Resultate aus der Mischung der Gleichungen [1] bis [3].

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11 14. Beispiel Auch die Umlaufzeiten der Trabenten lassen sich leicht berechnen. In diesem und letzten Beispiel möchte ich die Umlaufzeit des Mars um die Sonne berechnen. Der Abstand des Mars zur Sonne beträgt r = km Der Exponent der Konstanten e für dem Mars beträgt const1* = 21 (vgl. dazu Beispiel 1) 2 π r 3/2 2 π ( ) 3/2 t = = = Stunden e const 1 * e 21 t = / 24 = 683 Tage Wikipedia schreibt: Siderische Umlaufzeit 686,98 Tage Mal sehen was ich als Nächstes mache. Bis dahin Tschüß